廣西桂林、賀州、崇左三市2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

廣西桂林、賀州、崇左三市2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面AA1D1D內(nèi)一點(diǎn)，若EF∥平面BB1D1D，則EF長(zhǎng)度的范圍為（）A． B． C． D．2．平面過(guò)正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．3．表示不超過(guò)的最大整數(shù)，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．4．已知、都是單位向量，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知中，，，為邊上的中點(diǎn)，則()A．0 B．25 C．50 D．1007．已知向量，，，且，則（）A． B． C． D．8．的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，，，則()A． B． C． D．9．計(jì)算的值等于（）A． B． C． D．10．已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期為.12．已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和，則使有最小值的_________.13．已知數(shù)列中，其中，，那么________14．已知無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和，其中為常數(shù)，則________15．在平行四邊形中，=，邊，的長(zhǎng)分別為2，1.若，分別是邊，上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的取值范圍是______．16．在中，、、所對(duì)的邊依次為、、，且，若用含、、，且不含、、的式子表示，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)增區(qū)間并求出取得最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的x取值集合．18．已知小島A的周?chē)?8海里內(nèi)有暗礁，船正向南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后在C處測(cè)得小島A在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，問(wèn)有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？19．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（1）求證:；（2）在邊上取一點(diǎn)P，若.求證:.20．某校從高一(1)班和(2)班的某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)中各隨機(jī)抽取了6份數(shù)學(xué)成績(jī)組成一個(gè)樣本,如莖葉圖所示(試卷滿(mǎn)分為100分)(1)試計(jì)算這12份成績(jī)的中位數(shù)；(2)用各班的樣本方差比較兩個(gè)班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平,哪個(gè)班更穩(wěn)定一些?21．已知圓：，點(diǎn)是直線(xiàn)：上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓M的切線(xiàn)、，切點(diǎn)為、．（Ⅰ）當(dāng)切線(xiàn)PA的長(zhǎng)度為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）若的外接圓為圓，試問(wèn)：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（Ⅲ）求線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

過(guò)作，交于點(diǎn)，交于，根據(jù)線(xiàn)面垂直關(guān)系和勾股定理可知；由平面可證得面面平行關(guān)系，利用面面平行性質(zhì)可證得為中點(diǎn)，從而得到最小值為重合，最大值為重合，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】過(guò)作，交于點(diǎn)，交于，則底面平面，平面，平面平面，又平面平面又平面平面，平面為中點(diǎn)為中點(diǎn)，則為中點(diǎn)即在線(xiàn)段上，，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線(xiàn)段長(zhǎng)度取值范圍的求解，關(guān)鍵是能夠確定動(dòng)點(diǎn)的具體位置，從而找到臨界狀態(tài)；本題涉及到立體幾何中線(xiàn)面平行的性質(zhì)、面面平行的判定與性質(zhì)等定理的應(yīng)用.2、A【解析】

試題分析：如圖，設(shè)平面平面=，平面平面=，因?yàn)槠矫?，所以，則所成的角等于所成的角.延長(zhǎng)，過(guò)作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線(xiàn)所成的角,求異面直線(xiàn)所成角的步驟是：平移定角、連線(xiàn)成形、解形求角、得鈍求補(bǔ).3、D【解析】

由已知可證是奇函數(shù)，是互為相反數(shù)，對(duì)是否為正數(shù)分類(lèi)討論，即可求解.【詳解】的定義域?yàn)椋?，是奇函數(shù)，設(shè)，若是整數(shù)，則，若不是整數(shù)，則.的值域是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查對(duì)新函數(shù)定義的理解，考查分類(lèi)討論思想，屬于中檔題.4、B【解析】

由、都是單位向量，由向量的數(shù)量積和共線(xiàn)的定義可判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由、都是單位向量，所以.設(shè)、的夾角為.則，所以A，D不正確.當(dāng)時(shí)，、同向或反向，所以C不正確.,所以B正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量的概念，屬于概念考查題，應(yīng)該掌握．5、B【解析】

