近世代數(shù)基礎(chǔ)

關(guān)于近世代數(shù)基礎(chǔ)12第1講

緒論一關(guān)于代數(shù)的觀念二數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段三代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)四代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個階段五幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實際問題第2頁,共298頁，星期六，2024年，5月3

第二章基本概念第3頁,共298頁，星期六，2024年，5月4

第1講集合及其之間的關(guān)系

——集合第2講集合及其之間的關(guān)系

——對應(yīng)關(guān)系(映射)(人造關(guān)系)

第3講代數(shù)運算適應(yīng)的規(guī)則——運算律第4講與代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的映射——同態(tài)映射第5講等價關(guān)系與分類第4頁,共298頁，星期六，2024年，5月5第1講基本概念之集合及其之間的關(guān)系

—集合1

集合與集合元素的定義2集合與集合元素的表示符號3集合與集合元素之間的關(guān)系——屬于關(guān)系4集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類5集合的表示方法6集合之間的內(nèi)在關(guān)系——包含關(guān)系7集合運算8運算律9特殊集合的表示符號10集合的補(bǔ)充說明11包含與排斥原理第5頁,共298頁，星期六，2024年，5月6第2講基本概念之集合及其之間的關(guān)系

—對應(yīng)關(guān)系(映射)(人造關(guān)系)1映射概念回憶2映射及相關(guān)定義3映射的充要條件4映射舉例5符號說明6映射的合成及相關(guān)結(jié)論7映射及其映射相等概念的推廣8集合及其之間的關(guān)系——特殊的映射（代數(shù)運算）9集合及其之間的關(guān)系——一一映射

第6頁,共298頁，星期六，2024年，5月7

第3講基本概念之代數(shù)運算適應(yīng)的規(guī)則

——運算律

1與一種代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的運算律（1）結(jié)合律（2）交換律（3）消去律2與兩種代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的運算律（1）第一分配律（2）第二分配律第7頁,共298頁，星期六，2024年，5月8

第4講基本概念之與代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的映射

——同態(tài)映射

1同態(tài)映射

2同態(tài)滿射

3同構(gòu)映射

4自同構(gòu)映射

5舉例

第8頁,共298頁，星期六，2024年，5月9

第5講基本概念之等價關(guān)系與集合的分類

——商集1商集2等價關(guān)系3集合的分類4集合A上的等價關(guān)系與集合A的分類之間的聯(lián)系第9頁,共298頁，星期六，2024年，5月10第三章群

第10頁,共298頁，星期六，2024年，5月11第1講代數(shù)系統(tǒng)第2講半群第3講群的定義及性質(zhì)第4講有限群第5講子群的定義及性質(zhì)第6講元素的階第7講循環(huán)群第8講變換群第9講特殊子群第10講群的同態(tài)與同構(gòu)第11講群與對稱的關(guān)系第11頁,共298頁，星期六，2024年，5月12第1講代數(shù)系統(tǒng)

2代數(shù)系統(tǒng)的舉例1代數(shù)系統(tǒng)及子代數(shù)系統(tǒng)的定義第12頁,共298頁，星期六，2024年，5月13第2講半群

1半群、子半群、交換半群的定義及判定定理2半群的舉例3半群中冪的定義及性質(zhì)第13頁,共298頁，星期六，2024年，5月14

1群的第一定義

2單位元及逆元的定義

3群的第二定義

4群的第三定義

5群的第四定義

6群的定義的等價證明

7群的舉例

8群的重要性質(zhì)

第3講群的定義及性質(zhì)第14頁,共298頁，星期六，2024年，5月15

第4講有限群

1群的分類及群的階

2有限群的判定定理

3由有限集合上代數(shù)運算的運算表觀察代數(shù)運算的性質(zhì)第15頁,共298頁，星期六，2024年，5月161子群定義

2子群的判別方法

3子群的性質(zhì)

第5講子群的定義及性質(zhì)第16頁,共298頁，星期六，2024年，5月17

1元素階的定義

2元素階的舉例

3元素階的性質(zhì)

第6講群中元素的階第17頁,共298頁，星期六，2024年，5月18

2循環(huán)群與元素階的關(guān)系

1循環(huán)群的定義及舉例

3循環(huán)群的一般形式5循環(huán)群生成元的確定定理第7講循環(huán)群

4循環(huán)群的生成元的個數(shù)定理第18頁,共298頁，星期六，2024年，5月19

第8講變換群

1變換、滿變換、單變換、一一變換的定義及符號說明

2特殊集合關(guān)于乘法的結(jié)論

3變換群舉例

4特殊的變換群第19頁,共298頁，星期六，2024年，5月201循環(huán)群子群的一些結(jié)論

2循環(huán)群概念的推廣

3特殊子群的幾何意義探討

4子群的陪集

5正規(guī)子群與商群

第9講特殊子群第20頁,共298頁，星期六，2024年，5月211群的同態(tài)的定義及舉例2同態(tài)的性質(zhì)及結(jié)論3同構(gòu)的性質(zhì)及結(jié)論4循環(huán)群的構(gòu)造及循環(huán)群之間的同態(tài)5同態(tài)基本定理與同構(gòu)定理第10講群的同態(tài)與同構(gòu)第21頁,共298頁，星期六，2024年，5月22

第11講群與對稱的關(guān)系

1序言

2幾何對稱

3代數(shù)對稱第22頁,共298頁，星期六，2024年，5月23

第四章環(huán)論第23頁,共298頁，星期六，2024年，5月24第1講環(huán)的定義及基本性質(zhì)第2講特殊元素及性質(zhì)第3講環(huán)的分類及特殊環(huán)的性質(zhì)第4講環(huán)的特征第5講子環(huán)、理想(主理想)及素理想和極大理想第6講環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)第7講特殊環(huán)第8講商域第9講有限域第24頁,共298頁，星期六，2024年，5月25

第1講環(huán)的定義及基本性質(zhì)1環(huán)的定義2環(huán)的舉例3環(huán)的初步性質(zhì)第25頁,共298頁，星期六，2024年，5月26

第2講特殊元素及性質(zhì)1特殊元素之一—零元、負(fù)元及單位元、逆元、零因子

2零因子的性質(zhì)

3求環(huán)中的特殊元素——舉例第26頁,共298頁，星期六，2024年，5月27第3講環(huán)的分類及特殊環(huán)的性質(zhì)

1特殊環(huán)的定義

2除環(huán)的性質(zhì)

3有限環(huán)的幾個相關(guān)結(jié)論

4域中元素的計算方法

5循環(huán)環(huán)的性質(zhì)第27頁,共298頁，星期六，2024年，5月28

第4講環(huán)的特征

1環(huán)的特征的定義

2特殊環(huán)的特征(數(shù))及相關(guān)結(jié)論

3舉例第28頁,共298頁，星期六，2024年，5月29

第5講子環(huán)、理想(主理想)及素理想和極大理想

1子環(huán)

