第07講探索勾股定理（第2課時(shí)）（9類題型）

第07講探索勾股定理（第2課時(shí)）（9類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.勾股定理的應(yīng)用；1.掌握勾股定理的應(yīng)用；知識(shí)點(diǎn)01：勾股定理的應(yīng)用勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；3．與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；4．勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．【即學(xué)即練1】1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示的是一個(gè)長(zhǎng)方體筆筒，底面的長(zhǎng)、寬分別為和，高為，將一支長(zhǎng)為的簽字筆放入筆筒內(nèi)，則簽字筆露在筆筒外的的長(zhǎng)度最少為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】長(zhǎng)方體內(nèi)斜對(duì)角線是最長(zhǎng)的，當(dāng)簽字筆在筆筒里對(duì)角放置的時(shí)候露在外面的長(zhǎng)度最小，求出筆筒的對(duì)角線長(zhǎng)度即可得簽字筆露在外面的最短長(zhǎng)度．【詳解】解：由題意知：筆筒底面對(duì)角長(zhǎng)為，∴筆筒的對(duì)角線長(zhǎng)：，∵簽字筆長(zhǎng)，∴簽字筆露在筆筒外面的最短長(zhǎng)度是：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的形池，該形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長(zhǎng)為的半圓，其邊緣（邊緣的寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)在上，一滑板愛(ài)好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】滑行的距離最短，即是沿著的線段滑行，我們可將半圓展開為矩形來(lái)研究，展開后，、、三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，為斜邊，和為直角邊，寫出和的長(zhǎng)，根據(jù)題意，由勾股定理即可得出的距離．【詳解】解：將半圓面展開可得：米，米，在中，（米）．即滑行的最短距離為米．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問(wèn)題，型池的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形，此矩形的寬是半圓的弧長(zhǎng)，矩形的長(zhǎng)等于本題就是把型池的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．題型01求梯子滑落高度1．（2023春·山西呂梁·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，一架長(zhǎng)的梯子靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯子的底端到墻根的距離為，如果梯子的頂端下滑至處，那么梯子底端將滑動(dòng)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可求出的長(zhǎng)，由此可求出的長(zhǎng)，在中，根據(jù)勾股定理可求出的長(zhǎng)，由此可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，∴，在中，，，∴（米），∵梯子的頂端下滑至處，∴，則，，∴在中，，∴（米），故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定理求線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·貴州銅仁·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個(gè)梯子長(zhǎng)米，頂端A靠在墻上的上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為6米，梯子滑動(dòng)后停在的位置上，測(cè)得長(zhǎng)為1米，則梯子頂端A下落了米？（精確到）【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，，，∴，∵，∴，∴，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是提取題意中的長(zhǎng)度．3．（2023秋·福建漳州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一架云梯長(zhǎng)，如圖所示斜靠在一面墻上，梯子底端離墻．(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？(2)如果梯子的頂端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)度，此題得解；（2）在中，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)度，用其減去的長(zhǎng)度即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，，∴=24()．答：這個(gè)梯子的頂端距地面．（2）在中，，，∴，∴．答：如果梯子的頂端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑動(dòng)了．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵：題型02求旗桿高度1．（2023春·河南開封·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m，則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)棋桿的高度為x，可得，，，在中利用勾股定理可求出x．【詳解】解：設(shè)旗桿高度為x米，則，，在中，由勾股定理得即解得：∴旗桿的高度為17米．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，小霞將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個(gè)結(jié)，然后將繩子拉到離旗桿底端12米處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子底端距離打結(jié)處約6米，則滑輪到地面的高度為米．