2025屆浙東北聯(lián)盟 高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆浙東北聯(lián)盟高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某單位職工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，為了了解職工的建康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取10人進行體檢，則應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為（）A．3 B．5 C．2 D．12．函數(shù)的最小正周期為，則圖象的一條對稱軸方程是（）A． B． C． D．3．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列敘述正確的是（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.A．①② B．③④ C．①③ D．②④4．有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點．已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)超過39，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是A．4 B．5 C．6 D．75．設(shè)等比數(shù)列的公比為,其前項的積為,并且滿足條件：；給出下列論:①；②；③值是中最大值；④使成立的最大自然數(shù)等于198.其中正確的結(jié)論是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．已知點在第二象限，角頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，則角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．某班有男生30人，女生20人，按分層抽樣方法從班級中選出5人負責(zé)校園開放日的接待工作．現(xiàn)從這5人中隨機選取2人，至少有1名男生的概率是（）A． B． C． D．8．已知實數(shù)列-1,x,y,z,-2成等比數(shù)列,則xyz等于A．-4 B． C． D．9．已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點（不含端點）．設(shè)SE與BC所成的角為，SE與平面ABCD所成的角為β，二面角S-AB-C的平面角為，則（）A． B． C． D．10．已知一個幾何體是由半徑為2的球挖去一個三棱錐得到（三棱錐的頂點均在球面上）.若該幾何體的三視圖如圖所示（側(cè)視圖中的四邊形為菱形），則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某餐廳的原料支出與銷售額（單位：萬元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出與的線性回歸方程，則表中的值為_________.245682535557512．已知數(shù)列滿足，（），則________.13．若正四棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)面與底面所成的角是45°，則該正四棱錐的體積是________.14．下列五個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(寫出所有符合要求的圖形序號)______15．_________.16．已知等差數(shù)列中，其前項和為，且，，當(dāng)取最大值時，的值等于_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.（1）試判斷的形狀，并說明理由；（2）若，試求面積的最大值.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O為AD中點．（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）線段AD上是否存在點，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．20．的內(nèi)角所對的邊分別為，向量，若.（1）求角的大小；（2）若，求的值.21．已知所在平面內(nèi)一點，滿足：的中點為，的中點為，的中點為.設(shè)，，如圖，試用，表示向量.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

先由題意確定抽樣比，進而可求出結(jié)果.【詳解】由題意該單位共有職工人，用分層抽樣的方法從中抽取10人進行體檢，抽樣比為，所以應(yīng)抽查的老年人的人數(shù)為.故選A【點睛】本題主要考查分層抽樣，會由題意求抽樣比即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、D【解析】

先根據(jù)函數(shù)的周期求出的值，求出函數(shù)的對稱軸方程，然后利用賦值法可得出函數(shù)圖象的一條對稱軸方程.【詳解】由于函數(shù)的最小正周期為，則，，令，解得.當(dāng)時，函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為.故選：D.【點睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的周期求參數(shù)，同時也考查了正弦型函數(shù)圖象對稱軸方程的計算，解題時要結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)來進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.3、D【解析】可以線在平面內(nèi)，③可以是兩相交平面內(nèi)與交線平行的直線，②對④對，故選D.4、C【解析】

根據(jù)相鄰正方體的關(guān)系得出個正方體的棱長為等比數(shù)列，求出塔形表面積的通項公式，令，即可得出的范圍．【詳解】設(shè)從最底層開始的第層的正方體棱長為，則是以2為首項，以為公比的等比數(shù)列.∴是以4為首項，以為公比的等比數(shù)列∴塔形的表面積為.令，解得.∴塔形正方體最少為6個.故選C.【點睛】此題考查了立體圖形的表面積問題以及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是得到上下正方體的棱長之間的關(guān)系，從而即可得出依次排列的正方體的一個面的面積，這里還要注意把最下面的正方體看做是6個面之外，上面的正方體都是露出了4個面．5、B【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式判斷①正確；利用等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)判斷②錯誤；利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷③錯誤；利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷④正確，，從而得出結(jié)論.【詳解】解：由可得又即由，即,結(jié)合，所以，，即，，即，即①正確；又，所以，即，即②錯誤；因為，即值是中最大值，即③錯誤；由，即，即，又，即，即④正確，綜上可得正確的結(jié)論是①④，故選：B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)，重點考查了運算能力，屬中檔題.6、C【解析】

根據(jù)點的位置，得到不等式組，進行判斷角的終邊落在的位置．【詳解】點在第二象限在第三象限，故本題選C．【點睛】本題考查了通過角的正弦值和正切值的正負性，判斷角的終邊位置，利用三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7、D【解析】

由題意，男生30人，女生20人，按照分層抽樣方法從中抽取5人，則男生為人，女生為，從這5人中隨機選取2人，共有種，全是女生的只有1種，所以至少有1名女生的概率為，故選D.8、C【解析】.9、C【解析】

