2024年廣東省深圳市羅湖區(qū)翠園東曉中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（6月份）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年廣東省深圳市羅湖區(qū)翠園東曉中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（6月份）一、單選題（每小題3分，共30分）1．（3分）若水位上升6m記作+6m，則水位下降4m記作（）A．﹣2m B．﹣10m C．+4m D．﹣4m2．（3分）在以下節(jié)水、綠色食品、質(zhì)量安全、可回收物等四個(gè)標(biāo)志中，軸對(duì)稱圖形是（）A． B． C． D．3．（3分）截止2023年12月底，全球人口總數(shù)已突破80億．將80億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．8×108 B．8×109 C．80×109 D．8×10104．（3分）一組數(shù)據(jù)2，4，x，6，8的眾數(shù)為2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．85．（3分）如圖，已知平行四邊形ABCD的面積為24cm2，E為AB的中點(diǎn)，連接DE，則△ODE的面積為（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm26．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．x2﹣3x2＝﹣2 B．（﹣xy2）3＝x3y6 C．9x4÷3x2＝3x2 D．（x﹣3y）（x+3y）＝x2﹣3y27．（3分）當(dāng)光線從空氣射入水中時(shí)，光線的傳播方向發(fā)生了改變，這就是折射現(xiàn)象（如圖所示）．若∠1＝42°，光線傳播方向改變了14°，則∠2的度數(shù)是（）A．28° B．29° C．30° D．42°8．（3分）為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某學(xué)校號(hào)召同學(xué)們自愿捐款．已知七年級(jí)同學(xué)捐款總額為5500元，八年級(jí)同學(xué)捐款總額為6000元，八年級(jí)捐款人數(shù)比七年級(jí)多30人，而且兩個(gè)年級(jí)人均捐款額恰好相等．如果設(shè)七年級(jí)捐款人數(shù)為x人，則所列方程為（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔AB的高度，他從古塔底部點(diǎn)B處前行30m到達(dá)斜坡CE的底部點(diǎn)C處，然后沿斜坡CE前行20m到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測(cè)得古塔AB的高度是（）A． B． C． D．40m10．（3分）如圖1，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)線段CP的長(zhǎng)度y隨時(shí)間x變化的關(guān)系圖象，其中點(diǎn)Q為曲線部分的最低點(diǎn)，則△ABC的邊AB的長(zhǎng)度為（）A．12 B．8 C．10 D．13二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）足球、籃球、排球“三大球”單列成為體育中考第一類項(xiàng)目（自主選考三選一），考生若任選一項(xiàng)參加考試，則甲生選擇考籃球的概率為．12．（3分）已知代數(shù)式x﹣2y的值是3，則代數(shù)式2x﹣4y+1的值是．13．（3分）如圖是某電影院一個(gè)圓形VIP廳的示意圖，AD是⊙O的直徑，且AD＝10m，弦AB是該廳的屏幕，在C處的視角∠ACB＝45°，則AB＝m．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，2），頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．若AB＝2AC，且OA＝OB，則k＝15．（3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，，，∠B＝45°，直角三角板含45°角的頂點(diǎn)E放在BC邊上移動(dòng)，直角邊EM始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，斜邊EN與CD交于點(diǎn)F，若△ABE為等腰三角形，則CF的長(zhǎng)為．三、解答題（16-17題每小題10分，18-20每小題10分，21題9分，22題10分，共55分）16．（10分）計(jì)算：．17．（10分）先化簡(jiǎn)，再求值：（+）÷．其中x＝，y＝1．18．（10分）我校在七、八年級(jí)舉行了“新冠疫情防控”知識(shí)競(jìng)賽，從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽取了10名學(xué)生進(jìn)行比賽（百分制）．測(cè)試成績(jī)整理、描述和分析如下：成績(jī)得分用x表示，共分成四組：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100．七年級(jí)10名學(xué)生的成績(jī)：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．八年級(jí)10名學(xué)生的成績(jī)?cè)贑組中的數(shù)據(jù)是：94，90，92．七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級(jí)92bca八年級(jí)929310050.4根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）a＝，b＝，c＝．（2）這次比賽中哪個(gè)年級(jí)成績(jī)更穩(wěn)定？說(shuō)明理由．