人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第一章《空間向量與立體幾何》

人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)第一章空間向量與

立體幾何

一、單選題

1.己知平面a內(nèi)的兩個(gè)向量；=(1,1,1)2=(0,2,-1),且三麻+病+(4,T,1).若"為平

面a的法向量，則S〃的值分別為()

A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2

2.已知工是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是

()

A.3。,a-b,a+2b

B.2b?b-2ab+2a

C.a?2bb-c

一-11

D.c，a+c，a-c

3.已知圓G+,2+2%+4,+4=o,圓。2:爐+V_4%+2y+l=0,M,N分別為圓G

和圓G上的動(dòng)點(diǎn)，2為直線/：y=%+2上的動(dòng)點(diǎn)，則|MP|+|N尸|的最小值為()

A.2710-3B.2710+3C.V10-3D.而+3

4.已知a=(1,—2,1),a—b=(—1,2,-1)>貝()/?=()

A.(-2,0,—2)B.(-2,4,—2)

C.(2,-4,2)D.(2,1-3)

5.正三棱錐P-ABC的側(cè)面都是直角三角形，E,產(chǎn)分別是A5,5。的中點(diǎn)，則必

與平面PE歹所成角的正弦為()

A.6B.亞C."D.在

6633

6.如圖，在正方體ABC。-A耳G2中，M,N分別是棱A5,8耳的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在

對(duì)角線上運(yùn)動(dòng).當(dāng)△尸MN的面積取得最小值時(shí)，點(diǎn)尸的位置是(

A.線段CA的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)AB.線段CA的中點(diǎn)

c.線段CA的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)cD.線段CA的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)c

7.已知萬(wàn)=（1,5,-2）,b=（m,2,m+l）,若-J_⑤,則機(jī)的值為（）

A.-6B.-8C.6D.8

8.如圖，在正方體ABCD-A4G2中，。是AC中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段AG上，若直線

0P與平面所成的角為，，貝hin。的取值范圍是（）.

11

c—D.

4?3

9.在正方體ABC。-A4GA中，點(diǎn)E是線段CG的中點(diǎn)，則還=（）

A.AB+AD+^AA^B.AB+AD-^AA^

C.AB-^AD+AA1D.AB+^AD-AA,

10.已知空間四點(diǎn)A（4,1,3）,3（2,3,1）,C（3,7,-5）,D（x,—1,3）共面，則x的值為

()

A.4B.1C.10D.11

11.如圖，在平行六面體ABCD-中，A4[=a,AB=b9AD=c，點(diǎn)尸在

而上，且4P：PC=2:3,則衣等于（）

n3一2廠2一

A.-a+-b+-cB.-ClH---bH---C

555555

一2一2廠3一一3-212一

C.——a+—b+—cD.—a——b——c

555555

12.如圖，正方形ABCD與正方形互相垂直，3是,的中點(diǎn)，則（）

A.8E與CG異面但不互相垂直B.BE與CG異面且互相垂直

C.8E與CG相交但不互相垂直D.BE與CG相交且互相垂直

二、填空題

13.已知V為矩形4BCD所在平面外一點(diǎn)，且01=VB=VC=VD,

_1_________2__.__.2__?

VP=-VC,VM=-VB,VN=-VD,則也與平面PMN的位置關(guān)系是_________.

333

14.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A4GD中，點(diǎn)E是側(cè)面BBCC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），若點(diǎn)E滿足QE^CE；則忸目的最小值為

15.已知正方體ABCD-ABIGA棱長(zhǎng)為4,M棱CG上的動(dòng)點(diǎn)，AMJ_平面a,則下列

說(shuō)法正確的是.

①若N為。R中點(diǎn)，當(dāng)AM+MN最小時(shí)，器=1-孝；

②當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)CI重合時(shí)，若平面a截正方體所得截面圖形的面積越大，則其周長(zhǎng)就越

大；

③直線AB與平面a所成角的余弦值的取值范圍為與，與；

④若點(diǎn)M為CG的中點(diǎn)，平面a過(guò)點(diǎn)8,則平面a截正方體所得截面圖形的面積為

18；

⑤當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，四面體AM，片內(nèi)切球表面積為嚶.