【答案】9【分析】設(shè)旗桿的高度為x米，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為x米，根據(jù)勾股定理，得，解得：；故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，從題意中勾畫出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2023春·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┰诘谑膶萌珖?guó)人大一次會(huì)議召開之際，某中學(xué)舉行了莊嚴(yán)的升旗儀式．看著著冉升起的五星紅旗（如圖1），小樂(lè)想用剛學(xué)過(guò)的知識(shí)計(jì)算旗桿的高度．如圖2，為旗桿上用來(lái)固定國(guó)旗的繩子，點(diǎn)距地面的高度．將繩子拉至的位置，測(cè)得點(diǎn)到的距離，到地面的垂直高度，求旗桿的高度．【答案】【分析】設(shè)，在中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，，由題意可得：，在中，，即，解得：，即，∴旗桿的高度為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的相關(guān)知識(shí)并在直角三角形中正確運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．題型03求小鳥飛行距離1．（2023春·重慶云陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹稍飛到另一棵樹的樹稍，問(wèn)小鳥至少要飛行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米【答案】C【分析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【詳解】解：如圖，設(shè)大樹高為，小樹高為，過(guò)點(diǎn)作于，則是矩形，連接，，，，在中，，故小鳥至少飛行，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）在一棵樹的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹10米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹高米.【答案】【分析】由題意知AD＋DB＝BC＋CA，設(shè)BD＝x，則AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，樹高CD＝(5＋x)米即可．【詳解】解：由題意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，設(shè)BD＝x，則AD＝15－x，∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，即，解得x＝米，故樹高為CD＝5＋x＝（米），答：樹高為米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量關(guān)系，并根據(jù)勾股定理列方程求解是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，在一棵樹CD的10m高處的B點(diǎn)有兩只猴子，它們都要到A處池塘邊喝水，其中一只猴子沿樹爬下走到離樹20m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直線躍入池塘的A處．如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，試問(wèn)這棵樹多高？【答案】15m【分析】先由實(shí)際問(wèn)題構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造出直角三角形，然后列方程求解．【詳解】解：設(shè)BD高為x，則從B點(diǎn)爬到D點(diǎn)再直線沿DA到A點(diǎn)，走的總路程為x+AD，其中AD=而從B點(diǎn)到A點(diǎn)經(jīng)過(guò)路程（20+10）m=30m，根據(jù)路程相同列出方程x+=30，可得=30﹣x，兩邊平方得：（10+x）2+400=（30﹣x）2，整理得：80x=400，解得：x=5，所以這棵樹的高度為10+5=15m．故答案為15m．題型04求大樹折斷的高度1．（2023春·新疆巴音郭楞·八年級(jí)校考期中）如圖，一棵大樹，在一次強(qiáng)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分樹頭A著地與樹底部B的距離為米，這棵大樹的高度為（

）米．A．6 B．9 C．12 D．27【答案】B【分析】依題意，，，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，，，在中，∴這棵大樹的高度為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如右圖，小旭放風(fēng)箏時(shí)線斷了，風(fēng)箏掛在了樹上．他想知道風(fēng)箏距地面的高度．于是他先拉住風(fēng)箏線垂直到地面上，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線多出1米，然后把風(fēng)箏線沿直線向后拉開5米，發(fā)現(xiàn)風(fēng)箏線末端剛好接觸地面．則風(fēng)箏距離地面的高度為米．【答案】12【分析】設(shè)，則，依據(jù)勾股定理即可得到方程，進(jìn)而得出風(fēng)箏距離地面的高度．【詳解】解：設(shè)，則，由圖可得，，，中，，即，解得，所以風(fēng)箏距離地面的高度為12米．故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．3．（2023春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在一次暴風(fēng)雨后，一棵大樹從離地面處被折斷，經(jīng)測(cè)量樹的頂端與地面的接觸點(diǎn)A離樹根部C的距離，若在該樹正上方離地面處有高壓電線，請(qǐng)判斷該樹在折斷前是否接觸到電線？并說(shuō)明你的理由．【答案】不會(huì)【分析】先利用勾股定理求出，比較折斷前大樹高度與高壓電線高度判斷即可解題．【詳解】解：不會(huì)，理由為：根據(jù)勾股定理可得：，∴折斷前大樹高度為：，∴該樹在折斷前不會(huì)接觸到電線．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．題型05解決水杯中筷子問(wèn)題1．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有一個(gè)水池，水面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是（）A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺【答案】C【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長(zhǎng)為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度（尺），答：蘆葦長(zhǎng)13尺．