2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題

2024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題一、單選題1．已知集合A5x5,B2,3}AB（）3A．．．D．z21iz1z（）A．1i．1i．1iD．1i3．已知向量ab(2,x)bb4a)x（）A．2．11D．24．已知),2)（）mA．m．．3m3D．m5．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為（）A．23π．33π．63πD．93π6．已知函數(shù)為f(x)x22,x0R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（）exxx0A．(,0]．[．[D．)7x?2]時(shí)，曲線ysinx與2sin3yx的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）6A3．46D．88f(x)的定義域?yàn)镽f(x)f(xf(x當(dāng)x3時(shí)f(x)x）A．f．f．fD．f二、多選題9x2.1，樣本方差s20.01X服從正態(tài)分布N1.8,0.1，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)2Nxs2，則（Z服從正態(tài)分布,Nu,，P(Zu)）2A．P(X．P(X．PYD．PY．設(shè)函數(shù)f(x)(x(x，則（）2A．x3是f(x)的極小值點(diǎn)0x1f(x)fx2C．當(dāng)1x24f(2x0D1x0f(2x)f(x)1C的一部分.C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.且C上的點(diǎn)滿(mǎn)足橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)F(2,0)的距離與到定直線xa(a0)的距離之積為，則（）2A．a(chǎn)2(22,0)在C上CC在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D．當(dāng)點(diǎn)xy在C上時(shí)，00,0yx042三、填空題xy22．設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為2C:abab22F作平行于y軸的直線交C于AB兩點(diǎn)，若2|FA13,|AB10C的離心率為．1yxx處的切線也是曲線yln(xa的切線，則a.．若曲線e135標(biāo)有數(shù)字46810輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.四、解答題、、C的對(duì)邊分別為ab，，已知C2B，a2b2c22(1)求B；(2)若的面積為33c．2．已知(0,3)和3P2xy22為橢圓C:ab上兩點(diǎn).ab22(1)求C的離心率;(2)P的直線l交C于另一點(diǎn)ABP的面積為9l的方程．．如圖，四棱錐PPAABCD，2，3．(1)若ADPB，證明：AD；(2)若，且二面角AD的正弦值為427AD．318．已知函數(shù)xf(x)axb(x2x3(1)若b0f(x)0a的最小值；(2)證明：曲線yf(x)是中心對(duì)稱(chēng)圖形；(3)若f(x)2當(dāng)且僅當(dāng)1x2b的取值范圍．m為正整數(shù)，數(shù)列1,a2,...,a4m2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)i和aij后剩余的mj被平均分為m組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列1,2,...,m2是i,j可分?jǐn)?shù)列．a(chǎn)aa(1)寫(xiě)出所有的i,j，1ij6，使數(shù)列1,a2,...,6是i,j可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)m3時(shí)，證明：數(shù)列1,a2,...,am2是可分?jǐn)?shù)列；(3)從2,...,4m2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和jij1,a2,...,a4m2是i,j可分?jǐn)?shù)列的概率為1PP．mm842024年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題參考答案：1A【分析】化簡(jiǎn)集合A，由交集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)閨3535,2,3AxxB，且注意到1352，AB0.故選：A.2C【分析】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)閦z11111i，所以z1z1z11z11i.i故選：3D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求x的值.【詳解】因?yàn)閎ba，所以bba0，2bab即404x4x0x2，2故選：D.4A【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求coscos,sinsin的關(guān)系，結(jié)合tantan的值可求前者，故可求的.【詳解】因?yàn)閙，所以coscossinsinm，而tan2，所以sinsin2coscos，故coscos2coscosm即coscosm，sinsin2mm，故選：A.5B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑r的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓錐的母線長(zhǎng)為r23，而它們的側(cè)面積相等，所以r3r3r2即233r2，1故r3，故圓錐的體積為13π9333π.故選：6B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)閒x在R上單調(diào)遞增，且x0fxex單調(diào)遞增，x2a0則需滿(mǎn)足21aeln10，解得1a0，即a的范圍是[.故選：7C【分析】畫(huà)出兩函數(shù)在2π上的圖象，根據(jù)圖象即可求解【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)ysinx的的最小正周期為T(mén)2π，πy2sin3x62π的最小正周期為T(mén)，3所以在x2π上函數(shù)πy2sin3x6有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選：C8B【分析】代入得到ff(2)2，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.【詳解】因?yàn)楫?dāng)x3時(shí)f(x)x，所以ff(2)2，又因?yàn)閒(x)f(xf(x，則ff(2)ff(4)ff(2)5，ff(4)ff(6)ff(4)f(7)f(6)f21，2ff(7)f(6)f(9)ff(7)ff(9)f89，fff(9)144,ffffff377ffffff987，fff15971000，則依次下去可知fB正確；且無(wú)證據(jù)表明一定正確.故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用ff(2)2，再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)f(x)f(xf(x，代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.9【分析】根據(jù)正態(tài)分布的原則以及正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可解出.【詳解】依題可知，xs2，所以YN，故PY2PY2.1PY2.10.84130.5C正確，D錯(cuò)誤；XN1.8,0.1，所以PX2PX1.82，PX0.1，所以PX0.11，而PX2PX2X，B正確，A錯(cuò)誤，故選：BC．．fxA；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷Bfx在3上的值域即可判斷；直接作差可判斷D.【詳解】對(duì)A，因?yàn)楹瘮?shù)fx的定義域?yàn)镽fx2x1x4x13x1x3，2易知當(dāng)x3fx0x或xfx0fx在上單調(diào)遞增，在3上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故x3是函數(shù)fx的極小值點(diǎn)，正對(duì)0x1xx2x1x0，所以1xx20，而由上可知，函數(shù)fx在上單調(diào)遞增，所以fxfx，錯(cuò)誤；2對(duì)，當(dāng)1x2時(shí)，12x13，而由上可知，函數(shù)fx在3上單調(diào)遞減，3ff2xf34f2x0，正確；222對(duì)D1x0f(2x)f(x)1x2xx1x4x122x0，f(2x)f(x)，正確；故選：．a(chǎn)AB可判斷C的正誤，將曲線方程化簡(jiǎn)后結(jié)合不等式的性質(zhì)可判斷D的正誤.【詳解】對(duì)于A：設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)P,yx2且22

