2024年江蘇省揚州市樹人教育集團九年級中考三模數(shù)學試題（原卷版+解析版）

2024年江蘇省揚州市樹人教育集團九年級中考三模數(shù)學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.）1.在下列四個實數(shù)中，的倒數(shù)是（）A. B. C. D.2.下列計算正確的是（）A. B.C. D.3.如圖所示，該幾何體的俯視圖是（）A.正方形 B.長方形 C.三角形 D.圓4.已知圓錐的底面半徑是，母線長為，則圓錐的側面積是（）A. B. C. D.5.如圖，點、、、在網(wǎng)格中小正方形頂點處，與相交于點，小正方形的邊長為1，則的長等于（）A.2 B. C. D.6.已知點A（1，m），B（，n），在一次函數(shù)y＝2x+1圖象上，則m與n的大小關系是（）Am＞n B.m＝n C.m＜n D.無法確定7.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列四個結論：①；②；③；④當時，．其中正確結論的個數(shù)為（）A.個 B.個 C.個 D.個8.如圖，在邊長一定的正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一動點，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角三角形AEF．有下列四個結論：①；②四邊形AFCE的面積是定值；③當時，E為△ADC的內心；④若點F在BC上以一定的速度，從B往C運動，則點E與點F的運動速度相等．其中正確的結論的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）9.“燕雪花大軒臺”是詩仙李白眼里雪花，單個雪花的重量其實很輕，只有左右，用科學記數(shù)法可表示為______．10.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是____．11.分解因式：x2y-4y=____．12.已知關于x的方程的根是和3，則_______．13.勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學校加大投入，建設校園農(nóng)場，該農(nóng)場一種作物的產(chǎn)量兩年內從300千克增加到363千克．設平均每年增產(chǎn)的百分率為，則可列方程為________．14.如圖，測角儀CD豎直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D處測得建筑物頂端A的仰角為50°．若測角儀的高度是1.5m，則建筑物AB的高度約為_____m．（結果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）15.如圖，在中，以點為圓心，為半徑作弧，分別交射線，于點，，再分別以，為圓心，的長為半徑作弧，兩弧在內部交于點，作射線，若，則，兩點之間的距離為_____.16.如圖，的頂點A在y軸上，頂點B，D在x軸上，邊與y軸交于點E，若，，，則點E的坐標為______．17.如圖，點是反比例函數(shù)圖像上一點，作軸，軸，垂足分別為、，交反比例函數(shù)的圖像于、兩點，的面積是，則的值是______．18.如圖，在直角坐標系中，，是上一點，B是y正半軸上一點，且，，垂足為，則最小值為__________________．三、解答題（本大題共10小題，共96分.）19.（1）計算：．（2）求不等式的正整數(shù)解．20.先化簡再求值：，其中．21.如圖，四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．（1）求證：△ABE≌△ADF；（2）若AE=4，CF=2，求菱形的邊長．22.每年6月6日為“全國愛眼日”．按照國家視力健康標準，學生視力狀況如下表所示．類別ABCD視力視力4.9視力視力健康狀況視力正常輕度視力不良中度視力不良重度視力不良為了解某學校學生視力狀況，隨機抽查了若干名學生進行視力檢測，整理樣本數(shù)據(jù)，得到下列統(tǒng)計圖根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次抽查的學生中，視力狀況屬于A類的學生有______人，D類所在扇形的圓心角的度數(shù)是______；（2）對于本次抽查的學生視力數(shù)據(jù)，中位數(shù)所在類別為______類；（3）已知該校共有300名學生，請估計該?！爸卸纫暳Σ涣肌焙汀爸囟纫暳Σ涣肌钡膶W生總人數(shù)．23.在一個不透明的布袋中裝有三個小球，小球上分別標有數(shù)字0、1、2，它們除數(shù)字外都相同．（1）隨機地從布袋中摸出一個小球，則摸出的球為標有數(shù)字2的概率為；（2）小明先從布袋中任意摸出一個小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標系內點A的橫坐標，將此球放回、攪勻，再從布袋中任意摸出一個小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標系內點A的縱坐標．請用樹狀圖或表格列出點A所有可能的坐標，并求出點A在坐標軸上的概率．24.為了配合學校貫徹落實“雙減”政策，開展學生課后體育活動，某體育用品商店用10000元購進了一批足球，很快銷售一空；商店又用10000元購進了第二批該種足球，每個足球的進價比原來漲了，結果所購進足球的數(shù)量比第一批少40個．求第一批足球每個的進價是多少元？25.