高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題題組訓(xùn)練17秦九韶教師版

專題17秦九韶一、單選題1．南宋時(shí)期，數(shù)學(xué)家秦九韶提出利用三角形的三邊求面積的公式：假如一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，那么三角形的面積，后人稱之為秦九韶公式，這與古希臘數(shù)學(xué)家海倫證明的面積公式實(shí)質(zhì)是相同的.若在中，，則的內(nèi)切圓半徑的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】干脆依據(jù)題干的面積公式計(jì)算，然后依據(jù)等面積法計(jì)算可得該三角形的內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由題可知：，又，所以由，所以.故選：D2．南宋時(shí)期，我國(guó)聞名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)覺了與海倫公式等價(jià)的求三角形面積的方法，稱之為“三斜求積術(shù)”.這個(gè)公式能用三角形的三邊a、b、c來求三角形的面積S.數(shù)學(xué)課上，張三在做筆記時(shí)由于分神，有部分公式?jīng)]有抄完，他的筆記寫著，請(qǐng)問□里是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由面積公式與余弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，得到答案.【詳解】由三角形面積得：.故選：C3．宋元時(shí)期是我國(guó)古代數(shù)學(xué)特別輝煌的時(shí)期，其中秦九韶、李治、楊輝、朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家，其他表作有秦九韶的《數(shù)學(xué)九章》，李治的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》．現(xiàn)有數(shù)學(xué)著作《數(shù)學(xué)九章》，《測(cè)圓海鏡》，《益古演段》，《詳解九章算法》，《楊輝算法》，《算學(xué)啟蒙》，《四元玉鑒》，共7本，從中任取3本，至少含有一本楊輝的著作的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求其對(duì)立事務(wù)的概率，再用減去其對(duì)立事務(wù)的概率即為所求【詳解】解析：所求概率故選：D4．中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫——秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿意，，則此三角形面積的最大值為（

）A． B．8 C． D．【答案】A【解析】【分析】求出，利用海倫——秦九韶公式將面積表示為的函數(shù)，利用的范圍及二次函數(shù)學(xué)問可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，所以，因?yàn)?，即，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.故選：A5．我國(guó)南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式.設(shè)△的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，面積為，“三斜求積”公式表示為.在△中，若，則用“三斜求積”公式求得△的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由正弦定理邊角關(guān)系可得，再結(jié)合已知可得，代入“三斜求積”公式即可求面積.【詳解】由正弦定理可得：，則，又，即，所以.故選：C6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了三角形面積的求法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隅.開平方得積.”假如把以上這段文字寫成公式，就是.依據(jù)此公式，中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且，則的面積為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】結(jié)合正弦定理、三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】依題意，由正弦定理得，，，所以.故選：B7．我國(guó)南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)覺了已知三角形三邊求三角形面積的方法，他把這種方法稱為“三斜求積”：以斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積.在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”里就有已知三邊求三角形面積的問題，該問題翻譯成現(xiàn)代漢語就是：一塊三角形田地，三邊分別為13，14，15，則該三角形田地的面積是（

