數(shù)學建模知識競賽中級試題及答案

數(shù)學建模中級試題

1

下面不定方程有多少組整數(shù)解?（注意:a，b）

2015“-2015+b=b-a

2

己知辱不超過2014的正級,那么有多少個b使得2014b能被（2014+b崛？

3

某大公司有這么定：只要有f員工過生日,當天所有員工全部放假但演余時候

,所有員工都沒有假期,必須正常上班。這個公司需要雇用多少員工，才能讓公司一年內所有員工的

總工作時間期望值最大?

假設f有365天，每個員工的生日都概率均等地分布在這365天電

4

T0內接;也形，各邊長度依次為2,2,2,2,3,3,3,3,求這個/U5形的面積。

子里有若干個顏色各異的小球.實驗員有放回地抽取13次，每次抽取1神

如果我們朗望：抽取到的13個球的顏色總數(shù)為6種。那么，原來袋子里應該有幾個小球？

中^子被任M割成兩段，較長一段至少是睡一段的X倍的概率是?

7

在下面等式中，相同漢字表示相同數(shù)字,不同漢字表小不同數(shù)字。

季鎰窗喈x7=利智李斷諼xll

那么，李+連+杰+爰+利+智=?

i

袋鼠想要從AM到B,限定只能向右朗威向下跳，每次一格，共有多少種路線？

A__________________

IIIII

||

?????

B

用黔正髏1到100這100個數(shù)順次連接成的正髏：1234......99100。問：如果從這個數(shù)中劃去1

00個數(shù)字,蚓下的數(shù)盡可能地大，月弦剩下的數(shù)的前十位數(shù)字之和是多少?

10

初發(fā)時刻

一列火車在上午某個整分鐘時刻發(fā)車，行駛8公里后,司機看手表發(fā)現(xiàn)此時時針恰好與分針重合。火車

在這8公里平均每小時行33公里，則下列四個時刻哪個是列車的發(fā)車時刻?

11

5=1/(1/1980+1/1981+1/1982+......+1/2000)

求S髏部分。

12

有一防形的面積為61諼gab7cd,并已知長為整數(shù)，寬為143,且其中的a>4,試問,這個長方形的

面積大小至多有多少種可能？

13

三個不同的質數(shù)的積是它們的和的41倍,另陷這三個殿的fR除以7的余數(shù)是多少?

14

—1^14小球從距離地面179英尺高的比薩斜塔上落下來。如果每次期起來的高度等于前一次的10

分之一，試問：它靜止之前，總共彈跳了多少￡疆？

15

如下圖，是T3行4列的正方形點陣，其中每個“煙圈表示f點，橫行或豎列中任意相鄰兩點的距

離都是L那么誠12個點中的彳璜3個為頂點，一共四作出多腰直角三角形?

16

已知48,(2。石下是不同的^負級，

(A+B)*(C+D)*(E+F)=233333,

那么：

A+B+C+D+E+F=?

17

有位數(shù)m,f三位數(shù)n,n是m的1.5倍。把m放在n的左邊得到f五位數(shù)mn。把m放在n的

右邊得空卜一五位數(shù)nm.已知mn比nm的7倍還少3774,那么的個E傲字是多少？

18

有1皓學生參力0-次數(shù)學競賽，考題全是選擇題，每個蟒題有4個選項，考生從每個題中郵f選

項作為答案?？己蟀l(fā)現(xiàn)任1可兩名考生的答案至多有T題相同，問這次競賽最多有多少道考題?

19

從左至右依次有五個位置，依次編號為1號，2號，3號，4號，5號。趙，錢，孫，李，周五人要站在

這五個位置上,要求趙不站1號位，錢不站2號位，孫不站3號位，李不站4號位,周不站5號位問：

一頰多陰蚯去？

20

10050()25201614121110

21

已知a是—,并且(a+6)陲除(2人3+2015),另^f有滿題意的IE^a的和?

22

設數(shù)P=66667777+77776666，問：數(shù)P除以13的余數(shù)是多少？

23

自緘的平方吠小排…問:第?