（3）我校八年級(jí)共800人參加了此次活動(dòng)，估計(jì)參加此次活動(dòng)成績(jī)優(yōu)秀（x≥90）的八年級(jí)學(xué)生人數(shù)是多少？19．（10分）騎行電動(dòng)自行車(chē)時(shí)佩戴安全頭盔非常重要．某商店銷售甲、乙兩種不同型號(hào)的頭盔，已知甲種型號(hào)頭盔的單價(jià)比乙種型號(hào)頭盔貴10元，且用120元購(gòu)買(mǎi)的甲種型號(hào)頭盔的數(shù)量與用90元購(gòu)買(mǎi)的乙種型號(hào)頭盔數(shù)量相同．（1）求甲、乙兩種型號(hào)頭盔的單價(jià)；（2）某企業(yè)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔共300個(gè)，若購(gòu)買(mǎi)的甲種型號(hào)的頭盔的數(shù)量不少于乙種型號(hào)的，為使購(gòu)買(mǎi)頭盔的總費(fèi)用最小，那么應(yīng)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種型號(hào)頭盔各多少個(gè)？最少費(fèi)用為多少元？20．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的圓O交斜邊AB于D．過(guò)D作DE⊥AC于E，將△ADE沿直線AB翻折得到△ADF．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為10，，延長(zhǎng)FD交BC于G，求BG的長(zhǎng)．21．（13分）如果將運(yùn)動(dòng)員的身體看作一點(diǎn)，則她在跳水過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的軌跡可以看作為拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)A（0，10）起跳，從起跳到入水的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y（m）與水平距離x（m）滿足二次函數(shù)的關(guān)系．（1）在平時(shí)的訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如表：水平距離x（m）01豎直高度y（m）1010根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的關(guān)系式；（2）在（1）的這次訓(xùn)練中，求運(yùn)動(dòng)員甲從起點(diǎn)A到入水點(diǎn)的水平距離OD的長(zhǎng)；（3）信息1：記運(yùn)動(dòng)員甲起跳后達(dá)到最高點(diǎn)B時(shí)距水面的高度為n（m），從到達(dá)到最高點(diǎn)B開(kāi)始計(jì)時(shí)，則她到水面的距離h（m）與時(shí)間t（s）之間滿足h＝﹣5t2+n．信息2：已知運(yùn)動(dòng)員甲在達(dá)到最高點(diǎn)后需要1.4s的時(shí)間才能完成極具難度的270C動(dòng)作．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，在（1）的這次訓(xùn)練中，運(yùn)動(dòng)員甲能否成功完成此動(dòng)作？22．（12分）綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開(kāi)探究．探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC．（1）操作發(fā)現(xiàn)：將△ABC折疊，使邊BC落在邊BA上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，折痕交AC于點(diǎn)D，連接DE，DB，則∠BDE＝°，設(shè)AC＝1，BC＝x，那么AE＝（用含x的式子表示）；（2）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：＝，這個(gè)比值被稱為黃金比．在（1）的條件下試證明：＝；拓展應(yīng)用當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．如圖2，在菱形ABCD中，∠BAD＝72°，AB＝1．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．

2024年廣東省深圳市羅湖區(qū)翠園東曉中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（6月份）參考答案與試題解析一、單選題（每小題3分，共30分）1．（3分）若水位上升6m記作+6m，則水位下降4m記作（）A．﹣2m B．﹣10m C．+4m D．﹣4m【解答】解：若水位上升6m記作+6m，則水位下降4m記作﹣4m．故選：D．2．（3分）在以下節(jié)水、綠色食品、質(zhì)量安全、可回收物等四個(gè)標(biāo)志中，軸對(duì)稱圖形是（）A． B． C． D．【解答】解：A．該標(biāo)志不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．該標(biāo)志是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C．該標(biāo)志不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．該標(biāo)志不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．3．（3分）截止2023年12月底，全球人口總數(shù)已突破80億．將80億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．8×108 B．8×109 C．80×109 D．8×1010【解答】解：80億＝8000000000，所以80億用科學(xué)記數(shù)法表示為8×109．故選：B．4．