2025屆甘肅省隴南市徽縣第二中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2025屆甘肅省隴南市徽縣第二中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．2．已知，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．3．已知函數(shù)的部分圖象如圖，則的值為()A． B． C． D．4．直線的傾斜角為A． B． C． D．5．法國(guó)學(xué)者貝特朗發(fā)現(xiàn)，在研究事件A“在半徑為1的圓內(nèi)隨機(jī)地取一條弦，其長(zhǎng)度超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)3”的概率的過(guò)程中，基于對(duì)“隨機(jī)地取一條弦”的含義的的不同理解，事件A的概率PA存在不同的容案該問(wèn)題被稱(chēng)為貝特朗悖論現(xiàn)給出種解釋?zhuān)喝艄潭ㄏ业囊粋€(gè)端點(diǎn),另個(gè)端點(diǎn)在圓周上隨機(jī)選取，則PA．12 B．13 C．16．在等差數(shù)列中，若前項(xiàng)的和，，則()A． B． C． D．7．已知，，那么等于（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，則的面積的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函數(shù)(,)的部分圖像如圖所示，則的值分別是()A． B．C． D．10．已知兩點(diǎn)，若點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值為（）A．13 B．3 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足2a+b=1，則1a12．已知等比數(shù)列的公比為，它的前項(xiàng)積為，且滿(mǎn)足，，，給出以下四個(gè)命題：①；②；③為的最大值；④使成立的最大的正整數(shù)為4031；則其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______13．某校女子籃球隊(duì)7名運(yùn)動(dòng)員身高(單位：cm)分布的莖葉圖如圖，已知記錄的平均身高為175cm，但記錄中有一名運(yùn)動(dòng)員身高的末位數(shù)字不清晰，如果把其末位數(shù)字記為x，那么x的值為_(kāi)_______.14．直線的傾斜角為_(kāi)_____．15．若，且，則是第_______象限角.16．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)的圖象.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，，求值.18．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿(mǎn)足.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.19．某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖1，產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2，（注：利潤(rùn)與投資單位：萬(wàn)元）（1）分別將，兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出它們的函數(shù)關(guān)系式；（2）該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，全部投入到，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，怎樣分配資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元（精確到1萬(wàn)元）.20．已知函數(shù)，其中常數(shù)；（1）令，判定函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；（2）令，將函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，對(duì)任意，求在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)的所有可能值；21．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，．求證：⑴平面；⑵．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

設(shè)與的夾角為，計(jì)算出、、的值，再利用公式結(jié)合角的取值范圍可求出的值.【詳解】設(shè)與的夾角為，則，，，另一方面，，，，因此，，，因此，，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積計(jì)算平面向量的夾角，解題的關(guān)鍵就是計(jì)算出、、的值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.2、B【解析】

根據(jù)為定值，那么乘以后值不變，由基本不等式可消去x，y后，對(duì)得到的不等式因式分解，即可解得m的值．【詳解】因?yàn)椋?，，所?因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，所以，整理得，解得，?【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，由為定值和已知不等式相乘來(lái)構(gòu)造基本不等式，最后含有根式的因式分解也是解題關(guān)鍵．3、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的部分圖象求出、、和的值，寫(xiě)出的解析式，再計(jì)算的值．【詳解】根據(jù)函數(shù)，，的部分圖象知，，，，解得；由五點(diǎn)法畫(huà)圖知，，解得；，．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式以及利用兩角和的正弦公式求三角函數(shù)的值．4、D【解析】

把直線方程的一般式方程化為斜截式方程，求出斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，求出傾斜角.【詳解】，設(shè)直線的傾斜角為，，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程之間的轉(zhuǎn)化、利用斜率求直線的傾斜角問(wèn)題.5、B【解析】

由幾何概型中的角度型得：P(A)=2π【詳解】設(shè)固定弦的一個(gè)端點(diǎn)為A，則另一個(gè)端點(diǎn)在圓周上BC劣弧上隨機(jī)選取即可滿(mǎn)足題意，則P（A）=2π故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的角度型，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】試題分析：.考點(diǎn)：等差數(shù)列的基本概念.7、B【解析】

首先求出題中，，之間的關(guān)系，然后利用正切的和角公式求解即可.【詳解】由題知，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了正切的和角公式，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

利用直線的方程過(guò)點(diǎn)分別與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，可得：，，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，且構(gòu)成，所以，直線斜率一定存在，設(shè)，，：，，則有：，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)，等號(hào)成立，的面積為：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線的截距式方程、基本不等式求最值，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

