2025屆北京市第156中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆北京市第156中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，角、、所對的邊長分別為，，，，，，則的面積為（）A． B． C． D．92．在中，若則等于（）A． B． C． D．3．如直線與平行但不重合，則的值為（）．A．或2 B．2 C． D．4．設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，,且，，面積的最大值為（）A．6 B．8 C．7 D．95．若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，且三棱錐的體積為，則球的體積為()A． B． C． D．6．在中，若，則是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形7．如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為()A． B． C． D．8．在中，若，且，則的形狀為()A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．正三角形或直角三角形 D．正三角形9．直線l：的傾斜角為（）A． B． C． D．10．已知a,b,,且,,則()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等比數(shù)列中，，則公比____________.12．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，則它的前項(xiàng)和為______.13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，圓：，動(dòng)點(diǎn)在直線：上（），過分別作圓，的切線，切點(diǎn)分別為，，若滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為______.14．已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足＝2，且恒有x+2y﹣m＞0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________15．已知點(diǎn)和在直線的兩側(cè)，則a的取值范圍是__________.16．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且由一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，直線，.(1)直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請說明理由;(2)已知點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)滿足條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知向量，，函數(shù)．（1）若，求的取值集合；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．19．已知.(Ⅰ)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(Ⅱ)求函數(shù)在時(shí)的值域．20．求適合下列條件的直線方程：經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角等于直線的傾斜角的倍；經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形。21．內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，，求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

，利用正弦定理，和差公式化簡可得，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.【詳解】化為：的面積故選：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與兩角和余弦公式化簡求值，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的正弦定理，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

兩直線斜率相等，且截距不相等?！驹斀狻拷馕觯河深}意得，，解得或2，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)兩直線重合，故.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線平行，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

由已知利用基本不等式求得的最大值，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，利用基本不等式可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故三角形的面積的最大值為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，以及三角形的面積公式的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由的體積計(jì)算得高，已知將三棱錐的外接球，轉(zhuǎn)化為長2，寬2，高的長方體的外接球，求出半徑，可得答案．【詳解】∵，，故三棱錐的底面面積為，由平面，得，又三棱錐的體積為，得，所以三棱錐的外接球，相當(dāng)于長2，寬2，高的長方體的外接球，故球半徑，得，故外接球的體積.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，三棱錐體積公式的應(yīng)用，根據(jù)已知計(jì)算出球的半徑是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．6、A【解析】

首先根據(jù)降冪公式把等式右邊降冪你，再根據(jù)把換成與的關(guān)系，進(jìn)一步化簡即可．【詳解】，，,選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角，兩角和與差的余弦等，需熟記兩角和與差的正弦余弦等相關(guān)公式，以及特殊三角函數(shù)的值是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

根據(jù)平均數(shù)和方差的公式，可推導(dǎo)出，，，的平均數(shù)和方差．【詳解】因?yàn)?，所以，所以的平均?shù)為；因?yàn)椋?，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)與方差的公式計(jì)算，考查對概念的理解與應(yīng)用，考查基本運(yùn)算求解能力.8、D【解析】

由兩角和的正切公式求得，從而得，由二倍角公式求得，再求得，注意檢驗(yàn)符合題意，可判斷三角形形狀．【詳解】，∴，∴，由，即.∴或.當(dāng)時(shí)，，無意義.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為正三角形.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查兩角和的正切公式和二倍角公式，根據(jù)三角公式求出角是解題的基本方法．9、C【解析】

由直線的斜率，又，再求解即可.【詳解】解：由直線l：，則直線的斜率，又，所以，即直線l：的傾斜角為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線傾斜角的求法，屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】

利用不等式的基本性質(zhì)以及特殊值法，即可得到本題答案.【詳解】由不等式的基本性質(zhì)有，，故A正確，B不正確；當(dāng)時(shí)，，但，故C、D不正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意得到：，解方程即可.【詳解】由題知：，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.12、【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，由此能求出它的前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，由，得，且，解得，它的前項(xiàng)和為.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．13、.【解析】