24

有T(列是:(1),(3,4),(7,11,18),(29,47,76,123)，……

這個數(shù)列的特點是從第三項開始，每項i腭于它前面兩項之和，同時把這個數(shù)列按上述方式分組,即

第n個括號內有n個數(shù)。那么第48個括號內所有數(shù)之和除以6所得余數(shù)是多少？

25

從1、3、5、7..........97、99中最多可以選出（）個數(shù)，使它們當中的每都不是另一假的倍

數(shù)？

26

—S想中的西瓜是無限可切的，切一刀最多可得兩塊，切二刀最多可得四塊,切三刀最多可得八塊

,請問：切100刀最多能得多少塊？

27

在8張獎券中有一、二三等獎各T長,其余5張裱。將這8張獎券分別播4個人，每人兩張，其不

同的獲獎情況有一種。

28

下面的除法算式中，除數(shù)都是四位數(shù)，請在"口"里填上合適的數(shù)字，鰭式成立

口口口口-1+2015=1+口口口口

問:一共有多少種不同的填法？

29

把f兩位質數(shù)寫在數(shù)的右邊得到一個三位數(shù)，這個三婕能被這兩個質數(shù)的和的一半整

除，月陷這樣的三位數(shù)共有多少個?（PS:這兩個質數(shù)的和的一半也是整數(shù)）

30

有有3個錢幣，其中f兩面都是金色，其中f兩面都是銀色，其中f-面金色一面銀

色。問題：如果我只從袋中隨機抽出T錢市且我看到的一面是金色，那么這錢幣背面是銀色的酸

為多少？

31

超市將99個蘋果裝進兩種屋盒,大包裝盒每個裝12個蘋果，小腺盒每個裝5個蘋果，共用了十多

個盒子愀脂統(tǒng)。問兩種包裝盒相差多少個？（）

32

等式成立，求N=?

22N=444

33

f,Sroan寫好一篇文章,分別叫jiege和"族改錯別字.

jiege發(fā)現(xiàn)了57&b錯別字，JT囁現(xiàn)了588個錯別字，而兩人發(fā)現(xiàn)的錯別字中有504個是一樣的。

據(jù)此，請估算Sroan的文章里有多少錯別字。（答案填寫數(shù)字即可）

34

如下圖，六點之間可能連嘮十五條線中，在不交叉的情況下，你最多可以畫出幾條線(兩點互相連

三角形ABC中，C是直角，已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,另陷三角形AMN(陰影部分)的面

積是多少？

36

三個學生共解出30B數(shù)學題，每人都解出了其中的12道，且每道題都有人解出。只有一人解出的題叫

做難題，只有兩個人解出的題叫做中等題,三人都解出的題叫做容易題.在這35首題中，難題、中等

題、容易題均有，且題數(shù)各不相等，則難題的題數(shù)是多少？

37

用f(n)表示自然n的各GZ數(shù)字之和,例妍(20)=2+0=2,f(2009)=2+0+0+9=ll,若對任意自然數(shù)n

,都有n+f(n)wx,滿足這個條件的最大兩位數(shù)x的值是多少？

38

在一個座談會中共有7位著名教學家出席，其中3位有胡子。這7位數(shù)學家將沿著子的

請問3位留胡子的數(shù)學家正好相鄰坐著的概率為多少？

39

你面前有f由鐵絲圍成的正方體，構成正方體每條郵每根鐵絲的阻值H殍于R。問：正方形一面上

對角哪兩幅段間99^鄴且為多少?

40

倫敦奧運會男籃I：怎共12支球隊，朝賽場有6個入口，他們可以蟒從任何—b入口進場，12支球

隊一共有多少種入場方式？

41

某沿海城市管轄7個縣，這7個縣的位置如右圖.現(xiàn)用紅、黑、綠、藍、紫五種顏色給右圖染色，要求

任意相鄰的兩個縣染不同顏色,共有多少種不同的染色方法？

42

我們用A(b)藏自然數(shù)b的的籌,例及口:A(2014)=4,A(13xl3)=A(169)=9.另陷在1~2015這201

5個自然數(shù)中，有多少個滿足A(bxb)=A(b)的？

43

11的2013勸,二位數(shù)?

