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文檔簡介
2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.定義在R上的函數(shù)滿足,為的導函數(shù),已知的圖象如圖所示,若兩個正數(shù)滿足,的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知數(shù)列的前項和為,且,,,則的通項公式()A. B. C. D.3.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點橫坐標的和為()A. B. C. D.4.偶函數(shù)關于點對稱,當時,,求()A. B. C. D.5.已知各項都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.6.已知數(shù)列中,,(),則等于()A. B. C. D.27.已知雙曲線的右焦點為,過的直線交雙曲線的漸近線于兩點,且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍,若,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.8.設復數(shù)滿足,則()A. B. C. D.9.關于圓周率,數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值:先用計算機產生個數(shù)對,其中,都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù),再統(tǒng)計,能與構成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.若,則的估計值為()A. B. C. D.10.設全集U=R,集合,則()A. B. C. D.11.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,則公比的值為(
)A. B. C.或 D.或12.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調遞增的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則的展開式中含的項的系數(shù)為_______.14.設,則_____,(的值為______.15.若x,y滿足,則的最小值為________.16.(5分)某膳食營養(yǎng)科研機構為研究牛蛙體內的維生素E和鋅、硒等微量元素(這些元素可以延緩衰老,還能起到抗癌的效果)對人體的作用,現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進行抽樣試驗,則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知滿足,且,求的值及的面積.(從①,②,③這三個條件中選一個,補充到上面問題中,并完成解答.)18.(12分)如圖(1)五邊形中,,將沿折到的位置,得到四棱錐,如圖(2),點為線段的中點,且平面.(1)求證:平面平面;(2)若直線與所成角的正切值為,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項是1.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)若,是數(shù)列的前項和,求使成立的正整數(shù)的值.20.(12分)某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試,每位同學彼此獨立的從五所高校中任選2所.(1)求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率;(2)若已知甲同學特別喜歡高校,他必選校,另在四校中再隨機選1所;而同學乙和丙對五所高校沒有偏愛,因此他們每人在五所高校中隨機選2所.(i)求甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率;(ii)記為甲、乙、丙三名同學中選高校的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.21.(12分)如圖,三棱柱中,平面,,,分別為,的中點.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調查,其中女性有55名,下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關?非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結果是相互獨立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.635
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
先從函數(shù)單調性判斷的取值范圍,再通過題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調遞增,而,故由可知.故,又有,綜上得的取值范圍是.故選:C【點睛】本題考查了函數(shù)單調性和不等式的基礎知識,屬于中檔題.2、C【解析】
利用證得數(shù)列為常數(shù)列,并由此求得的通項公式.【詳解】由,得,可得().相減得,則(),又由,,得,所以,所以為常數(shù)列,所以,故.故選:C【點睛】本小題考查數(shù)列的通項與前項和的關系等基礎知識;考查運算求解能力,邏輯推理能力,應用意識.3、B【解析】
根據(jù)兩個函數(shù)相等,求出所有交點的橫坐標,然后求和即可.【詳解】令,有,所以或.又,所以或或或,所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標的和,故選B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角,側重考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).4、D【解析】
推導出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由此可得出,代值計算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關于點對稱,則,,,則,所以,函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由于當時,,則.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值,推導出函數(shù)的周期性是解答的關鍵,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.5、A【解析】試題分析:設公差為或(舍),故選A.考點:等差數(shù)列及其性質.6、A【解析】
分別代值計算可得,觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,問題得以解決.【詳解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,
,
,
故選:A.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性和運用:求數(shù)列中的項,考查運算能力,屬于基礎題.7、B【解析】
先求出直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得A,B的縱坐標,利用,求出a,b的關系,即可求出該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線1(a>b>0)的漸近線方程為y=±x,∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍,∴kl,∴直線l的方程為y(x﹣c),與y=±x聯(lián)立,可得y或y,∵,∴2?,∴ab,∴c=2b,∴e.故選B.【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質,考查向量知識,考查學生的計算能力,屬于中檔題.8、D【解析】
