拓展六圓錐曲線的定點(diǎn)定值定直線問(wèn)題-

拓展六：圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題圓錐曲線中過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)有兩種解法：（1）求出圓錐曲線或直線的方程解析式，研究解析式，求出定點(diǎn)（2）從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，在證明該點(diǎn)符合題意（運(yùn)用斜率相等或者三點(diǎn)共線）。解題步驟：第一步把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零；第二步參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組；第三步方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)，或者可以通過(guò)特例探求；第四步用一般化方法證明.1、直線方程過(guò)定點(diǎn)技巧方法：(1)動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝f（k），或直接求出m的值，故而得出動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)．上述動(dòng)直線也可設(shè)為：x＝ty＋m.(斜率不為0).(2)直接推理、計(jì)算，找出參數(shù)之間的關(guān)系，并在計(jì)算過(guò)程中消去部分參數(shù)，將直線方程化為點(diǎn)斜式方程，從而得到定點(diǎn).(3)若直線方程含多個(gè)參數(shù)并給出或能求出參數(shù)滿(mǎn)足的方程，觀察直線方程特征與參數(shù)方程滿(mǎn)足的方程的特征，即可找出直線所過(guò)頂點(diǎn)坐標(biāo)，并帶入直線方程進(jìn)行檢驗(yàn).注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.注：(1)對(duì)于橢圓()上異于右頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),,以為直徑的圓經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn),則直線過(guò)定點(diǎn).同理,當(dāng)以為直徑的圓過(guò)左頂點(diǎn)時(shí),直線過(guò)定點(diǎn).(2)對(duì)于雙曲線上異于右頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),,以為直徑的圓經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn),則直線過(guò)定點(diǎn).同理,對(duì)于左頂點(diǎn),則定點(diǎn)為.(3)對(duì)于拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),,若,則弦所在直線過(guò)點(diǎn).同理,拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),,若,則直線過(guò)定點(diǎn).2、直線方程過(guò)已知定點(diǎn)技巧方法：此類(lèi)問(wèn)題解決較未知定點(diǎn)更為簡(jiǎn)單，可采用的手法更多。常見(jiàn)題型：（1）已知定點(diǎn)在x、y軸；（2）定點(diǎn)完全已知。3、曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題技巧方法：動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)2圓錐曲線的定值問(wèn)題求定值問(wèn)題常見(jiàn)的解題模板有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．注：在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中,曲線上的一定點(diǎn)(非頂點(diǎn))與曲線上的兩動(dòng)點(diǎn),滿(mǎn)足直線與的斜率互為相反數(shù)(傾斜角互補(bǔ)),則直線的斜率為定值.1、在橢圓中：已知橢圓,定點(diǎn)()在橢圓上,設(shè),是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線，的斜率分別為,,且滿(mǎn)足.則直線的斜率2、在雙曲線:中，定點(diǎn)()在雙曲線上,設(shè),是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線,的斜率分別為，,且滿(mǎn)足.則直線的斜率3、在拋物線：，定點(diǎn)()在拋物線上,設(shè),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線,的斜率分別為,,且滿(mǎn)足.則直線的斜率.類(lèi)型一圓錐曲線的定點(diǎn)問(wèn)題直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題1．（2022·河南安陽(yáng)·高二期末（理））已知橢圓的離心率為，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，若不過(guò)點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）解：的周長(zhǎng)為，由已知可得，解得，因此，橢圓的方程為.（2）解：由可得.若直線的斜率不存在，設(shè)點(diǎn)、，則，其中，則，，所以，，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，即，，因?yàn)?，，由，得，即，則，整理得，解得.所以，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)．2．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.(1)求橢圓的方程：(2)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于（其中為原點(diǎn)），證明直線過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）依題意，，又橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，由得，，直線OP的斜率，直線的斜率，令得點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，即，直線恒過(guò)定點(diǎn).3．（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）已知橢圓C：（）右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，M是直線上一點(diǎn)，且直線軸.(1)求橢圓C的方程：(2)記直線與橢圓另一交點(diǎn)為Q，直線是否過(guò)x軸上一定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)：若否，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）解：因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，且，所以，即，又，，解得，所以橢圓方程為；（2），易知直線PQ斜率為0時(shí)，QM為x軸，則若QM過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)位于x軸上，當(dāng)直線PQ斜率不為0時(shí)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，得，設(shè)，則，，所以直線QM的方程為，令，得，因?yàn)?