2理想(主理想)3素理想和極大理想第29頁,共298頁，星期六，2024年，5月30

第6講環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)1環(huán)的同態(tài)及同構(gòu)的定義2環(huán)的同態(tài)的舉例3環(huán)的同態(tài)基本性質(zhì)4商環(huán)及環(huán)的同態(tài)基本定理5環(huán)的同構(gòu)基本定理第30頁,共298頁，星期六，2024年，5月31第7講特殊環(huán)1矩陣環(huán)

2多項式環(huán)

3剩余類環(huán)第31頁,共298頁，星期六，2024年，5月32

第8講商域

1構(gòu)造域的方法

2挖補(bǔ)定理

3擴(kuò)域定理

4擴(kuò)域的形式

5商域的定義及結(jié)論

6舉例第32頁,共298頁，星期六，2024年，5月33第9講有限域第33頁,共298頁，星期六，2024年，5月34

第五章

整環(huán)里的因子分解第34頁,共298頁，星期六，2024年，5月35第1講不可約元、素元、最大公因子第2講唯一分解環(huán)第3講特殊的唯一分解環(huán)第35頁,共298頁，星期六，2024年，5月361整環(huán)的單位定義及性質(zhì)2整除的定義及性質(zhì)3相伴關(guān)系的性質(zhì)4不可約元5最大公因子6最大公因子、互素的概念推廣到多元的情形第1講不可約元、素元、最大公因子第36頁,共298頁，星期六，2024年，5月37

第2講唯一分解環(huán)1唯一分解元、唯一分解元的標(biāo)準(zhǔn)分解式、唯一分解環(huán)、非唯一分解環(huán)舉例2最大公因子的存在性定理、不可約元與素元的關(guān)系定理3唯一分解環(huán)的判定定理第37頁,共298頁，星期六，2024年，5月38

第3講特殊的唯一分解環(huán)1主理想環(huán)2歐氏環(huán)3唯一分解環(huán)上的一元多項式環(huán)4因子分解與多項式的根第38頁,共298頁，星期六，2024年，5月39

第六章群論補(bǔ)充第39頁,共298頁，星期六，2024年，5月40第1講共軛元與共軛子群第2講群的直積第3講群在集合上的作用第4講西羅定理第40頁,共298頁，星期六，2024年，5月41

研究群內(nèi)一些特殊類型的元素和子群

1中心和中心化子

2共軛元和共軛子群

3共軛子群與正規(guī)化子第1講共軛元與共軛子群第41頁,共298頁，星期六，2024年，5月42一群的外直積1群的外直積的定義2群的外直積的基本性質(zhì)3群的外直積定義的推廣4群的外直積舉例二群的內(nèi)直積1群的內(nèi)直積定義2群的內(nèi)直積的充要條件3群的內(nèi)直積定義的推廣三群的內(nèi)外直積

第2講群的直積第42頁,共298頁，星期六，2024年，5月43一群在集合上的作用的定義二群在集合上的作用舉例1置換群在集合上的作用2群在自身集合上的作用3群的共軛變換定義了群在它自身上的作用4群在自身的全體子群的集合上的作用三

X中的元素x在G下的軌道1X中的元素x在G下的軌道定義2X中的元素x在G下的軌道舉例四軌道的相關(guān)結(jié)論第3講群在集合上的作用第43頁,共298頁，星期六，2024年，5月44

第4講西羅定理第44頁,共298頁，星期六，2024年，5月45

第一章緒論第45頁,共298頁，星期六，2024年，5月46

緒論

第一講第46頁,共298頁，星期六，2024年，5月47第一章緒論一關(guān)于代數(shù)的觀念二數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段三代數(shù)發(fā)展的階段（數(shù)學(xué)發(fā)展史）1用字母的代數(shù)2解方程3各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論1萌芽階段2初等數(shù)學(xué)階段3高等數(shù)學(xué)階段4近代數(shù)學(xué)階段5現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段1初等數(shù)學(xué)時期(初等數(shù)學(xué))2變量數(shù)學(xué)時期(高等代數(shù))3現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期(近世代數(shù))四代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個階段1最初的文字?jǐn)⑹鲭A段2代數(shù)的簡化文字階段3符號代數(shù)階段4結(jié)構(gòu)代數(shù)階段五幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實際問題1項鏈問題3正多面體的著色問題2分子結(jié)構(gòu)的計數(shù)問題5開關(guān)線路的構(gòu)造與計數(shù)問題4圖的構(gòu)造與計數(shù)問題8代數(shù)方程根式的求解問題7幾何作圖問題6數(shù)字通信的可靠性問題第47頁,共298頁，星期六，2024年，5月48一關(guān)于代數(shù)的觀念二數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段三代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)四代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個階段五幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實際問題第48頁,共298頁，星期六，2024年，5月49一關(guān)于代數(shù)的觀念

從人們的觀念上來看,人們關(guān)于代數(shù)的觀念大致有三種：1用字母的代數(shù)2解方程3各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論第49頁,共298頁，星期六，2024年，5月50

現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的研究對象不再是以解方程為中心,而重點是研究各樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)的代數(shù)性質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系.當(dāng)然,所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)實際上就是帶有運算的集合.一般說來,這些運算還適合某些所希望的若干條件.

初等代數(shù)、高等代數(shù)、線性代數(shù)都稱為經(jīng)典代數(shù).它的研究對象主要是代數(shù)方程和線性方程組.而現(xiàn)代代數(shù)學(xué)也即近世代數(shù)(又稱為抽象代數(shù)),其主要內(nèi)容是研究第50頁,共298頁，星期六，2024年，5月51

各種代數(shù)系統(tǒng)(代數(shù)結(jié)構(gòu)),而對于代數(shù)結(jié)構(gòu),其基本成分則是集合和集合上的映射.

