矩形的判定（教學設計）八年級數(shù)學下冊系列（人教版）

人教版初中數(shù)學八年級下冊

18.2.2矩形的判定教學設計

一、教學目標：

1.經(jīng)歷矩形判定定理的猜想與證明過程，理解并掌握矩形的判定定理.

2.能應用矩形的判定解決簡單的證明題和計算題.

二、教學重、難點：

重點：矩形判定定理的運用.

難點：矩形判定方法的理解及應用.

三、教學過程：

復習回顧

憶一憶

1.矩形的定義：

有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2.矩形的性質：

矩形的四個角都是直角；

矩形的對角線相等.

知識精講

想一想

工人師傅做鋁合金窗框，分下面三個步驟進行:

AB

CD

①

E-F

GH③U④口

(1)先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料，如圖①，使AB=CD,EF=GH；

(2)擺放成如圖②所示的四邊形，則這時窗框的形狀是根據(jù)的數(shù)學道理是

(3)將直角尺靠窗框的一個角，如圖③，調(diào)整窗框的邊框，當直角尺的兩條直角邊與窗框無縫

隙時，如圖④，說明窗框合格，這時窗框是_____,根據(jù)的數(shù)學道理是.

工人師傅在做門窗或矩形零件時，不僅要測量兩組對邊的長是否分別相等，常常還要測量

它們的兩條對角線是否相等，以確保圖形是矩形.你知道其中的道理嗎？

思考：我們知道，矩形的對角線相等.反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？

猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.

已知：四邊形ABCD是平行四邊形，且AC=BD.

求證：四邊形ABCD是矩形.

證明：四形邊ABCD是平行四邊形

AB=DC,AB〃DC

又AC=BD,BC=CB

AABC^ADCB(SSS)

ZABC=ZDCB

AB〃DC

ZABC+ZDCB=180°

，ZABC=90°

...四邊形ABCD是矩形

矩形的判定定理1：對角線相等的平行四邊形是矩形.

幾何符號語言：

???四邊形ABCD是平行四邊形，且AC=BD

四邊形ABCD是矩形

想一想：對角線互相平分且相等的四邊形是矩形嗎？為什么？

典例解析

例1.如圖，在。ABCD中，對角線AC,BD相交于點0,且0A=0D,Z0AD=50°.求N0AB的度

二OA=OC=iAC,OB=OD=iBD

22

又OA=OD

AC=BD

四邊形ABCD是矩形

ZDAB=90°

又ZOAD=50°

I.Z0AB=40o

【針對練習】如圖，OABCD的對角線AC、BD相交于點0,AOAB是等邊三角形，且AB=4,求

OABCD的面積.

解：?；四邊形ABCD是平行四邊形

/.AC=2A0,BD=2B0

,/AOAB是等邊三角形

，A0=B0=AB=4

二AC=BD=8

...四邊形ABCD是矩形

Z.ZABC=90°

，在RtaABC中，BC=A/AC2-AB2=<82-42=4A/3

SnABco=ABXBC=4X4V3=16百

例2.已知在四邊形ABCD中，作AE〃BC交BD于0點且OB=OD,交DC于點E,連接BE,ZABD

=ZEAB,ZDBE=ZEBC.求證：四邊形ABED為矩形.

證明：VZABD=ZEAB,

/.OA=OB,

?.?AE〃BC,

/.ZAEB=ZEBC,

VZDBE=ZEBC,

ZAEB=ZDBE,

.\OE=OB,

.\OA=OE,

VOB=OD,

二四邊形ABED是平行四邊形，

VOA=OB,OA=OE,OB=OD,

/.OA=OE=OB=OD,

/.AE=BD,

???平行四邊形ABED為矩形.

【針對練習】如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,E、F、G、H分別是AO、BO、C0、

DO上的一點，且AE=BF=CG=DH.求證：四邊形EFGH是矩形.

證明：???四邊形ABCD是矩形，

AAC=BD,AO=BO=CO=DO,

AE=BF=CG=DH,

/.OE=OF=OG=OH,

四邊形EFGH是平行四邊形，

VE0+0G=F0+0H,

即EG=FH,

四邊形EFGH是矩形.

知識精講

思考：前面我們研究了矩形的四個角，知道它們都是直角.它的逆命題成立嗎？即四個角都是

直角的四邊形是矩形嗎？進一步，至少有幾個角是直角的四邊形是矩形？

已知:如圖，在四邊形ABCD中,ZA=ZB=ZC=90.

求證：四邊形ABCD是矩形.

AD

BC

證明：；ZA=ZB=ZC=90,

/.ZA+ZB=180,ZB+ZC=180,

，AD〃BC,AB〃CD.

...四邊形ABCD是平行四邊形，

二四邊形ABCD是矩形.

矩形的判定定理2：有三個角是直角的四邊形是矩形.

AD

BC

幾何符號語言:

,/ZA=ZB=ZC=90°

四邊形ABCD是矩形

典例解析

例3.如圖，平行四邊形ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H,求證：四邊形環(huán)'陽

是矩形.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形

AAB//CD

I.ZABC+ZBCD=180°

?；BG平分/ABC,CG平分/BCD

/.ZGBC+ZGCB=1(ZABC+ZBCD)=90°

即NG=90°

同理NE=90°,ZAFB=90°

ZGFE=90°

四邊形EFGH是矩形

【針對練習】已知：如圖，P，B,C在同一條直線上，BD,BE分別是NABC與ZABP的平分線,

AE1BE,AP1BD,E,D為垂足.求證：四邊形AEBD是矩形.