根據(jù)復數(shù)運算,即可容易求得結果.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,屬基礎題.9、B【解析】
先利用幾何概型的概率計算公式算出,能與構成銳角三角形三邊長的概率,然后再利用隨機模擬方法得到,能與構成銳角三角形三邊長的概率,二者概率相等即可估計出.【詳解】因為,都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù),所以有,,若,能與構成銳角三角形三邊長,則,由幾何概型的概率計算公式知,所以.故選:B.【點睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率,考查學生的基本計算能力,是一個中檔題.10、A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補集的定義進行計算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎題.11、D【解析】
由成等差數(shù)列得,利用等比數(shù)列的通項公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故選:D.【點睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合,利用等差數(shù)列的性質建立方程求q是解題的關鍵,對于等比數(shù)列的通項公式也要熟練.12、C【解析】
結合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調性,結合各選項進行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調,不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調性和奇偶性,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
首先根據(jù)定積分的應用求出的值,進一步利用二項式的展開式的應用求出結果.【詳解】,根據(jù)二項式展開式通項:,令,解得,所以含的項的系數(shù).故答案為:【點睛】本題考查定積分,二項式的展開式的應用,主要考查學生的運算求解能力,屬于基礎題.14、7201【解析】
利用二項展開式的通式可求出;令中的,得兩個式子,代入可得結果.【詳解】利用二項式系數(shù)公式,,故,,故(=,故答案為:720;1.【點睛】本題考查二項展開式的通項公式的應用,考查賦值法,是基礎題.15、5【解析】
先作出可行域,再做直線,平移,找到使直線在y軸上截距最小的點,代入即得?!驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域,如圖,令,則,作出直線,平移直線,由圖可得,當直線經過C點時,直線在y軸上的截距最小,由,可得,因此的最小值為.故答案為:4【點睛】本題考查不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題,是基礎題。16、【解析】
記只雌蛙分別為,只雄蛙分別為,從中任選只牛蛙進行抽樣試驗,其基本事件為,共15個,選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為,共9個,故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】
選擇①時:,,計算,根據(jù)正弦定理得到,計算面積得到答案;選擇②時,,,故,為鈍角,故無解;選擇③時,,根據(jù)正弦定理解得,,根據(jù)正弦定理得到,計算面積得到答案.【詳解】選擇①時:,,故.根據(jù)正弦定理:,故,故.選擇②時,,,故,為鈍角,故無解.選擇③時,,根據(jù)正弦定理:,故,解得,.根據(jù)正弦定理:,故,故.【點睛】本題考查了三角恒等變換,正弦定理,面積公式,意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.18、(1)見解析(2)【解析】試題分析:(1)根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直,再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立;(2)通過已知條件求出各邊長度,建系如圖所示,求出平面的法向量,根據(jù)線面角公式代入坐標求得結果.試題解析:(1)證明:取的中點,連接,則,又,所以,則四邊形為平行四邊形,所以,又平面,∴平面,∴.由即及為的中點,可得為等邊三角形,∴,又,∴,∴,∴平面平面,∴平面平面.(2)解:,∴為直線與所成的角,由(1)可得,∴,∴,設,則,取的中點,連接,過作的平行線,可建立如圖所示的空間直角坐標系,則,∴,所以,設為平面的法向量,則,即,取,則為平面的一個法向量,∵,則直線與平面所成角的正弦值為.點睛:判定直線和平面垂直的方法:①定義法.②利用判定定理:一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線和此平面垂直.③推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直于這個平面.平面與平面垂直的判定方法:①定義法.②利用判定定理:一個平面過另一個平面的一條垂線,則這兩個平面垂直.19、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由等差數(shù)列中項性質和等比數(shù)列的通項公式,解方程可得首項和公比,可得所求通項公式;(Ⅱ),由數(shù)列的錯位相減法求和可得,解方程可得所求值.【詳解】(Ⅰ)等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:則相減可得:化簡可得:,即為解得:【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用,考查數(shù)列的錯位相減法求和,以及方程思想和運算能力,屬于中檔題.20、(1)(2)(i)(ii)分布列見解析,【解析】
(1)先計算甲、乙、丙同學分別選擇D高校的概率,利用事件的獨立性即得解;(2)(i)分別計算每個事件的概率,再利用事件的獨立性即得解;(ii),利用事件的獨立性,分別計算對應的概率,列出分布列,計算數(shù)學期望即得解.【詳解】(1)甲從五所高校中任選2所,共有共10種情況,甲、乙、丙同學都選高校,共有四種情況,甲同學選高校的概率為,因此乙、丙兩同學選高校的概率為,因為每位同學彼此獨立,所以甲、乙、丙三名同學都選高校的概率為.(2)(i)甲同學必選校且選高校的概率為,乙未選高校的概率為,丙未選高校的概率為,因為每位同學彼此獨立,所以甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率為.(ii),因此,.即的分布列為0123因此數(shù)學期望為.【點睛】本題考查了事件獨立性的應用和隨機變量的分布列和期望,考查了學生綜合分析,概念理解,實際應用,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.21、(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)連接,,則且為的中點,又∵為的中點,∴,又平面,平面,故平面.(2)由平面,得,.以為原點,分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設,則,,,,,.取平面的一個法向量為,由,得:,令,得同理可得平面的一個法向量為∵平面平面,∴解得,得,又,
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