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一根長(zhǎng)的筷子置于底面直徑為，高為圓柱形水杯中，露在水杯外面的長(zhǎng)度，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)杯子內(nèi)筷子的長(zhǎng)度的取值范圍得出杯子外面長(zhǎng)度的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)筷子在杯子中的長(zhǎng)度為，將一根長(zhǎng)為的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，在杯子中筷子最短時(shí)x等于杯子的高，最長(zhǎng)時(shí)x等于杯子軸截面中對(duì)角線的長(zhǎng)度，當(dāng)杯子中筷子最短等于杯子的高時(shí)，，最長(zhǎng)時(shí)：，的取值范圍是：，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題．有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根蘆葦(點(diǎn)P是的中點(diǎn))，它高出水面1尺(尺)．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面()．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？【答案】水的深度PN為12尺，蘆葦MN的長(zhǎng)度為13尺【分析】在中，根據(jù)勾股定理列出方程，求出的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴．∵，∴．在中，根據(jù)勾股定理，．∴．解得，∴．答：水的深度為12尺，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．題型06解決航海問(wèn)題1．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一艘輪船以16海里/時(shí)的速度離開港口向東南方向航行，另一艘輪船同時(shí)以12海里/時(shí)的速度離開港口向西南方向航行，經(jīng)過(guò)小時(shí)后它們相距（）A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．32海里【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，且東北和東南的夾角為，根據(jù)題目中給出的小時(shí)和速度可以計(jì)算，的長(zhǎng)度，在直角中，已知，可以求得的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作出圖形，因?yàn)闁|南和西南的夾角為，所以為直角三角形．在中，，，則故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中確定為直角三角形，并且根據(jù)勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）甲船和乙船分別從港口和港口同時(shí)出發(fā)，各沿圖中箭頭所指的方向航行如圖所示，現(xiàn)已知甲、乙兩船的速度分別為海里時(shí)和海里時(shí)，且，兩港口之間的距離為海里，則經(jīng)過(guò)小時(shí)甲船和乙船之間的距離最近．【答案】/【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)甲船和乙船之間的距離最近，最近距離是海里，由勾股定理得，當(dāng)，即時(shí)，的值最小，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)甲船和乙船之間的距離最近，最近距離是海里，如圖，由勾股定理得：，當(dāng)，即時(shí)，的值最小，則的值最小，此時(shí)取得最小值為，即經(jīng)過(guò)小時(shí)甲船和乙船之間的距離最近，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建廈門·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，貨船和輪船從碼頭A同時(shí)出發(fā)，其中，貨船沿著北偏西方向以15海里/小時(shí)的速度勻速航行，輪船沿著北偏東方向以20海里/小時(shí)的速度航行，1小時(shí)后，兩船分別到達(dá)B、C點(diǎn)，求B、C兩點(diǎn)之間的距離．【答案】25海里【分析】由題意可求出，再根據(jù)貨船的速度和輪船的速度求出海里，海里，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵貨船沿著北偏西方向航行，輪船沿著北偏東方向航行，∴．∵貨船的速度為15海里/小時(shí)，輪船的速度為20海里/小時(shí)，∴海里，海里，∴海里，即B、C兩點(diǎn)之間的距離為25海里．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．題型07求臺(tái)階上地毯長(zhǎng)度1．（2023秋·山東棗莊·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖在一個(gè)高為3米，長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯，則地毯至少需要（

）．A．3米 B．4米 C．5米 D．7米【答案】D【分析】當(dāng)?shù)靥轰仢M樓梯時(shí)的長(zhǎng)度是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，即可求得地毯的長(zhǎng)度．【詳解】解：由勾股定理得：樓梯的水平寬度（米），地毯鋪滿樓梯的長(zhǎng)度應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，地毯的長(zhǎng)度至少是（米）．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了生活中的平移現(xiàn)象以及勾股定理，屬于基礎(chǔ)題，利用勾股定理求出水平邊的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某小區(qū)樓梯如圖所示，欲在樓梯上鋪設(shè)紅色地毯，已知這種地毯每平方米售價(jià)為20元，樓梯寬為2m，則購(gòu)買這種地毯至少需要元．【答案】280【分析】地毯的面積即樓梯的表面積，且地毯展開后是一個(gè)長(zhǎng)方形；再結(jié)合圖形可知，展開后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是樓梯水平長(zhǎng)與豎直高的和，最后再結(jié)合樓梯的寬與地毯價(jià)格即可求解．