綜合模擬題：2019年中考數(shù)學(xué)試卷

2019年中考數(shù)學(xué)試卷（word下載版）

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2019年中考數(shù)學(xué)試卷

1、如圖，在R3ABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC：BC=4：3,

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s,同時(shí)點(diǎn)Q從

點(diǎn)B出發(fā)沿B玲C玲A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s,當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)

到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

⑴求AC、BC的長(zhǎng)；

⑵設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2）,當(dāng)APBQ

存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

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⑶當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQJ_AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的

三角形與△ABC是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑷當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M,使^BCM得周長(zhǎng)

最小，若存在，求出最小周長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：⑴設(shè)AC=4x,BC=3x,在RtZkABC中，AC2+BC2=AB2,

即：(4x)2+(3x)2=102,解得：x=2,AC=8cm,BC=6cm;

⑵①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH_LAB于H,

*/AP=x,/.BP=10-x,BQ=2x,丁△QHB-△ACB,

,/.QH=x,y=BP*QH=(10-x)*x=-x2+8x(0

②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH」AB于H，，

*/AP=x,

「?BP=10-x,AQ=14-2x,△AQH's△ABC,

「?，即：，解得：QHZ=(14-x),

...y=PB?QH'=(10-x)*(14-x)=x2-x+42(3

二.y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=;

(3)-/AP=x,AQ=14-x,

?/PQ-LAB,「.△APCH△ACB,「.，即：，

解得：x=,PQ=,/.PB=10-x=,「.，

???當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ_LAB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的

三角形與△ABC不相似；

⑷存在.

理由：*/AQ=14-2x=14-10=4,AP=x=5,：AC=8,AB=10,

二?PQ是△ABC的中位線，/.PQIIAB,PQ_LAC,

二?PQ是AC的垂直平分線，一.PC=AP=5,.?.當(dāng)點(diǎn)M與P重合時(shí),

△BCM的周長(zhǎng)最小，

△BCM的周長(zhǎng)為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16.「.△BCM

的周長(zhǎng)最小值為16.

2、（12分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與點(diǎn)C、D

不重合，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q,連接PQ,

PQ的中點(diǎn)為M.

⑴求證：△ADPs△ABQ;

(2)若AD=10,AB=20,點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x,BM2=y,

求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM長(zhǎng)的最小值；

⑶若AD=10,AB=a,DP=8,隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置

也在變化，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍。

解：⑴證明：:四邊形ABCD是矩形NADP=ZABC=NBAD=90°

ZABC+ZABQ=180°

/.ZABQ=NADP=90°

?「AQ_LAPZPAQ=90°

/.ZQAB+ZBAP=90°

又?:ZPAD+ZBAP=90°

/.ZPAD=ZQAB

在^ADP與^ABQ中

/.△ADP-△ABQ

(2)如圖，作MN_LQC,貝IjNQNM=NQCD=90。

又'ZMQN=NPQC

/.△MQN-△PQC

???點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)

文:

,/△ADP-△ABQ

在RtZkMBN中，由勾股定理得：

即：

當(dāng)即時(shí):線段BM長(zhǎng)的最小值.

(3汝口圖，當(dāng)點(diǎn)PQ中點(diǎn)M落在AB上時(shí)一，此時(shí)QB=BC=10

由^ADP-△ABQ得解得：

「?隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化，

當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍為:

3、如圖，拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，且,點(diǎn)在拋

物線上，直線是一次函數(shù)的圖象，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).⑴求拋物線的解析

式；

(2)若直線平分四邊形的面積，求的值.

(3)把拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物

線與直線交于兩點(diǎn)，問(wèn)在軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)，使得不論取何

值，直線與總是關(guān)于軸對(duì)稱?若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

答案：⑴因?yàn)閽佄锞€關(guān)于直線x=l對(duì)稱,AB=4,所以A(-l,0),B(3,

0),

由點(diǎn)D(2,1.5)在拋物線上,所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5,

又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=l,從而c=1.5,所以.

24.(14分)(2013?溫州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x

軸,y軸分別交于點(diǎn)A(6,0),B(0.8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m),過(guò)點(diǎn)C

作CEJ_AB于點(diǎn)E,點(diǎn)D為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CD,DE,以CD,

DE為邊作cCDEF.

⑴當(dāng)。

(2)當(dāng)m=3時(shí)，是否存在點(diǎn)D,使cCDEF的頂點(diǎn)F恰好落在y

軸上?若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)D在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若存在唯一的位置，使得cCDEF

為矩形，請(qǐng)求出所有滿足條件的m的值.