（3分）一組數(shù)據(jù)2，4，x，6，8的眾數(shù)為2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵數(shù)據(jù)2，4，x，6，8的眾數(shù)為2，∴x＝2，則數(shù)據(jù)重新排列為2、2、4、6、8，所以中位數(shù)為4，故選：B．5．（3分）如圖，已知平行四邊形ABCD的面積為24cm2，E為AB的中點(diǎn)，連接DE，則△ODE的面積為（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2【解答】解：由題意得，S△ABC＝S平行四邊形ABCD＝12cm2，∵E為AB的中點(diǎn)，∴S△BED＝△ABD＝6cm2，又∵O是BD的中點(diǎn)，∴S△OED＝S△BED＝3cm2．故選：A．6．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．x2﹣3x2＝﹣2 B．（﹣xy2）3＝x3y6 C．9x4÷3x2＝3x2 D．（x﹣3y）（x+3y）＝x2﹣3y2【解答】解：A．x2﹣3x2＝﹣2x2，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．（﹣xy2）3＝﹣x3y6，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．9x4÷3x2＝3x2，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D．（x﹣3y）（x+3y）＝x2﹣9y2，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：C．7．（3分）當(dāng)光線從空氣射入水中時(shí)，光線的傳播方向發(fā)生了改變，這就是折射現(xiàn)象（如圖所示）．若∠1＝42°，光線傳播方向改變了14°，則∠2的度數(shù)是（）A．28° B．29° C．30° D．42°【解答】解：如圖，∠1＝∠AOB，∴∠2＝∠AOB﹣14°＝∠1﹣14°＝42°﹣14°＝28°，故選：A．8．（3分）為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某學(xué)校號(hào)召同學(xué)們自愿捐款．已知七年級(jí)同學(xué)捐款總額為5500元，八年級(jí)同學(xué)捐款總額為6000元，八年級(jí)捐款人數(shù)比七年級(jí)多30人，而且兩個(gè)年級(jí)人均捐款額恰好相等．如果設(shè)七年級(jí)捐款人數(shù)為x人，則所列方程為（）A． B． C． D．【解答】解：∵八年級(jí)捐款人數(shù)比七年級(jí)多30人，七年級(jí)捐款人數(shù)為x人，∴八年級(jí)捐款人數(shù)為（x+30）人．依題意得：故選：A．9．（3分）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔AB的高度，他從古塔底部點(diǎn)B處前行30m到達(dá)斜坡CE的底部點(diǎn)C處，然后沿斜坡CE前行20m到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測(cè)得古塔AB的高度是（）A． B． C． D．40m【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，DG⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由題意得，BC＝30m，CD＝20m，∠ADF＝30°，DG＝BF，DF＝BG，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴，設(shè)DG＝xm，則CG＝xm，CD＝2xm，∴2x＝20，解得x＝10，∴DG＝BF＝10m，CG＝m，DF＝BG＝CG+BC＝（30+）m，在Rt△ADF中，tan30°＝，解得AF＝10+，∴AB＝AF+BF＝（20+）m．故選：A．10．（3分）如圖1，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)線段CP的長(zhǎng)度y隨時(shí)間x變化的關(guān)系圖象，其中點(diǎn)Q為曲線部分的最低點(diǎn)，則△ABC的邊AB的長(zhǎng)度為（）A．12 B．8 C．10 D．13【解答】解：根據(jù)圖2中的曲線可知：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC的頂點(diǎn)A處，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處時(shí)，圖1中的AC＝BC＝13，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)CP⊥AB，根據(jù)圖2點(diǎn)Q為曲線部分的最低點(diǎn)，得CP＝12，所以根據(jù)勾股定理，得此時(shí)AP＝＝5．所以AB＝2AP＝10．故選：C．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）足球、籃球、排球“三大球”單列成為體育中考第一類項(xiàng)目（自主選考三選一），考生若任選一項(xiàng)參加考試，則甲生選擇考籃球的概率為．【解答】解：足球、籃球、排球中甲生選擇考籃球的概率為．故答案為：．12．（3分）已知代數(shù)式x﹣2y的值是3，則代數(shù)式2x﹣4y+1的值是7．【解答】解：∵代數(shù)式x﹣2y的值是3，∴x﹣2y＝3，∴2x﹣4y+1＝2（x﹣2y）+1＝2×3+1＝7，故答案為：7．13．（3分）如圖是某電影院一個(gè)圓形VIP廳的示意圖，AD是⊙O的直徑，且AD＝10m，弦AB是該廳的屏幕，在C處的視角∠ACB＝45°，則AB＝5m．【解答】解：如圖，連接OB．∵∠AOB＝2∠ACB＝90°，OA＝OB＝5m，∴AB＝＝＝5（m）．故答案為：．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，2），頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．若AB＝2AC，且OA＝OB，則k＝3【解答】解：如圖，作CH⊥y軸于H．