【詳解】解：樓梯的豎直高是3m，斜邊是5m，水平直角邊是m，購(gòu)買這種地毯的長(zhǎng)是3m+4m=7m，樓梯寬2m，地毯價(jià)格為每平方米20元價(jià)格是7×2×20=280元．故答案為280．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)的實(shí)際應(yīng)用題，難度不大．解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖例分析出地毯的長(zhǎng)是樓梯豎直高與水平長(zhǎng)的和．3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖有一個(gè)四級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺(tái)階表面8個(gè)矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級(jí)臺(tái)階的高為多少分米？(2)A和C是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，臺(tái)階角落點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到臺(tái)階頂端點(diǎn)C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為多少分米？【答案】(1)每一級(jí)臺(tái)階的高為2分米．(2)螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米．【分析】（1）設(shè)每一級(jí)臺(tái)階的高為x分米，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（2）先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：設(shè)每一級(jí)臺(tái)階的高為x分米，根據(jù)題意得，18×（4＋x）×4＝432，解得x＝2，答：每一級(jí)臺(tái)階的高為2分米；（2）四級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為18分米，寬為（2＋4）×4＝24分米，則螞蟻沿臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到C點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．由勾股定理得：AC＝（分米），答：螞蟻沿著臺(tái)階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開?最短路徑問(wèn)題，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬即可解答．題型08判斷是否受臺(tái)風(fēng)影響1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交會(huì)，公路上點(diǎn)距離點(diǎn)是，與這條鐵路的距離是．如果火車行駛時(shí)，周圍以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時(shí)，點(diǎn)處受噪音影響的時(shí)間是（

）A．15秒 B．秒 C．秒 D．10秒【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A作，設(shè)在點(diǎn)B處開始受噪音影響，在點(diǎn)D處開始不受噪音影響，則，，根據(jù)勾股定理求出求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，即可得出居民樓受噪音影響的時(shí)間．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作，設(shè)在點(diǎn)B處開始受噪音影響，在點(diǎn)D處開始不受噪音影響，則，，∵公路上點(diǎn)距離點(diǎn)是，與這條鐵路的距離是，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴，∵，∴A處受噪音影響的時(shí)間為：．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若有一列長(zhǎng)為的火車，沿鐵路AB以的速度從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B，點(diǎn)C為一所學(xué)校，，，，已知距離火車以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響．（1）學(xué)校C到鐵路AB的距離是．（2）火車在AB路段行駛時(shí)，學(xué)校C受到火車噪音影響的時(shí)間是．（3）如果火車在下課時(shí)間穿過(guò)該路段，并確保學(xué)校受到火車噪音影響的時(shí)間控制在10分鐘以內(nèi)（），那么其行駛速度至少應(yīng)增加到．【答案】2401260【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，再通過(guò)直角三角形面積的兩種表示方法求解即可；（2）利用勾股定理求出長(zhǎng)度，繼而得出長(zhǎng)，再利用時(shí)間等于路程除以速度求解即可；（3）用長(zhǎng)加上火車長(zhǎng)，除以10分鐘即可求解．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D，如圖，∵，，，∴，∴是直角三角形，∴，即，解得，故答案為：240；（2）如圖，當(dāng)時(shí)，正好影響學(xué)校，∴，∴，∵有一列長(zhǎng)為的火車，沿鐵路AB以的速度從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B，∴，故答案為：12；（3）如果火車在下課時(shí)間穿過(guò)該路段，并確保學(xué)校受到火車噪音影響的時(shí)間控制在10分鐘以內(nèi)（），∴，∴其行駛速度至少應(yīng)增加到．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·福建龍巖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，公路和公路在點(diǎn)處交匯，且，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，．假設(shè)汽車行駛時(shí)，周圍以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么汽車在公路上沿方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果受影響，已知汽車的速度為，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？