而近世代數(shù)就像古典代數(shù)那樣,是關(guān)于運算的學(xué)說,是計算規(guī)則的學(xué)說,但它不把自己局限在研究數(shù)的運算的性質(zhì)上,而是企圖研究更具一般性的元素上運算的性質(zhì),這種趨向是現(xiàn)實中的要求所提示的.近世代數(shù)已廣泛應(yīng)用于近代物理學(xué)、近代科學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、數(shù)字通訊、系統(tǒng)工程等領(lǐng)域.第51頁,共298頁，星期六，2024年，5月52二數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段1萌芽階段2初等數(shù)學(xué)階段3高等數(shù)學(xué)階段4近代數(shù)學(xué)階段5現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段第52頁,共298頁，星期六，2024年，5月53三代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)代數(shù)發(fā)展的階段初等數(shù)學(xué)時期（初等數(shù)學(xué)）變量數(shù)學(xué)時期或高等數(shù)學(xué)時期（高等代數(shù)）現(xiàn)代數(shù)學(xué)時期（抽象代數(shù)（近世代數(shù)））計算的對象：數(shù)計算的方法：加、減、乘、除計算的對象：若干不是數(shù)的事物（向量、矩陣、線性變換）計算的方法：類似于加、減、乘、除的運算計算的對象：集合計算的方法：運算（映射）第53頁,共298頁，星期六，2024年，5月54四代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個階段

代數(shù)學(xué)經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程,抽象代數(shù)(近世代數(shù))是19世紀(jì)最后20年直到20世紀(jì)前30年才發(fā)展起來的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支.1最初的文字?jǐn)⑹鲭A段

2代數(shù)的簡化文字階段

3符號代數(shù)階段

4結(jié)構(gòu)代數(shù)階段第54頁,共298頁，星期六，2024年，5月551最初的文字?jǐn)⑹鲭A段

古希臘之前直到丟番圖(Diophantine,公元250年)時代,代數(shù)學(xué)處于最初的文字?jǐn)⑹鲭A段,這一階段除古希臘數(shù)學(xué)之外還包括古巴比倫、古埃及與古代中國的數(shù)學(xué).此時算術(shù)或代數(shù)尚未形成任何簡化的符號表達(dá)法,代數(shù)運算則都采用通常的語言敘述方式表達(dá),因而代數(shù)推理也都采用直觀的方法.在中國古代則有著名的籌算法,而在古希臘則借助于幾何圖形的變換方法.最典型的代表是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)幾何數(shù)論方法.例如通過圖形的組合可以得到不要認(rèn)為簡單的幾何變換只能產(chǎn)生簡單的代數(shù)結(jié)論,恰當(dāng)?shù)乩脦缀螆D形的變換有時也會產(chǎn)生重要的代數(shù)結(jié)論(如勾股定理與勾股數(shù).第55頁,共298頁，星期六，2024年，5月562簡化文字階段

缺乏符號運算的代數(shù)當(dāng)然是相當(dāng)原始的代數(shù)學(xué).直到古希臘數(shù)學(xué)后期,數(shù)學(xué)家丟番圖才開始把通常的語言敘述作簡化,利用簡化的文字符號代替一些相對固定的代數(shù)表達(dá)式.這一時期稱為代數(shù)的簡化文字階段,這一時期大致延續(xù)到歐洲文藝復(fù)興時代.丟番圖對代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了突出的貢獻(xiàn),《算術(shù)》一書是丟番圖留下來的著作,該著作研究了一系列不定方程的求解問題.例如把一個平方數(shù)表為兩個平方數(shù)之和的問題.后來歐拉發(fā)現(xiàn)了正整數(shù)能夠表為兩個整數(shù)平方和的充分必要條件.把一個給定的整數(shù)表為四個數(shù)的和再加上這四個數(shù)的平方和.求兩個有理數(shù)使它們的和等于它們的立方和,例如七分之五與七分之八等等.正是在丟番圖關(guān)于整數(shù)諸如此類表法研究的基礎(chǔ)上,17世紀(jì)偉大的法國數(shù)學(xué)家費馬(PierredeFermat,1601-1665)提出了不定方程xn+yn=zn在n≥3時不可解問題.19世紀(jì)費馬問題的研究也是導(dǎo)致近世代數(shù)理想論產(chǎn)生的重要契機(jī).第56頁,共298頁，星期六，2024年，5月573符號代數(shù)階段

這一階段是經(jīng)過歐洲文藝復(fù)興之后的好幾位數(shù)學(xué)家的努力而達(dá)到(它大致在17世紀(jì)完成).它的標(biāo)志是用字母表示數(shù),這一過程使代數(shù)學(xué)達(dá)到了現(xiàn)在我們看到的這種符號演算形式.較早的代表著作是德國數(shù)學(xué)家M.Stiefel(1486-1567)1553年的著述《綜合算術(shù)》.其利用10進(jìn)制小數(shù)表示實數(shù).對代數(shù)學(xué)的符號體系做出了重要貢獻(xiàn)的另一位代表人物是法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F.Viete,1540-1603).韋達(dá)是第一個系統(tǒng)使用字母表示數(shù)的人,在代數(shù)、三角學(xué)等許多方面都做出了杰出的貢獻(xiàn).第57頁,共298頁，星期六，2024年，5月584結(jié)構(gòu)代數(shù)階段

這一階段代數(shù)學(xué)的研究對象不再是個別的數(shù)字運算,而是抽象的運算系統(tǒng)(如群、環(huán)、域等)的代數(shù)結(jié)構(gòu).它起因于年輕的法國數(shù)學(xué)家EvaristeGalois(1811-1832)對代數(shù)方程式解的研究.Galois引入了群與擴(kuò)域的工具,解決了高次方程的求根問題.這個問題是在16世紀(jì)中葉,兩位意大利數(shù)學(xué)家G.Cardano(1506)與L.Ferrari(1545)發(fā)現(xiàn)了三、四次方程的求根公式之后一直困擾數(shù)學(xué)家達(dá)三百年之久的代數(shù)學(xué)難題.Galois擺脫了前人關(guān)于根的計算方法的研究途徑,發(fā)現(xiàn)根的對稱性群的結(jié)構(gòu)能夠決定根的可解性.Galois的研究不但確立了群論在數(shù)學(xué)中的地位,同時也開創(chuàng)了結(jié)構(gòu)代數(shù)這個新型的代數(shù)學(xué)研究方向.

在數(shù)學(xué)家們致力于解決高次方程的求根問題的同時,CarlGauss(1777-1855)為了解決Fermat問題,開始一般性的研究代數(shù)數(shù)域.他的學(xué)生E.Kummer(1810-1893)在Gauss方法的基礎(chǔ)上引入理想數(shù),使Fermat問題的研究推進(jìn)了一步.直到19世紀(jì)末已建立了群、環(huán)、域的系統(tǒng)理論.第58頁,共298頁，星期六，2024年，5月59

1834年愛爾蘭數(shù)學(xué)家WilliamR.Hamiton(1805-1865)在Gauss把復(fù)數(shù)解釋為二元數(shù)這一思想的啟發(fā)下創(chuàng)建了一種奇特的不交換的數(shù)系,后來稱之為Hamiton四元數(shù).