16.如圖，在三棱錐￡）—ABC中，AB=BC=CD=DA,ZABC=90°,E,F,。分別

為棱BC,DA,AC的中點(diǎn)，記直線E尸與平面3OD所成角為，，則夕的取值范圍是

三、解答題

17.如圖，在四面體ABC。中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,D4的中點(diǎn).

（1）求證：E,F,G,H四點(diǎn)共面;

（2）求證：BD//平面EFGH；

(3)設(shè)M是EG和W的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有

OM=^-(OA+OB+OC+OD^

18.已知四邊形ABC。為菱形（如圖1）,AB=5BD=2,將△ABD沿折起到

A處，使得平面AB。，平面BCD(如圖2),E為4c的中點(diǎn).

圖1圖2

⑴求直線48與OE所成角的余弦值；

(2)若點(diǎn)/在8c上且滿足5斤=!BC,求二面角P-DE-C的平面角的正弦值.

4

19.在三棱錐A—8C。中，已知CB=CD=BBD=2,。為2。的中點(diǎn)，AO_L平面

BCD,A0=2,E為AC的中點(diǎn).

(1)求直線4?與QE所成角的余弦值；

(2)若點(diǎn)廠在2C上，滿足設(shè)二面角足-DE—C的大小為仇求sind的

4

值.

20.如圖所示，在平行六面體ABCO-A4GR中，設(shè)懸=1矗=Z，A3=7

M，N,P分別是A4，BC,CQ的中點(diǎn)，試用［工［表示以下各向量:

AB

(1)運(yùn)

⑵EN；

(3)MP+NC^

21.在三棱錐P—ABC中，平面ABC,AB1BC,AB=PB=2,BC=2y/3,

E、G分別為PC、上4的中點(diǎn).

(1)求證：平面BCG_L平面PAC；

(2)假設(shè)在線段AC上存在一點(diǎn)N,使PN工BE,蔡=；，求直線8E與平面P3N

所成角的正弦值.

參考答案:

1.A

CQ=0

由空間向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算求"坐標(biāo)，再根據(jù)2為平面a的法向量有一一，即可求

c-b-0

【詳解】

111

c=ma+nb+(4,—4,1)=(m,tn,m)+(0,2n,—ri)+(4,—4,1)=(m+4,m+2n—4,m—zi+1).

c-a=0f3m+n+l=0fm=-1

由c為平面a的法向量，得一一，即,八八，解得).

c^b=0[m+5n-9=0[n=2

故選：A

2.C

逐一判斷選項(xiàng)中的向量是否共面，可得選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A,有3萬(wàn)=2（及-5）+（萬(wàn)+25）,則32a-b,2+2B共面，不能作為基底，故A不正

確；

對(duì)于B,因?yàn)?3=（5-2萬(wàn)）+0+2Z）,所以2人5-2萬(wàn)，B+2￡共面，不能作為基底，故

B不正確；

對(duì)于D,因?yàn)?=,所以c，〃+c，a-c共面，不能作為基底，故D不

正確，

對(duì)于C,設(shè)￡=923）+〃6二）（九〃為不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)），解得幾=0,4=0與題意不

符，所以￡，2b，,二不共面，可以作為基底，故C正確，

故選：C.

3.A

答案第1頁(yè)，共21頁(yè)

分析圓C1與圓G的圓心和半徑，求出與圓關(guān)于直線/對(duì)稱的圓C',再設(shè)圓c'上的點(diǎn)

與圓C|上點(diǎn)M對(duì)稱，分析可得原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為P到圓C'和圓c2上的動(dòng)點(diǎn)距離之和最小

值問(wèn)題，據(jù)此分析可得答案.