如圖，內接于，是的直徑，是上的一點，平分，，垂足為，與相交于點．（1）求證：是的切線；（2）當?shù)陌霃綖?，時，求的長．26.在矩形中，．（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖．先在上確定點E，使．再在上確定點F，使以F為圓心的圓經(jīng)過點E和點C．（2）在（1）的條件下，若，且，則的長為27.如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，求周長的最小值；（3）如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．28.如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點（Q在P、H之間）．我們把點P稱為⊙I關于直線a的“遠點”，把的值稱為⊙I關于直線a的“特征數(shù)”．（1）如圖2，在平面直角坐標系中，點E的坐標為，半徑為1的⊙O與兩坐標軸交于點A、B、C、D．①過點E畫垂直于y軸的直線m，則⊙O關于直線m的“遠點”是點_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O關于直線m的“特征數(shù)”為_________；②若直線n的函數(shù)表達式為，求關于直線n的“特征數(shù)”；（2）在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過點，點F是坐標平面內一點，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點是⊙F關于直線l的“遠點”，且⊙F關于直線l的“特征數(shù)”是，求直線l的函數(shù)表達式．

2024年江蘇省揚州市樹人教育集團九年級中考三模數(shù)學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.）1.在下列四個實數(shù)中，的倒數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了倒數(shù)，熟悉掌握倒數(shù)的概念是解題的關鍵．把直接變成倒數(shù)求解即可．【詳解】由倒數(shù)的定義可知，的倒數(shù)是．故選：B．2.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了合并同類項，積的乘方以及完全平方公式，根據(jù)積的乘方，合并同類項和完全平方公式逐項計算即可．【詳解】解：A．，故不正確；B．與不是同類項，不能合并，故不正確；C．，故不正確；D．，正確；故選D．3.如圖所示，該幾何體的俯視圖是（）A.正方形 B.長方形 C.三角形 D.圓【答案】C【解析】【分析】根據(jù)俯視圖的定義，從上面看該幾何體，所得到的圖形進行判斷即可．【詳解】解：從上面看該幾何體，所看到的圖形是三角形．故選：C．【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的意義，掌握俯視圖的概念是正確判斷的前提．4.已知圓錐底面半徑是，母線長為，則圓錐的側面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓錐的側面積公式即扇形面積公式計算．【詳解】解：圓錐的側面積是．故選：C．【點睛】本題考查的是圓錐的計算，圓錐的側面積：，熟記圓錐的側面積公式是解題的關鍵．5.如圖，點、、、在網(wǎng)格中小正方形的頂點處，與相交于點，小正方形的邊長為1，則的長等于（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理計算AD的長，再根據(jù)△AOB∽△DOC，對應邊成比例，從而求出AO的長．【詳解】解：AD=，AB=2，CD=3，∵AB∥DC，∴△AOB∽△DOC，∴，∴設AO=2x，則OD=3x，∵AO+OD=AD，∴2x+3x=5．解得：x=1，∴AO=2，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理和相似三角形的判定和性質，解題關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質．6.已知點A（1，m），B（，n），在一次函數(shù)y＝2x+1的圖象上，則m與n的大小關系是（）A.m＞n B.m＝n C.m＜n D.無法確定【答案】C【解析】【分析】由k=2＞0根據(jù)一次函數(shù)的性質可得出結論．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=2x+1中k=2＞0，∴該一次函數(shù)y隨x的增大而增大，∵點A（1，m），B（，n）在一次函數(shù)y=2x+1的圖象上，且1＜，∴m＜n．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質，屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)一次項系數(shù)的正負得出該函數(shù)的增減性是關鍵．7.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列四個結論：①；②；③；④當時，．其中正確結論的個數(shù)為（）A.個 B.個 C.個 D.個【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)與不等式的關系，二次函數(shù)的性質等等，熟知二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．