，所以，故直線QM過(guò)定點(diǎn)N.4．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學(xué)松山分校高二期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左，右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，，．(1)求橢圓的方程；(2)不過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）由題意知，，，，∵，，∴，解得，從而，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，．直線不過(guò)點(diǎn)，因此．由，得，時(shí)，，，∴，由，可得，即，故的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)．圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題5．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓C的方程．(2)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C的右頂點(diǎn)．直線AM與直線BM分別與y軸交于點(diǎn)P，Q，試問(wèn)以線段PQ為直徑的圓是否過(guò)x軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)．若不是，說(shuō)明理由．【解析】（1）解：由題意得，解得，．∴橢圓C的方程是．（2）解：以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)．直線代入橢圓可得．設(shè),，,，則有，．又因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)．由題意可知直線的方程為，故點(diǎn)．直線的方程為，故點(diǎn)．若以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)，，則等價(jià)于恒成立．又因?yàn)?，,，所以恒成立．又因?yàn)?，，所以，解得．故以線段為直徑的圓過(guò)軸上的定點(diǎn)，．6．（2022·江蘇南通·高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)的右焦點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求和的值；(2)若直線分別交橢圓的右準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，證明：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【解析】（1）由已知，，，直線的斜率不存在時(shí)，方程為，不妨設(shè)，，，同理，，，，直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)，由，得，，，，，，，因?yàn)椋?，所以，綜上，，；（2）由已知，，，右準(zhǔn)線方程為，由（1）知直線方程為，令得，同理，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，以為直徑的圓有一個(gè)圓心軸上方的圓，則必定也有一個(gè)與之關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圓，這兩個(gè)圓的交點(diǎn)在軸上，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)必在軸上，設(shè)定點(diǎn)為，則，由（1）得，或，所以以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，．7．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，點(diǎn)，C分別是橢圓M的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l（不與x軸重合）交M于A，B兩點(diǎn)．(1)求M的離心率及短軸長(zhǎng)；(2)是否存在直線l，使得點(diǎn)B在以線段AC為直徑的圓上？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）由橢圓方程，得，．∴橢圓M的短軸長(zhǎng)為．∵，∴，即M的離心率為；（2）解法1：由題意知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)B，則．∵，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，∴，∴點(diǎn)B不在以AC為直徑的圓上，即不存在直線l，使得點(diǎn)B在以AC為直徑的圓上．解法2：設(shè)直線l的方程為，．由，可得．∴，．∴，∵，∴．∴．∴點(diǎn)B不在以AC為直徑的圓上，即不存在直線l，使得點(diǎn)B在以AC為直徑的圓上．橢圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題8．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知直線l：y＝x﹣1與橢圓C：1（a＞1，b＞0）相交于P，Q兩點(diǎn)M，．(1)證明橢圓過(guò)定點(diǎn)T（x0，y0），并求出的值；(2)求弦長(zhǎng)|PQ|的取值范圍．【解析】(1)設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，整理得．當(dāng)時(shí)，，，∵，∴∴，得．∴，即橢圓過(guò)定點(diǎn)，，；(2)．①由2a2+b2＝a2b2，得0，∴，代入①，得，∵a2＞1，，，，∴|PQ|的取值范圍是．確定定點(diǎn)使某個(gè)式子為定值9．（2022·江西南昌·高二階段練習(xí)（理））如圖，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓的左頂點(diǎn)為A，過(guò)原點(diǎn)的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，與軸分別交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，.(1)求橢圓的方程.(2)試問(wèn)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意可知，則橢圓方程即，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，故設(shè)，，解得，將代入得，即，故，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，則，則，由橢圓方程可得，∴直線方程為︰，令可得，直線方程為：，令得，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得，則定點(diǎn)必在以為直徑的圓上，以為直徑的圓為,即，∵，即∴，令，則，解得，∴以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，即存在定點(diǎn)，使得．10．