通過(guò)函數(shù)圖像可計(jì)算出三角函數(shù)的周期，從而求得w，再代入一個(gè)最低點(diǎn)即可得到答案.【詳解】,，又，，，又，，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像，通過(guò)周期求得w是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.10、C【解析】

先求出直線方程，然后計(jì)算出圓心到直線的距離，根據(jù)面積的最大時(shí)，以及高最大的條件，可得結(jié)果.【詳解】由，利用直線的截距式所以直線方程為：即由圓，即所以圓心為，半徑為則圓心到直線的距離為要使面積的最大，則圓上的點(diǎn)到最大距離為所以面積的最大值為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查圓與直線的幾何關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解析】

利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【詳解】解：∵正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足2a+b=1，∴1a+12b=（2a+b∴1a+故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查了“乘1法”和基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、②③【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，得出，進(jìn)而判斷②③④，即可得到答案.【詳解】①中，由等比數(shù)列的公比為，且滿(mǎn)足，，，可得，所以，且所以是錯(cuò)誤的；②中，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以是正確的；③中，由，且，，所以前項(xiàng)之積的最大值為，所以是正確的；④中，，所以正確.綜上可得，正確命題的序號(hào)為②③.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.13、2【解析】

根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)和平均數(shù)的計(jì)算公式，列出方程，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可得，即，解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了莖葉圖的認(rèn)識(shí)和平均數(shù)的公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)莖葉圖，準(zhǔn)確的讀取數(shù)據(jù)，再根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)的計(jì)算公式，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的傾斜角.【詳解】由于直線的斜率為，故傾斜角為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查由直線一般式方程求斜率，考查斜率和傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.15、三【解析】

利用二倍角公式計(jì)算出的值，結(jié)合判斷出角所在的象限.【詳解】由二倍角公式得，又，因此，是第三象限角，故答案為三.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)值的符號(hào)與角的象限之間的關(guān)系，考查了二倍角公式，對(duì)于角的象限與三角函數(shù)值符號(hào)之間的關(guān)系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的規(guī)律來(lái)判斷，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.16、【解析】

利用空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)互為相反數(shù)，所以點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特點(diǎn)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）由的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)，令，解不等式即可求得本題答案；（2）由，可得，又由，即可得到本題答案.【詳解】解：（1）由題意，得令，解得所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：（2），，又，得，由，得，.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的伸縮平移，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及利用和差公式求值.18、(1)(2)【解析】

分析：（1）由，利用正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式可得；從而可得結(jié)果；（2）由余弦定理可得可得，所以.詳解：(1)∵∴∴（2）∵∴∴點(diǎn)睛：解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．19、（1）為，為；（2）產(chǎn)品投入3.75萬(wàn)元，產(chǎn)品投入6.25萬(wàn)元，最大利潤(rùn)為4萬(wàn)元【解析】

（1）根據(jù)題意給出的函數(shù)模型，設(shè)；代入圖中數(shù)據(jù)求得既得，注意自變量；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬(wàn)元，則產(chǎn)品投入萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為萬(wàn)元.，列出利潤(rùn)函數(shù)為，用換元法，設(shè)，變化為二次函數(shù)可求得利潤(rùn)的最大值．【詳解】解：（1）設(shè)投資為萬(wàn)元，產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元，產(chǎn)品的利潤(rùn)為萬(wàn)元由題設(shè)知；由圖1知，由圖2知，則，.（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬(wàn)元，則產(chǎn)品投入萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為萬(wàn)元.，，令，則則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)所以當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬(wàn)元，產(chǎn)品投入6.25萬(wàn)元，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)為4萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，在已知函數(shù)模型時(shí)直接設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，代入已知條件可得函數(shù)解析式．20、（1）非奇非偶，理由見(jiàn)解析；（2）21或20個(gè).【解析】

（1）先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用和可判斷為非奇非偶函數(shù).（2）求出的解析式后結(jié)合函數(shù)的圖像、周期及給定區(qū)間的特點(diǎn)可判斷在給定的范圍上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1），則，故不是奇函數(shù)，又，，故不是偶函數(shù).綜上，為非奇非偶函數(shù).（2），的圖象如圖所示：令，則，則或，，也就是或者，，所以在形如的區(qū)間上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn).把區(qū)間分成10個(gè)小區(qū)間，它們分別為：，及，根據(jù)函數(shù)的圖像可知：前9個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度恰為一個(gè)周期且左閉右開(kāi)，故每個(gè)區(qū)間恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，最后一個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度恰為一個(gè)周期且為閉區(qū)間，故該區(qū)間上可能有兩個(gè)不同的零點(diǎn)或3個(gè)不同的零點(diǎn).故在區(qū)間上可有21個(gè)或者20個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查正弦