44

f正多邊形，它的每f內角的度數(shù)都是髏,另及這個正多邊形的內角和最多是多少度？

45

老麗］蜀黍進行嬲天比賽。老A每次米，蜀委每次0組75米他注海秒鐘都只能跳一次.比賽途中

,從起頡始，每隔12又3/8米挖有f大坑。他倆同時起跳,當他們之中有f掉進坑里時,另f

跳了多少米？

46

17”的末位數(shù)字是幾？

47

有a,b,c,d四個自修,己知2a<3b,4b<5c,6c<7d,8d<1234。jB陷當一^^時，

數(shù)位上的所有數(shù)字之和是多少?

48

請你用2,3,4,5,6,7這六個數(shù)和減f既能被23瞬漢能被29瞬的六艘(每個數(shù)字都用且

只用一次)。

借問能算者，這樣的數(shù)有幾個？

49

設數(shù)M=lim….11111(若干個1),已知數(shù)M能被1989整除，那么M至少是多少談？

50

有T帶余數(shù)除法算式，如下：m+n=p..&

如果m+n+p=2178,則m=?

51

單選題：如圖是六根電阻絲的連接示意圖，每根電阻絲（線段）的電阻值問：A、D兩點間

的翎電阻是多少?

已知a是f正級,并且（a十6）能獻（a7+2015）,另陷所有滿足題意的正髏a的和是多少？

53

答案

1

解析2015+a—2015+b=b—a

2015b—2015a=ab(b—a)

2015(b—a)=ab(b—a)

因為axb,則有：

ab=2015

注意是求整數(shù)解,包括正整數(shù)解和負髏解。

2015=1x5x13x31,對應的(a,b)有以下16組解。

(1,2015),(-1,-2015),

(5,403),(-5,-403),

(13,155),(-13,-155),

(31,65),(-31,-65),

(65,31),(-65,-31),

(155,13),(-155,-13),

(403,5),(-403,-5),

(2015,1),(-2015,-1),

2

隹物(1)。2014bx2014+b)

=[2014x(2014+b)-2014x2014]:(2014+b)

=2014-2014x2014^(2014+b)

⑵。(2014+b)必是2014x2014的因數(shù)。

因為1)是^22014的,所lU2015w2014+b*028

現(xiàn)詼觸出2014x2014的因數(shù)中有哪幾個在2015??4028(含2015^4028)力司就了.

(3).2014x2014=2x2x19x19x53x53

可知2014x2014ft^3x3x3=274?,這27他刎下：

1和2014x2014

2和2x19x19x53

4和19x19x53*53

19和2x2x19x53x53

19x2和2x19x53x53

53和2x2/19x19x53

2x2x19和19/53x53

2x53和2x19*19x53

2x2x53和19*19*53

19x19和2x2x53x53

19x19x2和53/53x2

19x53和2x2x19x53

19x19x4和53x53

煙2x19x53共27個

(4).在這27個因數(shù)中只有53x53=2809和2x2x19x53=4028,符合上述要求。這時b分別

是

2809-2014=795和

4028-2014=2014,共2個,

3

你的第一感覺或許是,公司應該雇用100多人，或者200多人吧。答案或許會讓你大吃

:公司應該雇用365個人。注意，雇用365個人并不意味著全體員工全年的總工作時間

為0,因為365個人的生日都是隨機的，恰好每天都有f人過生日的概率極〃械小。下面

我們就來證明，這個問題的最優(yōu)解就是365人。

由于期望值滿足線性關系(即對于隨機變量X和Y有E(X)+E(Y)=E(X+Y)),因此我

們只需要讓每1總工作時間的期望值最大就可以了。假設公司里有n個人，那么在特

定的"女里,沒有人過生日的概率是(364/365)。。因此，這出的期望總工作時間就是n-

(364/365尸個工作日。為了考察函數(shù)n-(364/365)n的增減性,我們來看一下((n+1)-

(364/365)n+1)/(n-(364/365)n)0$K6,(364(n+1))/(365-n)。如比卻

小，解得n>364?？梢?，要到n=365以后，函數(shù)才是遞減的。

4

假設圓的半徑為R。整個71邊f(xié)l縹由4個三邊分別為3,R,R的三角形和4個三邊分別為2,

R,R的三角形組成。如果我們重新擺放這8個三角形，讓這兩種三角形交替出現(xiàn)的話，整個

圖形的面積是不會的。然而,新的/US形相當于是一個邊長為3+2V2的正方形去掉了4

個直角邊為y12的等腰直角三角形以后所得0g圖形。它的面積是(3+272)2-4=13+

12V2.