三大進(jìn)展奠定了近世代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).1931年荷蘭數(shù)學(xué)家B.L.van.der.Waerden出版了兩卷本<近世代數(shù)學(xué)>,1955年該書第四版更名為<代數(shù)學(xué)>.這一著作標(biāo)志著群、環(huán)、域等抽象結(jié)構(gòu)理論已經(jīng)成為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的主要研究對象,該著作同時也成為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)的起點.1951年美國數(shù)學(xué)家N.Jacobson又出版了新的代數(shù)學(xué)著作,書名為<抽象代數(shù)學(xué)講義>(共三卷).因此近世代數(shù)也被稱為抽象代數(shù).第59頁,共298頁，星期六，2024年，5月60五幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實際問題1項鏈問題2分子結(jié)構(gòu)的計數(shù)問題3正多面體的著色問題4圖的構(gòu)造與計數(shù)問題5開關(guān)線路的構(gòu)造與計數(shù)問題6數(shù)字通信的可靠性問題7幾何作圖問題8代數(shù)方程根式的求解問題第60頁,共298頁，星期六，2024年，5月611)基本問題:用黑白兩種顏色的珠子做成有五顆珠子的項鏈,問可以做成多少種不同的項鏈？

2)問題解決思路:枚舉法

3)問題推廣:用n種顏色的珠子做成m顆珠子的項鏈,問可做成多少種不同類型的項鏈？1項鏈問題第61頁,共298頁，星期六，2024年，5月62數(shù)

學(xué)

表

述

把m顆珠子做成一個項鏈用一個正m邊形來代替,其中每個頂點代表一顆珠子.從任意正m邊形一個頂點開始,沿逆時針方向,依次給每個頂點標(biāo)以碼:1,2,3,…,m.這樣的一個項鏈稱之為有標(biāo)號的項鏈.由于每一顆珠子的顏色有n種選擇,因此由乘法原理,這些有標(biāo)號的項鏈共有種.但是其中有一些項鏈可通過旋轉(zhuǎn)一個角度或反轉(zhuǎn)180度使它們完全重合.對于這些項鏈稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.對那些無論怎樣旋轉(zhuǎn)或反轉(zhuǎn)都不能使它們重合的項鏈,稱之為本質(zhì)上不相同的項鏈,即為問題所提的不同類型的項鏈.當(dāng)n與m較小時,不難用枚舉法求得問題的解答.但隨著n與m的增加,用枚舉法越來越難,因而必須尋找更為有效的可解決一般正整數(shù)n與m的方法.采用群論可解決此問題,且至今尚未發(fā)現(xiàn)其它更為簡單和有效的方法.第62頁,共298頁，星期六，2024年，5月632分子結(jié)構(gòu)的計數(shù)問題1)背景:在化學(xué)中研究有某幾種元素可合成多少種不同物質(zhì)的問題,可以知道人們在大自然中尋找或人工合成這些物質(zhì).2)問題:在一個苯環(huán)上結(jié)合原子或原子團(tuán),問可以形成多少種不同的化合物？

3)轉(zhuǎn)化:如果假定苯環(huán)上相鄰原子之間的鍵都是互相等價的,則此問題就是兩種顏色六顆珠子的項鏈問題.第63頁,共298頁，星期六，2024年，5月64其中:下圖中外圈球右邊兩個每個代表一個,其余四個每個代表一個;內(nèi)圈每個代表一個

.第64頁,共298頁，星期六，2024年，5月653正多面體的著色問題1)問題:用n種顏色對正六面體的面著色,問有多少種不同的著色方法？2)數(shù)學(xué)模型:為了將問題中的概念量化:設(shè)n種顏色的集合為,正六面體的面集合為,則每一種著色法對應(yīng)一個映射:,反之,每一個映射對應(yīng)一種著色法.

由于每一面的顏色有n種選擇,所以全部著色法的總數(shù)為,但這樣的著色與面的編號有關(guān),其中有些著色可適當(dāng)旋轉(zhuǎn)正六面體使它們完全重合,對這些著色法,稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.因而我們的問題轉(zhuǎn)化為求本質(zhì)上不同的著色法的數(shù)目.

當(dāng)n很小時,不難用枚舉法求得結(jié)果,如當(dāng)n取2時,本質(zhì)上不同的著色數(shù)為10,對于一般的情況則必須用群論方法才能解決.第65頁,共298頁，星期六，2024年，5月664圖的構(gòu)造與計數(shù)問題1)圖的概念：設(shè)稱為頂點集合,是由的一些二元子集構(gòu)成的集合,稱為邊集,則有序?qū)ΨQ為一個圖.2)圖的畫法:

每一個頂點用圓圈表示,對邊集中的每一對元素用一條直線或曲線連接頂點與.頂點的位置及邊的長短、形狀均無關(guān)緊要.

第66頁,共298頁，星期六，2024年，5月67

一個圖可以代表一個電路、水網(wǎng)絡(luò)、通訊網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、地圖等有形的結(jié)構(gòu),也可以代表一些抽象關(guān)系.例如:可用一個圖代表一群人之間的關(guān)系,其中點代表單個人,凡有邊相連的的兩個點表示他們之間互相認(rèn)識,否則表示不認(rèn)識,則這個圖就表示出這群人之間的關(guān)系.

圖論中自然會涉及到某類圖有多少個的問題.第67頁,共298頁，星期六，2024年，5月683)問題:畫出所有點數(shù)為3的圖.解決辦法:首先畫出3個頂點:1,2,3,在每兩個點之間有“無邊”和“有邊”兩種情況,因而全部有8種情況,每種情況對應(yīng)一個圖.第68頁,共298頁，星期六，2024年，5月694)推廣:當(dāng)點數(shù)為時,共可形成個二元子集,每個二元子集可以對應(yīng)圖中的邊或不對應(yīng)邊兩種情況,故可形成個圖.我們觀察上圖中的8個圖,可以發(fā)現(xiàn)有些圖是完全相同的,如不考慮它們的頂點號,這些圖可完全重合,這樣的圖稱它們是同構(gòu)的,可以看出:上圖中有4個互不同構(gòu)的圖.那么,對于一般的情況,也即頂點數(shù)為的圖中互不同構(gòu)的圖有多少個呢?這個問題也不能用初等方法解決.第69頁,共298頁，星期六，2024年，5月701)問題:一個有兩種狀態(tài)的電子元件稱為一個開關(guān),例如普通的電燈開關(guān)、二極管等.由一些開關(guān)組成的二端網(wǎng)絡(luò)稱為開關(guān)線路.一個開關(guān)線路的兩端也只有兩種狀態(tài):通與不通.我們的問題是:用n個開關(guān)可以構(gòu)造多少種不同的開關(guān)線路？5

開關(guān)

線路

的構(gòu)

造與

計數(shù)