（2022·河南安陽(yáng)·高二階段練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，橢圓短軸的端點(diǎn)是，，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)M且斜率不為0的直線交橢圓C于兩點(diǎn)．試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)P，使PM平分？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，故，橢圓短軸的端點(diǎn)是，，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，所以橢圓C的方程是；（2）設(shè)，直線的方程為，將直線的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去x得，因?yàn)镸點(diǎn)在橢圓內(nèi)，則必有，所以，，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)P，使平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，設(shè)，則有，將代入上式，整理得，所以，將，代入上式，整理得，由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)m都成立，所以，綜上，存在定點(diǎn)，使平分．11．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M．(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m，n表示）．(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線PB交x軸于點(diǎn)N．問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意知，代入點(diǎn)，得，∴．由離心率為，知，則．由，得．∴橢圓C的方程是．由點(diǎn)和的坐標(biāo)，得出直線PA的方程為．令，得，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（2）點(diǎn)在橢圓上，有．點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線PB的方程為．令，得，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，則，．∵，∴，即．∴．∴，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，∴在y軸上存在點(diǎn)，使得．12．（2022·四川·成都七中高二階段練習(xí)（理））已知橢圓C：，長(zhǎng)軸是短軸的3倍，點(diǎn)在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)，使得直線TM，TN斜率之積為定值？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）解：由題意得a＝3b，故橢圓C為，又點(diǎn)在C上，所以，得，，故橢圓C的方程即為；（2）解：由已知知直線l過(guò)，設(shè)l的方程為x＝my＋1，聯(lián)立兩個(gè)方程得，消去x得：，得，設(shè)，，則（*），，將（*）代入上式，可得：，要使為定值，則有，又∵，∴t＝3，此時(shí)，∴存在點(diǎn)，使得直線TM與TN斜率之積為定值，此時(shí)t＝3.13．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知△ABC的頂點(diǎn)，，滿(mǎn)足：．(1)記點(diǎn)C的軌跡為曲線，求的軌跡方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與相交于P，Q兩點(diǎn)，是否存在與M不同的定點(diǎn)N，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)，則，整理得，故的軌跡方程為；（2）設(shè)直線l為，當(dāng)時(shí)，可得點(diǎn)P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可得，要使恒成立，即成立，即點(diǎn)N在y軸上，可設(shè)為.當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則，要使恒成立，即成立，由角平分線定理則只需使得y軸為的平分線，即只需，即，即，解得，綜上可得，存在與M不同的定點(diǎn)，使得恒成立14．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)（文））已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(1)求該橢圓的方程；(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)M，過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1），，橢圓，將代入可得，故，橢圓方程為：；（2）當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程可得：，，，為常數(shù)，代入韋達(dá)定理可知，即為常數(shù)，，故且，直線l過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，可檢驗(yàn)也成立，故存在定點(diǎn).15．（2022·山西大附中高二階段練習(xí)）如圖，橢圓：（，，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，且，點(diǎn)是長(zhǎng)軸上的任一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的任一直線交橢圓于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，試求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由已知知，解得，所以橢圓方程為；（2）假設(shè)存在滿(mǎn)足題意，設(shè)，，，①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)：，代入并整理得∴，（*）（*）式是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，則解得，此時(shí)為定值；②當(dāng)直線與垂直時(shí)，，，，也成立，所以存在定點(diǎn)，使得為定值．類(lèi)型二圓錐曲線的定值問(wèn)題圓錐曲線面積為定值問(wèn)題16．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，點(diǎn)，是橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，若，，.(1)求證：；(2)試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．【解析】（1）證明：∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.又＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，∴k1·k2＝.（2）①當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2時(shí)，由，得.