5

設袋子里有m個顏色各異的小球.

令Xi=l第i個小球在13次抽取中被抽到過),否則Xi=0(第i個小球沒^抽到)

于是令X=X1+X2+X3+......+Xm,便有數(shù)窖望EX=6.

由于P(Xi=0)=(l-l/m)八13,所哪為：P(Xi=l)=l-(l-l/m)A13

于是我們有6=EX=m(l-(l-l/m)八13)

代入m=6闞時,霹艇0.5UU：,而m=7時，霞在0.1以下。

所以m=7.

6

笛析假設AB是這條繩子，P為AB上一點，使得

AP：PB=1：x

設AP二s，.二PB二sx

所求截點在AP上的概率為s/(s+sx)=l/(1+x)

又?.截點位于與線段另TB同樣距離的線段上的可能性是一樣的

???所求事件的除為2/(x*l)

7

設四位數(shù)"李連杰爰"為a,兩位數(shù)"利智”為b,依題意得方程。

(100a+b)x7=(10000b+a)xll

700a+7b=110000b+lla

689a=10999北

a:b=109993:689

a:b=8461:53

因為a是四立數(shù),b是兩位數(shù)，蟠―解：

a=8461,b=53o

則:李+連+杰+爰+利+智

=8+4+6+1+5+3

二27。

8

群柝考慮一共跳七次，所以首先用7x6x5x4x3x2xl(A)

而后考慮三個豎格和四個橫格各為寮攵，所以用(4x3x2xl)x(3x2x1)(B)

(A)?(B)=35

9

劃去100個數(shù)從最高位開始并留下所有的9:

包括1-8,10—18,19中的L20~28,29中的2,…,50到561里共有

8+19+19+19+19+14=98個再劃去57,58中的兩個5,剩下的數(shù)的前十位是

9999978596.

所以前10位的和為80.

10

解析：解：

1.火行8公里所用的時間

8+33x60=(160/11)涉

2.火車出發(fā)時時針，分針的夾角

(160/11)X(6-0.5)=80JS

3.在好選項中只有10:40的時針與餅鄭魁是:30x2+30x(40/60)=80度

11

我們發(fā)現(xiàn)1/1980+1/2000-2/1990>0,BD1/1980+1/2000>2/1990;

同理1/1981+1/1999>2/1990……1/1989+1/19991>2/1990,

共10組，再力吐本身的f1/1990,

因此$<1/(21/1990)=94+16/21即94+6/21<s<94+16/21,

說明嬲部分是94。

12

因為143可分解為11*13兩個質因素的積，按其有關性質，則有如此兩個三位數(shù)7cd和6ab之

差可被143瞬。

L因此7cd-6ab型為143.由于颼百<22^為1,所購必賄：cd-ab=43.因為a>4,所

以a可為5至9中的各數(shù)。但是c已不能向百位借十,c必須大于a,且只能為9,在此情況下要

使c-a=4,a只能為5,c只能為9.

2.從上分析可以看出，個位d也不能向十位借十,所以d只能為：3、4、5、6、7、8、9,因

d-b=3,貝粉別對郵b為：0、1、2、3、4、5、6.

3.由上分析得出這一防形的面積可為：650793、651794、652795、653796、654797、

655798、656799共制結果。即面積大小至多有7種可能.

13

百?。涸Og三個質數(shù)分別是a,b,C,得

Labc=41(a十b十c),觀察得：等式左邊能被41整除,貝(J右邊必能被41整除。因為右邊是

三個不同的質數(shù)，所以必有f質數(shù)是41,不妨設a=41.

