第12講 圓錐曲線離心率 幾何坐標真給力（含解析）

【例2】設(shè)F是雙曲線的右焦點,過點F向C的一條漸近線引垂線,垂足為A,交另一條漸近線于點B.若2的離心率是()22【例3】已知雙曲線的兩個焦點為F1,F2,若P為雙曲線上一點,且=2PF2,則雙曲線離心率的取值范圍為()B.22【例4】已知雙曲線的左焦點為F,若雙曲線右支上存在點P,使得線段PF的中點Q仍在雙曲線上,則雙曲線離心率的取值范圍是.22【例5】設(shè)P為雙曲線上的一點,F1,F2分別為C的左、右焦點,若△PF1F2的內(nèi)切圓的直徑為a,則雙曲線C的離心率的取值范圍為()B.CD.)【例6】已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的焦點F1,F2,曲線C1,C2的一個交點為P,且PFPF2,則C1的離心率e1與C2的離心率e2一定滿足的關(guān)系是()強化訓練221.如圖12-8,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,B是虛軸的端點,直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點,線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若MF2=FF22.已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且上則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()22是雙曲線右支上的一點,直線F2P與y軸交于點A,△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q,若PQ=2,則該雙曲線的離心率為() A.2A.2B.3C.2D.34.已知點P在y軸上,點A,F2分別為雙曲線一的右頂點及右焦點,且PA與PF2的夾角為則此雙曲線離心率e的最小值為_________.225.設(shè)F是雙曲線一的右焦點,過點F向C的一條漸近線引垂線,垂足為M,交另一條漸近線于點N,若3則雙曲線C的離心率是.226.已知橢圓上一點A關(guān)于原點的對稱點為B,F為其右焦點,若b2,則該橢圓的離心率的取值范圍為.8.已知橢圓中心在坐標原點,焦點在x軸上,過橢圓左焦點的直線交橢圓于P,Q兩點,且OP丄OQ,則橢圓離心率的取值范圍229.如圖1210,A,F分別是雙曲線的左頂點、右焦點,過點F的直線l與C的一條漸近線垂直且與另一條漸近線和y軸分別交于P,Q兩點.若AP丄AQ,則C的離心率是() B.3段PF與圓2+y2=相切于點Q,.且則雙曲線的離心率等于() 2211.已知F1,F2為雙曲線的左、右焦點,P為雙曲線C右支上一F2,PF1與y軸交于點Q,點M滿足2,且MQ丄P則雙曲線C的離心率為() B.322O的兩條切線,切點分別為A,B,且滿足上APB=600,則橢圓的離心率的取值范圍是.________22解.22 【解法4】設(shè)橢圓的右焦點為F,，易知四邊形AFBF,是矩形，令|AF|=m， 解.由題意得OA022 【點撥】利用橢圓上點到原點距離的變化趨勢,結(jié)合極端情況,得到離心率的不等式巧解.【解法6】因為AF,丄AF,所以四邊形AF,BF為矩形,AB又因為AB=2c,所以S△FAB=.2ccosθ.2csinθ=c2sin2θ,2tan45。=b2,所以c2sin2θ=b2,sin 【點撥】利用矩形面積轉(zhuǎn)化成兩個焦點三角形面積后確定參數(shù)范圍.【賞析】【解法1】利用橢圓的對稱性,將BF轉(zhuǎn)化為AF,,將AF與AF,用角θ表示,再利用橢圓的定義將離心率e表示為θ的函數(shù),進而求出離心率e的取值范圍。應用【解法1】求解時應注意角θ的取值范圍.【解法1】體現(xiàn)了函數(shù)思想,要求學生有較好的分析能力及化歸能力.【解法2】將點A的坐標用角θ表示,然后代入橢圓方程解出cos22利用θ∈求出cos22θ的取值范圍,得到關(guān)于e2的不等式,結(jié)合0<e<1得出e的取值范圍.【解法2】利用了點在曲線上即點的坐標滿足曲線方程的特征,解題過程中體現(xiàn)了方程思想與化歸思想,對學生的運算能力及化歸能力有較高的要求,利用余弦函數(shù)的有界性將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題是解題的關(guān)鍵.