江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)模擬試卷

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末測(cè)試模擬卷數(shù)學(xué)試卷整體難度：適中。考察范圍：集合與常用邏輯用語(yǔ)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、平面解析幾何、復(fù)數(shù)、計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)、平面向量、空間向量與立體幾何、等式與不等式、新文化試題分類。題型統(tǒng)計(jì)：?jiǎn)芜x題8道、多選題3道、單空題3道。解答題5道。單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．62．已知全集，集合，則（

）．A．B．C．D．3．在四面體ABCD中，平面平面BCD，，且，則四面體ABCD的體積為（

）A．2 B．6 C． D．4．若，則的值為（

）A． B． C．253 D．1265．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若隨機(jī)變量滿足且，則B．樣本數(shù)據(jù)50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位數(shù)為62C．當(dāng)時(shí)，若事件A、B相互獨(dú)立，則D．若A、B兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為，則A組數(shù)據(jù)的相關(guān)性更強(qiáng)6．如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．是的極大值點(diǎn) D．是的極小值點(diǎn)7．已知函數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．在銳角中的對(duì)邊分別為若，則（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．關(guān)于函數(shù)的圖象和性質(zhì)，敘述正確的有（

）A．是上的奇函數(shù)B．值域?yàn)镃．將圖象向右平移2024個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱D．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)10．已知圓錐的側(cè)面積為，底面圓的周長(zhǎng)為，則（

）A．圓錐的母線長(zhǎng)為4B．圓錐的母線與底面所成角的正弦值為C．圓錐的體積為D．沿著圓錐母線的中點(diǎn)截圓錐所得圓臺(tái)的體積為11．已知定義在上的函數(shù)，對(duì)任意有，其中；當(dāng)時(shí)，，則（