x2yxa4，22因?yàn)榍€過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故0200a，解得a2A正確.22：又曲線方程為x2yx24x2，22故x2yx24.2當(dāng)x22,y0222222844，故22,0在曲線上，故B正確.：由曲線的方程可得162yx222x23x，2則2641y49464164525624510，故此時(shí)y21，494494494故C在第一象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1C錯(cuò)誤.D：當(dāng)點(diǎn)0,0在曲線上時(shí)，由C的分析可得2yx220202x2x200，44y故0x2x200D正確.故選：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)曲線方程討論曲線的性質(zhì)，一般需要將曲線方程變形化簡(jiǎn)后結(jié)合不等式的性質(zhì)等來(lái)處理.．32AF，結(jié)合雙曲線第一定義求出2a,b,c1離心率.【詳解】由題可知,B,F三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)A在第一象限，將xc2xy22221ab4得yb2ab2b2A,,B,aaABb210，ab225，ab2又12a12aa513，解得a4，代入a5得b2，故c2a2b2c6，所以ec63.a42故答案為：32．2【分析】先求出曲線yexx在的切線方程，再設(shè)曲線yxa的切點(diǎn)為0,ln0xxa，求出y，利用公切線斜率相等求出x，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.0【詳解】由yexx得e1yx，0，y|e12x0故曲線yexx在處的切線方程為y2x1；由yxa得y1，x1設(shè)切線與曲線yxa相切的切點(diǎn)為0,ln01a，由兩曲線有公切線得1yx102，解得111x，則切點(diǎn)為,a0222，切線方程為11y2xa2x1a，22根據(jù)兩切線重合,a20，解得a2.故答案為：2．12/0.5【分析】將每局的得分分別作為隨機(jī)變量，然后分析其和隨機(jī)變量即可.【詳解】設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為X1,X2,X3,X4，四輪的總得分為X.63的概率PXk4483，所以EXk2,3,4.k854433EXEXXXXEX.1234k82k1k1記pPXkk3.k11p；如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出，357分別對(duì)應(yīng)乙出246，，所以04A411p.如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出13，，7分別對(duì)應(yīng)乙出8，，46，所以34A43而X的所有可能取值是，12301p231，p2p3pEX.12321pp1，1213p2p，兩式相減即得128211p221pp.232所以甲的總得分不小于2的概率為1pp.232故答案為：12.瑣的列舉.．(1)Bπ3(2)22）由余弦定理、平方關(guān)系依次求出C,sinC，最后結(jié)合已知sinC2cosB得B的值即可；2）首先求出,B,C，然后由正弦定理可將a,b均用含有c的式子表示，結(jié)合三角形面積公式即可列方程求解.）由余弦定理有a2b2c22abcosC，對(duì)比已知a2b2c22，cosCa2b2c22ab2，2ab2ab2Cπ，所以C0，2222C1C122，1又因?yàn)閟inC2cosBB，2注意到Bπ，πB.32）由（）可得B，cos2ππC，4C，Cπ，從而32ππ5πAπ，3412ππ232162而sinsinA，46222246abc由正弦定理有5πππsinsinsin34，62231,326

accbcc，4222由三角形面積公式可知，的面積可表示為11316233SCccc，2ABC22222833由已知的面積為33，可得2c833，c22.．(1)12(2)l的方程為3x2y60或x2y0.）代入兩點(diǎn)得到關(guān)于a,b的方程，解出即可；2B到直線AP的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線BlB到直線AP0,0Bxy，根據(jù)點(diǎn)到直線距離和點(diǎn)在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點(diǎn)B到直線AP的距離，利用橢圓的參ABy3B坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線PB斜率不存在的情況，再設(shè)3:yk(x，利用弦長(zhǎng)公2式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到答案；法六：設(shè)線法與法五一致，利用水平寬乘鉛錘高乘12表達(dá)面積即可.b3