【詳解】

圓G+y2+2x+4y+4=0,即（x+l）2+（y+2）2=1,圓心為（一1,一2）,半徑R=l,

2

IDC2:%+/-4x+2y+l=0,即（x-2y+（y+l）2=4,圓心為（2,-1）,半徑廠=2,

設(shè)點(diǎn)（T-2）關(guān)于直線/:y=x+2對(duì)稱的點(diǎn)為（a,6）

力+2_]

〃+],[u=~4

則，解得:,,，

b-2a-11.o=l

-------=----------1-2、

I22

圓G關(guān)于直線/：y=x+2對(duì)稱的圓為圓C',其圓心為（-4,1）,半徑R=l,則其方程為

(x+4)2+(y-l)2=l,

設(shè)圓C'上的點(diǎn)AT與圓G上點(diǎn)M對(duì)稱，則有歸河|=|尸

原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為P到圓C'和圓C之上的動(dòng)點(diǎn)距離之和最小值問(wèn)題,

連接C4'，與直線/交于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)尸是滿足|尸時(shí)+|尸河1最小的點(diǎn)，

此時(shí)歸兇+戶”|=|。2。|-3=2亞-3,即|〃?|+|即|的最小值為2歷-3,

故選：A.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓與圓關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，解答本題

答案第2頁(yè)，共21頁(yè)

的關(guān)鍵是求出圓C1直線/:y=x+2對(duì)稱的圓的方程(x+4)2+(y_l)2=l,原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為

產(chǎn)到圓C'和圓C之上的動(dòng)點(diǎn)距離之和最小值問(wèn)題.

4.C

利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】

因?yàn)椤?(1,—2,1),a—b=(—1,2,—1),

所以萬(wàn)二Q-(q-b)=(l,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,—4,2),

故選：C.

5.C

建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)及平面平面尸環(huán)的法向量就代入

sin6=即可得解.

\PB\-\n\

【詳解】

以點(diǎn)尸為原點(diǎn)，以為無(wú)軸，尸8為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

設(shè)=尸5=PC=2,則A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(l,l,0),F(0,1,1),

PB=(0,2,0),PE=(1,1,0),PF=(0,1,1),

答案第3頁(yè)，共21頁(yè)

設(shè)平面PEF的法向量〃=(x,y,z),

n-PE=尤+y=0

取x=1得w=(1,-1,1),

n-PF=y+z=0

\PB-n\_2_73

設(shè)平面尸3與平面尸￡尸所成角為。，貝I]sin6=

|麗|.而一2若一3

故選：C

本題考查線面角的求法，建立適當(dāng)坐標(biāo)系用空間向量法進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離最小時(shí)，確定點(diǎn)尸的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，

取肱V的中點(diǎn)Q,通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算可知即1尸。1是動(dòng)點(diǎn)尸到直線施V的距離，再由

空間兩點(diǎn)間的距離公式求出IP。I后，利用二次函數(shù)配方可解決問(wèn)題.

【詳解】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,以A為原點(diǎn)，分別為XMZ軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖所示：

1131

則M(：,0,0),W,0,-),腦V的中點(diǎn)。(7,0,丁),

2244

A(o,o,i),c(i,i,o),則而i),

設(shè)尸(rj,z),PC=(l-M-r,-z),

答案第4頁(yè)，共21頁(yè)

由而與正共線，可得9=9=—，所以U1-Z,所以P(l-Z,l-z,z),其中

11—1

0<z<l,

因?yàn)閨兩'|=J(l-z-1)2+(l-z-0)2+(z-0)2=,3Z2-3Z+；,

2222

|7W|=^(l-z-l)+(l-Z-0)+(z-1)=/z-3z+：,

所以|麗j=|西I，所以尸Q，MN,即IPQI是動(dòng)點(diǎn)P到直線MN的距離，

由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得|PQ|=^(l-z-|)2+(l-z-0)2+(z-，=止-3z+：

小-夕+|，

所以當(dāng)c=J時(shí)，1尸。1取得最小值逅，此時(shí)尸為線段C&的中點(diǎn)，

24

由于|MN|=XZ為定值，所以當(dāng)△尸的V的面積取得最小值時(shí)，P為線段CA的中點(diǎn).