根據(jù)圓的切線的性質(zhì)和三角形全等，得到，求得點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求解．【詳解】由題意得：，，設(shè)，如下圖所示∵PA、PB分別是圓O，O1的切線，∴∠PBO1=∠PAO=90°，又∵PB=2PA，BO1=2AO，∴△PBO1∽△PAO，∴，∴，∴，整理得，∴點(diǎn)P（x，y）的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓，∵動(dòng)點(diǎn)P在直線：上（），滿足PB=2PA的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，∴該直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離d滿足，即，解得或，又因?yàn)?，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)圓的切下的性質(zhì)和三角形全等求得點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓相切，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．14、(-∞,1)【解析】

由x+2y（x+2y）（）（1），運(yùn)用基本不等式可得x+2y的最小值，由題意可得m＜x+2y的最小值．【詳解】兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足2，則x+2y（x+2y）（）（1）（1+2）＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝2時(shí)，上式取得等號(hào)，x+2y﹣m＞0，即為m＜x+2y，由題意可得m＜1．故答案為：（﹣∞，1）．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的運(yùn)用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立問題解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．15、【解析】試題分析：若點(diǎn)A（3，1）和點(diǎn)B（4，6）分別在直線3x-2y+a=0兩側(cè)，則將點(diǎn)代入直線中是異號(hào)，則[3×3-2×1+a]×[3×4-2×6+a]＜0，即（a+7）a＜0，解得-7＜a＜0，故填寫-7<a<0考點(diǎn)：本試題主要考查了二元一次不等式與平面區(qū)域的運(yùn)用．點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)A、B在直線兩側(cè)，則A、B坐標(biāo)代入直線方程所得符號(hào)相反構(gòu)造不等式．16、【解析】

由題意得該四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，可得，．因?yàn)闉橹苯侨切?，可得，所以，因此，結(jié)合幾何關(guān)系，可求得外接球的半徑，，代入公式即可求球的表面積．【詳解】本題主要考查空間幾何體．由題意得該四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，，，，．因?yàn)闉橹苯侨切危虼嘶颍ㄉ幔灾豢赡苁?，此時(shí)，因此，所以平面所在小圓的半徑即為，又因?yàn)椋酝饨忧虻陌霃?，所以球的表面積為．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問題，難點(diǎn)在于確定BC的長，即得到，再結(jié)合幾何性質(zhì)即可求解，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯推理能力，計(jì)算能力，屬中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）或.【解析】

(1)假設(shè)直線過定點(diǎn)，則關(guān)于恒成立，利用即可結(jié)果；(2)直線上存在點(diǎn),求得,故點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，根據(jù)題意，該圓和直線有交點(diǎn)，即圓心到直線的距離小于或等于半徑，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）假設(shè)直線過定點(diǎn)，則，即關(guān)于恒成立，∴，∴，所以直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（2）已知點(diǎn),，設(shè)點(diǎn)，則，，∵,∴,∴所以點(diǎn)的軌跡方程為圓，又點(diǎn)在直線：上，所以直線：與圓有公共點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，則，解得實(shí)數(shù)的范圍為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線過定點(diǎn)問題以及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.解答直線與圓的位置關(guān)系的題型，常見思路有兩個(gè)：一是考慮圓心到直線的距離與半徑之間的大小關(guān)系；二是直線方程與圓的方程聯(lián)立，考慮運(yùn)用韋達(dá)定理以及判別式來解答.18、（1）或；（2）.【解析】

（1）由題化簡得．再解方程即得解；（2）由題得在上恒成立，再求不等式右邊函數(shù)的最小值即得解.【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以．因?yàn)椋裕獾没颍实娜≈导蠟椋?）由（1）可知，所以在上恒成立．因?yàn)?，所以，所以在上恒成?設(shè)，則．所以．因?yàn)?，所以，所以．故的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和解三角方程，考查三角函數(shù)最值的求法和恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.19、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)化簡得＝,利用周期的公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；(Ⅱ)由，可得，得到∈，即可求得函數(shù)的值域.【詳解】(Ⅰ)由題意，化簡得＝,所以函數(shù)的最小正周期為,又由，解得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.(Ⅱ)由，可得，所以∈，所以的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)傾斜角等于直線的傾斜角的倍，求出直線的傾斜角，再利用點(diǎn)斜式寫出直線。（2）與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形等價(jià)于直線的斜率為.【詳解】（1）已知，直線方程為化簡得（2）由題意可知，所求直線的斜率為.又過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式得，所求直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題