貝！labc=41(a十b十c),可簡化為：bc=41十b+c

2.bc=41+b+c

be—b—c=41

c(b-l)-(b—1)=42

(b—l)(c—1)=42

因為b,c均為質數(shù),貝!l(b—1),(c-1),都是42的因數(shù)。

42=1*42=2*21=3*14=6*7

⑴若b—1=1,貝!Ie—1=42,此時b=2,c=43，(或b=43,c=2,也可以).符合題意

(2)若b—1=2,則c-l=21,lttetb=3,c=22,與獻格。

⑶若b—1=3,則c—1=14,此時b=4,c=15,與題意不符.

(4)若b—1=6,贓一1=7.蝴b=7,c=8,與凝神。.

,匹個^^別是：2,41,43。貝?。?*41*43+7=503...5O

14

解仙：179+2*179/10+2*179/10八2+……+2*179/10An

=179+2*179*(l/10+l/10A2+l/10A3+……+l/10An)

=179+2*179*(l-l/10An)/9

因為n無限大

所以1-1/100=1

S=179+2*179/9

15

新析L斜邊長為V2的等腰直角三角形個數(shù)

在每個1*1的正方形中可以教出4個斜邊長為V2的等腰直角三角形，而原圖中有6個1*1的正方

形，因此斜邊長為V2的等腰直角三角形共有4*6=24個。

2.斜邊長為2V2的等腰直角三角形個數(shù)

在每個2*2的正方形中可以教出4個斜邊長為2V2的等腰直角三角形，而原圖中有2個2*2的正

方形，因崢邊長為2V2除腰直角三角形共有4*2=8個

3.斜邊長為2的等腰直角三角形個數(shù)

在每個2*1的長方形中可以數(shù)出2個斜邊長為2的等腰直角三角形，而原圖中有7個2*1的長方

形，因此斜邊長為2的等腰直角三角形共有2*7=14個

4。斜邊長為V1O0W腰直角三角形個數(shù)

這種等腰直角三角形的斜邊為V10,兩條直角邊分別為V5.每個3*1的長方形的對角線長為

V10,圖中共有2個3*1的長方形，共有4條對角線，每條對角僦對應看一^邊長為V10的

等腰直角三角形，因崢邊長為V10的等腰直角三角形共有4個。

綜^上述，本廨解為：24十8十14十4=5/

16

233333是一M璃的數(shù)由倆個質嫄乘而得，

233333的因數(shù)為L353,661,23333,

由題目可得：

(A+B)*(C+D)*(E+F)=233333=1*353*661

那么A+B+C+D+E+F=l+353+661=1015

17

依題意得mn=nmx7—3774,(注意:mn不是mxn,而是?一個五位數(shù))

1000m+n=（100n+m）x7—3774

1000m+n=700n+7m—3774

699n-993m=3774

再由n=1.5m得

699xl.5mT93m=3774

55.5m=3774

m=68

貝（Jn=68xL5=102。

2的解他,4,8,脆環(huán)，102+4=25...2,所以

18

科祈考生A每道題與3個考生相同，（16-1）/3=5,答案為5.

附表：P「i6為考生，ABCD為選項。

P1AAAAAP2ABBBBP3ACCCCP4ADDDD

PsBABCDP6BBADCP7BCDABP8BDCBA

P9CACDBPIOCBDCAPnCCABDP12CDBAC

P13DADBCP14DBCADP15DCBDAP16DDACB

19

三按同樣方法可知，當1號位分別是4和5時，都各有11種站法。

因此，總共有11x4=44種站法，

20

原數(shù)列10050(33)2520161412111咯項均劍100,可得10.5(0.33)0.250.2

0.160.140.120.110.1,觀察可得到新數(shù)列為分數(shù)列1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1

〃，1/8,1/9,1/10的小數(shù)后兩位，即原數(shù)列是分數(shù)列的輟部分，所以括號里應為33

21

解：去,把(a八3+2015)觸(a十6)可知,

aA3十2015=(a+6)(aA2—6a十36)十1799。

要使(a"+2015)能被(a+6)整除，必須1799能被(a+6)整除，因此(a+6)必是1799的因

數(shù)。

1799=7x257,1799的因螃有4個1,7,257,1799.

所以a十6可以分另帕7,257,1799.

則滿足題意的所有a之和為：(7十257十1799)—6x3=2045

22

解析:解:

1.