根據(jù)二次函數(shù)開口向上，與軸交于軸負半軸，，，根據(jù)對稱軸為直線可得，由此即可判斷①；，，判斷，由此即可判斷②；求出二次函數(shù)的圖象與軸的另一個交點坐標為，進而得到當時，，由此即可判斷③；利用圖象法即可判斷④．【詳解】解：二次函數(shù)開口向上，與軸交于軸負半軸，，，對稱軸為直線，，故①正確；，，，故故②錯誤；二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點坐標為；二次函數(shù)的圖象與軸的另一個交點坐標為；時，；將代入中，則故③正確；由函數(shù)圖象可知，當當時，，故④正確；故正確的個數(shù)為：個故選：C8.如圖，在邊長一定的正方形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上一動點，連接AF，以AF為斜邊作等腰直角三角形AEF．有下列四個結論：①；②四邊形AFCE的面積是定值；③當時，E為△ADC的內心；④若點F在BC上以一定的速度，從B往C運動，則點E與點F的運動速度相等．其中正確的結論的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由正方形的性質及等腰直角三角形的性質得：∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=45°，從而可判定①正確；由已知及①可得△CAF∽△DAE，由△CAF∽△DAE可得∠ADE=∠CDE=45°，，由正方形的性質可證明△ADE≌△CDE，可得AE=CE，即可判斷②；即有∠EAC=∠ECA，再由∠AEC=135°可得∠EAC=∠ECA=22.5°，從而CE、AE分別平分∠ACD、∠CAD，即可判定③正確；連接BD交AC于點O，由∠ADE=∠CDE=45°知，點E的運動軌跡為線段OD，而點F的運動軌跡為線段BC，由知，點F的運動速度是點E的運動速度的倍，即④錯誤，因而可確定答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，∴AD=CD，∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=∠ACB=45°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴∠FAE=∠DAC=45°，∵∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠CAE+∠DAE=∠DAC=45°，∴∠CAF=∠DAE，故①正確；∵△AEF、△DAC都是等腰直角三角形，∴即，∵∠CAF=∠DAE，∴△CAF∽△DAE，∴∠ADE=∠ACB=45°，，∵∠ADC=90°，∴∠ADE=∠CDE=45°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴AE=CE，，∴∠EAC=∠ECA，，∴四邊形AECF的面積是定值，故②正確；∵∠AEC=135°，∴，∵∠DAC=∠DCA=45°=2∠EAC=2∠ECA，∴CE、AE分別平分∠ACD、∠CAD，∵∠ADE=∠CDE=45°，∴DE平分∠ADC即點E是△ADC角平分線的交點，從而是△ADE的內心，故③正確；如圖，連接BD交AC于點O，∵∠ADE=∠CDE=45°，當點F與點B重合時，點E與點O重合；當點F與點C重合時，點E與點D重合，∴點E的運動軌跡為線段OD，而點F的運動軌跡為線段BC，∵，且點F與點E的運動時間相同，∴，即點F與點E的運動速度不相同，故④錯誤故選：C．【點睛】本題是一個綜合性較強的題目，考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，點的運動路徑的確定等知識，熟練運用這些知識是正確解答本題的關鍵．確定點E的運動路徑是本題的難點所在．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.）9.“燕雪花大軒臺”是詩仙李白眼里雪花，單個雪花的重量其實很輕，只有左右，用科學記數(shù)法可表示為______．【答案】【解析】【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定．用科學記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法，根據(jù)科學記數(shù)法的表示形式直接求解即可．【詳解】解：，故答案為：．10.函數(shù)中，自變量x的取值范圍是____．【答案】【解析】【詳解】解：由題意知：x-2≠0，解得x≠2；故答案為x≠2．11.分解因式：x2y-4y=____．【答案】y(x+2)(x-2)【解析】【分析】要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．【詳解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，故答案為：y(x+2)(x-2)．【點睛】提公因式法和應用公式法因式分解．12.已知關于x的方程的根是和3，則_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，代數(shù)式求值．熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．由關于x的方程的根是和3，可得，計算可求，然后代值求解即可．【詳解】解：∵關于x的方程的根是和3，∴，解得，∴，故答案為：．