）A．84 B．168 C．79 D．63【答案】A【解析】【分析】依據(jù)“三斜求積”可得三角形面積公式為，代入數(shù)值計(jì)算可得；【詳解】解：依題意設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，且，則三角形面積公式為，又，，，所以故選：A8．我國(guó)南宋時(shí)期聞名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即的面積，其中分別為的內(nèi)角的對(duì)邊，若，且，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)求出關(guān)系，代入面積公式，利用二次函數(shù)的學(xué)問求解最值.【詳解】因?yàn)?，所以，即；由正弦定理可得，所以；?dāng)時(shí)，取到最大值.故選：A.9．秦九韶是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn)．秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，三斜求積術(shù)即已知三邊長(zhǎng)求三角形面積的方法，用公式表示為：，其中，，是的內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知中，，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換可得，代入面積公式，變形后結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】由得，，即，所以，，所以，即時(shí)，．故選：A．10．秦九韶是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn)．秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，三斜求積術(shù)即已知三邊長(zhǎng)求三角形面積的方法，用公式表示為：，其中，，是的內(nèi)角，，的對(duì)邊．已知中，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)，得到，即，再由，利用余弦定理得到，代入，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.【詳解】解：中，因?yàn)椋?，則，即，又，則，即，則，所以，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值為，故選：A11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則△ABC的面積．依據(jù)此公式，若，且，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知，求得，再依據(jù)余弦定理求，最終代入面積公式求解.【詳解】由正弦定理邊角互化可知化簡(jiǎn)為，即，,，解得：，依據(jù)面積公式可知.故選：A12．我國(guó)南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】【分析】依據(jù)因?yàn)?，，利用正弦定理得到，代入體積公式求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，所以，故選：A13．?dāng)?shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個(gè)的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長(zhǎng)的一半，與古希臘數(shù)學(xué)家海倫公式完全一樣，所以這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式.現(xiàn)有一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為24，，則當(dāng)三角形面積最大值時(shí)AB邊上的高為（

）A．8 B． C．12 D．【答案】B【解析】【分析】代入公式，結(jié)合基本不等式可得當(dāng)時(shí)三角形的面積取得最大值，再計(jì)算AB邊上的高即可【詳解】由題意得，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)三角形的面積取得最大值，所以AB邊上的高為故選：B.14．我國(guó)南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，“三斜求積”公式表示為.在中，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依據(jù)若，，得到ac和，代入求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以，故選：C15．我國(guó)南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)覺了“三斜”求職公式，即的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則的面積.已知在中，，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】【分析】由條件得，由基本不等式得，再由可求解.【詳解】∵，又∵，.∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.∴，∴面積的最大值為4.故選：D16．我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，其內(nèi)容為：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”把以上文字寫成公式，即.（其中S為面積，a，b，c為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊）．若bcosC＋ccosB＝4，c＝，且a＝c（cosB＋cosC），則利用“三斜求積”公式可得△ABC的面積S＝（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【解析】【分析】將利用余弦定理化角為邊，求得，利用正弦定理將化邊為角，求得，再依據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，所以，又因?yàn)?，由正弦定理可得，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，代入．故選：B．17．已知三角形的三邊長(zhǎng)為、、，則三角形的面積為（海倫—秦九韶公式），，若，，，則面積的最大值為（

）A． B． C．16 D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)海倫—秦九韶公式將三角形的面積表示出來，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：在中，由，，則，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以面積的最大值為.故選：A.18．秦九韶是我國(guó)南宋聞名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從陽，開平方得積．”假如把以上這段文字寫成公式就是，其中a，b，c是的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，且，則面積S的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正弦定理和余弦定理得到，代入面積公式并依據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】由得，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.故選：B19．?dāng)?shù)學(xué)必修二101頁介紹了海倫-秦九韶公式：我國(guó)南宋時(shí)期聞名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形的面積的公式，與聞名的海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隔，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即，其中、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊.若，，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】【分析】將已知等式結(jié)合進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到，并利用正弦定理可得，代入“三斜求積”公式并將看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】，，又，所以，所以，所以，所以，由正弦定理得

的面積，，將看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)即a=2時(shí)，的面積S有最大值為.故選：A.二、多選題20．中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積.把以上文字寫成公式，即（S為三角形的面積，a，b?c為三角形的三邊）.現(xiàn)有△ABC滿意，且△ABC的面積，則下列結(jié)論正確的是（

）A．△ABC的最短邊長(zhǎng)為4 B．△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿意C．△ABC的外接圓半徑為 D．△ABC的中線CD的長(zhǎng)為【答案】AB【解析】【分析】結(jié)合題意利用正余弦定理處理運(yùn)算，常用向量處理△ABC的中線：．【詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，設(shè)，，，因?yàn)椋?，解得，則，，，A正確；因?yàn)椋?，，故B正確；因?yàn)?，所以，由正弦定理得，，C錯(cuò)誤；，所以，故，D錯(cuò)誤.故選：AB.21．《數(shù)書九章》是我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個(gè)問題，分為九類，每類九個(gè)問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九昭的很多創(chuàng)建性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即，現(xiàn)有周長(zhǎng)為的滿意.判定下列命題正確的有（

