重慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

重慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則()A． B． C． D．2．如圖，兩個(gè)正方形和所在平面互相垂直，設(shè)、分別是和的中點(diǎn)，那么：①；②平面；③；④、異面.其中不正確的序號(hào)是（）A．① B．② C．③ D．④3．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)，若函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)為階格點(diǎn)函數(shù).下列函數(shù)中為一階格點(diǎn)函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．在中，，則這個(gè)三角形的形狀為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形5．如圖，長方體中，，，那么異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．6．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則（）A． B． C． D．7．直線l：與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)弦AB最短時(shí)直線l的方程為A． B．C． D．8．在中，為的中點(diǎn)，，則（）A． B． C．3 D．-39．設(shè)，若，則數(shù)列是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列 D．偶數(shù)項(xiàng)遞增，奇數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列10．如圖是正方體的展開圖，則在這個(gè)正方體中：①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，長方體中，，，，與相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______________．12．已知點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)(a>0)，若圓(x-2)2+(y-2)2=2上存在點(diǎn)C13．已知一組數(shù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為______.14．已知，，若，則______15．已知向量，則的單位向量的坐標(biāo)為_______.16．角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則___________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知不共線的向量，，，.（1）求與的夾角的余弦值；（2）求.18．在數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍．19．如圖，已知函數(shù)，點(diǎn)分別是的圖像與軸、軸的交點(diǎn)，分別是的圖像上橫坐標(biāo)為的兩點(diǎn),軸，共線．（1）求的值；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．設(shè)平面三點(diǎn)、、.（1）試求向量的模；（2）若向量與的夾角為，求；（3）求向量在上的投影．21．如圖，直三棱柱中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，已知，，（1）若點(diǎn)在棱上，且，求證：平面平面；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面證明你的結(jié)論。

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】設(shè)公比為，由已知得，即，又因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為正數(shù)，所以，故，故選D.2、D【解析】

取的中點(diǎn)，連接，，連接，，由線面垂直的判定和性質(zhì)可判斷①；由三角形的中位線定理，以及線面平行的判定定理可判斷②③④．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，連接，，正方形和所在平面互相垂直，、分別是和的中點(diǎn)，可得，，平面，可得，故①正確；由為的中位線，可得，且平面，可得平面，故②③正確，④錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線線和線面的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

根據(jù)題意得，我們逐個(gè)分析四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意得：函數(shù)y＝sinx圖象上只有（0，0）點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故A為一階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)沒有橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故B為零階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)y＝lgx的圖象有（1，0），（10，1），（100，2），…無數(shù)個(gè)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故C為無窮階格點(diǎn)函數(shù)；函數(shù)y＝x2的圖象有…（﹣1，0），（0，0），（1，1），…無數(shù)個(gè)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，故D為無窮階格點(diǎn)函數(shù).故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象與圖象變化，其中分析出函數(shù)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．4、B【解析】解：5、A【解析】

可證得四邊形為平行四邊形，得到，將所求的異面直線所成角轉(zhuǎn)化為；假設(shè)，根據(jù)角度關(guān)系可求得的三邊長，利用余弦定理可求得余弦值.【詳解】連接，四邊形為平行四邊形異面直線與所成角即為與所成角，即設(shè)，，，，在中，由余弦定理得：異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過平行關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值.6、B【解析】

首先通過正弦定理將邊化角，于是求得，于是得到答案.【詳解】根據(jù)正弦定理得：，即，而，所以，又為三角形內(nèi)角，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的運(yùn)用，難度不大.7、A【解析】

先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再求出弦AB最短時(shí)直線l的方程.【詳解】由題得，所以直線l過定點(diǎn)P.當(dāng)CP⊥l時(shí)，弦AB最短.由題得,所以.所以直線l的方程為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線過定點(diǎn)問題，考查直線方程的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8、A【解析】

本題中、長度已知，故可以將、作為基底，將向量用基底表示，從而解決問題．【詳解】解：在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故選A【點(diǎn)睛】向量數(shù)量積問題常見解題方法有1.基底法，2.坐標(biāo)法．基底法首先要選擇兩個(gè)不共線向量作為基向量，然后將其余向量向基向量轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算；坐標(biāo)法則要建立直角坐標(biāo)系，然后將向量用坐標(biāo)表示，進(jìn)而運(yùn)用向量坐標(biāo)的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行計(jì)算．9、C【解析】