【解法3】將直線AB的方程y=kx與圓x2+y2=c2聯(lián)立,求出x2,y2后代入粗圓方程解出k2后，再結(jié)合得出k2,建立關(guān)于a,b,c的不等式,結(jié)合0<e<1,求出e的取值范圍.【解法3】與【解法2】類似,前者利用點的坐標,后者利用斜率k,兩者的思想完全相同,恰當合理的轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵.【解法4】將m,n用θ表示,利用橢圓的定義及△AFF,是直角三角形,將e表示為tanθ的函數(shù),利用對勾函數(shù)求解.【解法4】與【解法1】類似,只是對的處理上有所不同.【解法4】利用化切處理再結(jié)合均值不等式得解,體現(xiàn)了函數(shù)思想與化歸思想,在數(shù)和式的處理上對學生提出了較高的要求.【解法5】利用極端情況,即上AOx=時的情況,將|OA|2的長度用a,b表示,再結(jié)合OA0OA=c得到e.事實上這里也利用余弦定理及勾股定理將AF,AF,用c表示,再結(jié)合橢圓定義得解.【解法5】采用“以靜制動”的方式處理問題,要求學生具有較好的觀察能力與推理能力.【解法6】利用S△AFB=S△AFF,,結(jié)合焦點三角形面積公式將sin2θ用-1表示,再利用sin2θ的有界性求出e的取值范圍.【解法6】與【解法2】類似,這里利用了正弦函數(shù)的有界性,同樣要求學生具有較好的分析、解決問題的能力和豐富的函數(shù)不等式的知識儲備.22【例2】設(shè)F是雙曲線的右焦點,過點F向C的一條漸近線引垂線,垂足為A,交另一條漸近線于點B.若2AF=FB,則C的離心率是() B.2【解析】【解法1】不妨設(shè)直線AB的方程為.將直線AB的方程與漸近線方程聯(lián)立求出A,B點的坐標,利用距離求解.聯(lián)立.可得2或b22,【點撥】將直線AB的方程與漸近線方程聯(lián)立求出A,B點的坐標,利用距離求解.【解法2】不妨設(shè)直線AB的方程為聯(lián)立可得同理可得yB【點撥】將直線AB的方程與漸近線方程聯(lián)立求出A,B點的坐標,利用縱坐標關(guān)系求解.【解法3】由雙曲線的性質(zhì)知,焦點F到漸近線的距離AF=b,因為2AF=FB,所以AB=3AF=,整理得a2【點撥】利用雙曲線中a,b,c的幾何意義,以及正切函數(shù)的定義得到a,b的關(guān)系式求解.【解法4】過點F向雙曲線的另一條漸近線作垂線,垂足為D,則DF=b,BF=2b.【點撥】由雙曲線的對稱性,構(gòu)造含30O角的直角三角形解決問題.【賞析】【解法1】利用坐標法求出直線AB:y=-與浙近線的交點坐標,再利用FB=2AF得到a,b的關(guān)系式,進而求出離心率e的值(注意對e進行檢驗).【解法1】利用———→———→———→——坐標法求解,將2AF=2FB轉(zhuǎn)化為2AF=FB,利用兩點間距離進行處理.解題過程中體現(xiàn)了方程思想的運用.本解法思路較為簡單,對運算能力要———→———→———→——【解法2】首先求出直線AB與漸近線的交點坐標,然后利用得到y(tǒng)B=-2yA(這里也可以分別過點A,B向x軸作垂線得到),進而得到a,b,c的關(guān)系式,解出離心率e.【解法2】較之【解法1】降低了運算量,思路也更為自然,選擇縱坐標的運算量明顯少于選擇橫坐標的運算量.解題過程中體現(xiàn)了方程思想,要求學生有較好的運算能力.【解法3】首先將上AOF與上AOB的正切用a,b表示,再利用正切二倍角公式得到a,b之間的關(guān)系式,進而求出離心率的值.【解法3】利用了雙曲線焦點到漸近線的距離為b的特征,結(jié)合圖形,巧妙地利用了長度關(guān)系及雙曲線的對稱性.解題過程中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想與方程思想,對學生的觀察能力及分析問題的能力有較高的要求.【解法4】則通過添加輔助線,將“AF與BF”化到同一直角三角形中,利用AF與BF的長度關(guān)系及相似、雙曲線漸近線的對稱性得到上AOF的大小,進而求出離心率,構(gòu)思巧妙,易于運算.