92b9）由題意得，解得，9412a22eb91211.a222）法一：kAP3321032，則直線AP的方程為1yx3x2y60，2AP2233503322xy22，由（C:1，9dB到直線AP的距離為d2953552，7則將直線AP沿著與AP垂直的方向平移55單位即可，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)B，設(shè)該平行線的方程為：x2yC0，則C65，解得C6或C18，55當(dāng)C6時(shí)，聯(lián)立xyx31129，解得22x0或3y3yx2y602，3即B3或，23當(dāng)B3時(shí)，此時(shí)k，直線l的方程為l23yx33x2y60，2當(dāng)3B21時(shí)，此時(shí)k，直線l的方程為l21yxx2y0，2當(dāng)C18時(shí)，聯(lián)立xy2219x2y0得2y227y1170，27421172070，此時(shí)該直線與橢圓無(wú)交點(diǎn).2綜上直線l的方程為3x2y60或x2y0.法二：同法一得到直線AP的方程為x2y60，點(diǎn)B到直線AP的距離5

d，5x2y650055設(shè)0,0Bxy22xy0019x0，解得y0332x00或，y303即B3或，以下同法一.2法三：同法一得到直線AP的方程為x2y60，點(diǎn)B到直線AP的距離5

d，5設(shè)B23,3sin，其中2，則有236sin65，55coscos2sin21，解得sin3即B3或，以下同法一；23212cos0或，sin18法四：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，此時(shí)B3，1639，符合題意，此時(shí)PAB23k，直線l的方程為l23yx33x2y60，2AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y3，y3聯(lián)立橢圓方程有224k3x240，其中kk2222xyAP191k，2x0或x24k4k32，k0，1k，2令x24k4k32yk92k32kk92B,k3k322同法一得到直線AP的方程為x2y60，點(diǎn)B到直線AP的距離5

d，5則kk9226k3k3522553，解得k=，23B21，則得到此時(shí)k，直線l的方程為l21yxx2y0，2綜上直線l的方程為3x2y60或x2y0.3法五：當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l:xB,A219339不滿(mǎn)足條件.22到PBd3，當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)3:yk(xPxyBxy，1,1,2,22yk(xxy221932y2222

4k3x24k12kx36k36k270，12Δ24k12k44k336k36k270kkAP222k，2kk2xx43k13k9k224k3,k1xx4xx4122221212236k36k24k3xx1224k3，33k43k213k29kkA到直線PB2,4291dSPAB222432kk1k1，1k或2321，均滿(mǎn)足題意，l:yx或23yx33x2y60或x2y0.293法六：當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l:xB,A219339不滿(mǎn)足條件.223當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l:yk(x，2到PBd3，3設(shè)l與y軸的交點(diǎn)為Qx0Qk2，3yk2223x4y362232，則有kxkkxkk348336362702，223234833636270kxkkxkk2，22322Δ8kk434k36k36k021k，236k36k12k12k922則3x,xBB2234k34k，11312k1813則SAQxxkk=，經(jīng)代入判別式驗(yàn)證均滿(mǎn)足題意.39，解的k或PB222234k22則直線l為1yx或23yx33x2y60或x2y0.2．(1)證明見(jiàn)解析(2)3）先證出PAB，即可得ADAB，由勾股定理逆定理可得，從而AD//BC，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；2）過(guò)點(diǎn)D作于E，再過(guò)點(diǎn)E作EFCP于F，連接DF，根據(jù)三垂線法可知，即為二面角AD的平面角，即可求得6，再分別用AD的長(zhǎng)度表示出DE,EF，即可解方程求出AD．）因?yàn)镻AAD，所以PAAD，又ADPB，PBPAP，PB,PAPAB，所以PAB，而ABPAB，所以ADAB.BC2AB2AC2，所以，根據(jù)平面知識(shí)可知AD//BC，10又，，所以//．2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于E，再過(guò)點(diǎn)E作EFCP于F，連接DF，PA，所以平面，而平面，DEEFCP，所以CPDEF，根據(jù)二面角的定義可知，即為二面角AD的平面角，即sin6．7x4x2，由等面積法可得，x4x2，2x2x2x244又為等腰直角三角形，所以CE4x22424x2，22x4x22故64x222，解得x33．．(1)2(2)證明見(jiàn)解析(3)b23）求出2fxa后根據(jù)f(x)0a的最小值；2P,n為yfxP,na的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q2,2an也在函數(shù)的圖像上，從而可證對(duì)稱(chēng)性；23）根據(jù)題設(shè)可判斷f2即a2，再根據(jù)f(x)2在2上恒成立可求得b.3x）b0fxax，其中x0,2，2x112則fxax，,0,2x2xx2x22xxx2x1，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)等號(hào)成立，2故fx2afx0成立，故a20即a2，a的最小值為2.，x2）的定義域?yàn)?，fxaxbx132x設(shè)P,n為yfx圖象上任意一點(diǎn)，P,na的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q2,2an，mP,n在yfx圖象上，故nambm132m，2mm33而f2ma2mb2m1ambm12，m2mna，Q2,2anyfx圖象上，由P的任意性可得yfx圖象為中心對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心為a.3）因?yàn)閒x2當(dāng)且僅當(dāng)1x2x1為fx2的一個(gè)解，f2即a2，先考慮1x2fx2恒成立.xfx221xbx1032x在2上恒成立，t1設(shè)tx1320