【答案】學(xué)校會(huì)受到噪聲影響；理由見(jiàn)解析；學(xué)校受影響的時(shí)間為8秒【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)B，則可得，從而可判斷學(xué)校會(huì)受到影響；設(shè)從點(diǎn)E開始學(xué)校學(xué)到影響，點(diǎn)F結(jié)束，則易得，從而，由勾股定理可求得的長(zhǎng)，從而得的長(zhǎng)，由路程、速度與時(shí)間的關(guān)系即可求得學(xué)校受影響的時(shí)間．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)B，∵，，∴，∵，∴學(xué)校會(huì)受到噪音的影響；設(shè)從點(diǎn)E開始學(xué)校學(xué)到影響，點(diǎn)F結(jié)束，則，∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∵汽車的速度為，∴受影響的時(shí)間為：【點(diǎn)睛】本題是直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，考查了含30度角直角三角形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)．題型09求最短路徑問(wèn)題1．（2022秋·山西太原·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是放在地面上的一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其中，，，點(diǎn)M在棱上，且，N是的中點(diǎn)，一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體盒子的表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N，它需要爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面展開圖有兩種情況，畫出圖形利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖1，∵，，N是的中點(diǎn)，∴，∴，，∴；如圖2，∵，，N是的中點(diǎn)，∴，∴，，∴．∵，∴螞蟻沿長(zhǎng)方體表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N處的最短路程為．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問(wèn)題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有兩種情況分析得出是解題關(guān)鍵．2．（2021秋·陜西西安·八年級(jí)西北大學(xué)附中校考階段練習(xí)）圓柱形杯子的高為，底面周長(zhǎng)為，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為．【答案】【分析】將杯子側(cè)面展開，建立關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長(zhǎng)度即為所求．【詳解】解：如圖所示，將杯子側(cè)面展開，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則即為最短距離，由題意得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、最短路徑等知識(shí)．將圓柱側(cè)面展開，化曲面為平面并作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體的小杯子放置在桌面上，，；(1)一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿小杯子外表面爬到點(diǎn)，求螞蟻怎樣走最短，最短路程是多少？(2)為了怕杯子落入灰塵又方便使用，現(xiàn)在需要給杯子蓋上蓋子，并把一雙筷子放進(jìn)杯子里，請(qǐng)問(wèn)，筷子的最大長(zhǎng)度是多少？【答案】(1)如方法一的路線最短，最短路線為(2)筷子的最大長(zhǎng)度是【分析】（1）分別討論將面和面展開，將面和上底面展開兩種情況，再利用勾股定理計(jì)算，進(jìn)而比較即可求解；（2）當(dāng)筷子沿傾斜放的時(shí)候，能夠放的最長(zhǎng)，利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）方法一：將面和面展開，如圖，∵，，∴，由勾股定理得；方法二：將面和上底面展開，如圖，∵，，∴，由勾股定理得；所以，如方法一的路線最短，最短路線為；（2）如圖，當(dāng)筷子沿傾斜放的時(shí)候，能夠放的最長(zhǎng)，∵，，∴由勾股定理得，∴，所以，筷子的最大長(zhǎng)度是．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023春·重慶忠縣·八年級(jí)統(tǒng)考期末）把5米長(zhǎng)的梯子斜靠在墻上，若梯子底端離墻4米，則梯子頂端到離地面（

）A．2米 B．3米 C．4米 D．米【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：梯子的長(zhǎng)度為5米，梯子底端離地面4米，將梯子長(zhǎng)度看作直角三角形的斜邊，梯子底端離地面距離看作一條直角邊，梯子頂端到地面的距離為：（米），故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，理解題意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)字問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北廊坊·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，一場(chǎng)暴雨這后，垂直于地面的一棵樹在距地面處折斷，樹尖B恰好碰到地面，經(jīng)測(cè)量，則樹高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)勾股定理求出，即可得到樹高．【詳解】解：如圖，連接，在中，,，∴，∴樹高為．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是臺(tái)階的模型圖．已知每個(gè)臺(tái)階的寬度都是2cm，每個(gè)臺(tái)階的高度都是1cm，連接，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，由題意得，，故．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為，梯子頂端到地面的距離為．