又∵點(diǎn)P(x1，y1)在橢圓上，∴，∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.②當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b.聯(lián)立得方程組，消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，其中＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2∴x1＋x2＝，x1x2＝.∵＋y1y2＝0，∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(滿(mǎn)足>0).∴S△POQ.綜合①②知△POQ的面積S為定值1.17．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有三點(diǎn)，，滿(mǎn)足，證明：四邊形的面積為定值．【解析】（1）解：依題意，又，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）證明：設(shè)，，，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，且，所以，即，又，，所以，若直線的斜率不存在，與左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合，則，所以，所以，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原點(diǎn)到的距離，所以，將代入得，所以，綜上可得，四邊形的面積為定值.18．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，且焦距長(zhǎng)為2，過(guò)且斜率為的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)在軸上的射影恰好為.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，下頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作一條與軸不重合的直線，該直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別交軸于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).求證：與的面積之積為定值，并求出該定值.【解析】（1）由題意，，，故過(guò)且斜率為的直線的方程為，令，得，由題意可得，解得，．求橢圓的方程為；（2）證明：由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線，，，，，聯(lián)立，得．，，由，得，，，直線的方程為，令，解得，則，，同理可得，，19．（山西省臨汾市等聯(lián)考2023屆高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，，為的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且的最小值為.連接，并延長(zhǎng)分別交橢圓于，兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)證明：為定值.【解析】（1）由題意得，設(shè)，的長(zhǎng)分別為，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，從而，得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）得，，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由，得，則，，同理可得，所以.所以為定值.20．（2022·湖北·武漢市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，軸，且過(guò)兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線交橢圓于（不與點(diǎn)重合）兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長(zhǎng)為定值，并求出定值.【解析】（1）由已知設(shè)橢圓方程為：，代入，得，故橢圓方程為.（2）設(shè)直線，由得，，，又，故，由，得，故或，①當(dāng)時(shí)，直線，過(guò)定點(diǎn)，與已知不符，舍去；②當(dāng)時(shí)，直線，過(guò)定點(diǎn)，即直線過(guò)左焦點(diǎn)，此時(shí)，符合題意.所以的周長(zhǎng)為定值.圓錐曲線中斜率為定值問(wèn)題21．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上異于點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)慕瞧椒志€垂直于橢圓長(zhǎng)軸時(shí)，試問(wèn)直線的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）依題意得，解得，所以橢圓方程為.（2）依題意可知直線和直線的斜率存在且互為相反數(shù)，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，則，根據(jù)直線、直線的對(duì)稱(chēng)性可知.設(shè)，則，，則，故，以替換，得，所以，所以直線的斜率為定值.22．（2022·湖南·新邵縣教研室高二期末）設(shè)橢圓：的離心率為，焦距為2，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線與直線的斜率分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)隨著直線的變化，是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)榻咕?，所以，因?yàn)殡x心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線l斜率為0，即為x軸時(shí)，則，所以；當(dāng)直線l斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，，將直線l與橢圓聯(lián)立，消x整理得，所以，，所以，，所以.綜上所述：為定值0.23．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，．(1)求的方程；(2)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線（斜率不為0）與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線與直線交于點(diǎn)．試問(wèn)：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，點(diǎn)，而，則，即有，解得，又離心率，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線：，，由消去x并整理得：，解得點(diǎn)，則點(diǎn)，直線，則直線方程為：，點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，因此，，所以是定值.24．（2022·河南濮陽(yáng)·高二階段練習(xí)（理））已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，圓：，過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓和圓所截得的弦長(zhǎng)分別為和.