微專題04 平面向量痛點問題之三角形“四心”問題（四大題型）（原卷版）

微專題04平面向量痛點問題之三角形“四心”問題【題型歸納目錄】題型一：重心定理題型二：內(nèi)心定理題型三：外心定理題型四：垂心定理【知識點梳理】一、四心的概念介紹：（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1．（2）內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等．（4）垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直．二、三角形四心與推論：（1）是的重心：．（2）是的內(nèi)心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．【方法技巧與總結(jié)】（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上.為的內(nèi)心.（2）外心：為的外心.（3）垂心：為的垂心.（4）重心：為的重心.【典型例題】題型一：重心定理【例1】（2024·重慶北碚·高一西南大學附中?？茧A段練習）如圖所示，已知點G是的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點（點N與點C不重合），設(shè)，則的值為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-1】（2024·全國·高一隨堂練習）已知中，點為所在平面內(nèi)一點，則“”是“點為重心”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2024·全國·高一專題練習）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點，動點滿足，則點軌跡一定通過三角形的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心題型二：內(nèi)心定理【例2】（2024·全國·高一專題練習）在△ABC中，，若O為內(nèi)心，且滿足，則x+y的最大值為．【變式2-1】（2024·江蘇南通·高一如皋市第一中學期末）已知點P為的內(nèi)心，，若，則．【變式2-2】（2024·廣西柳州·高一統(tǒng)考期末）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則題型三：外心定理【例3】（2024·吉林長春·高一東北師大附中?？茧A段練習）已知點O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點，則．【變式3-1】（2024·安徽六安·高一六安市裕安區(qū)新安中學校考期末）已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過的．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個填寫）【變式3-2】（2024·四川遂寧·高一射洪中學?？茧A段練習）已知中，，，，為的外心，若，則的值為（）A．1 B．2 C． D．題型四：垂心定理【例4】（2024·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知的垂心為點，面積為15，且，則；若，則.【變式4-1】（2024·湖北黃岡·高一校聯(lián)考期末）若為的垂心，，則＝，．【變式4-2】（2024·山西·高一校聯(lián)考階段練習）已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2024·全國·高一專題練習）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、內(nèi)心分別為，，，，若（其中），當取最大值時，（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中?？茧A段練習）若O是△ABC所在平面上一定點，H，N，Q在△ABC所在平面內(nèi)，動點P滿足，，則直線AP一定經(jīng)過的____心，點H滿足，則H是的____心，點N滿足，則N是的____心，點Q滿足，則Q是的____心，下列選項正確的是（

）A．外心，內(nèi)心，重心，垂心 B．內(nèi)心，外心，重心，垂心C．內(nèi)心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，內(nèi)心二、多選題3．（2024·河南鄭州·高一校聯(lián)考期末）點為△所在平面內(nèi)一點，則（

）A．若，則點為△的重心B．若，則點為△的垂心C．若．則點為△的垂心D．在中，設(shè)，那么動點的軌跡必通過△的外心4．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？茧A段練習）設(shè)點是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（

）A．若，則點是邊BC的中點B．若，則點是邊BC的三等分點C．若，則點是邊的重心D．若，且，則的面積是面積的5．（2024·山東棗莊·高一?？茧A段練習）數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點O、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點，則（

）A． B．C． D．6．（2024·安徽池州·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC的重心為，邊的中點分別為，則下列說法正確的是（

）A．B．若△ABC為正三角形，則C．若，則D．7．（2024·廣東廣州·高一?？计谀┫铝忻}正確的是（

）A．若A，B，C，D四點在同一條直線上，且，則B．在中，若O點滿足，則O點是的重心C．若，把右平移2個單位，得到的向量的坐標為D．在中，若，則P點的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心8．（2024·新疆·高一兵團第三師第一中學校考階段練習）點O在所在的平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則點O為的垂心B．若，則點O為的外心C．若，則1D．若且，則點O是的內(nèi)心三、填空題9．（2024·甘肅武威·高一校聯(lián)考期末）記的內(nèi)角的對邊分別為，若O為的重心，，則.10．（2024·全國·高一專題練習）點是平面上一定點，、、是平面上的三個頂點，、分別是邊、的對角，以下命題正確的是（把你認為正確的序號全部寫上）．①動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；②動點滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點集合中；③動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；④動點滿足，則的垂心一定在滿足條件的點集合中；⑤動點滿足，則的外心一定在滿足條件的點集合中．11．（2024·遼寧·高一校聯(lián)考期末）某同學在學習和探索三角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）.如圖，已知銳角外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點.若，則；若，則的值為.12．（2024·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學?？计谀┮阎獮樗谄矫鎯?nèi)一點，有下列結(jié)論：①若為的內(nèi)心，則存在實數(shù)使；②若，則為的外心；③若，則為的內(nèi)心；④若，則與的面積比為．其中正確的結(jié)論是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）13．（2024·廣西河池·高一校聯(lián)考階段練習）在中，已知，，，為的內(nèi)心，的延長線交AB于點D，則的外接圓的面積為，.14．（2024·四川遂寧·高一遂寧中學校考階段練習）已知是平面上的一定點，，，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的(填序號）．①內(nèi)心

②垂心

③重心

④外心15．（2024·高一課時練習）已知為的內(nèi)心，，且滿足，則的最大值為．16．（2024·高一課時練習）已知，，是平面內(nèi)不共線的三點，為所在平面內(nèi)一點，是的中點，動點滿足，則點的軌跡一定過的（填“內(nèi)心”“外心”“垂心”或“重心”）.17．（2024·高一課時練習）已知點是的內(nèi)心，若，則.18．（2024·四川成都·高一成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？茧A段練習）已知點O是△ABC的外心，，若，則．19．（2024·湖北武漢·高一期末）中，，，，點為的外心，若，則實數(shù)．20．（2024·湖北·高一校聯(lián)考階段練習）在△ABC中，已知，P是△ABC的外心，則的余弦值為.21．（2024·四川達州·高一達州中學?？茧A段練習）設(shè)為的外心a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若，，則．22．（2024·廣東汕頭·高一金山中學?？计谀┮阎獮榈耐庑?，若，則最小值.23．（2024·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？计谀┠惩瑢W在查閱資料時，發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：已知O是內(nèi)的一點，且存在，使得，則．請以此結(jié)論回答：已知在中，，，O是的外心，且，則．24．（2024·遼寧大連·高一育明高中?？计谀┮阎c在所在的平面內(nèi)，則下列各結(jié)論正確的有①若為的垂心，，則②若為邊長為2的正三角形，則的最小值為③若為銳角三角形且外心為，且，則④若，則動點的軌跡經(jīng)過的外心25．（2024·全國·高一專題練習）（1）已知是平面上的一定點，，，是平面上不共線的三個動點，若