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為，則小巷的寬為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可知，是直角三角形，在中，，，∴，，在中，，，則，∴，∴小巷的寬為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，掌握勾股定理的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）受臺(tái)風(fēng)影響，馬路邊一顆大樹在離地面處折斷，大樹頂端落在離大樹底部處，則大樹折斷之前高．【答案】【分析】運(yùn)用勾股定理即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下，，，，∴，∴數(shù)的高度為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理與實(shí)際問(wèn)題的綜合，掌握勾股定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·山東淄博·七年級(jí)校聯(lián)考期中）從電線桿離地面8米處拉一根長(zhǎng)為10m的纜繩，這條纜繩在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部有米．【答案】6【分析】根據(jù)勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方直接進(jìn)行解答．【詳解】∵從電線桿離地面8米處向地面拉一條10米長(zhǎng)的纜繩，纜繩，線桿，與地面正好構(gòu)成直角三角形，纜繩為斜邊，∴這條纜繩在地面的固定點(diǎn)到電線桿底部距離為：．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，掌握勾股定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．7（2023春·新疆烏魯木齊·八年級(jí)校考期中）已知，一輪船以4海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以3海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時(shí)后，兩船相距海里．【答案】10【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角，然后根據(jù)路程=速度×?xí)r間，得兩條船分別走了8海里和6海里，再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【詳解】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴，兩小時(shí)后，兩艘船分別行駛了，海里，根據(jù)勾股定理得：（海里）．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，基礎(chǔ)知識(shí)，比較簡(jiǎn)單．8．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，船位于船正東方向5km處．現(xiàn)在船以2km/h的速度朝正北方向行駛，同時(shí)船以1km/h的速度朝正西方向行駛，當(dāng)兩船相距最近時(shí)，行駛了h．【答案】1【分析】利用勾股定理表示出兩船的距離，然后利用配方法求出兩船的距離的最小值即可．【詳解】設(shè)時(shí)兩船相距為，則，，由題意可知：，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)兩船相距最近，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是表示出兩船之間的距離表達(dá)式，注意掌握配方法求二次函數(shù)最值的應(yīng)用．9．（2023秋·山東棗莊·八年級(jí)滕州育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，一根長(zhǎng)的梯子，斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯子的底端距墻底端．如果梯子的頂端下滑，那么梯子的底端將向右滑動(dòng)多少米？【答案】米．【分析】先在中，利用勾股定理出的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差可得的長(zhǎng)，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：如圖，由題意得：，在中，，∴，在中，，∴，答：梯子的底端將向右滑動(dòng)米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．10．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A處的正前方的C處，過(guò)了，小汽車到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為．(1)求的長(zhǎng)；(2)這輛小汽車超速了嗎？【答案】(1)(2)沒(méi)有超速．【分析】（1）中，有斜邊的長(zhǎng)，有直角邊的長(zhǎng)，那么根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)；（2）根據(jù)小汽車用行駛的路程為，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了．【詳解】（1）解：在中，，；據(jù)勾股定理可得：=（2）解：小汽車的速度為；∵；∴這輛小汽車行駛沒(méi)有超速．答：這輛小汽車沒(méi)有超速．【點(diǎn)睛】此題考查了將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把條件和問(wèn)題放到直角三角形中，進(jìn)行解決．要注意題目中單位的統(tǒng)一．B能力提升1．（2023春·河南漯河·八年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)圓桶底面直徑為10cm，高24cm，則桶內(nèi)所能容下的最長(zhǎng)木棒為（

）A．20cm B．124cm C．26cm D．30cm【答案】C【分析】當(dāng)桶內(nèi)所能容下的木棒最長(zhǎng)時(shí)，即為木棒為斜邊，桶的底面直徑及桶高構(gòu)成一個(gè)直角三角形，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】根據(jù)勾股定理得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·陜西榆林·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，湖的兩岸有A，C兩點(diǎn)，在與成直角的方向上的點(diǎn)C處測(cè)得米，米，則A，C兩點(diǎn)間的距離為（