解答:解：⑴:”(6,0),B(0,8).

OA=6,OB=8.

J.AB=10,

ZCEB=ZAOB=90°,

又丁ZOBA=NEBC,

△BCE-△BAO,

=,即=,

CE=-m;

(2),/m=3,

BC=8-m=5,CE=-m=3.

「?BE=4,

AE=AB-BE=6.

???點(diǎn)F落在y軸上（如圖2）.

/.DEIIBO,

△EDA-△BOA,

=即=.

OD=,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.

⑶取CE的中點(diǎn)P,過(guò)P作PG_Ly軸于點(diǎn)G.

則CP=CE=-m.

(I)當(dāng)m>0時(shí)，

①當(dāng)。

cosZGCP=cosZBAO=,

CG=CP*cosZGCP=(-m)=-m.

OG=OC+OG=m+-m=m+.

根據(jù)題意得，得：OG=CP,

m+=-m,

解得:m=;

②當(dāng)m>8時(shí)-，OG>CP,顯然不存在滿足條件的m的值.

（口）當(dāng)m=0時(shí),即點(diǎn)C與原點(diǎn)。重合（如圖4）.

（HI）當(dāng)m①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，（如圖5）,

易證△COAs△AOB,

=,即=,

解得：m=-.

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，（如圖6）.

OG=OC-OG=-m-（-m）

=-m-.

由題意得：OG=CP,

解得m=-.

綜上所述，m的值是或0或-或

28、如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線11：y=3x,12：y=x.點(diǎn)P從原點(diǎn)0出發(fā)

沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng).直線PQ交y軸正半軸

于點(diǎn)Q,且分別交II、12于點(diǎn)A、B.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，直

線PQ的解析式為y=-x+t.AAOB的面積為SI（如圖①）.以AB為對(duì)角

線作正方形ACBD,其面積為S2（如圖②）.連接PD并延長(zhǎng)，交II于點(diǎn)

E,交12于點(diǎn)F.設(shè)△PEA的面積為S3;（如圖③）

⑴SI關(guān)于t的函數(shù)解析式為乂2）直線0C的函數(shù)解

析式為；

（3）S2關(guān)于t的函數(shù)解析式為X4）S3關(guān)于t的函數(shù)解

析式為.

解：⑴由，

得，

二.A點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

由

得

B點(diǎn)坐標(biāo)為(，).

S1=SAAOP-SABOP=t2(2)由⑴得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，).

設(shè)直線0C的解析式為y=kx,根據(jù)題意得=,

k二，

「?直線0C的解析式為y=x.

⑶由⑴、(2)知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)CB=t-=,

/.S2=CB2=()2=.

⑷設(shè)直線PD的解析式為y=klx+b,由⑴知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3),

將P(t,0)、D()代入得，

解得

「?直線PD的解析式為y=

由，

得

E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

S3=SAEOP-SAAOP=t*t-t*t=t2.

25.（10分）（2013?天津）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-2,0）,

點(diǎn)B（0,4）,點(diǎn)E在OB上，且NOAE=NOBA.

（I）如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（口）如圖②,將△AEO沿x軸向右平移得到△AECT,連接AB、

BE'.

①設(shè)AA=m,其中0

②當(dāng)AB+BE，取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E，的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.

考點(diǎn)：相似形綜合題.3718684

分析：(I)根據(jù)相似三角形^OAEs△OBA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

=,則易求OE=1,所以E(0,1);

(口)如圖②,連接EE：在RtAA，BO中，勾股定理得到AZB2=(2-

m)2+42=m2-4m+20,在RtABE'E中，利用勾股定理得到

BE'2=E'E2+BE2=m2+9,則

A'B2+BE'2=2m2-4m+29=2(m-1)2+27.所以由二次函數(shù)最值的求

法知，當(dāng)m=l即點(diǎn)Ez的坐標(biāo)是(1,1)時(shí)-，AB2+BE2取得最小值.

解答：解：(I)如圖①，?.?點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(0,4),

OA=2,OB=4.

ZOAE=ZOBA,ZEOA=ZAOB=90°,

/.△OAEs△OBA,

=,即=,

解得，OE=1,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1);

(II)①如圖②，連接EE1

由題設(shè)知AA=m(0

在RtAABO中，由AB2=AO2+BO2,得AZB2=(2-m)2+42=m2-

4m+20.

