2024年高中數(shù)學(xué)專題2-1重難點題型培優(yōu)精講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)教師版新人教A版必修第一冊

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1．兩個實數(shù)大小的比較假如a－b是正數(shù)，那么a>b；假如a－b等于零，那么a＝b；假如a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過來也對．這個基本事實可以表示為：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，a<b?a－b<0.從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小．2．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1假如a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2假如a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3假如a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4假如a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5假如a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性質(zhì)(1)假如a>b，那么b<a；假如b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)假如a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)假如a>b，那么a＋c>b＋c.(4)假如a>b，c>0，那么ac>bc；假如a>b，c<0，那么ac<bc.(5)假如a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)假如a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)假如a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【題型1不等關(guān)系的建立】【方法點撥】在用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系時，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．【例1】（2024秋?石鼓區(qū)校級月考）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm．設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（）A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c＞M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c＜M【解題思路】依據(jù)題意列出不等式即可．【解答過程】解：∵長、寬、高之和不超過Mcm，長、寬、高分別為a、b、c，∴a+b+c≤M，故選：A．【變式1-1】（2024秋?龍巖期中）為平安燃放某種煙花，現(xiàn)收集到以下信息：①此煙花導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.6厘米；②人跑開的速度為每秒4米；③距離此煙花燃放點50米以外（含50米）為平安區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時人能夠跑到平安區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（厘米）應(yīng)滿足的不等式為（）A．4×x0.6＜50 B．4×【解題思路】干脆由題意可列出不等關(guān)系式即可．【解答過程】解：由題意可得4×x0.6故選：B．【變式1-2】（2024秋?龍崗區(qū)期中）在開山工程爆破時，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5cm，人跑開的速度為每秒4m，為了使點燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時跑到100m以外的平安區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（cm）應(yīng)滿足的不等式為（）A．4×x0.5≥100 B．4×x0.5≤100 C．4【解題思路】為了平安，則人跑開的距離應(yīng)大于100米，路程＝速度×?xí)r間，其中時間即導(dǎo)火索燃燒的時間，是x0.5s【解答過程】解：依據(jù)題意得4×x0.5故選：C．【變式1-3】（2024秋?龍江縣校級月考）下列結(jié)論不正確的是（）①用不等式表示某廠最低月生活費a元不低于300元為a≥300；②完成﹣項裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則滿足的關(guān)系式是5x+4y＜200；③設(shè)M＝x2+3，N＝3x，則M與N的大小關(guān)系為M＞N；④若x≠﹣2且y≠1，則M＝x2+y2+4x﹣2y的值與一5的大小關(guān)系是M＞﹣5．A．① B．② C．③ D．④【解題思路】由題意列出不等式，可推斷①②；由作差比較和不等式的性質(zhì)，可推斷③④．【解答過程】解：對于①，可得a≥300，故①正確；對于②，可得500x+400y≤20000，化為5x+4y≤200，故②錯誤；對于③，M﹣N＝x2+3﹣3x＝（x-32）2+34＞0，可得M對于④，因為x≠﹣2且y≠1，所以M﹣（﹣5）＝x2+y2+4x﹣2y+5＝（x+2）2+（y﹣1）2＞0，即M＞﹣5，故④正確．故選：B．【題型2利用不等式的性質(zhì)推斷正誤】【方法點撥】(1)干脆法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可．(2)特殊值法：留意取值確定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡潔，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．【例2】（2024春?大名縣校級期末）假如a，b，c，d∈R，則正確的是（）A．若a＞b，則1a＜1b B．若a＞b，則ac2C．若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd【解題思路】依據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答過程】解：對于A，令a＝1，b＝﹣1，滿足a＞b，但1a＞1對于B，當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，故B錯誤，對于C，a＞b，c＞d，由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正確，對于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，滿足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D錯誤．故選：C．【變式2-1】（2024?孝義市開學(xué)）已知1aA．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＞b2【解題思路】由1a＜1b＜0得【解答過程】解：∵1a∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故選項B正確，故選：B．【變式2-2】（2024春?包頭期末）a，b∈R，下列命題正確的是（）A．若a＞b，則a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，則a＜b D．a(chǎn)≠0，b≠0，若a＞b，則1【解題思路】依據(jù)不等式的性質(zhì)干脆推斷．【解答過程】解：選項A，如a＝0，b＝﹣1，不等式不成立，選項A錯誤，選項B，如c＝0，不等式不成立，選項B錯誤，選項C，依據(jù)不等式兩邊同除以﹣3，不等號變更，∴選項C正確，選項D，如a＝1，b＝﹣1，不等式不成立，選項D錯誤，故選：C．【變式2-3】（2024秋?賀州期末）假如a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．1a＜1b B．a(chǎn)b＜b2 C．a(chǎn)b＞a【解題思路】依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合題意，推斷選項中的命題是否正確即可．【解答過程】解：因為a＜b＜0，所以ab＞0，所以1b＜1a＜0因為a＜b＜0，所以ab＞b2＞0，選項B錯誤；因為a＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，選項C錯誤；因為a＜b＜0，所以1b＜1a＜0，所以-故選：D．【題型3利用作差法比較大小】【方法點撥】(1)作差法比較的步驟：作差―→變形―→定號―→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類探討．