(1)求的方程；(2)過(guò)圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，，記，的斜率分別為，，直線的斜率為，證明：為定值.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長(zhǎng)分別為，則；過(guò)且垂直于軸的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)分別為，則，又，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，則.①設(shè)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立得，則，整理得.②由題意知，為方程②的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系及①可得.又因?yàn)?，所以，所以為定值?5．（2022·湖南衡陽(yáng)·高二期末）已知A，B分別是橢圓E：的左、右頂點(diǎn)，P是直線上的一動(dòng)點(diǎn)(P的縱坐標(biāo)不為零且P不在橢圓E上)，直線AP與橢圓E的另一交點(diǎn)為M，直線BP與橢圓E的另一交點(diǎn)為N，直線MN與x軸的交點(diǎn)為Q，且△AMB面積的最大值為.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線PQ的斜率為，直線BP的斜率為，證明為定值.【解析】（1）解：當(dāng)M為橢圓的上(下)頂點(diǎn)時(shí)，△AMB的面積最大，則，解得，所以橢圓E的方程為..（2）證明：設(shè)P(－1，t)(且)，，，則直線AP的方程為，直線BP的方程為，設(shè)點(diǎn)M(，)，N(，)，聯(lián)立方程組消去y，整理得.則，因?yàn)椋裕?同理可得.因?yàn)榍?，所以，則直線MN的方程為，令，得.則.26．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)（異于）.當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)）時(shí)，恰好為的中點(diǎn).(1)求的離心率；(2)若，直線與交于點(diǎn)，直線的斜率分別為，證明：是定值.【解析】（1）設(shè).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.由題意知，則，即，則.又，所以，故離心率.（2）證明：由題意知，所以，故的方程為.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得關(guān)于的一元二次方程，整理得：.因?yàn)榕c交于兩點(diǎn)，所以，即，解得或，故.設(shè)，直線的方程為，直線的方程為，兩式聯(lián)立，得（*）.又，代入式，得，則，故即為定值2.圓錐曲線中線段為定值問(wèn)題27．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的C的方程：．(1)設(shè)P為橢圓C異于橢圓左右頂點(diǎn)上任一點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，試證明為定值．(2)求橢圓中所有斜率為1的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程．(3)設(shè)橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)M，N在C上，且，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【解析】（1）設(shè)，因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)，所以，所以，所以，所以.故為定值.（2）設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為.則，①，②①減②得：，.又，.由于弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，聯(lián)立故斜率為的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程：（3）設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)?，所以，即，根?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時(shí)直線過(guò)點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.28．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)分別是圓的左?右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，與x軸垂直.直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，且直線MN的斜率為(1)求橢圓C的離心率.(2)設(shè)是橢圓C的上頂點(diǎn)，過(guò)D任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于A?B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作線段AB的垂線，垂足為Q，判斷在y軸上是否存在定點(diǎn)R，使得的長(zhǎng)度為定值？并證明你的結(jié)論.【解析】（1）由題意知，點(diǎn)在第一象限.是上一點(diǎn)且與軸垂直，的橫坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，，即.又直線的斜率為，所以，即，即，則，解得或（舍去），即.（2）已知是橢圓的上頂點(diǎn)，則，橢圓的方程為，易得直線AB的斜率必然存在，設(shè)直線的方程為，由可得所以，又，.，化簡(jiǎn)整理有，得或.當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足方程中，故直線經(jīng)過(guò)軸上定點(diǎn).又為過(guò)點(diǎn)作線段的垂線的垂足，故在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)為，則為定值，且29．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比是常數(shù)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，由原點(diǎn)向圓引兩條切線，分別交曲線于點(diǎn)，若直線的斜率均存在，并分別記為，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由題意，點(diǎn)與定點(diǎn)的距離，點(diǎn)到直線的距離，所以，即，化簡(jiǎn)得，故曲線的方程為；(2)由題意可得，直線的方程分別為，設(shè).由直線與圓相切可得.，同理，所以是方程的兩個(gè)根，所以，所以，，因?yàn)槭乔€上的一動(dòng)點(diǎn)，所以，則有，聯(lián)立方程，所以，所以，同理所以，因?yàn)?，所以，所?30．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓為右焦點(diǎn)，直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)S，設(shè)線段與線段的中垂線交于點(diǎn)Q．