△八乍，0，是4AEO沿X軸向右平移得到的，

/.EEZIIAA\且EE，=AA-

NBEE=90°,EE'=m.

又BE=OB-OE=3,

在RtABEZE中，BE'2=E'E2+BE2=m2+9,

A'B2+BE'2=2m2-4m+29=2(m-1)2+27.

當(dāng)m=l時(shí)-，AB2+BE2可以取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)E，的坐標(biāo)是（1,

1).

②如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AB'_Lx,并使AB，=BE=3.

易證△AB'A"△EBES

B'A=BE',

A'B+BE'=A'B+B'A'.

當(dāng)點(diǎn)B、A\B，在同一條直線上時(shí),A'B+B'A'最小,即此時(shí)點(diǎn)B+BE'

取得最小值.

易證△ABA-△OBA',

??—―,

AA'=x2=,

EE'=AA'=,

「?點(diǎn)E，的坐標(biāo)是(，1).

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)

以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn).此題難度較大，需要學(xué)生對(duì)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)

的掌握.

17、(12分乂2013?雅安)如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-3,

0),B(l,0),C(0,3)三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸是直線I,I與x軸交

于點(diǎn)H.

⑴求該拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸I上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求^PBC周長(zhǎng)的最

小值；

(3)如圖(2),若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E與A、D不重合)，

過(guò)E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)E

的橫坐標(biāo)為m,ZkADF的面積為S.

①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；

?S是否存在最大值?若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)由題意可知：

解得：

「?拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3;

(2);△PBC的周長(zhǎng)為：PB+PC+BC

VBC是定值，

「?當(dāng)PB+PC最小時(shí),△PBC的周長(zhǎng)最小，

,點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸I對(duì)稱，

連接AC交I于點(diǎn)P,即點(diǎn)P為所求的點(diǎn)

,/AP=BP

△PBC的周長(zhǎng)最小是：PB+PC+BC=AC+BC

,/A(-3,0),B(l,0),C(0,3),

AC=3,BC=;

⑶①、拋物線y=-x2-2x+3頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,4)

???A(-3,0)

「?直線AD的解析式為y=2x+6

??,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,

E(m,2m+6),F(m,-m2-2m+3)

EF=-m2-2m+3-(2m+6)

=-m2-4m-3

S=SADEF+SAAEF

=EF?GH+EF?AC

=EF?AH

=（-m2-4m-3）x2

=-m2-4m-3;

（2）S=-m2-4m-3

=-（m+2）2+l;

二.當(dāng)m=-2時(shí)，S最大，最大值為1

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2,2）.

16＞（12分）（2013?南昌）已知拋物線yn=-（x-an）2+an（n為正整數(shù),

且0

（1）求al,bl的值及拋物線y2的解析式；

⑵拋物線y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）;依此類推第n條拋物

線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）;所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函

數(shù)關(guān)系式是；

⑶探究下列結(jié)論:

①若用An-lAn表示第n條拋物線被x軸截得的線段長(zhǎng)，直接

寫(xiě)出A0A1的值，并求出An-lAn;

②是否存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)的直線和所有拋物線都相交，且被每

一條拋物線截得的線段的長(zhǎng)度都相等?若存在，直接寫(xiě)出直線的表達(dá)

式;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：⑴:當(dāng)n=l時(shí)，第1條拋物線yl=-(x-al)2+al與x軸的交

點(diǎn)為A0(0,0),

0=-(0-al)2+al,解得al=l或al=0.

由已知al>0,/.al=l,

yl=-(x-1)2+1.

令yl=0,即-(x-l)2+l=0,解得x=0或x=2,

Al(2,0),bl=2.

由題意，當(dāng)n=2時(shí)，第2條拋物線y2=-(x-a2)2+a2經(jīng)過(guò)點(diǎn)Al(2,

0)，

0=-(2-32)2+32,解得a2=l或a2=4,

al=l,且已知a2>al,

a2=4,

y2=-(x-4)2+4.

al=l,bl=2,y2=-(x-4)2+4.

(2)拋物線y2=-(x-4)2+4,令y2=0,即-(x-4)2+4=0,解得x=2

或x=6.

Al(2,0),

A2(6,0).

由題意，當(dāng)n=3時(shí)，第3條拋物線y3=-(x-a3)2+a3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2(6,

0)，

/.0=-(6-a3)2+a3,解得a3=4或a3=9.