問題第70頁,共298頁，星期六，2024年，5月712)模型：我們用個變量代表個開關(guān),每個變量的取值為0或1且代表開關(guān)的兩種狀態(tài).開關(guān)線路的狀態(tài)也用一個變量來表示,它的取值也是0或1代表開關(guān)線路的兩種狀態(tài).是的函數(shù),稱為開關(guān)函數(shù),記為,其中每一個函數(shù)對應(yīng)一個開關(guān)線路.3)數(shù)學(xué)計算：由于每一個函數(shù)對應(yīng)一個開關(guān)線路,因而開關(guān)線路的數(shù)目就是開關(guān)函數(shù)的數(shù)目.又由于的定義域的點數(shù)目為,在定義域的每一個點上的取值有兩種可能.所以全部開關(guān)函數(shù)的數(shù)目為,這就是個開關(guān)的開關(guān)線路的數(shù)目.4)總結(jié)上面考慮的開關(guān)線路中的開關(guān)是有標(biāo)號的,有一些開關(guān)線路結(jié)構(gòu)完全相同,只是標(biāo)號不同,我們稱這些開關(guān)線路本質(zhì)上是相同的.要進(jìn)一步解決本質(zhì)上的開關(guān)線路的數(shù)目問題,必須用群論方法.

第71頁,共298頁，星期六，2024年，5月726數(shù)字通信的可靠性問題

現(xiàn)代通信中用數(shù)字代表信息,用電子設(shè)備進(jìn)行發(fā)送、傳遞和接收,并用計算機(jī)加以處理.由于信息量大,在通信過程中難免出現(xiàn)錯誤.為了減少錯誤,除了改進(jìn)設(shè)備外,還可以從信息的表示方法上想辦法.由數(shù)字表示信息的方法稱為編碼.編碼學(xué)就是一門研究高效編碼方法的科學(xué).以下通過兩個簡單的例子說明檢錯碼與糾錯碼的概念.第72頁,共298頁，星期六，2024年，5月73

簡單檢錯碼的編碼方法:奇偶性檢錯碼設(shè)用六位二進(jìn)制碼來表示26個英文字母,其中前五位順序表示字母,第六位作檢錯用,當(dāng)前五位的數(shù)碼中1的個數(shù)為奇數(shù)時,第六位取1,否則第六位取0.這樣編出來的碼中1的個數(shù)始終是偶數(shù)個.例如:A:000011;B:000101;C:000110;D:001001……用這種碼傳遞信息時可檢查錯誤.當(dāng)接收一方收到的碼中含有奇數(shù)個1時,則可斷定該信息是錯誤的,可要求發(fā)送者重發(fā).因而,同樣的設(shè)備,用這種編碼方法可提高通信的準(zhǔn)確度.但是,人們并不滿足僅僅發(fā)現(xiàn)錯誤,能否不通過重發(fā)的辦法,僅從信息本身來糾正其錯誤呢?這在一定程度上也可用編碼方法解決.

第73頁,共298頁，星期六，2024年，5月74

簡單糾錯碼的編碼方法:重復(fù)碼設(shè)用3位二進(jìn)制重復(fù)碼表示A,B兩個字母如下:A:000;B:111則接受的一方對收到的信息碼不管其中是否有錯,均可譯碼如下:

接收信息:000;001;010;011;100;101;110;111

譯碼:A;A;A;B;A;B;B;B

這就意味著對其中的信息做了糾正.

利用近世代數(shù)方法可得到更高效的檢錯碼與糾錯碼.第74頁,共298頁，星期六，2024年，5月75

古代數(shù)學(xué)家們曾提出了一個有趣的作圖問題:用圓規(guī)及沒有刻度和記號的直尺可做出那些圖形?為什么會提這樣的問題呢?一方面是由于生產(chǎn)發(fā)展的需要,且圓規(guī)、直尺(最初的的直尺是無刻度的)是當(dāng)時丈量土地的基本工具;另一方面,從幾何學(xué)觀點看,古人認(rèn)為直線與圓弧是構(gòu)成一切平面圖形的要素.據(jù)說古人還認(rèn)為只有使用圓規(guī)與直尺作圖才能確保其嚴(yán)密性.且整個平面幾何學(xué)是以圓規(guī)與直尺作為基本的工具.

歷史上有幾個幾何作圖問題曾經(jīng)困擾人們很長時間,它們是:1二倍立方體問題作一個立方體使其體積等于已知立方體體積的二倍.2三等分任意角問題給定任意一個角,將其三等分.3圓化方問題給定一個已知圓,作一個正方形使其面積等于已知圓的面積.4n等分一個圓周

這些問題直到近世代數(shù)理論出現(xiàn)以后才得到完全解決.

7幾何作圖問題第75頁,共298頁，星期六，2024年，5月768代數(shù)方程根式求解問題

我們知道,任何一個一元二次代數(shù)方程可用根式表示它的兩個解.對于一元三次和四次代數(shù)方程,故人們經(jīng)過長期的努力也巧妙地做到了這一點.于是人們自然會問:是否任何次的代數(shù)方程的根均可用根式表示?許多努力都失敗了,但這些努力促使了近世代數(shù)的產(chǎn)生,并最終解決了這個問題.19世紀(jì)初,法國數(shù)學(xué)家埃瓦里斯特·伽羅華是法國數(shù)學(xué)家(évaristeGalois,1811年10月25日－1832年5月31日,與尼爾斯·阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人.)在研究五次代數(shù)方程的解法是提出了著名的伽羅華理論,成為近世代數(shù)的先驅(qū).但他的工作在當(dāng)時未被數(shù)學(xué)家所認(rèn)識,且由于且由于其它原因于21歲過早地去世了.直到19世紀(jì)后期,他的理論才有其他的數(shù)學(xué)家加以進(jìn)一步的發(fā)展和系統(tǒng)闡述.第76頁,共298頁，星期六，2024年，5月77第一章練習(xí)題第77頁,共298頁，星期六，2024年，5月78

第二章基本概念第78頁,共298頁，星期六，2024年，5月79

第二章：基本概念集合(第二講)映射(第三講)運算律(第四講)同態(tài)與同構(gòu)(第五講)等價關(guān)系與集合的分類(第六講)第79頁,共298頁，星期六，2024年，5月80

第二講基本概念之集合及其之間的關(guān)系——集合第80頁,共298頁，星期六，2024年，5月81

集合的概念是德國數(shù)學(xué)家康托爾(G.Cantor,1845-1918)于1894年所首先建立的.到現(xiàn)在,集合論不僅已成為數(shù)學(xué)的一個專門理論和獨立學(xué)科,而且廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個分支.