）A．3米 B．6米 C．9米 D．10米【答案】C【分析】由勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】由題意得：，即A，C兩點(diǎn)間的距離為米，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山西臨汾·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，圓柱形杯子底面直徑為，高為．將一根長(zhǎng)的木棒斜放在杯中，設(shè)木棒露在杯子外面的長(zhǎng)度為，則h的最小值是（

）A．9 B．11 C．12 D．14【答案】B【分析】根據(jù)杯子內(nèi)筷子的長(zhǎng)度取值范圍得出杯子外面長(zhǎng)度的取值范圍，即可得出答案．【詳解】解：將一根長(zhǎng)為的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長(zhǎng)是等于杯子斜邊長(zhǎng)度，當(dāng)杯子中筷子最短是等于杯子的高時(shí)，，最長(zhǎng)時(shí)等于杯子斜邊長(zhǎng)度是：，此時(shí)，的取值范圍是：，即h的最小值是．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體盒子的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于點(diǎn)處，它想沿正方體的表面爬行到點(diǎn)處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把圖中展開，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，連接，則線段的長(zhǎng)就是螞蟻需爬行的最短路程，∵正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，∴，，，由勾股定理得，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了平面展開最短路徑問(wèn)題，解決立體幾何兩點(diǎn)間的最短距離時(shí)，通常把立體圖形展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成平面圖形兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題來(lái)求解．5．（2023秋·四川成都·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，強(qiáng)大的臺(tái)風(fēng)使一根旗桿斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部4米處，斷裂前旗桿總長(zhǎng)為8米，則旗桿在離地面米處折斷倒下.【答案】3【分析】根據(jù)勾股定理兩個(gè)直角邊的平方和等于斜邊的平方．此題要求斜邊和直角邊的長(zhǎng)度，解直角三角形即可．【詳解】解：設(shè)旗桿在離地面米處折斷倒下．由勾股定理得，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的正確應(yīng)用，找出可以運(yùn)用勾股定理的直角三角形是關(guān)鍵．6．（2022春·福建龍巖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口小時(shí)后，則兩船相距．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，判斷出三角形的形狀解答即可．【詳解】如圖所示：由題意可得：（海里），（海里），∴，即是直角三角形，∴（海里）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理解答，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)．7．（2022秋·河南鶴壁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)為3，寬為2，高為1的長(zhǎng)方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿著長(zhǎng)方體的表面爬行到頂點(diǎn)B，那么它爬行的最短路程是．【答案】【分析】把此長(zhǎng)方體的一面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點(diǎn)A和B點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，即可得到螞蟻爬行的最短距離．應(yīng)該是前面和上面展開，利用勾股定理可求得．【詳解】解：因?yàn)槠矫嬲归_圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線．（1）展開前面上面，由勾股定理得；（2）展開前面右面，由勾股定理得；（3）展開前面和左面，由勾股定理得．所以最短路徑的長(zhǎng)為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路線問(wèn)題，勾股定理應(yīng)用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（2022秋·陜西榆林·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，圓柱的底面周長(zhǎng)為，是底面圓的直徑，在圓柱表面的高上有一點(diǎn)，且，．一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)的最短路程是．【答案】10【分析】首先畫出圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)底面周長(zhǎng)為，求出的值；再在中，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，即為所求．【詳解】解：圓柱側(cè)面展開圖如圖所示，∵圓柱的底面周長(zhǎng)為，∴．∵，．∴，在中，，∴，即螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)D的最短距離是10cm．故答案為10．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開圖，以及勾股定理的應(yīng)用，做題的關(guān)鍵是畫出圓柱的側(cè)面展開圖．9．（2022秋·山西太原·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一艘貨輪和一艘漁船同時(shí)從港口出發(fā)，貨輪沿北偏西方向航行海里到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)，漁船到達(dá)港口南偏西的點(diǎn)處，與港口相距海里，求此時(shí)貨輪和漁船之間的距離．