因為6666三10(modl3),所以6666A7777三10八7777(010仇3)

因為10A3三一l(modl3),ffilU(10A3)A2592H(—l)A2592(modl3),

gfllOA7776Hl(modl3),則10人7777三1x10三10(modl3).

即6666人7777三10(modl3)。

2.

因為7777三3(modl3),所以7777A6666三3A6666(modl3)

因為3A3三l(modl3),所以3八6666三1八6666三l(modl3)

即7777八6666三l(modl3).

3.

由以上得6666人7777十7777八6666三10十1三ll(modl3),因喊P除以13的鈉為11,應

23

三析：1-3的平方是f數(shù)，占去3個;

4-9的平方是二位數(shù)，占去12個位置;

10-31的平方一颼,占卻；

32—99的平方是四位數(shù)，占去272個位置;

將1到99的平那卜成一彳亍，共占去3+12+66+272=353WS,從612減去353,3W259

^#259=51x5+4。從10癖口50,共51例,它們的平座§5位數(shù),要占去25%立

置中的255個.151x151=22801,從左到右的第4個位置上是0,這就是本題的答案，即第

612個位置上的數(shù)是0。

24

解析：解：

1.因為這個數(shù)列的特點是從第三項開始,每項聘于它前面兩項之和。所以計算每個數(shù)除以

6所得余數(shù)時，可以把前兩個余數(shù)相力吃和除以6,所得余數(shù)就是下一^除以6所得余數(shù)。據(jù)

此很易得到各數(shù)除以6的鈉:

(1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3,2,5,1,0,1,1,2,3,5,2),1,3,4

括號內為循環(huán)節(jié)，每24個數(shù)循環(huán)一次。

2.前47個括號共有1十2十3十4十…十47=24x47=1128個數(shù),1128是24的倍數(shù)，貝噬48個

括號里各數(shù)除以6的余數(shù)同!ft?是2個循環(huán)節(jié)。

(1十3十4+1十5+0+5十5十4十3十1十4十5十3十2十5十1十葉1十1十2十3十5十

2)x2=132,132觥6^90,故問為0

25

中雕"趣、趣=緘”幅理，在1,3,5,7.........97,99中，如

的蹴,那^艘,這個商^B1,如耨1,

牌數(shù)是它自己的一倍,這并不硝D討論的范圍之內，因此這個商最小是3.

由于3x33=99,3x35=105超過99,因此從35開始，以后每(直到99)都不可能

是微,從1至99MW100+2=50,而1至33共，因此，從

1,3,5,7……,97,99中，最多可以選出50-17=33個數(shù)，使它們當中的每T數(shù),都不

0｛微。

26

設二維中切第n刀破壞Q(n)個平面塊，三維中切第n刀破壞P(n)個立體塊，我發(fā)

現(xiàn)：P(n)=P(n-l)+Q(n-l),設n刀切出V(n)塊西瓜,有V(n)=(V(n-l)-

P(n))+2P(n)=P(n)+V(n-l)所以開始的幾刀切出的西瓜塊是：4刀15塊、5刀26塊、6刀42

塊......nl2345678Q(n)12345678P(n)124711162229V(n)2481526426493

正確答案的通項公式：V(n)=l/6(n八3+5n+6)將100代人上面的式子就可的正確答

案：166751

27

假設一人得獎，與3張獎券不符,至少有兩人彳醒,所以除

假設兩人得獎，百法^券的分發(fā)為3種(1.2)(1.3)(2.3),得獎的人分為4*3*2/2=12

種，所以有3*12=36種

假設三人得獎，那么獎券的分發(fā)只有1種，得獎的人分為4*3*2=24種，所以有24種

假設四人得獎,與只有三張獎券不符,所期滁

綜合可得，得獎的情況共有6例

28

在上面27個因數(shù)中，只有4225,4805,5229,10075位于3015與12014之間，也即只

有4種塌去,因此應選D。

相郵Ja,b取酶下：

當2015+b=4225時，

b=2210,a=1054.

當2015+b=4805時,/

b=2790,a=1170。

當2015+b=5239時，

b=3224,a=1240.