【解法4】與【解法3】類似,但優(yōu)于【解法3】,可謂把數(shù)形結(jié)合運用到了極致,對學生分析問題的能力要求很高.22【例3】已知雙曲線的兩個焦點為F1,F2,若P為雙曲線上一點,且PF1=2PF2,則雙曲線離心率的取值范圍為()【解析】當點P在右頂點A處時,θ=π,因為-1cosθ<1,所以(1,3]【點撥】利用雙曲線的定義以及余弦定理求出離心率的表達式,由余弦函數(shù)的有界性求解.+PF2F1F2(當且僅當P,F1,F2三點共線時等號成立),【點撥】利用三角形的兩邊和大于第三邊,及兩邊差小于第三邊,但要注意本題可以取到等號,因為可以三點共線.【點撥】利用焦半徑公式,以及右支上的點的橫坐標范圍構(gòu)建不等式,確定a與c的關(guān)系.【解法4】依題意可知點PF1PFPF2,PFPF1PFPF2PFPF2PF【點撥】利用雙曲線右支上的點到焦點的距離的最小值為c一a,得到不等式求解.【點撥】由雙曲線的定義,求出PF1=4a,PF2=2a,利用焦點三角形的面積公式通過算兩次得到a,c以及兩焦半徑夾角之間的關(guān)系,再利用余弦函數(shù)的有界性求解.即3y22因為xa,所以a,解得e3.【點撥】利用兩點間距離公式求解.【賞析】【解法1】首先將e表示為再利用余弦定理將iF1F2i用m表示,消去m后將e表示為θ的函數(shù),結(jié)合cosθ的取值范圍求出e的取值范圍.【解法1】體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想,利用余弦函數(shù)的有界性求出離心率的取值范圍,要求學生有較好的化歸能力.【解法2】利用了三角形的三邊關(guān)系.應注意利用兩邊之和與第三邊的關(guān)系只能求出離心率的上界,不能求出下界,還要借助雙曲線離心率大于1的特征得出離心率的取值范圍.【解法2】的運算量較小,思路也較為簡單,對本題是一種較為實用的方法.【解法3】利用?曲線焦半徑公式,建立a,c的不等關(guān)系求解.【解法3】體現(xiàn)了方程思想,借助雙曲線性質(zhì)中的范圍,建立關(guān)于e的不等關(guān)系得到e的上界,再結(jié)合e>1得解.【解法3】思路較為簡單,利用范圍建立不等式的方法也是通法,學生較易想到此種方法.【解法4】由雙曲線上任一點到焦點的距離的最小值為c-a,建立a,c的不等關(guān)系求解.【解法4】與【解法3】類似,只是將點的范圍代換為PF2的范圍,而這里PF2的范圍則利用雙曲線的定義得到.【解法4】也是常見的解題思路,只要掌握基礎(chǔ)知識與基本方法即可.【解法5】首先利用雙曲線的定義將PF1,PF2用a表示,然后利用焦點三角形面積及余弦函數(shù)的有界性求解.面積法也是解決圓錐曲線問題的常見方法,【解法5】對學生代數(shù)式的處理能力及三角恒等變換能力要求較高.【解法6】利用兩點間距離公式及y20求出x的取值范圍,再利用xa及e>1求出e的取值范圍.有界性是處理離心率范圍問題的常見方法.通過解不等式得到xa,這是建立不等關(guān)系的關(guān)鍵.22【例4】已知雙曲線的左焦點為F,若雙曲線右支上存在點P,使得線段PF的中點Q仍在雙曲線上,則雙曲線離心率的取值范圍是.【解析】【解法1】設(shè)P(x,y),依題可知xa,因為F(-c,0),所以PF的中點Q的坐標為因為點Q在雙曲線上,所以因為點P在雙曲線上,所以兩式聯(lián)立消去y得解得,所以a,又因為整理可得e3.【點撥】利用點在雙曲線上,以及右支上點的橫坐標的范圍求解.【解法2】因為Q為FP的中點,O為FF2的中點,結(jié)合雙曲線的第一定義可得QF-QO=a,所以點Q在以F,O為焦點,長軸長為a的雙曲線上,即點Q在雙曲線向左平移個單位長度所得雙曲線的右支上,其右頂點的橫坐標為由題意知存在點P的條件是兩條雙曲線有交點,所以--a,解得e3.【點撥】利用雙曲線定義、三角形中位線定理,以及兩雙曲線有交點的條件解題.【解法3】設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2,右焦點為F2,不妨設(shè)點F,P,Q在直線l上,依雙曲線的對稱性可知,只需考慮直線的斜率0<k<即可，直線l繞點F逆時針旋轉(zhuǎn),即當k從0逐漸增大時逐漸減小,若要滿足Q仍為FP中點,則只需即可,即,解得e3.【點撥】利用幾何動態(tài)變化,觀測的變化趨勢，得到不等式求解.