4

故選：B

本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了空間兩點(diǎn)間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合法，考

查了二次函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

由乙_1_5，可得萬(wàn)石=0，則有〃7+10-2(m+1)=0,從而可求出加的值,

【詳解】

解：因?yàn)槿f(wàn)_1_5,所以萬(wàn)-5=o,

因?yàn)?=(1,5,-2),b=(m,2,m+l),

所以"7+10-20+1)=0,解得〃z=8,

故選：D

8.A

先設(shè)棱長(zhǎng)為1,算=2(04力41),建立如圖坐標(biāo)系，根據(jù)守=2而計(jì)算點(diǎn)P坐標(biāo)和向

量而，再寫(xiě)出平面ABG的一個(gè)法向量函的坐標(biāo)，根據(jù)sind-cos(而，函構(gòu)建關(guān)系，

答案第5頁(yè)，共21頁(yè)

求其值域即可.

【詳解】

如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,-^=2(0<2<1),則“=幾而,

以。為原點(diǎn)，分別以QA,DC,所在直線為x,y,，軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(i,o,o),c(o,i,o),o[,g,o],故而=恁=(_1,1,0),乖=(-4九0),又4。，0，1),

則所以無(wú)=(1乂_川.

在正方體中，可知體對(duì)角線平面A8G,

所以西=(1,1,1)是平面ABCI的一個(gè)法向量，

所以sin。[cos(而，函)=

所以當(dāng)4=:時(shí)，sin。取得最大值立，當(dāng)x=o或1時(shí)，si“取得最小值Y2.

233

g、1.A/2y/3

所以sm6a?e—.

故選：A.

方法點(diǎn)睛：

求空間中直線與平面所成角的常見(jiàn)方法為：

(1)定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角;

(2)等體積法：不作垂線，通過(guò)等體積法間接求點(diǎn)到面的距離，距離與斜線長(zhǎng)的比值即線

答案第6頁(yè)，共21頁(yè)

面成角的正弦值；

(3)向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對(duì)值，即是線面成角的正

弦值.

9.B

利用空間向量的加法法則和數(shù)乘運(yùn)算可得.

【詳解】

A^E=A^A+AB+BC+CE^-A\+AB+Ai)+~A\=AB+AD-^AAl.

故選：B.

10.D

求得通、AC＞通的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知存在實(shí)數(shù)幾、〃，使得亞=2而+〃/，利

用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于幾、〃、x的方程組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)x的值.

【詳解】

依題意得荏=(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),A5=(.X-4,-2,0),

?.?A、B、C、D四點(diǎn)共面，；.而、AC,而共面，

???存在實(shí)數(shù)X、〃，使得知=4麗+〃/，

x—4=-24—Ju4二—4

即(x—4,—2,0)=(—24—4,22+64—24—8〃)，所以，—2=22+6〃,

解得＜〃=1

0=—2A—8〃x=ll

故選：D.

本題考查利用空間向量法處理四點(diǎn)共面的問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

11.B

—■2—?

根據(jù)題意得到結(jié)合空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

答案第7頁(yè)，共21頁(yè)

【詳解】

__.2__-

因?yàn)锳2：PC=2：3,所以=

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得而=硒+守=硒+|(正-麗)=1麗+|正

=］麗+|(通+耐=|麗+g(通+而)=g麗+|南+|而，

UU.1322

又因?yàn)锳AjU。，AB=b>AD=c>所以AP=y6+15+二乙

故選：B.

12.A

根據(jù)異面直線的定義可判斷仍與CG異面，由題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可判

斷BE與CG不互相垂直.

【詳解】

解：因?yàn)锳D〃BC,AD//EF,所以BC//EF,

所以BC與￡F確定一個(gè)平面a,

所以BEua,

因?yàn)镃wc,Gea,所以8E與CG異面，

因?yàn)檎叫蜛BCD與正方形ADEF互相垂直，平面ABCDn平面ADEF=AD,

￡>Eu平面ADEF且DE_LAD,所以DE_L平面ABC。，又DC_LA。，

所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則3(1,1,0),

￡(0,0,1),c(o,i,o),G1,O,￡|,

所以麗=西=11,-1,￡|,

因?yàn)槎?由=_lxl+(_l)x(_l)+lx：=jw0,

答案第8頁(yè)，共21頁(yè)

所以而與旃不垂直，即的與CG不互相垂直,

故選：A.