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)當(dāng)時(shí)，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)，線段的中點(diǎn)M坐標(biāo)為，聯(lián)立得消去y可得：，所以所以，代入直線方程，求得，因?yàn)镼為三條中垂線的交點(diǎn)，所以，有，直線方程為.令，所以.由橢圓可得右焦點(diǎn)，故．（2）設(shè)，中點(diǎn)M坐標(biāo)為．相減得，.又Q為的外心，故，所以，直線方程為，令，所以而,所以，，同理，，，所以當(dāng)t變化時(shí)，為定值．31．（2022·北京房山·高二開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)M為橢圓C上除A，B外任意一點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)N，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O且與直線垂直的直線記為l，直線交y軸于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)Q，求證：為定值．【解析】（1）由已知，又，，所以，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，則，，直線的方程為，令得，即，,,，直線的方程是，直線的方程為，令得，即，由，因?yàn)?，故解得，即，所以?2．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，若與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且圓E在內(nèi)的弧長(zhǎng)為．(1)求的值；(2)過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓于A，B、C，D，求證：為定值．【解析】（1）圓的圓心為，半徑為，圓E在內(nèi)的弧長(zhǎng)為，可得，即有，設(shè)在第一象限，可得，，即為，將代入橢圓方程可得，聯(lián)立解得，（2）由（1）可得橢圓的方程為，，上焦點(diǎn)為，①當(dāng)直線（或）與軸平行時(shí)，可得，將代入橢圓得，則，則；②當(dāng)直線（或）與軸不平行時(shí)，設(shè)，則，聯(lián)立方程組，消去y并化簡(jiǎn)得，設(shè)點(diǎn)，，∴，，即有，將k換為，可得，則，綜上所述，為定值．圓錐曲線中角度為定值問(wèn)題33．（2022·貴州·黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末（理））已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，的面積為1．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)的橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求證：為定值．【解析】（1）依題意，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，而，且，，當(dāng)時(shí)，直線AP：，點(diǎn)，，直線BP：，點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，，，所以所以是定值.34．（2022·北京平谷·高二期末）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)到其兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且直線與軸不重合，直線分別與軸交于兩點(diǎn).求證：為定值.【解析】（1）解：依題意，解得，所以橢圓方程為；（2）解：由（1）可知，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程得，解得，不妨設(shè)此時(shí)，，所以直線的方程為，即，直線的方程為，即，所以；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，依題意，，設(shè)，，則，，又直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，同理，得，所以，綜上可得，為定值，定值為．35．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓與直線相切于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，若直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、．若過(guò)原點(diǎn)O的直線與垂直交與點(diǎn)，證明：定值．【解析】依題意點(diǎn)在第一象限，由于過(guò)點(diǎn)的切線方程為，斜率為，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)，所以，則．由于直線l1過(guò)原點(diǎn)O且與l垂直，故直線l1的方程為x＋ky＝0，其中，所以點(diǎn)P到直線l1的距離，即，為定值（為橢圓的半焦距）．36．（2021·北京·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校高二期中）動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比是常數(shù)．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與的軌跡交于、兩點(diǎn)，且直線與軸不重合，直線、分別與軸交于、兩點(diǎn)，求證：為定值．【解析】（1）解：設(shè)點(diǎn)，由題意可得，化簡(jiǎn)可得.因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）解：因?yàn)橹本€與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點(diǎn)，同理，所以，.37．（2023·上?！じ叨?zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（2，0），左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且|F1F2|＝2，直線l交橢圓Γ于不同的兩點(diǎn)M和N．(1)求橢圓Γ的方程；(2)若直線l的斜率為1，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求直線l的方程；(3)若直線l與橢圓Γ相切，求證：點(diǎn)F1、F2到直線l的距離之積為定值．【解析】（1）因?yàn)閨F1F2|＝2c＝2，則c＝1，因?yàn)閍＝2，，所以橢圓Γ的方程；（2）因?yàn)橹本€l的斜率為1，故設(shè)直線l的方程為y＝x+m，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y整理得，則，，因?yàn)橐訫N為直徑的圓經(jīng)過(guò)右頂點(diǎn)A，則，所以，即整理得∴整理得，解得或，因?yàn)椋@然當(dāng)或時(shí)，成立所以直線l的方程為或；（3）證明：橢圓Γ的左、右焦點(diǎn)分別為，①當(dāng)直線l平行于y軸時(shí)，因?yàn)橹本€l與橢圓Γ相切，所以直線l的方程為x＝±2，此時(shí)點(diǎn)F1、F2到直線l的距離分別為d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3，②當(dāng)直線l不平行與y軸時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx+b，聯(lián)立，消去y整理得，所以，因?yàn)橹本€l與橢圓Γ相切，則Δ＝0，所以，因?yàn)榈街本€l的距離為，到直線l的距離為，所以，所以點(diǎn)F1、F2到直線l的距離之積為定值，且定值為3．