由PQ+PF2QF2得m2a,即c-a2a,解得e3.【點撥】利用雙曲線的定義以及三角形不等式求解.【解法5】設(shè)上PFx=θ,FQ=r,由雙曲線的第二定義,兩式相減消去r得cosθ=1,所以e3.e【點撥】利用雙曲線第二定義,以及余弦函數(shù)的有界性求解.【賞析】【解法1】利用點在曲線上進行解答.條件中曲線上存在點滿足關(guān)系式的題目均可使用此解法.【解析】【解法1】利用了坐標法,結(jié)合xa建立關(guān)于e的不等式后得解,是處理離心率取值范圍問題的常見方法.【解法2】考慮Q點所滿足的方程和雙曲線方程的關(guān)系進而求解,方法獨特.【解法2】體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)越性,對能力要求較高.【解法3】利用直線斜率的變化情況,判斷結(jié)論的臨界取值,是解答小題的一種策略.【解法3】體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.【解法4】有效利用平面幾何中的三角形邊長關(guān)系,簡潔明快.兩邊之和與第三邊的關(guān)系是建立不等式的常見思路.【解法5】利用雙曲線的橫坐標公式與余弦的有界性求解,運算量較小.22【例5】設(shè)P為雙曲線上的一點,F1,F2分別為C的左、右焦點,若△PF1F2的內(nèi)切圓的直徑為a,則雙曲線C的離心率的取值范圍為()B.CD.)【解析】【解法1】如圖12-5,不妨設(shè)點P(x0,y0)在第一象限,設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓I與三邊分別切于點M,N,T,則有PM=PN,F1M=F1T,F2N=F2T,由雙曲線定義有PF1-PF2=2a，2所以FM1FM-F2N所以FT-FT所以點T在雙曲線上,即點T為雙曲線的右頂點,所以內(nèi)切圓圓心I橫坐標為a,所以△PF1F2的內(nèi)切圓圓心坐標為.當x0趨向無窮大時,PF1幾乎與漸近線x平行,設(shè)漸近線x的傾斜角為θ,切線PF1的傾斜角為α,則α<θ. 5【點撥】利用雙曲線定義,以及角的特點得到不等關(guān)系.【解法2】不妨先固定a,由【解法1】知內(nèi)切圓切于頂點T(a,0),內(nèi)切圓圓心為當焦點F2遠離頂點T時,雙曲線離心率越來越大,當焦點F2接近頂點T時,離心率越來越小,其臨界狀態(tài)為MF1//NF2.F2上IF1FF所以所以4c2-4a2=a2,【點撥】固定a,分析F2變化時離心率的變化規(guī)律，得到當MF1//NF2時為e的極小值位置(不能取到).【解法3】不妨設(shè)點P(x0,y0)在第一象限,因為△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為,又PF1-PF2=2a,所以=c.y0,所以-a-c,又因為所以又點P(x0,y0)在雙曲線上,所以=1,消去y0,有b2x2=a2b2,整理得到4b2-a2)x-2a3x0-a4-4a2b2=0.所以關(guān)于x0的方程(4b2-a2)x-2a3x0-a4-4a2b2=0在[a,+∞)上有解.令f(x)=(4b2-a2)x2-2a3x-a4-4a2b2,5,此時f=-2a3x-a4-4a2b2<0恒成立,方程f(x)=0在[a,+∞)上無解,故舍去;當4b2-a2<0時,f(x)=(4b2-a2)x2-2a3x-a4-4a2b2<0恒成立,方程f(x)=0在[a,+∞)上無解,故舍去;當4b2-a2>0時,注意到f(a)=-4a4<0,拋物線開口向上,此時f(x)=0在[a,+∞)上有選A.【點撥】利用函數(shù)與方程思想,轉(zhuǎn)化為方程解的問題.【賞析】如果題目涉及焦點三角形,常常運用圓錐曲線的定義,結(jié)合圖形借助平面幾何知識尋求不等關(guān)系,如【解法1】利用角度之間的關(guān)系,結(jié)合三角恒等變換,得到a,c的不等關(guān)系.【解法1】體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想與方程思想,對能力要求較高.極端分析就是將所要研究的問題向極端狀態(tài)進行分析,使因果關(guān)系變得更加明顯,從而迅速解決問題.對于計算量大的題,有時采用極端分析,就能較快地解決問題,如【解法2】.