13.勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學校加大投入，建設校園農(nóng)場，該農(nóng)場一種作物的產(chǎn)量兩年內從300千克增加到363千克．設平均每年增產(chǎn)的百分率為，則可列方程為________．【答案】【解析】【分析】此題是平均增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率），結合本題，如果設平均每年增產(chǎn)的百分率為x，根據(jù)“糧食產(chǎn)量在兩年內從300千克增加到363千克”，即可得出方程．【詳解】解：設平均每年增產(chǎn)的百分率為x；第一年糧食的產(chǎn)量為：300（1+x）；第二年糧食的產(chǎn)量為：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；依題意，可列方程：300（1+x）2＝363；故答案為：300（1+x）2＝363．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為a（1±x）2＝b．14.如圖，測角儀CD豎直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D處測得建筑物頂端A的仰角為50°．若測角儀的高度是1.5m，則建筑物AB的高度約為_____m．（結果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【答案】7.5【解析】【分析】過點D作DE⊥AB，垂足為點E，根據(jù)正切進行求解即可；【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB，垂足為點E，則DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE?DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案為：7.5．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，準確構造直角三角形是解題的關鍵．15.如圖，在中，以點為圓心，為半徑作弧，分別交射線，于點，，再分別以，為圓心，的長為半徑作弧，兩弧在內部交于點，作射線，若，則，兩點之間的距離為_____.【答案】【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的判定及性質，勾股定理等知識點，根據(jù)尺規(guī)作圖的方法判定出菱形是解題的關鍵．根據(jù)題目所給的作圖信息判定出四邊形為菱形，再根據(jù)菱形的性質建立勾股定理的等式求解即可．【詳解】解：連接，，，設與相交于點，如圖所示：由作圖可得，，∴四邊形為菱形，∴，，，在中，由勾股定理得，，∴；故答案為：．16.如圖，的頂點A在y軸上，頂點B，D在x軸上，邊與y軸交于點E，若，，，則點E的坐標為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質，等腰直角三角形的性質，坐標與圖形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．求出，，，由平行四邊形的性質得出，過點作軸于點，求出，，求出的長，則可得出答案．【詳解】解：，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，過點作軸于點，，，，∴∴，，．故答案為：．17.如圖，點是反比例函數(shù)圖像上一點，作軸，軸，垂足分別為、，交反比例函數(shù)的圖像于、兩點，的面積是，則的值是______．【答案】2【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像與性質，設，可求，，根據(jù)的面積是，可得，結合，求出符合題意的k即可．【詳解】解：設，則，∵作軸，交反比例函數(shù)的圖像于，∴，∴，∵軸，交反比例函數(shù)的圖像于點，∴，∴，∵的面積是，∴，∴∴，∴，∴或，由題意知，∴，故答案為：2．18.如圖，在直角坐標系中，，是上一點，B是y正半軸上一點，且，，垂足為，則的最小值為__________________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質，圓周角定理，點到圓上的最短距離，勾股定理等知識點，合理作出輔助線是解題的關鍵．過點作軸，交的延長線于點，利用判定出得到，再根據(jù)推出點的運動軌跡，取的中點，連接，用勾股定理求出的長，即可求得最小值．【詳解】解：如圖，過點作軸，交的延長線于點，∵，∴．∵，軸，∴，，∴，又∵，，∴（ASA），∴，∵，∴點在以為直徑的圓上，取的中點，連接，∴，，∴當點三點共線時，有的最小值為；故答案為：．三、解答題（本大題共10小題，共96分.）19.（1）計算：．（2）求不等式的正整數(shù)解．【答案】（1）；（2），1、2、3．【解析】【分析】本題主要考查了實數(shù)混合運算，求不等式的正整數(shù)解，解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．（1）根據(jù)零指數(shù)冪和算術平方根定義，特殊角的三角函數(shù)值進行計算即可；（2）先去分母，然后去括號，移項，合并同類項，最后系數(shù)化為1，求出不等式解集，然后求出不等式的正整數(shù)解即可．【詳解】解：（1）；（2），去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，∴不等式的正整數(shù)解為1、2、3．