在近世代數(shù)中,不僅每章每節(jié)甚至幾乎處處離不開集合,由此可見集合的重要性.但這只是問題的一方面.另一方面我們在這里講集合主要是為了在近世代數(shù)中講最基本的概念:群、環(huán)、域而作準(zhǔn)備,并不是要對集合本身的理論作太多和深入的闡述.這是因為,在近世代數(shù)中只用到集合的一些初步概念,諸如子集、真子集、集合的相等、冪集、交集、并集、差集以及集合的差、余集和它們的簡單性質(zhì),而并不用到集合理論的其它內(nèi)容及知識.第81頁,共298頁，星期六，2024年，5月821

集合與集合元素的定義2集合與集合元素的表示符號3集合與集合元素之間的關(guān)系——屬于關(guān)系4集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類5集合的表示方法6集合之間的內(nèi)在關(guān)系——包含關(guān)系7集合運算8運算律9特殊集合的表示符號10集合的補(bǔ)充說明11包含與排斥原理第82頁,共298頁，星期六，2024年，5月831集合與集合元素的定義

集合正如像幾何學(xué)中的點、線、面等概念一樣,也是一種不加定義而可直接引入的最基本的原始概念.第83頁,共298頁，星期六，2024年，5月841.1集合定義

把隨便一些對象(事物)放在一起做為一個整體進(jìn)行研究的話,這個整體就叫做集合(這是描述性定義);組成集合的對象或事物叫做這個集合的元素.定義2.1第84頁,共298頁，星期六，2024年，5月851)線性方程組AX=B的解向量的集合.2)多項式f(x)的零點的集合.3)數(shù)域P上所有m行n列的矩陣的集合.4)延安市全體居民身份證號碼的集合.5)延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院2009級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的全體學(xué)生的集合.6)延安大學(xué)2011年西安世界園藝會志愿者的集合.7)大學(xué)生技能測試的所有項目的集合.8)延安大學(xué)2011—2012學(xué)年第一學(xué)期所有公選課的課程名稱的集合.1.2集合舉例例2.1第85頁,共298頁，星期六，2024年，5月86

集合是不能嚴(yán)格定義的,因為定義是用已知概念去定義未知概念,然而集合是數(shù)學(xué)中的一個最基礎(chǔ)及最基本的概念,不能再用其它數(shù)學(xué)概念來定義,正如哲學(xué)中的物質(zhì)概念一樣,它只能描述而不能定義.盡管集合沒有定義,但我們都能理解它是什么意思,可以說具有特定性質(zhì)的抽象或具體的事物的全體稱為集合.1.3集合定義的注意問題第86頁,共298頁，星期六，2024年，5月87

若干個(有限個或無限個)固定事物的全體稱為集合;組成一個集合的事物稱為這個集合的元素(濃度或元數(shù)).1.4集合的等價定義定義2.2第87頁,共298頁，星期六，2024年，5月882集合與集合元素的表示符號集合:大寫字母表示如集合的元素:小寫字母表示如第88頁,共298頁，星期六，2024年，5月893集合與集合元素之間的關(guān)系

——屬于關(guān)系定義2.3第89頁,共298頁，星期六，2024年，5月904.1集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類標(biāo)準(zhǔn)1:元素的個數(shù)分類:有限集合與無限集合標(biāo)準(zhǔn)2:與自然數(shù)集合或其子集進(jìn)行比較分類:可數(shù)集合與不可數(shù)集合定義2.44

集合的分類第90頁,共298頁，星期六，2024年，5月914.2集合等勢的判斷準(zhǔn)則定理2.1第91頁,共298頁，星期六，2024年，5月924.3集合等勢的判斷準(zhǔn)則的應(yīng)用例2.2例2.3例2.4第92頁,共298頁，星期六，2024年，5月93第93頁,共298頁，星期六，2024年，5月94第94頁,共298頁，星期六，2024年，5月95問題第95頁,共298頁，星期六，2024年，5月965集合的表示方法

給出集合的方式,不外乎以下兩種．列舉法:把集合中的所有元素都描寫出來(也即列出它的全部元素).但須注意列舉法不僅可以表示有限集合,而且還可以表示有些有規(guī)律的無限集合.描述法:用性質(zhì)描述出集合(也即給出這個集合中的元素所具有的特征性質(zhì)).定義2.5；定義2.6第96頁,共298頁，星期六，2024年，5月97子集:設(shè)是兩個集合,如果集合的每一個元素都是集合的元素,那么就稱集合是集合的子集,記為:讀作集合屬于集合(集合包含集合或集合被包含于集合).6.1子集定義定義2.7

6集合之間的內(nèi)在關(guān)系—包含關(guān)系第97頁,共298頁，星期六，2024年，5月98真子集:設(shè)是兩個集合,如果集合的每一個元素都是集合的元素,但集合中至少有一個元素不屬于集合,那么就稱集合是集合的真子集,記作

.6.2真子集定義定義2.8第98頁,共298頁，星期六，2024年，5月99集合相等:如果集合與集合是由完全相同的元素組成的,就說集合與集合相等,記作

6.3集合相等的定義定義2.9第99頁,共298頁，星期六，2024年，5月100

性質(zhì)1定理2.26.4幾個定義的邏輯等價式第100頁,共298頁，星期六，2024年，5月101

性質(zhì)2(包含關(guān)系)定理2.36.5幾個關(guān)系的自反性、反對稱性、對稱性及傳遞性第101頁,共298頁，星期六，2024年，5月102

性質(zhì)3(相等關(guān)系)定理2.4第102頁,共298頁，星期六，2024年，5月103性質(zhì)4(真包含關(guān)系)定理2.5第103頁,共298頁，星期六，2024年，5月1047.1集合運算定義定義2.11---2.177集合運算第104頁,共298頁，星期六，2024年，5月105第105頁,共298頁，星期六，2024年，5月106

7.2集合運算之關(guān)于子集之間的運算

定義2.18---2.24第106頁,共298頁，星期六，2024年，5月107第107頁,共298頁，星期六，2024年，5月1087.3.1文氏圖的用法

文氏圖可以用來描述集合之間的關(guān)系及其運算.在文氏圖中全集用矩形表示,子集用圓形區(qū)域表示,陰影區(qū)域表示運算結(jié)果的集合.7.3集合的圖形表示—文氏圖第108頁,共298頁，星期六，2024年，5月1097.3.2文氏圖的特點

文氏圖表示法的優(yōu)點是直觀和形象,富有啟發(fā)性,幫助我們理解各種概念和定理,所以文氏圖可作為思考的出發(fā)點.第109頁,共298頁，星期六，2024年，5月1107.3.3文氏圖應(yīng)注意的問題

但文氏圖絕不能用作推理的依據(jù),因為直觀是不可靠的,只有邏輯推理才是可靠的.第110頁,共298頁，星期六，2024年，5月1117.3.4文氏圖的適用范圍

當(dāng)集合的數(shù)目較多時,文氏圖將變得很復(fù)雜.也即對于集合的數(shù)目較少時,文氏圖適用.第111頁,共298頁，星期六，2024年，5月1127.3.5.1A∩B