利用圓錐曲線橫坐標或縱坐標自身的限制條件,例如橢圓與雙曲線對橫坐標的范圍有要求.如果問題圍繞“在曲線上存在一點”展開,則可考慮將該點坐標用a,b,c表示,且點坐標的范圍限制就是求離心率范圍的突破口,或轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個區(qū)間內(nèi)有解,如【解法3】.【例6】已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的焦點F1,F2,曲線C1,C2的一個交點為P,且PFPF2,則C1的離心率e1與C2的離心率e2一定滿足的關(guān)系是()【解析】【點撥】采用特例排除法解題.【解法2】不妨設(shè)橢圓C1的方程為雙曲線C2的方程為=1,點P在第一象限,半焦距為c,,所以PF12+PF22=4c2,【點撥】利用橢圓與雙曲線的定義,借助勾股定理求解.【解法3】設(shè)橢圓C1的方程為雙曲線C2的方程為如圖12-7,由焦點三角形的面積公式,在橢圓中有:在雙曲線中有:故選D.【點撥】利用橢圓、雙曲線焦點三角形的面積公式求解.Fθ,則故選D.利用橢圓及雙曲線的定義及正弦定理.【賞析】【解法1】取特例,對選項進行檢驗排除,可以快速地得到答案.作為選擇題,如果能用特例進行排除,可以提高準確率.【解法1】體現(xiàn)了特殊化方法的優(yōu)勢.【解法2】是求解圓錐曲線離心率的常用方法,利用圓錐曲線定義結(jié)合平面幾何知識,從幾何關(guān)系尋求a,c的關(guān)系式.分析圖形的幾何特征,利用幾何關(guān)系建立關(guān)于a,b,c的方程是解決離心率問題的常見策略.【解法2】體現(xiàn)了方程思想的運用,對代數(shù)式的恒等變形能力要求較高.【解法3】利用橢圓與雙曲線焦點三角形的面積公式,得到曲線之間的關(guān)系.橢圓焦點三角形面積:S△P=b2tan體現(xiàn)了方程思想與化歸思想的運用,要求學生具有較好的分析、解決問題的能力.【解法4】對代數(shù)式的恒等變形要求較高.強化訓練221.如圖128,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,B是虛軸的端點,直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點,線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M.若MF2MF=FFFF C.2 D.3【解析】易得直線F1B的方?為x+b,則Q則PQ的中點N的坐標為中垂線方程為由題意得2.已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且上則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()由余弦定理得s2=m2+n2-m223.如圖12-9,已知雙曲線的左、右焦點分別為F1,F2,F1F2=8,P是雙曲線右支上的一點,直線F2P與y軸交于點A,△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q,若PQ=2,則該雙曲線的離心率為() A.·2B.3C.2D.3【解析】如答圖12-1所示,設(shè)直線AF1,AF2與A.·2B.3C.2D.3由F224.已知點P在y軸上,點A,F2分別為雙曲線一的右頂點及右焦點,且PA與PF2的夾角為則此雙曲線離心率e的最小值為_________.【解析】如答圖12一2,以AF2為半徑作圓M,上AM.欲使y軸上存在點P,使得即3ac,所以e3.故離心率e的最小值為3.225.設(shè)F是雙曲線一的右焦點,過點F向C的一條漸近線引垂線,垂足為M,交另一條漸近線于點N,若3則雙曲線C的離心率是.【解析】由題意得右焦點F(c,0),設(shè)一漸近線OM的方程為y=x,則另一漸近線ON的方程為x,設(shè)M所以c,n=2c,M 226.已知橢圓上一點A關(guān)于原點的對稱點為B,F為其右焦點,若【解析】點A與B關(guān)于原點對稱,所以點B在橢圓上,AF'+|AFAF'+|AF|O為RtΔABF的斜邊中點,所以|AB|=2c,又因為|AF|=2ccosα(2把(2)(3)代人(1)得2csinα+2ccosα=2a,所以·2·6所以e.