1ttbt在上恒成立，t1設(shè)gttbtt2,0,1，31ttbt2b222則2gt2bt1t1t22，當(dāng)b0，bt22bb2b20，故gt0恒成立，故gt在上為增函數(shù)，故gtg00即fx2在2上恒成立.2

0當(dāng)bbt22b2b0，3故gt0恒成立，故gt在上為增函數(shù)，12故gtg00即fx2在2上恒成立.22gt0當(dāng)b，則當(dāng)0t113b21上gt為減函數(shù)，故gtg00，不合題意，舍；b2綜上，fx2在2上恒成立時(shí)b.32b32b時(shí)，由上述過(guò)程可得gt在遞增，故gt0的解為，而3即fx2的解為2.2

綜上，b.

3參數(shù)的范圍重新考慮不等式的解的情況.．(1)2,6,6(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析）直接根據(jù)i,j可分?jǐn)?shù)列的定義即可；2）根據(jù)i,j可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；3）證明使得原數(shù)列是i,j可分?jǐn)?shù)列的i,j至少有

m1m個(gè)，再使用概率的定義.2）首先，我們?cè)O(shè)數(shù)列1,a2,...,a4m2的公差為dd0.由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，aa故我們可以對(duì)該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蝛112,...,42akm，kd得到新數(shù)列kk4m2，然后對(duì)k,a,...,am2進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.換言之，我們可以不妨設(shè)akk4m2，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.k回到原題，第1小問(wèn)相當(dāng)于從4,5,6中取出兩個(gè)數(shù)i和jij，使得剩下四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列.13那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是42,3,4,53,4,5,6.所以所有可能的i,j2,6,6.2）由于從數(shù)列2,...,4m2中取出2和后，剩余的m個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分，共m組，使得每組成等差數(shù)列：①,,3②,,...,m4,4m4mm3.（如果m30，則忽略②）故數(shù)列2,...,4m2是可分?jǐn)?shù)列.3）定義集合A4k1k2,...,9,13,...,4m，B4k2k2,...,2,6,10,14,...,4m.下面證明，對(duì)1ij4m2，如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立，則數(shù)列2,...,4m2一定是i,j可分?jǐn)?shù)列：：i,jB或iB,jA；：ji3.我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.第一種情況：如果i,jBji3.此時(shí)設(shè)i4k1，1jk，1,k2.4221ij4k14k2kk12214kk.21此時(shí)，由于從數(shù)列2,...,4m2中取出i4k1和1j4k22剩余的m個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共m組，使得每組成等差數(shù)列：①4,7,8,...,k4k4k4k1111k1②4k4k4k4k,4k4k7,4k4k,...,4k4k4k,4kkk11111111222221③k4k4k4k6,k4k4k4k,...,m4,4m4m2mk組.222222222（如果某一部分的組數(shù)為0，則忽略之）故此時(shí)數(shù)列2,...,4m2是i,j可分?jǐn)?shù)列.第二種情況：如果iB,jAji3.此時(shí)設(shè)i412，jk21，1,2kkm.141ijkk.4k24k1kk1221214ji3kk，這就意味著k1k23，從而211k212.21此時(shí)，由于從數(shù)列2,...,4m2中取出i4k2和1jk1后，剩余的m個(gè)數(shù)可以分為以下四個(gè)部分，共m2使得每組成等差數(shù)列：①4,7,8,...,k4k4k4k1111k1②k3kk2kkkk，kk2kkkk4k211212121212122③全體k,3kk,2kk,kk，其中1121212p4,.