當2015+b=10075時,

b=8060,a=1612。

29

設這個■位質數(shù)是a,兩位質數(shù)為b,則依題意得

（（）

lo100a+b）4-0.5a+0.5b

=（200a+2b）4-（a+b）

=198a4-（a+b）+2

因為這個三位數(shù)的皮這兩個質數(shù)的和的一半整馀，故這兩個質數(shù)之和必為偶數(shù)。

2。因為2+ll=13<a+b，7+97=104,而a與（a+b）蹣，故（a+b）必是198的因數(shù)

198的因數(shù)中，既?^在13至104之間的有:18,22和66,所以（a+b）的fiB18,22麻6

而18=5+13=7+11,22=3+19=5+17,66=5+61=7+59.

所以裕瞬的三位數(shù)有：513,711,319,517,561和759M6^

30

其實三個幣有六個面，面面被你抽出的瞳都一樣，都為1/6。

設A幣是兩面金色的幣，有兩個面分別是（金1,金2）;

設B市是兩面銀色的幣，有兩個面分別是（銀1,銀2）;

設C幣是T色一黑色，有兩個面分別是（金0,銀0）;

題目說，抽出的幣正面是金色的，則等機率情況有三個：

1）、上面是（金1）,則下面是（金2）;

2）、上面是（金2）,則下面是（金1）;

3）、上面是（金0）,則下面是（銀0）；

即說明：三個情況中其實只有f情況是銀色，所以是1/3

31

首先設大盒有x個，小盒有y個，貝以2x+5y=99,要使總和為99,利用尾數(shù)法，5y的艘必須為

5,貝1112x09位數(shù)必須為4,即x=2或7,而y=15或y=3.由于題干要求大小盒子總數(shù)大于10,因此

x=7,y=3舍去,從而取值只能為x=2,y=15,故y-x=13/4

32

咨M右式=4256=Q2）256=2512

因此2N=512,貝！IN=9。

33

提示：假設jiege,JT曖現(xiàn)錯別字的瞬為P,Q

密

Sroan文章里有N個錯別字，jiege,JT噴現(xiàn)錯別字的概率為P,Q同時發(fā)現(xiàn)哪臻為PQ,

貝爐*N=576,Q*N=588,PQN=504,

我正何以得到P=6/7,Q=7/8,N=672

34

35

可以連接NB,由燕尾定理及條件可知CAN:'ANB'=2:1,不妨設AMN為1份，貝UANB為2

份，CAN就是4份，"CNB"也是4份，全圖就是10份，陰影就占全圖1/10。.國

36

將每人解出的題目看作f集合，畫出文氏圖。

上圖中圓內白色部分表示只有f人解出，對應難題；灰色部分表示只有兩個人解出，對應

中等題；黑色部分表示三個人都解出，對應容易題。

設三個灰色部分對應題數(shù)為x,黑色部分對應題數(shù)為y,將三個集合疊加，則三個灰色部分各

多算了1次，黑色部分多計算了2次,因此有12+12+12-x-2y=30,郵得x+2y=6。

由6和2y均是偶雌?（也是偶數(shù)。又X、消為正數(shù)，可知x只能取2或4。當x=2時，y=2,不

符合"難題、中等題、容易題題數(shù)各不相等"這個條件，W滁。當x=4^t,y=l,符合題干要

求。因此白色部分對應題數(shù)為30-4-1=25（道），即難題的題數(shù)是25道。

?收起|土查看大圖、向左轉??向右轉

■中

■

口??,

37

90+f(90)=99,85+f(85)=98,84+f(84)=96,83+f(83)=94...依次變小。.o而由于

86,87,88,89mWn+f(n)09B已大甘9,不睇位數(shù),所l^￡n+f(n)#xm±兩位數(shù)x

就是98和96之間的97了.