圓錐曲線數(shù)量積為定值問(wèn)題38．（2022·北京平谷·高二期末）已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且與直線平行的直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：為定值.【解析】（1）解：由題意可得，，，解得，所以橢圓的方程為：；（2）解：設(shè)直線的方程為：，則過(guò)原點(diǎn)的直線且與直線平行的直線為，因?yàn)槭侵本€與的交點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的方程與橢圓方程聯(lián)立：，整理可得：，可得，，即，因?yàn)?，直線的方程為：，聯(lián)立，解得：，由題意可得，所以，，所以，即，所以，即為定值；39．（2022·湖南·郴州一中高二階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，其中在第一象限，過(guò)作軸的垂線，垂足為，連接.當(dāng)為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若為的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)，試問(wèn)：是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由.【解析】（1）橢圓離心率，，則，當(dāng)為橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，；，解得：，，橢圓的方程為：.（2）由題意可設(shè)直線，，，則，，，直線；由得：，，則，，；，又，，則，為定值.圓錐曲線距離積為定值問(wèn)題40．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線與的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及該定值；若不存在，試說(shuō)明理由.【解析】(1)設(shè)，易得，直線的斜率為，直線的斜率為，則，整理得，則曲線E方程為；(2)當(dāng)直線的斜率為不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)定點(diǎn)聯(lián)立方程組，消可得，設(shè)，，可得，，所以.要使上式為定值，則，解得，此時(shí)當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，，此時(shí)，也符合.所以，存在點(diǎn)，使得為定值.41．（2022·江蘇省灌南高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓中有兩頂點(diǎn)為，，一個(gè)焦點(diǎn)為.(1)若直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)異，兩點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)是否是定值？若是，請(qǐng)求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，，所以，橢圓的方程為，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)與題意不符，設(shè)直線的方程為，，，將直線的方程代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得，則，，∴，解得.∴直線的方程為；（2）當(dāng)軸時(shí)，，不符合題意，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)：，則，設(shè)，，聯(lián)立方程組得，∴，，又直線：，直線：，由可得，即，，，，，，即，得，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，所以為定值.42．（2022·河北·大名縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）己知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左頂點(diǎn)為，離心率為．(1)求的方程；(2)若直線與交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為．設(shè)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線為，若直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求證：為定值．【解析】（1）橢圓左頂點(diǎn)為，，又離心率，，，的方程為：.（2）設(shè)，，則，，由得：，則，，；直線方程為：，，；同理可得：，又，，，，為定值.43．（2022·江蘇·南京市燕子磯中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上的投影為，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線交于兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在定點(diǎn)，使得的值是定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】（1）解：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，可得，所以，所以，即?dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）解：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，則恒成立，且，因?yàn)?，設(shè)，可得，，要使得上式為定值，即與無(wú)關(guān)，則滿(mǎn)足且，所以，即點(diǎn)，此時(shí)；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則直線為，可得，所以，綜上可得，存在定點(diǎn)，使得圓錐曲線點(diǎn)的坐標(biāo)為定值問(wèn)題44．（2022·江西上饒·高二期末（理））已知橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題可得,，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題可得直線斜率存在，由（1）知設(shè)直線的方程為，則,消去，整理得：，設(shè)，則，，又，則，由可得，所以.同理可得，.所以所以，為定值.45．（河南省洛平許濟(jì)聯(lián)考2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，離心率為，上頂點(diǎn)為．(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M，若，，判斷是否為定值？并說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意可得，解得，故橢圓C的方程.（2）為定值，理由如下：由（1）可得，由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，則，聯(lián)立方程，消去y得，則，，∵，，則，可得，（定值）.46．（202