由已知中函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可以根據(jù)函數(shù)的圖象分析出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】函數(shù)的圖象如下圖所示：關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（*）則方程（*）的兩個(gè)解在（1，2]，可得，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，畫(huà)出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．6、C【解析】

三角形為直角三角形，CM為斜邊上的中線(xiàn)，故可知其長(zhǎng)度，由向量運(yùn)算法則，對(duì)式子進(jìn)行因式分解，由平行四邊形法則，求出向量，由長(zhǎng)度計(jì)算向量積.【詳解】由勾股定理逆定理可知三角形為直角三角形，CM為斜邊上的中線(xiàn)，所以，原式=.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積，數(shù)量積問(wèn)題一般要將兩個(gè)向量轉(zhuǎn)化為已知邊長(zhǎng)和夾角的兩向量，但本題經(jīng)化簡(jiǎn)能得到共線(xiàn)的兩向量所以直接根據(jù)模的大小計(jì)算即可.7、C【解析】

由可得,代入求解可得,則,進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式求解即可【詳解】由可得,即,所以,因?yàn)?所以,則,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查垂直向量的應(yīng)用,考查里利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值8、B【解析】,所以，整理得求得或若，則三角形為等腰三角形，不滿(mǎn)足內(nèi)角和定理，排除.【考點(diǎn)定位】本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和分類(lèi)討論思想.當(dāng)求出后，要及時(shí)判斷出，便于三角形的初步定型，也為排除提供了依據(jù).如果選擇支中同時(shí)給出了或，會(huì)增大出錯(cuò)率.9、C【解析】

由三角正弦的倍角公式計(jì)算即可．【詳解】原式．故選C【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題，考查三角特殊值的正弦公式的計(jì)算．10、C【解析】

，時(shí)，、、不成立；利用作差比較，即可求出．【詳解】解：，時(shí)，，，故、、不成立；，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：，所以函數(shù)的周期等于考點(diǎn)：1.二倍角降冪公式；2.三角函數(shù)的周期.12、或【解析】

求出，然后利用，求出的取值范圍，即可得出使得有最小值的的值.【詳解】，令，解得.因此，當(dāng)或時(shí)，取得最小值.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的最小值求解，可以利用二次函數(shù)性質(zhì)求前項(xiàng)和的最小值，也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)列所有非正數(shù)項(xiàng)相加，考查計(jì)算能力，屬于中等題.13、1【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．【詳解】由，得，，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，特別是對(duì)復(fù)雜式子的理解．14、1【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求得，再結(jié)合極限的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，可得，又由，所以，所以，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及熟練的極限的計(jì)算，其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求得的值，結(jié)合極限的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

以A為原點(diǎn)AB為軸建立直角坐標(biāo)系，表示出MN的坐標(biāo)，利用向量乘法公式得到表達(dá)式，最后計(jì)算取值范圍.【詳解】以A為原點(diǎn)AB為軸建立直角坐標(biāo)系平行四邊形中，=，邊，的長(zhǎng)分別為2，1設(shè)則當(dāng)時(shí)，有最大值5當(dāng)時(shí)，有最小值2故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了向量運(yùn)算和向量乘法的最大最小值，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系的方法簡(jiǎn)化了技巧，是解決向量復(fù)雜問(wèn)題的常用方法.16、【解析】

利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式，余弦定理化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的三角函數(shù)公式，余弦定理，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為,()；x取值集合,()【解析】