*/a2=4,且已知a3>a2,

a3=9?

/.y3=-(x-9)2+9.

y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(9,9).

由yl的頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,1),y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)(4,4),y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)(9,

依此類推，yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(n2,n2).

?「所有拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，

頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y=x.

(3)①.「A0(0,0),Al(2,0),

AOA1=2.

yn=-(x-n2)2+n2,令yn=O,即-(x-n2)2+n2=0,

解得x=n2+n或x=n2-n,

An-l(n2-n,0),An(n2+n,0),即An-lAn=(n2+n)-(n2-n)=2n.

②存在.

設(shè)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線解析式為y=kx+b,則有:0=2k+b,得b=-2k,

y=kx-2k.

設(shè)直線y=kx-2k與拋物線yn=-(x-n2)2+n2交于E(xl,yl),F(x2,

y2)兩點(diǎn),

聯(lián)立兩式得：kx-2k=-(x-n2)2+n2,整理得:x2+(k-2n2)x+n4

-n2-2k=0,

xl+x2=2n2-k,xl*x2=n4-n2-2k.

過(guò)點(diǎn)F作FGJ_x軸，過(guò)點(diǎn)E作EG_LFG于點(diǎn)G,貝!JEG=x2-xl,

FG=y2-yl=[-(x2-n2)2+n2]-[-(xl-n2)2+n2]=(xl+x2-

2n2)(xl-x2)=k(x2-xl).

在RtAEFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2,

即：EF2=(x2-xl)2+[k(x2-xl)]2=(k2+l)(x2-xl)2=(k2+l)[(xl+x2)2

-4xl*x2],

將xl+x2=2n2-k,xl*x2=n4-n2-2k代入，整理得：

EF2=(k2+l)[4n2*(l-k)+k2+8k],

當(dāng)k=l時(shí)，EF2=(l+l)(l+8)=9,EF=3為定值，

??.k=l滿足條件，此時(shí)直線解析式為y=x-2.

??.存在滿足條件的直線，該直線的解析式為y=x-2.

15.（2012義烏市）如圖1,已知直線y=kx與拋物線y=交于點(diǎn)A（3,

6).

⑴求直線y=kx的解析式和線段0A的長(zhǎng)度;

(2)點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PM,交x軸

于點(diǎn)M(點(diǎn)M、0不重合)，交直線0A于點(diǎn)Q,再過(guò)點(diǎn)Q作直線PM

的垂線，交y軸于點(diǎn)N.試探究：線段QM與線段QN的長(zhǎng)度之比是否

為定值?如果是，求出這個(gè)定值;如果不是，說(shuō)明理由；

(3)如圖2,若點(diǎn)B為拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段0A

上(與點(diǎn)0、A不重合)，點(diǎn)D(m,0)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

ZBAE=ZBED=NAOD.繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)

的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？

解答:解：⑴把點(diǎn)A(3,6)代入y=kx得；

*/6=3k,

k=2,

y=2x.(2012義烏市)

0A=....（3分）

(2)是一個(gè)定值，理由如下:

如答圖1,過(guò)點(diǎn)Q作QGJ_y軸于點(diǎn)G,QH_Lx軸于點(diǎn)H.

①當(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合，

此時(shí)；

②當(dāng)QH與QM不重合時(shí)，

QN±QM,QGJ_QH

不妨設(shè)點(diǎn)H,G分別在x、y軸的正半軸上，

/.NMQH=NGQN,

又丁ZQHM=NQGN=90°

△QHIVH△QGN...(5分)，

當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)一，同理可得....(7分)①①

(3)如答圖2,延長(zhǎng)AB交x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FC_LOA于點(diǎn)C,

過(guò)點(diǎn)A作ARJLx軸于點(diǎn)R

,/ZAOD=ZBAE,

AF=OF,

OC=AC=OA=

---ZARO=ZFCO=90°,ZAOR=NFOC,

/.△AORs△FOC,

0F=,

..?點(diǎn)F(,0),

設(shè)點(diǎn)B(x,),

過(guò)點(diǎn)B作BK±AR于點(diǎn)K,則^AKBs△ARF,

即，

解得xl=6,x2=3(舍去),

點(diǎn)B(6,2),

BK=6-3=3,AK=6-2=4,

/.AB=5...(8分)；

(求AB也可采用下面的方法)