13.平行

利用圖形，設(shè)函=工VB=b,VC=c,再結(jié)合比例關(guān)系代換出麗，麗，通過(guò)運(yùn)算可得

_3__?3_?

VAk=-PM+-PN,由此判斷西麗，西共面，從而得出結(jié)論

【詳解】

如圖，設(shè)誣=￡,VB=b,VC=C,貝U麗=

—.?--1-2-2-1--.3.3—.

PN=-VD——VC=-a——b+-c^itVA=-PM+-PN

3333322

誣，麗，麗共面.

又01C平面PMN,

；.以〃平面PMN.

故答案為：平行

本題考查空間坐標(biāo)系中關(guān)于線面平行的判斷，屬于中檔題

14.75-1

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量互相垂直的性質(zhì)，結(jié)合空間兩點(diǎn)間距離公式、三角換

元、輔助角公式進(jìn)行求解即可.

答案第9頁(yè)，共21頁(yè)

【詳解】

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)E(x,2,z),0,(0,0,2),C(0,2,0),所以率=(x,2,z-2),CE=(x,0,z),

因?yàn)镈】E_LCE,所以瓦g.函=0一爐+2(2-2)=0=爐+(2一1)2=1,

\BE\=7(2-X)2+(2-2)2+(0-Z)2=&-4X+4+Z2,

因?yàn)閒+(z-1)2=1,所以令x=cose,2=l+sin*代入上式得：

\BE\=Jcos?夕一4cos，+4+(l+sin=j2sin，-4cos，+6=君sin(，+0)+6,

其中tan^>=2(^e(0,—)),

所以46-2由<\BE\<46+2際=>^-l<|BE|<^+l,

因此忸目的最小值為占一1,

故答案為：舊-1

方法點(diǎn)睛：對(duì)于正方體中關(guān)于線段長(zhǎng)度最值問(wèn)題可以利用解析法.

15.①④⑤

利用展開(kāi)圖判定A、M,N三點(diǎn)共線，進(jìn)而利用相似三角形判定選項(xiàng)①正確;

答案第10頁(yè)，共21頁(yè)

通過(guò)兩個(gè)截面的面積不相等且周長(zhǎng)相等判定②錯(cuò)誤；

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角的余弦值的取值范圍，進(jìn)而判定③錯(cuò)誤；

利用線面垂直得出點(diǎn)E的位置、判定截面的形狀是梯形，利用空間向量求梯形的高，進(jìn)而

求出截面的面積，判定④正確.利用正四面體內(nèi)切球半徑為其正四面體高的可得內(nèi)切

球的表面積.

【詳解】

對(duì)于①：將矩形ACC|A與正方形CGDQ展開(kāi)成一個(gè)平面（如圖所示），

若AV+MV最小，則A、M、N三點(diǎn)共線,

因?yàn)閑q//。'，

所以如=如=4=2-夜，

DNAD4V2+4

所以=（2-虛）ON=2TCC1；

2-72,V2―

BnPn—MC=^^=1-^-,故①正確；

對(duì)于②：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C1重合時(shí)，連接A。、BD、48、AC、AG，（如圖所示）,

B

答案第11頁(yè)，共21頁(yè)

在正方體ABCZ)-A<B[C[_D]中，CC[_I_平面ABCD,

3Z)u平面ABCD,

所以8OJ_CG，

又因?yàn)?。LAC,且ACp|CG=C,

所以BO_L平面ACG,

又AC；u平面ACQ,

所以8OJ.AG，

同理可證AD，AG，

因?yàn)?。中。=。，

所以AG，平面A片。，

易知△AB。是邊長(zhǎng)為40的等邊三角形，

其面積為Si。=#x(4夜了=8。，

周長(zhǎng)為40x3=120;

設(shè)E、F、。、N,G,H分別是AA，44、BBt,BC,CD,的中點(diǎn)，

易知六邊形分QNG〃是邊長(zhǎng)為20的正六邊形，

且平面EFQNGH//平面\BD,

正六邊形EFQNGH的周長(zhǎng)為120，面積為6x3x(2&?=124，

4

則△480的面積小于正六邊形所QVG7?的面積，它們的周長(zhǎng)相等，即②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、所在直線分別為x、V、z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，