）A．為上的單調(diào)遞增函數(shù)B．為奇函數(shù)C．若函數(shù)為正比例函數(shù)，則函數(shù)在處取極小值D．若函數(shù)為正比例函數(shù)，則函數(shù)只有一個(gè)非負(fù)零點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則．13．一個(gè)盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫有數(shù)字，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片，若第一次抽取一張卡片，放回后再抽取1張卡片，則兩次抽取的卡片數(shù)字之和不大于6的概率是.14．若定義在A上的函數(shù)和定義在B上的函數(shù)，對(duì)任意的，存在，使得（t為常數(shù)），則稱與具有關(guān)系．已知函數(shù)（），（），且與具有關(guān)系，則m的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分。15．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽規(guī)則：每一局比賽中，勝者得1分，負(fù)者得0分，且比賽中沒(méi)有平局.根據(jù)以往戰(zhàn)績(jī)，每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果互不影響.(1)經(jīng)過(guò)3局比賽，記甲的得分為X，求X的分布列和期望；(2)若比賽采取3局制，試計(jì)算3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分的概率.16．如圖，平面，在平面的同側(cè)，，，，.(1)若四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，求線段的長(zhǎng)；(2)若，平面與平面的夾角為，求線段的長(zhǎng).17．全球新能源汽車產(chǎn)量呈上升趨勢(shì).以下為年全球新能源汽車的銷售量情況統(tǒng)計(jì).年份201820192020202120222023年份編號(hào)123456銷售量/百萬(wàn)輛2.022.213.136.7010.8014.14若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問(wèn)題：(1)求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)(結(jié)果精確到0.01)；(2)求關(guān)于的線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)2024年全球新能源汽車的銷售量.附：線性回歸方程，其中，樣本相關(guān)系數(shù).參考數(shù)據(jù)：.18．已知函數(shù).(1)證明：，總有成立；(2)設(shè)，證明：．19．圖是一個(gè)11階的楊輝三角：(1)求第22行中從左到右的第3個(gè)數(shù)；(2)在楊輝三角形中是否存在某一行，該行中三個(gè)相鄰的數(shù)之比為1：3：5?若存在，試求出這三個(gè)數(shù)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)楊輝三角是楊輝的一項(xiàng)重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān).如：從第3行開(kāi)始，除了1以外，其它每一個(gè)數(shù)是它肩上的二個(gè)數(shù)之和；請(qǐng)嘗試證明：當(dāng)，，，.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．C【分析】利用“1”的代換法，利用基本不等式求得最小值．【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故選：C2．D【分析】求集合中函數(shù)的值域，得到集合，再由集合交集和補(bǔ)集的定義求.【詳解】函數(shù)值域?yàn)?，則，又，則有，所以.故選：D.3．C【分析】根據(jù)面面垂直可得線面垂直，結(jié)合等腰三角形可知四面體的高，進(jìn)而可得體積.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，因?yàn)椋?，所以，又，所以四面體的體積，故選：C.4．C【分析】先令，求得，再利用通項(xiàng)公式求得求解.【詳解】解：令，得，，∴.故選：C.5．D【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)即可求解A，根據(jù)百分位數(shù)即可求解B,根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式即可求解C，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小即可求解D.【詳解】對(duì)于A,且，則,A正確，對(duì)于B，由于，故樣本數(shù)據(jù)50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)62，B正確，對(duì)于C,事件A、B相互獨(dú)立,則,所以,C正確，對(duì)于D，由于,所以組數(shù)據(jù)的相關(guān)性更強(qiáng)，D錯(cuò)誤，故選：D6．C【分析】由題意，求得函數(shù)在處的切線方程，得到，通過(guò)對(duì)其求導(dǎo)分析，得出的單調(diào)性，極值和值域，即可一一判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】因函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，即，則，于是，，由圖知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí).對(duì)于B項(xiàng)，由上分析，B項(xiàng)顯然錯(cuò)誤；對(duì)于C,D項(xiàng)，由上分析，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減,即當(dāng)時(shí)，取得極大值，且，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于A項(xiàng)，由上分析時(shí)，取得極大值，也是最大值，則有，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.7．A【分析】先推導(dǎo)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再根據(jù)充分必要條件的規(guī)定進(jìn)行判斷即得.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋煽傻茫院瘮?shù)是偶函數(shù)．易得，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以是增函數(shù)，又，故當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增．由上分析知，當(dāng)時(shí)，，因，故當(dāng)時(shí)，，即“”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，，可得，所以或，即“”不是“”的必要條件．故選：A．8．B【分析】由已知條件結(jié)合向量數(shù)量積的定義、余弦定理求出，由正弦定理可得，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，由，則，由余弦定理可得：，即，由正弦定理可得：.故選：B.9．BD【分析】由余弦函數(shù)的性質(zhì)就可以判斷ABD，選項(xiàng)C由平移思想，沒(méi)法誘導(dǎo)為余弦函數(shù)，所以是錯(cuò)誤的.【詳解】由得，是偶函數(shù)，所以選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的；由的值域是，所以選項(xiàng)B是正確的；將圖象向右平移2024個(gè)單位，可得，顯然不可以誘導(dǎo)為余弦函數(shù)，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；當(dāng)時(shí)，余弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)顯然有兩個(gè)零，即，所以選項(xiàng)D是正確的.故選：.10．ACD【分析】先求出圓錐的母線和底面半徑的長(zhǎng)，逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】