【例3】（2024春?九江期末）已知a=2，b=7-3，c=A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解題思路】運用不等式的基本性質(zhì)干脆比較兩數(shù)的大?。窘獯疬^程】解：∵a=2，b=∴由a-b=2+3-由a-c=22-6且由b-c=(7+2)-(6+3)且故選：B．【變式3-1】（2024春?安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，則x，y的大小關(guān)系為（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D．無法確定【解題思路】利用作差法干脆化簡推斷即可．【解答過程】解：x﹣y＝a3﹣b﹣a2b+a＝a2（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+1），又a＜b，則a﹣b＜0，又a2+1＞0，則x﹣y＝（a﹣b）（a2+1）＜0，故x＜y．故選：B．【變式3-2】（2024秋?靖遠(yuǎn)縣期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，則（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．P，Q的大小關(guān)系不確定【解題思路】干脆利用作差法和關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過程】解：P﹣Q＝x2+xy+y2﹣3xy+1＝（x﹣y）2+1＞0．故P＞Q．故選：A．【變式3-3】（2024秋?灤南縣校級月考）設(shè)m＞1，P＝m+4m-1，Q＝5，則A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q【解題思路】利用作差法即可推斷大?。窘獯疬^程】解：P﹣Q＝m+4m-因為m＞1，所以（m﹣3）2≥0，m﹣1＞0，所以(m-3)2m-故選：C．【題型4利用作差法比較大小的應(yīng)用】【例4】（2024春?蕪湖期末）甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，假如兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．兩人同時到教室 D．誰先到教室不確定【解題思路】比較走完路程所用時間大小來確定誰先到教室，故應(yīng)把兩人到教室的時間用所給的量表示出來，作差比較【解答過程】解：設(shè)步行速度與跑步速度分別為v1，v2，明顯v1＜v2，總路程為2s，則甲用時間為sv1+而s=s(故sv故選：B．【變式4-1】（2024秋?金華期末）某次全程馬拉松競賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b速跑；選手乙前一半時間以速度a勻速跑，后半時間以速度b勻速跑（注：速度單位m/s），若a≠b，則（）A．甲先到達(dá)終點 B．乙先到達(dá)終點 C．甲乙同時到達(dá)終點 D．無法確定誰先到達(dá)終點【解題思路】依據(jù)題意，設(shè)全程的距離為2s，用s、a、b表示甲、乙的時間，用作差法分析可得答案．【解答過程】解：依據(jù)題意，設(shè)全程的距離為2s，對于甲，前半程s的時間為sa，后半程的時間為sb，則甲的時間t1對于乙，前一半時間以速度a勻速跑，后半時間以速度b勻速跑，則有a×t22+b變形可得t2=4s則有t1﹣t2=s(a+b)ab-4sa+b=sab(a+b)[（a+b）2﹣4ab]又由a≠b，則t1﹣t2＞0，故乙先到達(dá)終點，故選：B．【變式4-2】（2024秋?楊浦區(qū)校級期中）現(xiàn)有A，B，C，D四個長方體容器，A，B的底面積均為x2，高分別為x，y；C，D的底面積均為y2，高分別為x，y（其中x≠y）．現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個盛水，盛水多者為勝．問先取者在未能確定x與y大小的狀況下有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？【解題思路】當(dāng)x＞y時，利用不等式的性質(zhì)可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；當(dāng)x＜y時，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出．【解答過程】解：①當(dāng)x＞y時，則x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此種條件下取A，B能夠穩(wěn)操勝券．②當(dāng)x＜y時，則y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此種條件下取D，C能夠穩(wěn)操勝券．③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的狀況下，取A，D能夠穩(wěn)操勝券，其他的都沒有必勝的把握．故可能有1種，就是取A，D．【變式4-3】（2024秋?懷仁市校級月考）某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊說：“如領(lǐng)隊買全票一張，其余人可享受7.5折實惠”．乙車隊說：“你們屬團(tuán)體票，按原價的8折實惠”．這兩車隊的原價、車型都是一樣的，試依據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊的收費哪家更實惠．【解題思路】依據(jù)兩家的政策，求出坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，作差，即可得出結(jié)論．【解答過程】解：設(shè)該單位有職工n人（n∈N*），全票價為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x+34x（n﹣1）=14x+34xn所以y1﹣y2=14x+3=14x=14x（1當(dāng)n＝5時，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)n＞5時，y1＜y2；當(dāng)0＜n＜5時，y1＞y2．因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5時，兩車隊收費相同；多于5人時，選甲車隊更實惠；少于5人時，選乙車隊更實惠．【題型5利用不等式的性質(zhì)證明不等式】【方法點撥】(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題確定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并留意在解題中靈敏精確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)留意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不行省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．【例5】（2024春?迎澤區(qū)校級月考）證明：ab【解題思路】利用分析法，先證明(a【解答過程】證明：要證ab只需證a即證(即證a即證a+b該式明顯成立，所以ab【變式5-1】（2024春?庫爾勒市校級期末）已知a＞1，求證：a+1+a-【解題思路】利用分析法即可證明結(jié)論【解答過程】解：要證a+1+a-只要證a+1+a﹣1+2a2-1只要證a2-只要證a2﹣1＜a2，只要證明﹣1＜0，明顯成立，故求證：a+1+a-【變式5-2】（2024秋?故城縣校級月考）求證：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）【解題思路】（1）利用做差法證明不等式的大小即可；（2）利用做差法和平方差公式即可證明不等式成立．【解答過程】證明：（1）∵a2+b2+c2﹣（ab+bc+ac）=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]≥∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac；（2）∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2acbd﹣b2d2＝（ad﹣bc）2≥0，∴（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．【變式5-3】用比較法證明以下各題：（1）已知a＞0，b＞0．求證：1a（2）已知a＞0，b＞0．求證：ba【解題思路】（1）作差可得1a（2）作差變形可得ba+ab-a-【解答過程】證明：（1）∵a＞0，b＞0，∴1=(1a)2=(1a∴1a（2）∵a＞0，b＞0，∴b==＝（b﹣a）（1a＝（b﹣a）b-a∴ba【題型6利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】【方法點撥】同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來求范圍，留意變形的等價性．【例6】（2024秋?武昌區(qū)校級月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范圍．【解題