數學《同角三角比的關系與誘導公式》教案(滬教版高一)

5.3(2)同角三角比的關系及誘導公式

一、教學目標設計

1.掌握誘導公式的推導方法和記憶方法；

2.會運用這些公式求解任意角的三角比的值，會由三角比的值，求特殊角,

并會化簡單的三角比的關系式；

3.通過公式的探求及應用培養(yǎng)思維的嚴密性.

三、教學重點及難點

重點：誘導公式

難點：誘導公式的靈活應用

四、教學流程設計

五、教學

過程設計

一、復習引入

1.公式一：

sin（2A：^+a）=sina

cos(2^+a)=cosa

tanQk九+a)=tana

cot(2&4+a)=cota(其中k￡a)

用角度可寫成：sin(Z?360°+a)=sina

cos(A:-360°+a)=cosa

tan(Z?360°+a)=tana

cot(k-360c+a)=cota(其中ZwZ)

2.討論

公式一的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化為0°—360。之間角的正弦、

余弦、正切，其方法是先在0°—360。內找出及角a終邊相同的角，再把它寫成誘

導公式一的形式，然后得出結果.

這組公式可以統(tǒng)一概括為/(a+2左左)=f(a)(keZ)的形式，上述一組公式叫做

任意角三角比的第一組誘導公式，其特征是：等號兩邊是同名三角比，且符號都

為正.

說明］運用公式時，注意“弧度”及“角度”兩種度量制不要混用，如寫成

sin(800+2攵笈)=sin80°,

二、學習新課

1.公式推導

公式二：

sin(-a)="sina

cos(-a)=cosa

它說明角-a及角a的正弦值互為相反數，而它們的余弦值相等.這是因為,

若角a的終邊及單位圓交于點P(x,y),則角-a的終邊及單位圓的交點必為P'

（x,-y）（如圖1）.由正弦、余弦三角比的定義，即可得

sina=y,cosa=x,

sin(-a)=~y,cos(-a)=x,

所以：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa

由三角比的商數關系，得：tan(-a)=獨工^=-tana

cos(-a)cosa

即tan(-a)=-tana

類似可得cot(-a)=-cota

這組公式叫任意角三角比的第二組誘導公式

練習:求弋的正弦、余弦、正切和余切的值.

［說明］公式二也可以由特殊到一般，既從特殊三角比的計算，猜測出公式，再證

明.

公式三:

用角度可表示如下:

sin("+a)=-sinasin(180°+a)=-sina

cos(%+a)="cosacos(180°+a)="cosa

tan(4+a)=tanatan(180°+a)=tana

cot(^r+a)=cotacot(1800+a)=sina

它刻畫了角180°+a及角a的正弦值（或余弦值）之間的關系，這個關系是:

以角a終邊的反向延長線為終邊的角的正弦值（或余弦值）及角a的正弦值（或

余弦值）是一對相反數.這是因為若設a的終邊及單位圓交于點P（x,y）,則角a

終邊的反向延長線，即180°+a角的終邊及單位圓的交點必為P'（-X,-y）（如圖

2）.由正弦、余弦三角比的定義，即可得sina=y,cosa=x,

sin(180°+a)=-y,cos(180°+a)=-x,

所以:sin(180°+tz)=-sina,cos(180°+a)=~costz.

［說明］公式二、三的獲得主要借助于單位圓及正弦、余弦比的定義.根據點P

的坐標準確地確定點P'的坐標是關鍵，這里充分利用了對稱的性質.直觀的對

稱形象為我們準確寫出P'的坐標鋪平了道路，體現了數形結合這一數學思想的

優(yōu)越性.

練習：求下列三角比的值：(1)cos210；(2)

分析：本題是誘導公式二的鞏固性練習題.求解時，只須設法將所給角分解

成180。+?；?冗+a),a為銳角即可.

解：(1)cos210°=cos(180°+30°)=-cos30°=-—；

2

/Q\,51?/\?TCd2

(2)sm——=smO=—sin—=———.

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公式四：

把第三組公式中的a換成-a,得第四組誘導公式：

sin("-a)=sinasin(180°-a)=sina

cosO-a)=-cosacos(180°-a)="cosa

tan("一a)=-tanatan(180°-a)=-tana

cot("一a)=-cotacot(180-a)--cota

［說明］這組公式均可由前面學過的誘導公式直接推出，體現了把未知問題化

為已知問題處理這一化歸的數學思想.公式的推導并不難，然而推導中的化歸意

識和策略是值得我們關注的.

四組誘導公式可概括為：

k,3600+tz(k￡Z),~a,180°+a,360°-a的三角比值，等于a的同

名三角比的值，前面加上一個把a看成銳角時原三角比的符號.

［說明］這里的“同名三角比值”是指等號兩邊的三角比名稱相同；“把a看

成銳角”是指a原本是任意角，這里只是把它視為銳角處理；”前面加上一個……

符號”是指a的同名三角比值未必就是最后結果，前面還應添上一個符號(正號

或負號，主要是負號，正號可省略)，而這個符號是把任意角a視為銳角情況下

的原三角比的符號.應注意講清這句話中每一詞語的含義，特別要講清為什么要

把任意角a看成銳角.建議通過實例分析說明.

練習：求下列各式的值：(1)sin(一制);(2)cos(-60°)-sin(-210°)

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分析：本題是誘導公式二、三的鞏固性練習題.求解時一般先用誘導公式三

把負角的正弦、余弦化為正角的正弦、余弦，然后再用誘導公式二把它們化為銳

角的正弦、余弦來求.

解：(1)sin(——)=—sin()=sin—=—；

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(2)原式=cos60°+sin(180°+30°)=cos60°—sin30°=———=0

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2.例題分析

例1：利用誘導公式，求下列各三角比：

(1)；(2)

例2化簡：

cos(2^--a)cot(萬+a)tan(-a-兀)

sin("-a)cot(3%-a)

例3根據條件,求角x：

(1)已知；

(2)已矢口tanx=——,x

［說明］由三角比求特殊角的問題，是個“反”問題，對學生是個難點問題，

教師可先縮小范圍，如考慮在［0,1］±,求角，再考慮［0,2%)等.

三、鞏固練