初中數(shù)學定理

點的定理：過兩點有且只有一條直線

點的定理：兩點之間線段最短

角的定理：同角或等角的補角相等

角的定理：同角或等角的余角相等

直線定理：過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

直線定理：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

平行定理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

證明兩直線平行定理：同位角相等，兩直線平行

內(nèi)錯角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

兩直線平行推論：兩直線平行，同位角相等

證明兩直線平行定理：

同位角相等，兩直線平行

內(nèi)錯角相等，兩直線平行

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

兩直線平行推論：

兩直線平行，同位角相等

兩直線平行，內(nèi)錯角相等

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

定理：三角形兩邊的和大于第三邊

推論：三角形兩邊的差小于第三邊

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180。

推論1：直角三角形的兩個銳角互余

推論2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

推論3：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

定理：全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

邊角邊定理(SAS)：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

角邊角定理(ASA)：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

推論(AAS)：有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

邊邊邊定理(SSS)：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

斜邊、直角邊定理(HL)：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

角的平分線定理定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

定理2：到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上角的平分線是到角的兩邊距

離相等的所有點的集合

等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

推論3：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等

(等角對等邊)

推論1：二個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

對稱定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

定理1：關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

定理2：如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線

定理3：兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱

軸上

逆定理：如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條

直線對稱

直角三角形定理:在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊

的一半

判定定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即/2+1/2=廠2

勾股定理的逆定理：如果二角形的三邊長a、b、c有關(guān)系屋2+丁2=>2,那么這個三角

形是直角三角形

多邊形內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360。四邊形的外角和等于360。

多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)X180°

推論：任意多邊的外角和等于360°

平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形的對角相等

平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對邊相等

推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等

平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對角線互相平分

平行四邊形判定定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

平行四邊形判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

平行四邊形判定定理4：一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個角都是直角

矩形性質(zhì)定理2：矩形的對角線相等

矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形

矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形

菱形性質(zhì)定理1：菱形的四條邊都相等

菱形性質(zhì)定理2：菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

菱形面積=對角線乘積的一半，即$=(aXb)4-2

菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

正方形性質(zhì)定理1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

正方形性質(zhì)定理2：正方形的兩條對角線相等并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對

中心對稱定理

定理1:關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

定理2：關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分

逆定理：如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)

于這一點對稱

等腰梯形性質(zhì)定理：

1.等腰梯形在同一底上的兩個角相等

2.等腰梯形的兩條對角線相等

等腰梯形判定定理：

1.在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

2.對角線相等的梯形是等腰梯形

平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線

上截得的線段也相等

推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

推論2：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半1=（a+b）+2S=LXh

相似三角形定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的

三角形與原三角形相似

相似三角形判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）

直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）

判定定理3：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）

相似直角三角形定理:如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的

斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似

性質(zhì)定理1：相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比

性質(zhì)定理2：相似三角形周長的比等于相似比

性質(zhì)定理3：相似三角形面積的比等于相似比的平方

三角函數(shù)定理

任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值

任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值

圓：不共線的三點確定一個圓

經(jīng)過一點可以作無數(shù)個圓

經(jīng)過兩點也可以作無數(shù)個圓，且圓心都在連結(jié)這兩點的線段的垂直平分線上

定理：過不共線的三個點，可以作且只可以作一個圓

推論：三角形的三邊垂直平分線相交于一點，這個點就是三角形的外心

三角形的三條高線的交點叫三角形的垂心

1.3垂徑定理

圓是中心對稱圖形；圓心是它的對稱中心

圓是周對稱圖形，任一條通過圓心的直線都是它的對稱軸

定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且評分弦所對的兩條弧

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧

推論2：弦的垂直平分弦經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

推論3：平分弦所對的一條弧的直徑，垂直評分弦，并且平分弦所對的另一條弧

1.4弧、弦和弦心距

定理：在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

二圓與直線的位置關(guān)系

2.1圓與直線的位置關(guān)系

如果一條直線和一個圓沒有公共點，我們就說這條直線和這個圓相離

如果一條直線和一個圓只有一個公共點，我們就說這條直線和這個圓相切，這條直線叫

做圓的切線，這個公共點叫做它們的切點

定理：經(jīng)過圓的半徑外端點，并且垂直于這條半徑的直線是這個圓的切線

定理：圓的切線垂直經(jīng)過切點的半徑

推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

如果一條直線和一個圓有兩個公共點，我們就說，這條直線和這個圓相交，這條直線叫

這個圓的割線，這兩個公共點叫做它們的交點

直線和圓的位置關(guān)系只能由相離、相切和相交三種

2.2三角形的內(nèi)切圓

如果一個多邊形的各邊所在的直線，都和一個圓相切,這個多邊形叫做圓的外切多邊形,

這個圓叫做多邊形的內(nèi)切圓

定理：三角形的三個內(nèi)角平分線交于一點，這點是三角形的內(nèi)心

二角形一內(nèi)角評分線和其余兩內(nèi)角的外角評分線交于一點，這一點叫做三角形的旁心。

以旁心為圓心可以作一個圓和一邊及其他兩邊的延長線相切，所作的圓叫做三角形的旁切圓

2.3切線長定理

定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條

切線的夾角

2.4圓的外切四邊形

定理：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

定理：如果四邊形兩組對邊的和相等，那么它必有內(nèi)切圓

三圓與圓的位置關(guān)系

3.1兩圓的位置關(guān)系

在平面內(nèi)，不重合的兩圓。它們的位置關(guān)系，有以下五種情況：外離、外切、相交、內(nèi)

切、外切

經(jīng)過兩個圓的圓心的直線，叫做兩圓的連心線，兩個圓心之間的距離叫做圓心距

定理：兩圓的連心線是兩圓的對稱軸，并且兩圓相切時，它們切點在連心線上

(1)兩圓外離d>R+r

(2)兩圓外切d=R+r

(3)兩圓相交R-r〈d〈R+r(R〉r)

(4)兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)

(5)兩圓內(nèi)含d〈R-r(R>r)

特殊情況，兩圓是同心圓d=0

兩圓的公切線