∵A（0，2），OA＝OB，∴OA＝OB＝2，∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAH＝90°，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠ABO＝∠CAH，又∵∠AOB＝∠AHC＝90°，∴△ABO∽△CAH，∴＝＝＝2，∴CH＝AH＝1，∴OH＝OA+AH＝3，∴C（1，3），∵點(diǎn)C在y＝的圖象上，∴k＝1×3＝3，故答案為3．15．（3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，，，∠B＝45°，直角三角板含45°角的頂點(diǎn)E放在BC邊上移動(dòng)，直角邊EM始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，斜邊EN與CD交于點(diǎn)F，若△ABE為等腰三角形，則CF的長(zhǎng)為或或2．【解答】解：①如圖1，當(dāng)AE＝BE時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，∵等腰梯形ABCD中，∠B＝45°，∴∠B＝∠C＝∠BAE＝45°，AB＝CD，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AD∥BC，∴∠AEG＝∠DGE＝∠DAE＝90°，∴四邊形AEGD是矩形，∴EG＝AD，AE＝DG，∵，∴，在Rt△AEB和Rt△DGC中，，∴Rt△AEB≌Rt△DGC（HL），∴BE＝CG，∴，∴，∵，∴在Rt△AEB中，，∵∠AEB＝90°，∠MEN＝45°，∴∠FEC＝180°﹣∠AEB﹣∠MEN＝45°，∵∠C＝45°，∴∠EFC＝180°﹣∠FEC﹣∠C＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CF＝EF，在Rt△CFE中，，∴；②如圖2，當(dāng)AB＝BE時(shí)，∴∠AEB＝∠EAB，∵等腰梯形ABCD中，∠B＝45°，∴∠B＝∠C＝45°，∴，∵∠MEN＝45°，∴∠CFE＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE，∵，AB＝3，∴；③如圖3，當(dāng)AB＝AE時(shí)，∵等腰梯形ABCD中，∠B＝45°，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠AEB＝∠B＝45°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝90°，∵AB＝AE＝3，∴，∵∠MEN＝45°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠MEN＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵∠C＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴，在Rt△CEF中，；故答案為：或或2．三、解答題（16-17題每小題10分，18-20每小題10分，21題9分，22題10分，共55分）16．（10分）計(jì)算：．【解答】解：原式＝＝﹣2+1+1＝．17．（10分）先化簡(jiǎn)，再求值：（+）÷．其中x＝，y＝1．【解答】解：（+）÷＝?x（x+y）＝?x＝，當(dāng)x＝，y＝1時(shí)，原式＝＝4+4．18．（10分）我校在七、八年級(jí)舉行了“新冠疫情防控”知識(shí)競(jìng)賽，從七、八年級(jí)各隨機(jī)抽取了10名學(xué)生進(jìn)行比賽（百分制）．測(cè)試成績(jī)整理、描述和分析如下：成績(jī)得分用x表示，共分成四組：A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100．七年級(jí)10名學(xué)生的成績(jī)：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．八年級(jí)10名學(xué)生的成績(jī)?cè)贑組中的數(shù)據(jù)是：94，90，92．七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級(jí)92bca八年級(jí)929310050.4根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）a＝40，b＝93，c＝96．（2）這次比賽中哪個(gè)年級(jí)成績(jī)更穩(wěn)定？說(shuō)明理由．（3）我校八年級(jí)共800人參加了此次活動(dòng)，估計(jì)參加此次活動(dòng)成績(jī)優(yōu)秀（x≥90）的八年級(jí)學(xué)生人數(shù)是多少？【解答】解：（1）因?yàn)榘四昙?jí)A組有10×20%＝2人，B組有10×10%＝1人，C組有3人，所以D組有4人，所以＝40%，即a＝40．∵七年級(jí)10名學(xué)生的成績(jī)：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．從小到大排列：82，86，86，89，90，96，96，96，99，100，所以第5個(gè)，第6個(gè)數(shù)據(jù)為：90，96，∴中位數(shù)為＝93，因?yàn)槠吣昙?jí)學(xué)生成績(jī)中96分有3個(gè)，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)c＝96，故答案為：40，93，96；（2）因?yàn)槠甙四昙?jí)的平均數(shù)相等，根據(jù)已知條件可得，七年級(jí)成績(jī)的方差為：d＝[3×（96﹣92）2+2×（86﹣92）2+（99﹣92）2+（90﹣92）2+（100﹣92）2+（89﹣92）2+（82﹣92）2]＝34.6，七年級(jí)成績(jī)的方差為34.6，∴34.6＜50.4，七年級(jí)成績(jī)的方差比八年級(jí)小，所以七年級(jí)的成績(jī)更穩(wěn)定．