）A．在中角C=30° B．的面積為C．的外接圓半徑為 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)給定條件，求出邊長(zhǎng)a，b，c，再利用正余定理、面積定理逐項(xiàng)分析、計(jì)算推斷作答.【詳解】因的周長(zhǎng)為，且三邊長(zhǎng)滿意，于是得，由余弦定理得：，而，則，A不正確；由選項(xiàng)A知，的面積，B正確；由選項(xiàng)A及正弦定理知，的外接圓半徑有，解得，C正確；設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則的面積，解得，D正確.故選：BCD22．中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有△滿意，且，請(qǐng)推斷下列命題正確的是（

）A．△周長(zhǎng)為 B．C．△的外接圓半徑為 D．△中線的長(zhǎng)為【答案】BC【解析】【分析】由題設(shè)及正弦定理得，再結(jié)合已知條件求a、b、c推斷A的正誤；應(yīng)用余弦定理求角C，正弦定理求外接圓的半徑，作應(yīng)用勾股定理求.【詳解】由題設(shè)及正弦定理知：，令且，，可得，所以，則△周長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤；，又，則，B正確；△的外接圓半徑為，C正確；如下圖，過作，由題設(shè)知：，則，又，可得，故，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC三、雙空題23．我國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積，把以上文字寫出公式，即(其中為三角形面積，，，為三角形的三邊).在非直角中，，，為內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的三邊，若且，則面積的最大值是______，此時(shí)________.【答案】

【解析】【分析】由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合已知三角形的面積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，所以，即，因?yàn)椴皇侵苯侨切?，所以，所以，由正弦定理得，由題意可得，當(dāng)即時(shí)，的面積最大，此時(shí)．故答案為：，．24．我國(guó)南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202-1261）被國(guó)外科學(xué)史家贊譽(yù)為“他那個(gè)民族，那個(gè)時(shí)代，并且的確也是全部時(shí)代最宏大的數(shù)學(xué)家之一”．他獨(dú)立推出了“三斜求積”公式，求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)．一為從隅，開平方得積．”把以上這段文字寫成從三條邊長(zhǎng)求三角形面積的公式，就是.現(xiàn)有滿意，且的面積是，則的周長(zhǎng)為________，邊中線的長(zhǎng)為_________【答案】

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【解析】【分析】由正弦定理得出三邊關(guān)系，再由面積公式求出各邊得出周長(zhǎng)，再利用即可求出中線的長(zhǎng).【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，設(shè)，則由題可得，解得，則的周長(zhǎng)為，因?yàn)闉橹芯€，中，，設(shè)，則，解得或.又在三角形中，，所以.故答案為：；.四、填空題25．中國(guó)南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三條邊長(zhǎng)分別為，，，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿意，則此三角形面積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合三角形的面積公式以及基本不等式求得三角形面積的最大值.【詳解】，所以三角形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：26．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則的面積.依據(jù)此公式，若，且，則的面積為______.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)已知，求得，再依據(jù)余弦定理求，最終代入面積公式求解.【詳解】解：由正弦定理邊角互化可知化簡(jiǎn)為，即，,∴，解得：，依據(jù)面積公式可知故答案為：27．南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積.把以上文字寫成公式，即（其中為三角形的面積，為三角形的三邊）.在斜中，分別為內(nèi)角所對(duì)的邊，若，且.則此面積的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理化邊為角，應(yīng)用誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式變形可求得，再由正弦定理得，代入面積公式得面積為的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】解：∵，∴，即，即，又且，則，∴，∴，又，所以，解得，∴，∴時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查新定義，解題關(guān)鍵是利用正弦定理及三角函數(shù)恒等變換公式得出邊的關(guān)系，利用新給出的面積公式表示出三角形面積，從而可得最大值及邊長(zhǎng)．28．我國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了一種求三角形面積的方法“三斜