（1）先由函數(shù)的最大值求出的值，再由圖中對(duì)稱(chēng)軸與相鄰對(duì)稱(chēng)中心之間的距離得出最小正周期，于此得出，再將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式結(jié)合的范圍得出的值，于此可得出函數(shù)的解析式；（2）解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由可求出函數(shù)取最小值時(shí)的取值集合．【詳解】（1）由圖象可知，.因?yàn)?，所?所以.解得.又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得.又因?yàn)椋?，所?（2），，解得,，的單調(diào)增區(qū)間為,()，的最小值為-2，取得最小值時(shí)x取值集合,().【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)圖象求解析式，以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)問(wèn)題，在利用圖象求三角函數(shù)的解析式時(shí)，其基本步驟如下：（1）求、：，；（2）求：；（3）求：將頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)中心點(diǎn)代入函數(shù)解析式求，但是在代對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)時(shí)需要結(jié)合函數(shù)在所找對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)附近的單調(diào)性來(lái)考查．18、繼續(xù)向南航行無(wú)觸礁的危險(xiǎn)．【解析】試題分析：要判斷船有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)，只要判斷A到BC的直線(xiàn)距離是否大于38海里就可以判斷．解：在三角形ABC中：BC=30，∠B=30°，∠ACB=180°－45°=135°，故∠A=15°由正弦定理得：故于是A到BC的直線(xiàn)距離是Acsin45°==，大于38海里．答：繼續(xù)向南航行無(wú)觸礁的危險(xiǎn)．考點(diǎn)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：分析幾何圖形的特征，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理確定角的關(guān)系，有助于應(yīng)用正弦定理．19、（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】

（1）余弦定理的證明其實(shí)在課本就直接給出過(guò)它向量方法的證明，通過(guò)，等向量模長(zhǎng)相等就可，當(dāng)然我們還可以通過(guò)坐標(biāo)的運(yùn)算完成（如方法二）（2）通過(guò)點(diǎn)P，將三角形分割，這種題中多注意幾個(gè)相等（公共邊相等，）我們可以得到相對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系，完成本題.【詳解】（1）證法一:如圖，即證法二:已知中所對(duì)邊分別為，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立直角坐標(biāo)系，則，所以（2）令，由余弦定理得:，因?yàn)樗运运浴军c(diǎn)睛】（1）向量既有大小又有方向.在幾何中是一種很重要的工具，比如三角形中，三邊有大小，角度問(wèn)題我們可以轉(zhuǎn)化為向量夾角相關(guān)，所以很容易想到向量方法.（2）解組合三角形問(wèn)題，多注重圖形中一些恒等關(guān)系比如邊長(zhǎng)、角度問(wèn)題.20、(1)80；(2)（1）班.【解析】

（1）從莖葉圖可直接得到答案；（2）通過(guò)方差公式計(jì)算出兩個(gè)半的方差，方差更小的更穩(wěn)定.【詳解】（1）從莖葉圖中可以看到，這12份成績(jī)按從小到大排列，第6個(gè)是78，第7個(gè)是82，所以中位數(shù)為.（2）由表中數(shù)據(jù)，易得（1）班的6份成績(jī)的平均數(shù)，（2）班的6份成績(jī)的平均數(shù)，所以（1）班的6份成績(jī)的方差為；（2）班的6份成績(jī)的方差為.所以有，說(shuō)明（1）班成績(jī)波動(dòng)較小，（2）班兩極分化較嚴(yán)重些，所以（1）班成績(jī)更穩(wěn)定.【點(diǎn)睛】本題主要考查中位數(shù)，平均數(shù)，方差的相關(guān)計(jì)算和性質(zhì)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力及分析能力，難度不大.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）AB有最小值【解析】

試題分析：（Ⅰ）求點(diǎn)的坐標(biāo)，需列出兩個(gè)獨(dú)立條件,根據(jù)解方程組解：由點(diǎn)是直線(xiàn)：上的一動(dòng)點(diǎn)，得，由切線(xiàn)PA的長(zhǎng)度為得，解得（Ⅱ）設(shè)P（2b,b），先確定圓的方程：因?yàn)椤螹AP＝90°，所以經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓以MP為直徑，其方程為：，再按b整理：由解得或，所以圓過(guò)定點(diǎn)（Ⅲ）先確定直線(xiàn)方程，這可利用兩圓公共弦性質(zhì)解得：由圓方程為及圓：，相減消去x,