浙江省杭州市高級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

浙江省杭州市高級(jí)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某校進(jìn)行了一次消防安全知識(shí)競(jìng)賽，參賽學(xué)生的得分經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如圖的頻率分布直方圖，若得分在的有60人，則參賽學(xué)生的總?cè)藬?shù)為（）A．100 B．120 C．150 D．2002．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A． B． C． D．3．已知向量，，，則實(shí)數(shù)的值為()A． B． C．2 D．34．直線的傾斜角不可能為（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列中，若，則取最小值時(shí)的（）A．9 B．8 C．7 D．66．已知函數(shù),則在上的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．7．設(shè)點(diǎn)M是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M的橫坐標(biāo)為，若在圓上存在點(diǎn)N，使得，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．如圖，在正方體，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷正確的是（）①平面平面②平面③異面直線與所成角的取值范圍是④三棱錐的體積不變A．①② B．①②④ C．③④ D．①④9．已知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．10．若，則下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．給出下列四個(gè)命題：①正切函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；②若函數(shù)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有；③函數(shù)的最小正周期是；④與的圖象相同.以上四個(gè)命題中正確的有_________（填寫所有正確命題的序號(hào)）12．已知、的取值如表所示：01342.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且，則______．13．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則______.14．由正整數(shù)組成的數(shù)列，分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列，，記，若存在正整數(shù)（）滿足，，則__________．15．已知銳角、滿足，，則的值為_(kāi)_____.16．若直線：與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足．證明數(shù)列為等差數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18．設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的值域.19．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，（1）求的度數(shù)；（2）求的長(zhǎng)度.20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，數(shù)列滿足，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．為了了解高一學(xué)生的體能狀況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小長(zhǎng)方形的面積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組頻數(shù)為12.（1）求第二小組的頻率；（2）求樣本容量；（3）若次數(shù)在110以上為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為多少？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖求出得分在的頻率，即可得解.【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得：得分在的頻率0.35，得分在的頻率0.3，得分在的頻率0.2，得分在的頻率0.1，所以得分在的頻率0.05，得分在的頻率為0.4，有60人，所以參賽學(xué)生的總?cè)藬?shù)為60÷0.4=150人.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)頻率分布直方圖求某組的頻率，根據(jù)頻率分布直方圖的特征計(jì)算小矩形的面積，根據(jù)總面積之和為1計(jì)算未知數(shù)，結(jié)合頻率頻數(shù)計(jì)算總?cè)藬?shù).2、A【解析】

利用等差數(shù)列的基本量解決問(wèn)題.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，因?yàn)?，，故有，解得，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用基本量法.3、A【解析】

將向量的坐標(biāo)代入中，利用坐標(biāo)相等，即可得答案.【詳解】∵，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量相等的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

根據(jù)直線方程，分類討論求得直線的斜率的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得當(dāng)時(shí)，直線方程為，此時(shí)傾斜角為；當(dāng)時(shí)，直線方程化為，則斜率為：，即，又由，解得或，又由且，所以傾斜角的范圍為，顯然A，B都符合，只有D不符合，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線方程的應(yīng)用，以及直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，著重考查了分類討論思想，以及推理與運(yùn)算能力.5、C【解析】

是等差數(shù)列，先根據(jù)已知求出首項(xiàng)和公差，再表示出，由的最小值確定n。【詳解】由題得，，解得，那么，當(dāng)n=7時(shí)，取到最小值-49.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題。6、C【解析】

先令,則可求得的單調(diào)區(qū)間,再根據(jù),對(duì)賦值進(jìn)而限定范圍即可【詳解】由題,令,則,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,則當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】

由題意畫出圖形，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得相切，設(shè)切點(diǎn)為P,數(shù)形結(jié)合找出M點(diǎn)滿足|MP|≤|OP|的范圍,從而得到答案．【詳解】由題意可知直線與圓相切，如圖，設(shè)直線x+y?2=0與圓相切于點(diǎn)P，要使在圓上存在點(diǎn)N,使得，使得最大值大于或等于時(shí)一定存在點(diǎn)N，使得，而當(dāng)MN與圓相切時(shí)，此時(shí)|MP|取得最大值，則有|MP|≤|OP|才能滿足題意，圖中只有在M1、M2之間才可滿足，∴的取值范圍是[0,2].故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，畫圖進(jìn)行分析可得，屬于中等題.8、B【解析】

①連接DB1，容易證明DB1⊥面ACD1，從而可以證明面面垂直；②連接A1B，A1C1容易證明平面BA1C1∥面ACD1，從而由線面平行的定義可得；③分析出A1P與AD1所成角的范圍，從而可以判斷真假；④=，C到面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變；【詳解】對(duì)于①，連接DB1，根據(jù)正方體的性質(zhì)，有DB1⊥面ACD1，DB1?平面PB1D，從而可以證明平面PB1D⊥平面ACD1，正確．②連接A1B，A1C1容易證明平面BA1C1∥面ACD1，從而由線面平行的定義可得A1P∥平面ACD1，正確．③當(dāng)P與線段BC1的兩端點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最小值，當(dāng)P與線段BC1的中點(diǎn)重合時(shí)，A1P與AD1所成角取最大值，故A1P與AD1所成角的范圍是，錯(cuò)誤；④=，C到面AD1P的距離不變，且三角形AD1P的面積不變．∴三棱錐A﹣D1PC的體積不變，正確；正確的命題為①②④．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，空間想象能力，中檔題．9、B【解析】