設(shè)直線AF為y=kx+b(kHO)把點(diǎn)A(3,6),點(diǎn)F(,0)代入得

，

k=b=10,

9

「.（舍去）,，

二?B（6,2）,

AB=5...（8分）

（其它方法求出AB的長(zhǎng)酌情給分）

在^ABE與八OED中

,/ZBAE=NBED,

ZABE+ZAEB=ZDEO+ZAEB,

ZABE=ZDEO,

ZBAE=ZEOD,

△ABE-△OED....（9分）

設(shè)OE=x,則AE=-x(),

由^ABE-△OED得，

二.（）...（io分）

頂點(diǎn)為（，）

如答圖3,當(dāng)時(shí)，OE=x=,此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè)；

當(dāng)時(shí)一，任取一個(gè)m的值都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)x值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè).

當(dāng)時(shí)一，E點(diǎn)只有1個(gè)…（11分）

當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)…（12分）.

已知一個(gè)直角三角形紙片OAB,其中NAOB=90。，0A=2,0B=4,

如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊

0B交于點(diǎn)C,與邊AB交于點(diǎn)D。

(I)若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(II)若折疊后點(diǎn)B落在邊0A上的點(diǎn)為夕，設(shè)OB，=x,OC=y,試寫(xiě)

出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；

(印)若折疊后點(diǎn)B落在邊0A上的點(diǎn)為Bz,且使B'DIIOB,求此

時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)。

解：(I)如圖⑴，折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，連接AC,

貝！UACDW△BCD,

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m)(m>0),

貝BC=OB-OC=4-m,

于是AC=BC=4-m,

在RtAAOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2,

即(4-m)2=m2+22,解得m=,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為;

(II)如圖(2),折疊后點(diǎn)B落在0A邊上的點(diǎn)為B，連接Bt,B，D,

貝B'CD北△BCD,

由題設(shè)OB，=x,OC=y,

貝B'C=BC=0B-0C=4-y,

在RtAB9c中，由勾股定理，

得B'C2=OC2+OB'2,

(4-y)2=y2+x2,

即，

由點(diǎn)B，在邊0A上，有0WXW2,

解析式(0WXS2)為所求,

當(dāng)0WXW2時(shí)、y隨x的增大而減小,

二.y的取值范圍為；

（?。┤鐖D⑶，折疊后點(diǎn)B落在0A邊上的點(diǎn)為B',連接BZC,B，D,

B'DIIOB,

則NOCB=ZCB，D,

又?「ZCBD=ZCB'D,

ZCB'=NCBD,

CBZIIBA,

/.RtACOBtRtABOA,

有，

得OC=20B',

在RtABZOC中，設(shè)OB'=xO(xO>0),則OC=2xO,

由(口)的結(jié)論,得2x0=,

解得x0=,

?/x0>0,

x0二，

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為。

12、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCO的頂點(diǎn)A、C分別在

y軸、x軸正半軸上，點(diǎn)P在AB上，PA=1,AO=2.經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線

y=mx2-x+n的對(duì)稱軸是直線x=2.

(1)求出該拋物線的解析式.

(2)如圖1,將一塊兩直角邊足夠長(zhǎng)的三角板的直角頂點(diǎn)放在P點(diǎn)

處，兩直角邊恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)0和C.現(xiàn)在利用圖2進(jìn)行如下探究：

①將三角板從圖1中的位置開(kāi)始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角

邊分別交OA、0C于點(diǎn)E、F,當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止旋轉(zhuǎn).請(qǐng)你觀

察、猜想，在這個(gè)過(guò)程中，的值是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，說(shuō)明理

由;若不發(fā)生變化，求出的值.

②設(shè)⑴中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D,頂點(diǎn)為M,在①

的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)F,使ADIVIF為等腰三角形?若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑴:拋物線y=mx2-x+n經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，n=0.

???對(duì)稱軸為直線x=2,-=2,解得m=.

「?拋物線的解析式為：y=x2-x.

(2)①的值不變.理由如下：

如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)P作PGJ_x軸于點(diǎn)G,貝!JPG=A0=2.

?/PE±PF,PA±PG,ZAPE=ZGPF.

在RtAPAE與RtAPGF中,

,/ZAPE=ZGPF,ZPAE=NPGF=90°,

/.RtAPAE-RtAPGF.

??==.

②存在.

拋物線的解析式為：y=x2-x,

令y=0,即x2-x=0,解得：x=0或x=4,D(4,0).