（3）由題意得：八年級(jí)成績(jī)大于或等于90分的有7人，∴800×＝560（人），答：參加此次調(diào)查活動(dòng)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)約為560人．19．（10分）騎行電動(dòng)自行車(chē)時(shí)佩戴安全頭盔非常重要．某商店銷售甲、乙兩種不同型號(hào)的頭盔，已知甲種型號(hào)頭盔的單價(jià)比乙種型號(hào)頭盔貴10元，且用120元購(gòu)買(mǎi)的甲種型號(hào)頭盔的數(shù)量與用90元購(gòu)買(mǎi)的乙種型號(hào)頭盔數(shù)量相同．（1）求甲、乙兩種型號(hào)頭盔的單價(jià)；（2）某企業(yè)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔共300個(gè)，若購(gòu)買(mǎi)的甲種型號(hào)的頭盔的數(shù)量不少于乙種型號(hào)的，為使購(gòu)買(mǎi)頭盔的總費(fèi)用最小，那么應(yīng)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種型號(hào)頭盔各多少個(gè)？最少費(fèi)用為多少元？【解答】解：（1）設(shè)乙種型號(hào)頭盔的單價(jià)是x元，則甲種型號(hào)頭盔的單價(jià)是（x+10）元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝30，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是所列方程的解，且符合題意，∴x+10＝30+10＝40（元）．答：甲種型號(hào)頭盔的單價(jià)是40元，乙種型號(hào)頭盔的單價(jià)是30元；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)m個(gè)甲種型號(hào)的頭盔，則購(gòu)買(mǎi)（300﹣m）個(gè)乙種型號(hào)的頭盔，根據(jù)題意得：m≥（300﹣m），解得：m≥75．設(shè)該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種頭盔共花費(fèi)w元，則w＝40m+30（300﹣m），即w＝10m+9000，∵10＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m＝75時(shí)，w取得最小值，最小值為10×75+9000＝9750（元），此時(shí)300﹣m＝300﹣75＝225（個(gè)）．答：當(dāng)購(gòu)買(mǎi)75個(gè)甲種型號(hào)的頭盔，225個(gè)乙種型號(hào)的頭盔時(shí)，總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是9750元．20．（10分）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的圓O交斜邊AB于D．過(guò)D作DE⊥AC于E，將△ADE沿直線AB翻折得到△ADF．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為10，，延長(zhǎng)FD交BC于G，求BG的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵△ADE沿直線AB翻折得到△ADF，∴∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠F＝90°，又∵OA＝OD，∴∠DAE＝∠ODA，∴∠DAF＝∠ODA，∴OD∥AF，∴∠ODF+∠F＝180°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切線；（2）如圖所示，連接DC，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，即CD⊥AB；又∵FD與BC均是⊙O的切線且相交于點(diǎn)G，由切線長(zhǎng)定理可得：GD＝GC，∴∠GDC＝∠GCD，又∵Rt△BDC中，∠GCD+∠B＝90°，∠GDC+∠GDB＝90°，∴∠B＝∠GDB，∴GD＝GB，∴GD是Rt△BDC斜邊上的中線，即GD＝BC，∵△ADE沿直線AB翻折得到△ADF，∴∠DAE＝∠DAF，∴sin∠DAE＝sin∠DAF＝，又∵⊙O的半徑為10，∴AC＝20，Rt△DAC中，∠ADC＝90°，∴sin∠DAC＝＝＝，得DC＝12，由勾股定理得AD＝16；在Rt△ADC與Rt△ACB中，∠ADC＝∠ACB＝90°，∠DAC＝∠BAC，∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，∴，即＝，解得BC＝15；∴BG＝GD＝BC＝．21．（13分）如果將運(yùn)動(dòng)員的身體看作一點(diǎn)，則她在跳水過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的軌跡可以看作為拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)A（0，10）起跳，從起跳到入水的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y（m）與水平距離x（m）滿足二次函數(shù)的關(guān)系．（1）在平時(shí)的訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如表：水平距離x（m）01豎直高度y（m）1010根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的關(guān)系式；（2）在（1）的這次訓(xùn)練中，求運(yùn)動(dòng)員甲從起點(diǎn)A到入水點(diǎn)的水平距離OD的長(zhǎng)；（3）信息1：記運(yùn)動(dòng)員甲起跳后達(dá)到最高點(diǎn)B時(shí)距水面的高度為n（m），從到達(dá)到最高點(diǎn)B開(kāi)始計(jì)時(shí)，則她到水面的距離h（m）與時(shí)間t（s