可用下圖陰影部分表示BBA(B)A(2)若BA則A∩B=B(3)若A=B則A∩B=A=B(1)若AB則A∩B=AA7.3.5文氏圖表示舉例例2.5第112頁,共298頁，星期六，2024年，5月113A

BAB

A與B相切

相交的特例AB(5)A與B分離A∩B=

(4)A與B相交 A∩BAA∩BBA∩BAA∩BBA∩B=

第113頁,共298頁，星期六，2024年，5月1147.3.5.2A∪B可用下圖陰影部分表示(1)若AB則A∪B=BBABA(B)A(2)若BA則A∪B=A(3)若A=B則A∪B=A=B第114頁,共298頁，星期六，2024年，5月115A

B(4)A與B相交A∪BA

B(5)A與B相切

相并的特例AB(6)A與B分離A∪B第115頁,共298頁，星期六，2024年，5月116第116頁,共298頁，星期六，2024年，5月117第117頁,共298頁，星期六，2024年，5月1187.4元素不屬于集合運算結(jié)果的判斷準(zhǔn)則定理2.6第118頁,共298頁，星期六，2024年，5月1198運算律定理2.7第119頁,共298頁，星期六，2024年，5月1209特殊集合的表示符號及性質(zhì)第一類:空集

;全集:

空集的絕對唯一性;全集的相對唯一性;空集表示形式的多樣性.第120頁,共298頁，星期六，2024年，5月121

第二類:特殊集合第121頁,共298頁，星期六，2024年，5月12210集合的補(bǔ)充說明

集合的概念應(yīng)注意以下幾點：1)元素的確定性；2)元素的無序性；3)元素的互異性；4)集合可以作為元素,但是不能做為它自己的元素；5)元素與集合之間的關(guān)系是個體與整體的關(guān)系,應(yīng)嚴(yán)加區(qū)分.第122頁,共298頁，星期六，2024年，5月12311.1包含與排斥原理的特殊形式定理2.811包含與排斥原理第123頁,共298頁，星期六，2024年，5月12411.2包含與排斥原理舉例例2.6例2.7例2.8第124頁,共298頁，星期六，2024年，5月125第125頁,共298頁，星期六，2024年，5月126第126頁,共298頁，星期六，2024年，5月127第127頁,共298頁，星期六，2024年，5月128第128頁,共298頁，星期六，2024年，5月129第129頁,共298頁，星期六，2024年，5月130第130頁,共298頁，星期六，2024年，5月131思考題

1)包含關(guān)系的重要性質(zhì)有那些？

2)相等關(guān)系的重要性質(zhì)有那些？

3)運算律是否成立及如何得出？

4)寫出集合的并、交、差這三個運算所適合的所有運算律并加以證明.第131頁,共298頁，星期六，2024年，5月1321)寫出并證明包含排斥原理的一般形式.

2)舉出包含排斥原理在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用實例三個.

習(xí)題第132頁,共298頁，星期六，2024年，5月133

第三講基本概念之

集合及其之間的關(guān)系—對應(yīng)關(guān)系(映射)(人造關(guān)系)第133頁,共298頁，星期六，2024年，5月1341映射概念回憶2映射及相關(guān)定義3映射的充要條件4映射舉例5符號說明6映射的合成及相關(guān)結(jié)論7映射及其映射相等概念的推廣8集合及其之間的關(guān)系——特殊的映射(代數(shù)運算）9集合及其之間的關(guān)系——一一映射

第134頁,共298頁，星期六，2024年，5月135：

映射是兩個集合之間建立的一種聯(lián)系,也是近代數(shù)學(xué)上最基本的概念之一,我們借助“法則”來說明映射的含義.

：：

1映射概念回憶第135頁,共298頁，星期六，2024年，5月1362.1.1映射的定義定義2.252.1映射的定義及圖形2映射第136頁,共298頁，星期六，2024年，5月137

2.1.2映射的圖形定義2.26第137頁,共298頁，星期六，2024年，5月1382.2定義域、像、原像的定義定義2.27第138頁,共298頁，星期六，2024年，5月1392.3映射與通常函數(shù)的關(guān)系第139頁,共298頁，星期六，2024年，5月140第140頁,共298頁，星期六，2024年，5月141第141頁,共298頁，星期六，2024年，5月1423映射的充要條件定理2.9第142頁,共298頁，星期六，2024年，5月1434.1例2.94映射舉例第143頁,共298頁，星期六，2024年，5月144第144頁,共298頁，星期六，2024年，5月145第145頁,共298頁，星期六，2024年，5月1464.2例2.10第146頁,共298頁，星期六，2024年，5月1474.3從映射舉例觀察結(jié)論第147頁,共298頁，星期六，2024年，5月1484.4映射相等定義2.28;定理2.10第148頁,共298頁，星期六，2024年，5月1495符號說明第149頁,共298頁，星期六，2024年，5月150

6.1映射的合成的定義

定義2.296映射的合成第150頁,共298頁，星期六，2024年，5月1516.2映射合成的性質(zhì)

定理2.11第151頁,共298頁，星期六，2024年，5月152

7.1映射的一般概念定義2.307映射概念的推廣第152頁,共298頁，星期六，2024年，5月153

7.2映射相等定義2.31第153頁,共298頁，星期六，2024年，5月154

設(shè)和是任意三個非空集合,則到的任何一個映射都稱為從的一個代數(shù)運算.

8.1代數(shù)運算定義定義2.328集合及其之間的關(guān)系第154頁,共298頁，星期六，2024年，5月1551)代數(shù)運算是特殊映射；2)代數(shù)運算是具有普通計算法的特征(也即所給代數(shù)運算能夠?qū)與b進(jìn)行運算,而得到一個結(jié)果d=a⊙b.)8.2代數(shù)運算定義觀察第155頁,共298頁，星期六，2024年，5月1568.3代數(shù)運算描寫符號第156頁,共298頁，星期六，2024年，5月157

當(dāng)元素a=b時,a與b

的次序?qū)Υ鷶?shù)運算沒有影響,a與b的次序可以調(diào)換,只是說a⊙b與

b⊙a(bǔ)

都有意義.但并不是說a⊙b=b⊙a(bǔ).8.4代數(shù)運算問題思考第157頁,共298頁，星期六，2024年，5月1588.5有限集合代數(shù)運算運算表第158頁,共298頁，星期六，2024年，5月159

假如是一個的代數(shù)運算,也即說集合對于代數(shù)運算是封閉的,也說是集合的代數(shù)運算或二元運算(二元合成).8.6代數(shù)運算的特例：二元合成定義定義2.33第159頁,共298頁，星期六，2024年，5月1608.7代數(shù)運算的特例:二元合成舉例例2.11第160頁,共298頁，星期六，2024年，5月1619.1特殊映射的定義1滿射的定義2單射的定義3一一映射的定義4逆映射的定義9集合及其之間的關(guān)系(特殊映射)第161頁,共298頁，星期六，2024年，5月1629.1.1滿射的定義