20.先化簡再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先算分式的加法，再算乘法運算，最后代入求值，即可求解．【詳解】解：原式．當時，原式．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的通分和約分，是解題的關鍵．21.如圖，四邊形ABCD是菱形，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．（1）求證：△ABE≌△ADF；（2）若AE=4，CF=2，求菱形的邊長．【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】（1）利用AAS即可證明△ABE≌△ADF；（2）設菱形的邊長為x，利用全等三角形的性質得到BE=DF=x?2，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解即可．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD（菱形的四條邊相等），∠B=∠D（菱形的對角相等），∵AE⊥BCAF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°（垂直的定義），在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF(AAS)；【小問2詳解】解：設菱形的邊長為x，∴AB=CD=x，CF=2，∴DF=x?2，∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF=x?2（全等三角形的對應邊相等），在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AE2+BE2=AB2（勾股定理），∴42+(x?2)2=x2，解得x=5，∴菱形的邊長是5．【點睛】本題主要考查菱形的性質、勾股定理，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．22.每年6月6日為“全國愛眼日”．按照國家視力健康標準，學生視力狀況如下表所示．類別ABCD視力視力4.9視力視力健康狀況視力正常輕度視力不良中度視力不良重度視力不良為了解某學校學生視力狀況，隨機抽查了若干名學生進行視力檢測，整理樣本數(shù)據(jù)，得到下列統(tǒng)計圖根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次抽查的學生中，視力狀況屬于A類的學生有______人，D類所在扇形的圓心角的度數(shù)是______；（2）對于本次抽查的學生視力數(shù)據(jù)，中位數(shù)所在類別為______類；（3）已知該校共有300名學生，請估計該校“中度視力不良”和“重度視力不良”的學生總人數(shù)．【答案】（1）4；（2）B（3）135人【解析】【分析】（1）首先利用組的人數(shù)和所占的百分比求得總人數(shù)，然后乘以類所占的百分比即可求得類學生的人數(shù)；（2）用周角乘以類所占的百分比即可；（3）用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù)即可．【小問1詳解】解：觀察兩個統(tǒng)計題知：類有7人，占，所以調查的總人數(shù)為（人，所以視力情況屬于類的學生有（人，類所在扇形的圓心角的度數(shù)為．【小問2詳解】解：每類人數(shù)分別為4人，7人，8人，1人，共20人，所以中位數(shù)為第10人和第11人的平均數(shù)，均落在了類，所以本次抽查的學生視力數(shù)據(jù)，中位數(shù)所在類別為類．【小問3詳解】解：（人，所以估計該校“中度視力不良”和“重度視力不良”的學生總人數(shù)為135人．【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、統(tǒng)計表、中位數(shù)以及用樣本估計總體等知識，關鍵是從扇形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表中找出相應的數(shù)據(jù)．23.在一個不透明的布袋中裝有三個小球，小球上分別標有數(shù)字0、1、2，它們除數(shù)字外都相同．（1）隨機地從布袋中摸出一個小球，則摸出的球為標有數(shù)字2的概率為；（2）小明先從布袋中任意摸出一個小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標系內點A的橫坐標，將此球放回、攪勻，再從布袋中任意摸出一個小球，記下數(shù)字作為平面直角坐標系內點A的縱坐標．請用樹狀圖或表格列出點A所有可能的坐標，并求出點A在坐標軸上的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了概率，用樹狀圖或表格求概率，熟悉掌握樹狀圖或表格法列出所有可能性是解題的關鍵．（1）根據(jù)摸出的可能性運算求解即可；（2）運用列表法列出所有可能性，運算求解即可．【小問1詳解】解：由題意知，共有種等可能的結果，其中摸出的球為標有數(shù)字的結果有種，∴摸出的球為標有數(shù)字的概率為；【小問2詳解】列表如下：012012由表格可知，共有種等可能的結果．其中點在坐標軸上的結果有：，，，，，共種，∴點在坐標軸上的概率為．24.