38

7個人一共有7!即504則非列方法。而這3位有胡子的教學家坐在氣的情況一共有5種。

對于這5種情況中的每一種，這3位數(shù)學家之間的排列方法為3x2x1=6種。而沒有胡子的

數(shù)學家之間的排列方法為4x3x2x1=24種。因此，這3位數(shù)學家坐在F一共有

5x6x24=720#方法。

其概率為1/7（720/5040）。

39

首先畫出球電路圖，可以看到，兩點間的電阻為

\(\frac{l}{\frac{l}{3R}+\frac{l}{3R}+\frac{l}{3R}+\frac{l}{3R}}=\frac{l}{\frac{4}{3R}}=

\frac{3R}{4}\cdot\)

40

:注意先后順序

第1支球隊有6種方式;第2支球隊可以選擇其他5個入口，也可以選擇在第1支球隊前面或后面

入場，因此有7種方式；

同理：第3初颯有8種歷t;第4初秋有9種防t；第豉啾有1用昉5C；第皎啾有

11種方式；第7支球隊有12種方式;

第8班隊有13種旅;第9^1^有14種版;第有15種成;第有16

種方式；第12支球隊有17種方式;

一有：6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17=2964061900800

41

麗：

為了便于觀察，在保持相鄰關系不獺情況下可以把左圖改畫成右圖。另陷,為了完成地

圖染色這件工作需要多少步呢？

由于有7個區(qū)域，我們不妨按A、B、C、D、E、F、G的順序，用紅、黑、綠、藍、

紫五種顏色依次分7步來完穌色任務.

第1步：林區(qū)域A,有5種顏色可供選擇;

第2步：再染區(qū)域B,由于B不能與A同色，所以區(qū)域B的染色方式有4種；

第3步：染區(qū)域C,由于C不能與B、A同色，所以區(qū)域C的染色方式有3種；

第4步：染區(qū)域D,由于D不能與C、A同色，所以區(qū)域D的染色方式有3種；

第5步:染區(qū)域E,由于E不能與D、A同色，所以區(qū)域E的染色方式有3種；

第6步:染區(qū)域F,由于環(huán)能與E、A同色，所以區(qū)域F的染色方式有3種；

第7步：染區(qū)域G,由于G不能與C、D同色，所以區(qū)域G的染色方式有3種.

根據(jù)分步計數(shù)的乘法原理，共有5X4X3X3X3X3X3=486(W不同的染色方法.

42

1.本題實質是考慮T自秘的平方的末位數(shù)字與這個自然數(shù)的末位數(shù)字相同的問題。個位

數(shù)字是0,1,5或6的自微的平方的末位數(shù)字與這個自然數(shù)的末｛逾字相同。

2.在1~10中有1,5,6,10?竹數(shù)符題意。

在11~20中有11,15,16,20共4個數(shù)符合題藏

在21~30中有21,25,26,30序例

即每1OW中有4個數(shù)符合題意,

2015^10=201......5,因螃1~2010中有4x201=804例融題意,畫下的5個

(2011~2015)數(shù)中演2011和2015這兩^題氤。

3.所以,可題的I聘804+2=80衿，螭D.

43

11的n(n為彳瑾)、加,其結熟溷癱二蹣存是n的棉數(shù)K1

44

注意到任意一個凸多邊形的外角和都是360度，而這個正多邊形的每個內角度數(shù)都是整數(shù)度，

貝佗的每個外角的度數(shù)也是輟度.要使這個正多邊形的內角和最大，必須使它的每T內

角盡量大,且內角數(shù)盡量多。而360=1*360,因此這個正多邊形的每個外角為1度，有36g

外角時，可滿足題意.正多邊形內角和為180*(360-2)=64440.

45

當老A掉進大坑時，磔過的路程最短是4.5米和12又3/8米的最小公｛微：99/2米當蜀黍

掉,蝴恒的路jg^SS2.75海12又3/8^9>JN微：99/4米。99/4<99

/2,所以蜀黍先掉進坑里。這時蜀黍共跳了(99/4)+2.75=9次.這時老A也跳了9次，進而

可以求出老微處］路程.4.5*9=40.5米,即蜀黍先掉坑里，這時老A?匕了40.5米。

46

1717=(174)4x17,

其中(174)4的末位數(shù)字是］,所以17。的末位數(shù)字是7。這就是所需的答案。

用類1峭方法可以討^他物的乘方的末位數(shù)字。例如,可以仿照上面的“潦雪球"

過程，得到4343的末位數(shù)字也是7,因而4343和1717的末位數(shù)字相同。

4343的值究竟是多少呢?利用電腦容易算出

4343=17343