若在一個集合A到集合B的映射f之下,集合B的每一個元都至少是集合A中某一個元的像,那么f叫做從集合A到集合B的一個滿射.這時有f(A)=B..定義2.34第162頁,共298頁，星期六，2024年，5月163

若在一個集合到集合的映射之下,集合中任意兩個不同元素在集合中的像不相同,那么叫做從集合到集合的一個單射.9.1.2單射的定義定義2.35第163頁,共298頁，星期六，2024年，5月164

如果既是滿射又是單射,即如果滿足下列條件:1);2)那么就稱是集合到集合的一個雙射.9.1.3一一映射的定義定義2.36第164頁,共298頁，星期六，2024年，5月165

9.1.4逆映射的定義定義2.37--2.39第165頁,共298頁，星期六，2024年，5月1669.2特殊映射的等價命題1單射的等價命題2滿射的等價命題3雙射的等價命題4可逆映射的等價命題第166頁,共298頁，星期六，2024年，5月1679.2.1單射的等價命題定理2.12第167頁,共298頁，星期六，2024年，5月168第168頁,共298頁，星期六，2024年，5月169第169頁,共298頁，星期六，2024年，5月170第170頁,共298頁，星期六，2024年，5月171第171頁,共298頁，星期六，2024年，5月1729.2.2滿射的等價命題定理2.13第172頁,共298頁，星期六，2024年，5月173證明第173頁,共298頁，星期六，2024年，5月174證明第174頁,共298頁，星期六，2024年，5月175第175頁,共298頁，星期六，2024年，5月176第176頁,共298頁，星期六，2024年，5月1779.2.3雙射的等價命題定理2.14第177頁,共298頁，星期六，2024年，5月1789.2.4可逆映射的等價命題定理2.15第178頁,共298頁，星期六，2024年，5月1799.3一一映射的性質(zhì)

。第179頁,共298頁，星期六，2024年，5月1801)假設(shè)是一個有限集合,是一個映射,則

2)假設(shè)是一個有限集合,則9.4有限集合上幾個充要條件定理2.16;2.17第180頁,共298頁，星期六，2024年，5月1819.5時的特殊映射—變換

一個A到集合A的映射叫做集合A的一個變換;一個A到集合A的滿射、單射、一一映射叫做集合A的一個滿射變換、單射變換、一一變換.

定義2.40第181頁,共298頁，星期六，2024年，5月1829.6特殊變換—單位變換的定義定義2.41第182頁,共298頁，星期六，2024年，5月1831)舉出三個現(xiàn)實生活中映射的例子.

2)舉出四個現(xiàn)實生活中代數(shù)運算的實例.

思考題第183頁,共298頁，星期六，2024年，5月184應(yīng)用題1)你站在某地,你的四周比你所在位置的高低能否建立一個映射呢?2)能否構(gòu)造一個集合B,使得大學(xué)畢業(yè)生的集合與B之間可以建立映射?能建立一一映射嗎?(注意:大學(xué)畢業(yè)生的集合你也可以規(guī)定,但不是幾個人應(yīng)該是一個學(xué)?；蛞粋€專業(yè)或一個縣的大學(xué)畢業(yè)生的集合)3)利用體育上的由:向左轉(zhuǎn)、向右轉(zhuǎn)、向后轉(zhuǎn)、原地不動這幾個動作要領(lǐng)能否建立一個映射呢?第184頁,共298頁，星期六，2024年，5月185第185頁,共298頁，星期六，2024年，5月186第186頁,共298頁，星期六，2024年，5月187

第四講基本概念之

代數(shù)運算適應(yīng)的規(guī)則

—運算律第187頁,共298頁，星期六，2024年，5月188一與一種代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的運算律（一）結(jié)合律（二）交換律（三）消去律二與兩種代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的運算律（一）第一分配律（二）第二分配律第188頁,共298頁，星期六，2024年，5月189問題

給一個集合賦予了代數(shù)運算后,猶如使一潭死水泛起了波瀾,好比對這集合賦予了生命.

一個代數(shù)運算是可以任意規(guī)定的,但未必都會有用,即任意取幾個集合,任意規(guī)定幾個代數(shù)運算,很難希望得到好的結(jié)果,因而在以后所遇到的代數(shù)運算都適合一些從實際中得來的規(guī)律(結(jié)合律、交換律、分配律),分與一種運算(結(jié)合律、交換律)、兩種運算(分配律)發(fā)生關(guān)系的運算律.第189頁,共298頁，星期六，2024年，5月1901結(jié)合律未必都成立例2.13例2.12（一）結(jié)合律一與一種代數(shù)運算發(fā)生關(guān)系的運算律第190頁,共298頁，星期六，2024年，5月1912結(jié)合律的定義

假如對于集合上的任意三個元素來說,都有,則稱一個集合上的代數(shù)運算適合結(jié)合律.定義2.42第191頁,共298頁，星期六，2024年，5月1923加括號的方式(有多少種呢?)

在中任意取出個元素假如我們寫下這個記號這個符號在現(xiàn)在當(dāng)然沒有意義了。只有加上括號才有意義,但是加括號的步驟不止一種,假設(shè)共有種,我們把由這個步驟所得的結(jié)果用以下式子來表示:

這個式子當(dāng)然未必相等,但是它們也可能相等。也未必有意義,何時有意義呢?第192頁,共298頁，星期六，2024年，5月1934有意義的情形假如對于的任意個固定的元素來說,所有的都相等,這時就把由這些不同的加括號步驟得到的唯一結(jié)果用下式表示:

這時此式也就有意義了.第193頁,共298頁，星期六，2024年，5月1945結(jié)合律定理

假如一個集合的代數(shù)運算適合結(jié)合律,那么對于的任意個元素來說,所有的都相等,因而以下的符號:也就有意義了.定理2.18第194頁,共298頁，星期六，2024年，5月195

設(shè)集合上的代數(shù)運算適合結(jié)合律,則對于中的任意個元素來說,只要不改變元素的排列順序,任何一種加括號方法計算所得的結(jié)果都相同.結(jié)合律定理的等價形式定理2.19第195頁,共298頁，星期六，2024年，5月1965結(jié)合律定理的證明證明第196頁,共298頁，星期六，2024年，5月1971交換律的定義

一個到的代數(shù)運算適合交換律.假如對于集合的任意兩個元素

,都有

.定義2.43（二）交換律第197頁,共298頁，星期六，2024年，5月1982交換律未必都成立例2.13例2.14第198頁,共