對(duì)于A，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為，則，故，故A正確.對(duì)于B，圓錐的高為，則，故圓錐的母線與底面所成角的正弦值為，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，圓錐的體積為，故C正確.對(duì)于D，沿著圓錐母線的中點(diǎn)截圓錐所得小圓錐的體積為，故所得圓臺(tái)的體積為，故D正確.故選：ACD.11．AB【分析】選項(xiàng)A，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)，，得出即可得證；選項(xiàng)B，先得出，再設(shè)，得出，即可得證；選項(xiàng)C，在前提下，求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性以及極值即可；選項(xiàng)D，在前提下，函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理，代入特殊值檢驗(yàn)即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)，且，，，即，故單調(diào)遞增，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，是定義在上的函數(shù)，取，則，取，則，即，故是奇函數(shù)，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C、D，設(shè)，代入，得，其中C選項(xiàng)，，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取極大值，無(wú)極小值,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；其中D選項(xiàng)，函數(shù)，其中，，，，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)分別在區(qū)間，和上各至少存在一個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題，考查知識(shí)點(diǎn)多且復(fù)雜，屬于難度.題型點(diǎn)睛，抽象函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題主要包括：（1）判斷（證明）函數(shù)的單調(diào)性：這類問(wèn)題通常要求在給定的區(qū)間上設(shè)出自變量的任意兩個(gè)取值并給出它們之間的大小關(guān)系，然后對(duì)函數(shù)值因式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，并判斷其符號(hào)，得出函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。哼@包括正用和逆用兩種方法，即若已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有；反之亦然；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值（值域）：通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，可以求得函數(shù)的值域，進(jìn)而求得函數(shù)的最大值或最小值；（4）利用函數(shù)的單調(diào)性：用將函數(shù)值之間的不等關(guān)系用于自變量間的不等關(guān)系，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化即可；（5）利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍：通過(guò)將參數(shù)看成已知數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再與已知的單調(diào)區(qū)間比較，或通過(guò)建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組）或方程（組），解不等式（組）或方程（組）求出參數(shù)的取值范圍.12．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，從而求出，最后求出其模.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故選：13．【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法求出古典概率即可.【詳解】?jī)纱纬槿〉脑囼?yàn)的樣本空間，共16個(gè)，兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的事件，共3個(gè)，所以兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的概率是，則不大于6的概率為.故答案為：.14．【分析】先根據(jù)題意求出函數(shù)的值域?yàn)椋深}意得到的值域，再將函數(shù)進(jìn)行換元，，由對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論，得到的值域，從而得到不等式，求出答案.【詳解】由題意得對(duì)任意的，存在，使得，又，故的值域，因?yàn)?，，令，則，設(shè)，①若對(duì)稱軸，即時(shí)，，則，解得，與求交集，結(jié)果為；②若，即時(shí)，，則，解得，與取交集，結(jié)果為，③若，即時(shí)，，則，解得或，與取交集，結(jié)果為，④若，即時(shí)，，則，解得或，與取交集，結(jié)果為．綜上，或．所以的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)新定義問(wèn)題的方法和技巧：（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書(shū)上的概念．15．(1)分布列見(jiàn)解析，2(2)【分析】（1）根據(jù)題意可知，進(jìn)而利用二項(xiàng)分布求出的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）由題意可知，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分有兩種情況，即甲獲勝2局，甲獲勝3局，從而結(jié)合（1）可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，，X的取值可能為0，1，2，3，則，，，.所以X的分布列為X0123P因?yàn)?，所以X的期望.（2）第3局比賽后，甲的累計(jì)得分高于乙的累計(jì)得分有兩種情況：甲獲勝2局，甲獲勝3局，所以所求概率為.16．(1)1；(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理、性質(zhì)定理得四邊形是平行四邊形可得答案；（2）以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面、平面的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案.【詳解】（1），平面，平面，平面，，則四點(diǎn)共面，平面，平面，平面平面，，又，則四邊形是平行四邊形，；（2）以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由，得，令，可得，可得，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由，得，令，可得，可得，依題意，解得，.17．(1)(2)，百萬(wàn)輛【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)公式即可求解；（2）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，利用公式先求出，進(jìn)而求出，得到線性回歸方程，再利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以?）由題意得，所以，得關(guān)于的線性回歸方程為，所以可以預(yù)測(cè)2024年全球新能源汽車的銷售量為百萬(wàn)輛.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）令，將函數(shù)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值即可證明；（2）由（1）知，可得，化簡(jiǎn)得，累加即可證明結(jié)論.【詳解】（1）令，則因?yàn)?，，令，則，又令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，所以時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，即，總有成立；（2）由（1）知即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.19．(