又y=x2-x=(x-2)2-1,頂點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,-1).

若ADIVIF為等腰三角形，可能有三種情形：

(l)FM=FD.如答圖2所示：

過(guò)點(diǎn)M作MN_Lx軸于點(diǎn)N,貝!JMN=1,ND=2,MD===.

設(shè)FM=FD=x,則NF=ND-FD=2-x.

在RtAMNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2,

即：(2-x)2+l=x2,解得：x=,

FD=,OF=OD-FD=4-=,

「.F(,0);

(II)若FD=DM.如答圖3所示：

此時(shí)-FD=DM=,/.OF=OD-FD=4-.

F(4-,0);

(III)若FM=MD.

由拋物線對(duì)稱性可知，此時(shí)點(diǎn)F與原點(diǎn)0重合.

而由題意可知，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合后即停止運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)F不可能運(yùn)

動(dòng)到原點(diǎn)0.

「?此種情形不存在.

綜上所述，存在點(diǎn)H，0)或F(4-,0),使△DMF為等腰三角形.

11、

請(qǐng)你和艾思軻同學(xué)一起嘗試探究下列問(wèn)題：

(1)①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)，如圖2所示，可得的值為；

②在平移過(guò)程中，的值為(用含x的代數(shù)式表示)；

⑵艾思軻同學(xué)將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，原題

中的其他條件保持不變.

當(dāng)點(diǎn)A落在線段DF上時(shí)，如圖3所示，請(qǐng)你幫他補(bǔ)全圖形，并

計(jì)算的值；

(3)艾思軻同學(xué)又將圖1中的三角板ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，，

原題中的其他條件保持不變.請(qǐng)你計(jì)算的值(用含x的代數(shù)式表示).

11.解：(1)01.........................................(2分)

②.......................................................................................（2分）

（2）聯(lián)結(jié)AE,補(bǔ)全圖形如圖1所示........................（1分）

???△ABC^naDEF是等腰直角三角形，

ZABC=ZDEF=90°,AB=1,DE=2,

BC=1,EF=2,ZDFE=ZACB=45°.

」.，，ZEFB=90°.

一.，???點(diǎn)A為DF的中點(diǎn).............（1分）

EA±DF,EA平分NDEF.

ZMAE=90°,ZAEF=45°,.

NMEB=NAEF=45°,NMEA=NBEF.

RtAMAE-RtABFE................................................................（1分）

???,??......................................................（1分）

???,??..........................（1分）

⑶如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BE的垂線交直線EM于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)AG.

---ZEBG=90°,ZBEM=45°,ZBGE=45°.

「?BE=BG................................................................................（1分）

ZABC=NEBG=90°,ZABG=NCBE...................................（1分）

又?「BA=BC,「.△ABG^△CBE................................................（1分）

AG=CE=x,ZAGB=ZCEB.

??,ZAGB+NAGM=ZCEB+NDEM=45°,

ZAGM=NDEM,AGIIDE..............................................（1分）

」（1分）

注：第⑶小題直接寫(xiě)出結(jié)果不得分

10、如圖，拋物線:y=ax2+bx+4與x軸交于點(diǎn)A卜2,0）和B（4,

0）、與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的解析式；

（2）T是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且^ACT是以AC為底的等腰三

角形，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

3）點(diǎn)M、Q分別從點(diǎn)A、B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸同

時(shí)出發(fā)相向而行.當(dāng)點(diǎn)M原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q立刻掉頭并以每秒3/2個(gè)單位

長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸時(shí)一，兩點(diǎn)

停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)M的直線I軸，交AC或BC于點(diǎn)P.求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間t（秒）與^APQ的面積S的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.

⑴、

（2）

9、如圖(1),△ABC與^EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，

AB=EF=9,ZBAC=ZDEF=90°,固定△ABC,將^EFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止，不考慮旋轉(zhuǎn)開(kāi)始和結(jié)束時(shí)

重合的情況，設(shè)DE、DF(或它們的延長(zhǎng)線)分別交BC(或它的延長(zhǎng)線)

于G、H點(diǎn)，如圖(2).

(1)問(wèn)：始終與△AGC相似的三角形有()及()；

⑵設(shè)CG=x,BH=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(只要求根據(jù)圖⑵

的情況說(shuō)明理由)；

(3)問(wèn)：當(dāng)x為何值時(shí)，4AGH是等腰三角形？

解：(!)△HG