利用橢圓的性質(zhì)列出不等式求解即可．【詳解】方程1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，可得，解得1＜m．則m的取值范圍為：（1，）．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．10、D【解析】

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐一判斷可得答案．【詳解】解：A．當(dāng)時(shí)，不成立，故A不正確；B．取，，則結(jié)論不成立，故B不正確；C．當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，故C不正確；D．若，則，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②③④【解析】

①利用反例證明命題錯(cuò)誤；②先判斷為其中一條對(duì)稱軸；③通過(guò)恒等變換化成；④對(duì)兩個(gè)解析式進(jìn)行變形，得到定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均一樣.【詳解】對(duì)①，當(dāng)，顯然，但，所以，不符合增函數(shù)的定義，故①錯(cuò)；對(duì)②，當(dāng)時(shí)，，所以為的一條對(duì)稱軸，當(dāng)取，取時(shí)，顯然兩個(gè)數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即成立，故②對(duì)；對(duì)③，，，故③對(duì)；對(duì)④，因?yàn)?，，兩個(gè)函數(shù)的定義域都是，解析式均為，所以函數(shù)圖象相同，故④對(duì).綜上所述，故填：②③④.【點(diǎn)睛】本題對(duì)三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性等知識(shí)進(jìn)行綜合考查，求解過(guò)程中要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.12、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)表求解出，代入回歸直線，求得的值.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得：，又由回歸方程知回歸方程的斜率為截距本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用回歸直線求實(shí)際數(shù)據(jù)，關(guān)鍵在于明確回歸直線恒過(guò)，從而可構(gòu)造出關(guān)于的方程.13、【解析】

首先求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，計(jì)算圓心到直線的距離，再計(jì)算弦長(zhǎng)即可.【詳解】圓，，圓心，半徑.圓心到直線的距離..故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，熟練掌握弦長(zhǎng)公式為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.14、262【解析】

根據(jù)條件列出不等式進(jìn)行分析，確定公比、、的范圍后再綜合判斷.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，等差數(shù)列公差為，因?yàn)?，，所以；又因?yàn)?，分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列，所以且；又時(shí)顯然不成立，所以，則，即；因?yàn)?，，所以；因?yàn)?，所以；由可知：，則，；又，所以，則有根據(jù)可解得符合條件的解有：或；當(dāng)時(shí)，，解得不符，當(dāng)時(shí)，解得，符合條件；則.【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列以及數(shù)列中項(xiàng)的存在性問(wèn)題，難度較難.根據(jù)存在性將變量的范圍盡量縮小，通過(guò)不等式確定參變的取值范圍，然后再去確定符合的解，一定要注意帶回到原題中驗(yàn)證，看是否滿足.15、【解析】

計(jì)算出角的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計(jì)算出的值和的值，然后利用兩角差的余弦公式可計(jì)算出的值.【詳解】由題意可知，，，，則，.因此，.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，同時(shí)也考查了同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求值，解題時(shí)要明確所求角與已知角之間的關(guān)系，合理利用公式是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16、【解析】若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，如圖所示：則兩直線的交點(diǎn)應(yīng)在線段上（不包含點(diǎn)）,當(dāng)交點(diǎn)為時(shí)，直線的傾斜角為，當(dāng)交點(diǎn)為時(shí)，斜率，直線的傾斜角為∴直線的傾斜角的取值范圍是．故答案為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）已知遞推關(guān)系取倒數(shù)，利用等差數(shù)列的定義，即可證明.（2）由（1）可知數(shù)列為等差數(shù)列，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】證明：，且有，，又，，即，且，是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．解：由知，即，所以．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的判斷方法，考查了運(yùn)用取倒數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】分析：（1）由二倍角公式將表達(dá)式化一得到，，令，得到單調(diào)區(qū)間；（2）時(shí)，，根據(jù)第一問(wèn)的表達(dá)式得到值域.詳解：（1）由令得：所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（2）當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)的值域是：.點(diǎn)睛：本題求最值利用三角函數(shù)輔助角公式將函數(shù)化為的形式，利用三角函數(shù)的圖像特點(diǎn)得到函數(shù)的值域.19、（1）（2）【解析】

（1）中直接由余弦定理可得，然后得到的度數(shù)；（2）由（1）知，在中，由正弦定理可直接得到的值．【詳解】解：（1）在中，，，由余弦定理，有，在中，；（2）由（1）知，在中，由正弦定理，有，．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）證明見(jiàn)解析，；（3）或.【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式以及數(shù)列的和與通項(xiàng)的關(guān)系可得，再由等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）對(duì)等式兩邊除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（3）求得，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，可得，化簡(jiǎn),即，對(duì)任意的成立，運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性可得最大值，解不等式可得所求范圍．【詳解】(1)，可得，即；時(shí),,又，相減可得,即，則；(2)證明：，可得，可得是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，可得,即；(3)，前n項(xiàng)和為，，相減可得，可得，,即為，即,對(duì)任意的成立，由，可得為遞減數(shù)列，即n=1時(shí)取得