高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題題組訓(xùn)練4歐拉學(xué)生版

專題4歐拉一、單選題1．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下公式，這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)中有特別重要的地位，即聞名的“歐拉公式”，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，據(jù)歐拉公式，則下列選項(xiàng)不正確的是（

） B． C． D．2．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉通過探討，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，得到聞名的歐拉公式(為虛數(shù)單位)，此公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（

）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限3．歐拉恒等式（為虛數(shù)單位，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學(xué)中最奇異的公式.它是復(fù)分析中歐拉公式的特例：當(dāng)自變量時(shí)，，得.依據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（

）象限.A．一 B．二 C．三 D．四4．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉獨(dú)創(chuàng)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有特別重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面內(nèi)（

）．A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限5．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉獨(dú)創(chuàng)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有特別重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面內(nèi)（

）．A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)分別為隨意的外心?重心?垂心，則下列各式確定正確的是（

）A． B．C． D．7．歐拉是18世紀(jì)最宏大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項(xiàng)調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最宏大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特別狀況．由歐拉公式，復(fù)數(shù)z滿意，則z的虛部是（

）A．i B．1 C． D．8．費(fèi)馬數(shù)是以法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的一組自然數(shù)，具有形式為記做，其中為非負(fù)數(shù)．費(fèi)馬對(duì)，，，，的情形做了檢驗(yàn)，發(fā)覺這組費(fèi)馬公式得到的數(shù)都是素?cái)?shù)，便提出猜想：費(fèi)馬數(shù)是質(zhì)數(shù)．直到年，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺為合數(shù)，宣布費(fèi)馬猜想不成立．?dāng)?shù)列滿意，則數(shù)列的前項(xiàng)和滿意的最小自然數(shù)是（

）A． B． C． D．9．有一個(gè)特別好玩的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前n項(xiàng)和已經(jīng)被探討了幾百年，但是迄今為止照舊沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當(dāng)n很大時(shí)，，其中稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，……，至今為止都還不確定是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)．由于上式在n很大時(shí)才成立，故當(dāng)n較小時(shí)計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際值之間是存在確定誤差的，已知，．用上式估算出的與實(shí)際的的誤差確定值近似為（

）A．0.073 B．0.081 C．0.122 D．0.65710．歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)此公式可知，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限11．歐拉是世紀(jì)最宏大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項(xiàng)調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最宏大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特別狀況．依據(jù)歐拉公式，若復(fù)數(shù)z滿意，則z的虛部是（

）A． B． C． D．12．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同始終線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)，且，則的歐拉線的方程為（

）A． B．C． D．13．歐拉公式被稱為世界上最完備的公式，歐拉公式又稱為歐拉定理，是用在復(fù)分析領(lǐng)域的公式，歐拉公式將三角函數(shù)與復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)相關(guān)聯(lián)，即（）.依據(jù)歐拉公式，下列說法不正確的是（

）A．對(duì)隨意的， B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限C．的實(shí)部為 D．與互為共軛復(fù)數(shù)14．大數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺的公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，這個(gè)公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．若復(fù)數(shù)z的模是1，純虛數(shù)（a是實(shí)數(shù)），則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．415．形如的數(shù)被稱為費(fèi)馬數(shù)，費(fèi)馬完成了,,,,的驗(yàn)證后，于1640年提出猜想：費(fèi)馬數(shù)都是質(zhì)數(shù)，但由于及之后的費(fèi)馬數(shù)都實(shí)在太大了，費(fèi)馬也未能完成驗(yàn)證及證明.直到1732年才被數(shù)學(xué)家歐拉算出不是質(zhì)數(shù)，從而宣告了費(fèi)馬數(shù)的猜想不成立.現(xiàn)設(shè)，若隨意，使不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．(1,+∞) B． C．(,+∞) D．16．若正整數(shù)、只有為公約數(shù)，則稱、互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).函數(shù)以其首名探討者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則下列說法正確的是（

）A．B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則17．在數(shù)學(xué)和很多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于全部不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則=（

）A． B． C． D．18．歐拉是十八世紀(jì)宏大的數(shù)學(xué)家，他奇異地把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i，三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，得到公式，這個(gè)公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”.依據(jù)該公式，可得的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．19．對(duì)正整數(shù)a，函數(shù)表示小于或等于a的正整數(shù)中與a互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目，此函數(shù)以其首位探討者歐拉命名，故稱為歐拉函數(shù)．例如：因?yàn)榫?互質(zhì)，所以．基于上述事實(shí)，（

）A．8 B．12 C．16 D．2420．1614年納皮爾在探討天文學(xué)的過程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而獨(dú)創(chuàng)對(duì)數(shù)；1637年笛卡爾起先運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算；1770年，歐拉發(fā)覺了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的獨(dú)創(chuàng)先于指數(shù)，稱為數(shù)學(xué)史上的珍聞，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，即對(duì)數(shù)函數(shù)（且）的反函數(shù)為（且）．已知函數(shù)，，則對(duì)于隨意的，有恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．21．宏大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)數(shù)”難題．當(dāng)時(shí)，，又依據(jù)泰勒綻開式可以得到，依據(jù)以上兩式可求得（

）A． B． C． D．二、填空題22．歐立公式（為虛數(shù)單位，為自然底數(shù)）是瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，在復(fù)變函數(shù)論中占有特別重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋"，若將其中取作就得到了歐拉恒等式，它將兩個(gè)超越數(shù)——自然底數(shù)，圓周率，兩個(gè)單位一虛數(shù)單位，自然數(shù)單位1，以及被稱為人類宏大發(fā)覺之一0聯(lián)系起來(lái)，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)建的公式”.由歐拉公式可知，若復(fù)數(shù)，則__________.23．歐拉恒等式:被數(shù)學(xué)家們驚羨為“上帝創(chuàng)建的等式”.該等式將數(shù)學(xué)中幾個(gè)重要的數(shù):自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，圓周率π，虛數(shù)單位i、自然數(shù)1和0完備地結(jié)合在一起，它是由歐拉公式:，令得到的.依據(jù)歐拉公式，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第_____象限.24．歐拉公式：（是虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉獨(dú)創(chuàng)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立起三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，求的最大值為_____25．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．依據(jù)歐拉公式復(fù)數(shù)的虛部為__________．26．?dāng)?shù)學(xué)家也有很多漂亮的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被擅長(zhǎng)計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出.

也就是說不是質(zhì)數(shù)，這個(gè)猜想不成立．設(shè)是數(shù)列前n項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，則m的最大值是______．27．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線．若△ABC中，，，則下列各式中正確的序號(hào)是______．①

②

③

④28．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：隨意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知的頂點(diǎn)，，，則歐