答案第12頁(yè)，共21頁(yè)

則A(4,0,0),8(4,4,0),設(shè)M(0,4,〃)(噴必4),

因?yàn)锳M_L平面a,

所以而是平面a的一個(gè)法向量，

且說(shuō)=(-4,4,a),AB=(0,4,0),

|c°s<M麗=烏，

4Va+32>/a+3232

所以直線AB與平面a所成角的正弦值的取值范圍為pg,與,

則直線與平面a所成角的余弦值的取值范圍為[[,?],故③錯(cuò)誤;

對(duì)于④，連接AC、BD,

設(shè)平面。交棱4。于點(diǎn)E(6,0,4),M(0,4,2),

所以畫(huà)？=(T,4,2),

因?yàn)锳M_L平面a,￡>Eu平面a,

所以

答案第13頁(yè)，共21頁(yè)

即國(guó)乙屁=-46+8=0，得6=2，

所以E(2,0,4),

即點(diǎn)E是A2的中點(diǎn)，

同理點(diǎn)尸是48的中點(diǎn)，

則￡尸〃13D且￡FwBD,

所以四邊形ERftD是梯形，且3。=4應(yīng)，EF=2拒,

設(shè)萬(wàn)=詼=(2,0,4),口\,廣(辛,,0),

貝以2=20,小"=/,

所以梯形EFBD的高，即點(diǎn)E到直線的距離，為以?-@好=，20-2=3點(diǎn),

所以梯形EFBD的面積為S=1x(2應(yīng)+472)x372=18,故④正確；

對(duì)于⑤，當(dāng)點(diǎn)〃與點(diǎn)C重合時(shí)，四面體AMR4即為ACR及為正四面體，

棱長(zhǎng)心4應(yīng)，由正四面體的性質(zhì)可得，其內(nèi)切球半徑片4后乎、；=手

所以表面積為4萬(wàn)/=(

故答案為：①④⑤.

解決本題的關(guān)鍵在于熟悉正方體的常見(jiàn)截面形狀，及正四面體的內(nèi)切外接球的性質(zhì)特征,

涉及動(dòng)直線與平面的夾角問(wèn)題一般用空間向量法.

7171

16.了‘5

易證得OD,AC,03,AC,引入輔助角變量，設(shè)N30D=a0w(0,萬(wàn))，以。為原點(diǎn)建立

空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得線面角的正弦值，從而可判斷所求角的范圍.

【詳解】

解：因?yàn)锳B=3C=Cr>=ZM,AB=BA,

所以△ABC=△">(?,

所以NADC=/ASC=90。，

答案第14頁(yè)，共21頁(yè)

又因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，

所以O(shè)D_LAC,O3_LAC,

又ODcOB=O,所以AC_L平面BOD,

設(shè)Z.BOD=a,aG（0,,

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則平面3OD與平面xOz重合，

不妨設(shè)AB=BC=CD=DA=C，

貝1JQ4=O3=OC=OD=1,

則A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(cosa,0,sin?),

111.

￡—cosa,—,—sinCL

iT°r222

則而=

因?yàn)锳C_L平面28,

所以反=（0,1,。）即為平面BOD的一條法向量,

JT

因?yàn)橹本€班與平面28所成角為凡0e0,-

因?yàn)閍e（0,萬(wàn)），所以cosae（-l,l）,

所以sin。e

所以

故答案為:

答案第15頁(yè)，共21頁(yè)

DAZ

17.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析

(1)根據(jù)題意得出赤=癡可證；

(2)通過(guò)證明HE//即可得；

(3)可得四邊形EFGH為平行四邊形，M為EG中點(diǎn)，即可證明.