【答案】海里【分析】直接根據(jù)題意得出，以及，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．【詳解】解：由題意可得：，，，∴（海里）．答：此時(shí)貨輪和漁船之間的距離為海里．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，方向角．正確得出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．（2022春·福建福州·八年級(jí)校考期中）某市規(guī)定：小汽車在該市城市街道上行駛時(shí)，速度不得超過(guò)60千米/時(shí)．如圖，一輛小汽車在該市街道上沿直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀A正前方30米處的C處，過(guò)了2秒后到達(dá)B處，測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為50米，請(qǐng)問(wèn)這輛小汽車超速了嗎？為什么？若超速，則超速多少？【答案】超速了，理由見(jiàn)解析，每小時(shí)超速了12千米【分析】首先根據(jù)題意得到米，米，，然后利用勾股定理得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：小汽車超速了，理由如下：根據(jù)題意，得米，米，．在中，根據(jù)勾股定理，得，∴米∴小汽車行駛速度為(米/秒)(千米/時(shí))(千米/時(shí))答，這輛小汽車超速了，每小時(shí)超速了12千米．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是一長(zhǎng)為，寬為，高的長(zhǎng)方體紙箱，E點(diǎn)處有幾滴蜂蜜，一只螞蟻欲從點(diǎn)A出發(fā)沿紙箱表面爬行到點(diǎn)E處吃蜂蜜，則螞蟻爬行的最短距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分三種情況討論：①通過(guò)上面和前面抵達(dá)②通過(guò)上面和右側(cè)面抵達(dá)③通過(guò)左側(cè)面和前面抵達(dá)；分別展開長(zhǎng)方體，運(yùn)用勾股定理計(jì)算【詳解】解：①通過(guò)上面和前面抵達(dá)，②通過(guò)上面和右側(cè)面抵達(dá)③通過(guò)左側(cè)面和前面抵達(dá)；，∵∴最短距離是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，長(zhǎng)方體的展開圖；具備一定的空間相象能力，將幾何體展開是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·安徽蕪湖·八年級(jí)校考期末）如圖，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)離杯底的點(diǎn)處有滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜點(diǎn)的最短距離為（

）A．8 B．10 C．8 D．12【答案】B【分析】利用展開圖，軸對(duì)稱，勾股定理計(jì)算即可．【詳解】如圖，根據(jù)題意，，作點(diǎn)Ａ關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Ｇ，連接，則為所求最小值，則，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Ｅ，則四邊形是矩形，故，故，故，故選Ｂ．【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的展開圖，軸對(duì)稱，勾股定理，熟練掌握軸對(duì)稱，勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河南商丘·八年級(jí)校聯(lián)考期末）將一根長(zhǎng)的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為，則不可以是（

）A．7 B．15 C．16 D．17【答案】D【分析】當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短；當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)．然后分別利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出的取值范圍．【詳解】解：如圖1所示，當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最長(zhǎng)，，如圖2所示，當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度最短，在中，，，，此時(shí)，的取值范圍是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山西陽(yáng)泉·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的處，當(dāng)它聽(tīng)到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過(guò)去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時(shí)間至少是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)作于，如圖所示，由勾股定理求出最短路徑長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：過(guò)作于，如圖所示：由題意可知，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則它要飛回巢中所飛的最短路徑為，由勾股定理可得，它要飛回巢中所需的時(shí)間至少是（），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解實(shí)際問(wèn)題，讀懂題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出最短路徑長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一根旗桿在離地面處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處，旗桿折斷之前的高為．【答案】24米【分析】根據(jù)勾股定理，計(jì)算旗桿的折斷部分是15米，則折斷前旗桿的高度是米．【詳解】解：旗桿折斷后，落地點(diǎn)與旗桿底部的距離為12米，旗桿離地面9米折斷，且旗桿與地面是垂直的，∴折斷的旗桿與地面形成了一個(gè)直角三角形．根據(jù)勾股定理，折斷部分的旗桿為：米，∴旗桿折斷之前高度為米．故答案為：24米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握