根據(jù)題意，由三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系分析可得答案。【詳解】根據(jù)題意，，則，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)即即即即，數(shù)列是奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列，故選：C.【點(diǎn)睛】本題涉及數(shù)列的函數(shù)特性，利用函數(shù)單調(diào)性，通過函數(shù)的大小，反推變量的大小，是一道中檔題目。10、C【解析】

將正方體的展開圖還原為正方體后，即可得到所求正確結(jié)論．【詳解】將正方體的展開圖還原為正方體ABCD﹣EFMN后，可得AF，CN異面；BM，AN平行；連接AN，NF，可得∠FAN為AF，BM所成角，且為60°；BN⊥DE，DE⊥AB可得DE⊥平面ABN，可得DE⊥BN，可得③④正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查展開圖與空間幾何體的關(guān)系，考查空間線線的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

易知是的中點(diǎn)，求出的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.【詳解】可知，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得的坐標(biāo)公式，即【點(diǎn)睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，空間直角坐標(biāo)的讀取是易錯(cuò)點(diǎn).12、3【解析】

利用參數(shù)方程假設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，表示出AC和BC，利用AC?BC=0可得到a【詳解】設(shè)C∴∵∠ACB=90°∴∴當(dāng)sinα+∴0<a≤3本題正確結(jié)果：3【點(diǎn)睛】本題考查圓中參數(shù)范圍求解的問題，關(guān)鍵是能夠利用圓的參數(shù)方程，利用向量數(shù)量積及三角函數(shù)關(guān)系求得最值.13、【解析】

先根據(jù)平均數(shù)計(jì)算出的值，再根據(jù)方差的計(jì)算公式計(jì)算出這組數(shù)的方差.【詳解】依題意.所以方差為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平均數(shù)和方差的有關(guān)計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列出等式，求出，再利用二倍角公式、平方關(guān)系即可求出．【詳解】由得，，解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示以及二倍角公式、平方關(guān)系的應(yīng)用．15、.【解析】

由結(jié)論“與方向相同的單位向量為”可求出的坐標(biāo).【詳解】，所以，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查單位向量坐標(biāo)的計(jì)算，考查共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，充分利用共線單位向量的結(jié)論可簡(jiǎn)化計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先求出到原點(diǎn)的距離,再利用正弦函數(shù)定義求解.【詳解】因?yàn)?所以到原點(diǎn)距離,故.故答案為：.【點(diǎn)睛】設(shè)始邊為的非負(fù)半軸,終邊經(jīng)過任意一點(diǎn),則：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）先計(jì)算出，再代入公式，求出余弦值；（2）直接利用公式計(jì)算求值.【詳解】（1）設(shè)的夾角為，∵，∴，又，可得，∴.（2）.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)量積求向量的夾角、模的計(jì)算，考查基本運(yùn)算求解能力.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)已知可變形為常數(shù)；（2）首先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求，若滿足對(duì)恒成立，需滿足，，求的取值范圍.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，，則．又，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可知，則．因?yàn)?，所以，所以．易知單調(diào)遞增，則．所以，且，解得．故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了證明等差數(shù)列的方法，以及裂項(xiàng)相消法求和，本題的一個(gè)亮點(diǎn)是與函數(shù)結(jié)合考查數(shù)列的最值問題，涉及最值時(shí)，需先判斷函數(shù)的單調(diào)性，可以根據(jù)函數(shù)特征直接判斷單調(diào)性或是根據(jù)的正負(fù)判斷單調(diào)性，然后求最值.19、（Ⅰ），（Ⅱ）或【解析】試題分析：解：（Ⅰ）建立，.（Ⅱ），結(jié)合圖象可知或．試題解析：解：（Ⅰ）①②解得，.（Ⅱ），，因?yàn)闀r(shí)，，由方程恰有唯一實(shí)根，結(jié)合圖象可知或．20、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）計(jì)算出、的坐標(biāo)，可計(jì)算出的坐標(biāo)，再利用平面向量模長的坐標(biāo)表示可計(jì)算出向量的模；（2）由可計(jì)算出的值；（3）由投影的定義得出向量在上的投影為可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】（1）、、，，，因此，；（2）由（1）知，，，所以；（3）由（2）知向量與的夾角的余弦為，且.所以向量在上的投影為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及平面向量夾角的坐標(biāo)表示、以及向量投影的計(jì)算，解題時(shí)要熟悉平面向量坐標(biāo)的運(yùn)算律以及平面向量數(shù)量積、模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）通過證明，進(jìn)而證明平面再證明平面平面；（2）取棱的