為了配合學校貫徹落實“雙減”政策，開展學生課后體育活動，某體育用品商店用10000元購進了一批足球，很快銷售一空；商店又用10000元購進了第二批該種足球，每個足球的進價比原來漲了，結果所購進足球的數(shù)量比第一批少40個．求第一批足球每個的進價是多少元？【答案】第一批足球每個的進價是50元【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，設第一批足球每個的進價是元則第二批足球每個的進價是元，根據(jù)第二批所購進足球的數(shù)量比第一批少40個列出方程求解即可．【詳解】解：設第一批足球每個的進價是元則第二批足球每個的進價是元根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，符合實際題意，，答：第一批足球每個的進價是50元．25.如圖，內接于，是的直徑，是上的一點，平分，，垂足為，與相交于點．（1）求證：是的切線；（2）當?shù)陌霃綖椋瑫r，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了圓的性質，圓周角，切線的判定，平行線的判定及性質，三角函數(shù)的比值關系等知識點，靈活運用圓的性質進行角的等量代換是解題的關鍵．（1）由得到，由角平分線可得到，利用圓的性質進行角的等量代換證出，即可由平行線的性質得到，從而推導出結果；（2）利用角的等量代換和三角函數(shù)的比值關系求出和的長，再利用勾股定理運算即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵是圓的半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，解得：，∴．26.在矩形中，．（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖．先在上確定點E，使．再在上確定點F，使以F為圓心的圓經(jīng)過點E和點C．（2）在（1）的條件下，若，且，則的長為【答案】（1）見解析（2）5【解析】【分析】（1）以B點為圓心，長為半徑畫弧，交于E點，連接，作的垂直平分線，與的交點即為F點．（2）根據(jù)，設，，利用，列式計算求得，則可得．設，在中，由勾股定理列式計算求出x的值即可．【小問1詳解】如圖所示：E點和F點即為所求．小問2詳解】∵四邊形是矩形，，，，，∴可以假設，，，，，，，，設，則，在中，，即，，．故答案為：5．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質，正弦函數(shù)的定義，勾股定理，矩形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．27.如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，求周長的最小值；（3）如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當S取得最大值時，求點P的坐標，并求出此時S的最大值．【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)題意設拋物線的表達式為，將代入求解即可；（2）作點O關于直線的對稱點E，連接，根據(jù)點坐特點及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點D，由對稱性，此時有最小值為AE的長，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系數(shù)法確定直線的表達式為，直線的表達式為，設，然后結合圖形及面積之間的關系求解即可．【小問1詳解】解：由題意可知，設拋物線的表達式為，將代入上式得：，所以拋物線的表達式為；【小問2詳解】作點O關于直線的對稱點E，連接，∵，，，∴，∵O、E關于直線對稱，∴四邊形為正方形，∴，連接，交于點D，由對稱性，此時有最小值為的長，∵的周長為，，的最小值為10，∴的周長的最小值為；【小問3詳解】由已知點，，，設直線的表達式為，將，代入中，，解得，∴直線的表達式為，同理可得：直線的表達式為，∵，∴設直線表達式為，由（1）設，代入直線的表達式得：，∴直線的表達式為：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴當時，此時P點為.．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長最短問題及面積問題，理解題意，熟練掌握運用二次函數(shù)的綜合性質是解題關鍵．28.如圖1，⊙I與直線a相離，過圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點（Q在P、H之間）．我們把點P稱為⊙I關于直線a的“遠點”，把的值稱為⊙I關于直線a的“特征數(shù)”．（1）如圖2，在平面直角坐標系中，點E的坐標為，半徑為1的⊙O與兩坐標軸交于點A、B、C、D．①過點E畫垂直于y軸直線m，則⊙O關于直線m的“遠點”是點_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O關于直線m的“特征數(shù)”為_________；②若直線n的函數(shù)表達式為，求關于直線n的“特征數(shù)”；（2）在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過點，點F是坐標平面內一點，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點是⊙F關于直線l的“遠點”，且⊙F關于直線l的“