【詳解】

(1)F,G,H分別是AB,BC,CD,ZM的中點(diǎn)，

：.EF=^AC,HG=^AC,.-.EF=HG，

又E,F,G,H四點(diǎn)不共線，故E,F,G,H四點(diǎn)共面；

(2)：E,X分別是AB,A。的中點(diǎn)，

—.1—、

:.HE=-DB,.-.HE//DB,:.HE//BD,

；HEu平面EFGH,3Da平面EFGH,，8D//平面EFGH；

(3)由(1)知四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點(diǎn)，

-E,G分別是AS,C。的中點(diǎn)，

:.OM=-(OE+OG)=--(OA+OB)+-(OC+OD)\=-(OA+OB+OC+OD)

22|_22J4

18.⑴姮

15

亞

13

答案第16頁(yè)，共21頁(yè)

(1)證得。A，OB，OC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角坐標(biāo)公式即

可求出異面直線成角；

(2)利用空間向量的夾角坐標(biāo)公式求出二面角的余弦值，再利用同角的平方關(guān)系即可求出

結(jié)果.

⑴

取助的中點(diǎn)0,連接AQ,0C,因?yàn)锳BC。為菱形，所以4。，8。，。，3。,且

COcAO=O,故平面A。。，又因?yàn)槠矫鍭3。，平面BC。，所以平面

BCD,因此O4,OB，OC兩兩垂直，從而以。為原點(diǎn)，。3所在直線為x軸，0C所在直線

為y軸，。4所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

所以。(0,0,0)，4(0,0,2),。(0,2,0),2(1,0,0),。(一1,0,0),石(0,1,1),歹(；,：0

所以常=(1,0,—2),痂=(1,1,1),

所以直線與/汨所成角的余弦值為

|福?詼||lxl+0x2+(-2)xl|715

研|西^12+02+(-2)2XV12+12+12*15，

故直線AB與DE所成角的余弦值為叵.

15

(2)

由⑴中過(guò)程知覺(jué)=。,2,0),而=\,；,0),

設(shè)平面DEF和平面DEC的法向量分別為7〃=(%,%,%),D尸=(x?,%,Z2),

m?DE=玉+%+Z[=0

則，一71，令%=2,則m=(2,—7,5),

m?DF=—%]+—y=0

I4121

答案第17頁(yè)，共21頁(yè)

則「三=尤2+%+22=。

令%=1,貝U〃=(-2,1,1)，

、1萬(wàn)?DC=x2+2y2=0

設(shè)二面角b-DE-C的平面角為a,由圖可知

|2x(-2)+(-7)xl+5xl|

m-n6_1

貝°cosa-22222

^2+(-7)+5X7(-2)+1^+1

屈x卮岳

所以二面角尸-DE-C的平面角的正弦值為觀.

13

19.(1)姮(2)獨(dú)^

1513

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結(jié)果；

(2)先求兩個(gè)平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)

系得結(jié)果.

【詳解】

(1)連COQBC=CD,BO=OD:.COLBD

以O(shè)B,OC,OA為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

A(0,0,2),3(1,0,0),C(0,2,0),￡>(-1,0,0)/.E(0,l,l)

uunuumuunuum_i后

AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1)?.cos<AB,DE>=^二-

V5V315

從而直線AB與DE所成角的余弦值為姮

15

答案第18頁(yè)，共21頁(yè)

(2)設(shè)平面DEC一個(gè)法向量為1=(x,y,z),

^-DC=0x+2y=0

■,-DC=(1,2,0),

^-DE=0x+y+z=0

u

令y=1x=—2,z=1二.4=(—2,1,1)

uu

設(shè)平面DEF一個(gè)法向量為%=a，x，Z1),

一一一一1—71n-DF=0

?.Z)F=Z)B+BF=Z)B+-BC=(-,-,0)J2

442%?DE=0

xi+yi+zl=0

LU

令y=—7Xy=2,Z]=5二.％=(2,—7,5)

ITw_61

COS<%%>=-7=~~=—

V6V78V13

中八八V122回

因止匕sine=S==W—

V1313

本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

20.(1)aH—Z?+c；(2)—Q+b~\—c；(3)—QH—b-\—c.

22222

(1)(2)根據(jù)向量加法的三角形法則表示即可；

(3)根據(jù)空間向量的線性表示，用e和G分別表示出加和的