根據(jù)題意，分別求出SE與BC所成的角、SE與平面ABCD所成的角β、二面角S-AB-C的平面角的正切值，由正四棱錐的線段大小關(guān)系即可比較大小.【詳解】四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，所以四棱錐為正四棱錐，（1）過作，交于，過底面中心作交于，連接，取中點，連接，如下圖（1）所示：則；（2）連接如下圖（2）所示，則;（3）連接，則，如下圖（3）所示：因為所以，而均為銳角，所以故選：C.【點睛】本題考查了異面直線夾角、直線與平面夾角、平面與平面夾角的求法，屬于中檔題.10、C【解析】由三視圖可知，三棱錐的體積為二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、60【解析】

由樣本中心過線性回歸方程，求得，，代入即可求得【詳解】由題知：，，將代入得故答案為：60【點睛】本題考查樣本中心與最小二乘法公式的關(guān)系，易錯點為將直接代入求解，屬于中檔題12、31【解析】

根據(jù)數(shù)列的首項及遞推公式依次求出、、……即可.【詳解】解：，故答案為：【點睛】本題考查利用遞推公式求出數(shù)列的項，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

過棱錐頂點作,平面，則為的中點，為正方形的中心，連結(jié)，設(shè)正四棱錐的底面長為，根據(jù)已知求出a=2,SO=1,再求該正四棱錐的體積.【詳解】過棱錐頂點作,平面，則為的中點，為正方形的中心，連結(jié)，則為側(cè)面與底面所成角的平面角，即，設(shè)正四棱錐的底面長為，則，所以，在中，∵∴，解得，∴∴棱錐的體積.故答案為【點睛】本題主要考查空間線面角的計算，考查棱錐體積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.14、①④⑤【解析】為了得到本題答案，必須對5個圖形逐一進行判別．對于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進行判斷．在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l(wèi)的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1作正方體ABCD－A1B1C1D1如附圖，與題設(shè)圖形對比討論．在附圖中，三個截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是對角線l(即AC1)的垂面．對比圖①，由MN∥BAl，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．對比圖②，由MN與面CB1D1相交，而過交點且與l垂直的直線都應(yīng)在面CBlDl內(nèi)，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP．對比圖③，由MP與面BAlD相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．對比圖④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1D，故l⊥面MNP．對比圖⑤，面MNP與面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．綜合得本題的答案為①④⑤．解法2如果記正方體對角線l所在的對角截面為．各圖可討論如下：在圖①中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故l⊥面MNP．事實上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故l⊥MP；l在左側(cè)面的射影是MN的垂線，故l⊥MN，從而l⊥面MNP．在圖②中，由MP⊥面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN．從而l不垂直于面MNP．在圖③中，點M在上的射影是l的中點，點P在上的射影是上底面的內(nèi)點，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面MNP．在圖④中，平面垂直平分線段MN，故l⊥MN．又l在左側(cè)面的射影(即側(cè)面正方形的一條對角線)與MP垂直，從而l⊥MP，故l⊥面MNP．在圖⑤中，點N在平面上的射影是對角線l的中點，點M、P在平面上的射影分別是上、下底面對角線的4分點，三個射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直．從而l⊥面MNP．至此，得①④⑤為本題答案．15、【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值可計算出結(jié)果.【詳解】由題意可得，原式.故答案為.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式和特殊三角函數(shù)值的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、或【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得出與的等量關(guān)系，然后求出的表達式，解不等式，即可得出使得取得最大值的正整數(shù)的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，可得，，令，即，，解得.因此，當(dāng)或時，取得最大值.故答案為：或.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和的最大值的求解，可利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)來求，也可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列所有的非負項之和的問題求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由，利用正、余弦定理，得，化簡整理即可證明：為直角三角形；（2）利用，，根據(jù)基本不等式可得：，即可求出面積的最大值.試題解析：解法1：（1）∵，由正、余弦定理，得，化簡整理得：，∵，所以，故為直角三角形，且；（2）∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，∴.故，即面積的最大值為.解法2（1）由已知：，又∵，，∴，而，∴，∴，故，∴為直角三角形.（2）由（1），∴.∵，∴，∴，令，∵，∴，∴.而在上單調(diào)遞增，∴.18、（1）（2）【解析】

（1）通過降次公式和輔助角公式化簡函數(shù)得到，再根據(jù)周期公式得到答案.（2）根據(jù)（1）中函數(shù)表達式，直接利用單調(diào)區(qū)間公式得到答案.【詳解】（1）由題意得．可得：函數(shù)的最小正周期（2）由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【點睛】本題考查三角函數(shù)的最小正周期，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，將函數(shù)化簡為標準形式是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和計算能力.19、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）只需證明，又由面面垂直的性質(zhì)定理知平面；（Ⅱ）連接、，假設(shè)存在點，使得它到平面的距離為，設(shè)，由，求得的值即可．試題解析：（Ⅰ）證明：在中，為中點，所以．又側(cè)面底面，平面平面，平面，所以平面．（Ⅱ）連接、假設(shè)存在點，使得它到平面的距離為．設(shè)，則因為，為的中點，所以，且所以因為，且所以在中，所以所以由，即解得所以