A

PBC

證明：.北。，BE分別是乙4BC與乙4BP的平分線，

:.ZABE=沁BP/ABD=jzABC,

???ZABP+ZABC=180°

ZABE+ZABD=1zABP+|zABC=|(zABP4-zABC)=90°,

即NDBE=90°,

vAE1BE,AP1BD,???zE=ZD=90°,

四邊形AEBD是矩形.

例4.如圖，在aABC中，AB=AC,AD±BC,垂足為D,AN是AABC外角NCAM的平分線，CE±AN,

垂足為E,求證：四邊形ADCE為矩形.

證明:在AABC中，AB=AC,AD1BC,

，ZBAD=ZDAC,即ZDAC=|ZBAC.

又TAN是AABC外角ZCAM的平分線，

/.ZMAE=ZCAE=|ZCAM,

/.ZDAE=ZDAC+ZCAE=|(ZBAC+ZCAM)=90°.

又,.,AD_LBC,CE±AN,

AZADC=ZCEA=90°,

...四邊形ADCE為矩形.

例5.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3.若點P是CD上任意一點，如圖①，PE_LBD于點E,PF±AC

于點F.

⑴猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出你的理由.

⑵當點P是AD上任意一點時，如圖②，猜想PE和PF之間的數(shù)量關系

⑶當點P是DC上任意一點時，如圖③,猜想PE和PF之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出推理過程.

(1)解：連接OP,如圖,

①

設點C到BO的距離為刈.

在RtABCD中，BO=y/BC2+CD2=<32+42=5,

由SABCD/BD?h1=卯58,得

,BCCD3x412

九1二----=——=—?

1BD55

???四邊形48C。是矩形，

???0C—0D,

由SACOO=SADOP+SHOP，得，

111

上0D?hi=±0D?PE+；OC,PF,

2122

化簡得PE+PF=后=￡.

(2)解：PE+PF=y,理由見解析,

連接OP，如下圖：

②

設點。到AD的距離為h2，

由(1)得0D=0A=|,h2=2,

T^AAOD=^AOPD+S/XOPA，

.---X3X2=-X-PE+-X-PF,

22222

PE+PF=J,

(3)解：PE-PF=y,理由如下:

連接OP、BP,如圖.

由SABPD=SACOD+S四邊形BOCP

=SACOD+SACOP+SABOP，

lBD.PE=10D.h1+10C.PF+10B.PE,

化簡得2PE=%+PE+PF,

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？

【設計意圖】培養(yǎng)學生概括的能力。使知識形成體系，并滲透數(shù)學思想方法。

達標檢測

1.在數(shù)學活動課.上,老師讓同學們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是某合作小組的四位

同學擬定的方案，其中正確的是（）

A.測量對角線是否互相平分B.測量兩組對邊是否分別相等

C.測量一組對角是否為直角D.測量其中三個角是否為直角

ABCD中，下列條件:①AB=BC;②AC=BD;③ACJ_BD;④AC平分NBAD.其中能說明平行四邊形ABCD

是矩形的是（）

A.①B.②C.③D.④

3.如圖，在。ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,且OA=OB.若AD=4,ZABD=30°,則AB的

長為（）

A.4V3B.2V3C.8D.88

4.如圖，在AABC中，AC的垂直平分線分別交AC,AB于點D、F,BEJ_DF交DF的延長線于點

E,已知NA=30°,BC=2,AF=BF,則四邊形BCDE的面積是（）

V3V3V5V5

5.如圖，是四根木棒搭成的平行四邊形框架，AB=8cm,AD=6cm,使AB固定，轉動AD,當N

D口AB=_____時，LIABCD的面積最大，此時口ABCD是形，面積為cm2.

6.如圖，在矩形ABCD中，M為AD邊的中點，P為BC上一點，PE1MC,PF±MB,當AB、BC

滿足條件時，四邊形PEMF為矩形.

M

AD

7.如圖，在矩形ABCD中AD=3,CD=4,點P是AC上一個動點(點P與點A,C不重合)，過點P

分別作PEJLBC于點E,PF//BC交AB于點F,連接EF,則EF的最小值為.

8.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,點M,N,P,Q分別是AB,BC,CD,DA

的中點.求證：四邊形MNPQ是矩形.

D

B

9.如圖，一張矩形紙片ABCD,點E在邊AB上，將4BCE沿直線CE對折，點B落在對角線AC

上，記為點F.

(1)若AB=4,BC=3,求AE的長.

⑵連接DF,若點D,F,E在同一條直線上，且DF=2,求AE的長.

DC

10.如圖，在四邊形4BC0中，AD//BC,ZB=9O°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,動點P從

點A開始沿AD邊向點D以\cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以Zcm/s

的速度運動，動點P，Q分別從點4C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停

止運動，設運動的時間為t秒.

(1)當t為何值時，四邊形為矩形？

⑵當t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？

1.D

2.B

3.A

4.A

5.90°,矩，48

6.AB=；1BC

2

8.證明：設AC與BD交于點0,AC與QM交于點F,BD與PQ交于點E,

D

B

VAB=AD,CB=CD,

二點/與點。都在BD的垂直平分線上，

，AC是BD的垂直平分線，即AC1BD,

ZAOD=90°,

?.?點也N,N,P,。分別是AB,BC,CD,DA的中點,

，MQ〃BD,PQ//AC,

四邊形OEQF是平行四邊形，

又ZA0D=90°,

四邊形OEQF是矩形，

."MQP=ZAOD=90°,

同理：zQMN=ZMNP=90°,

二四邊形MNPQ是矩形.

9.(1)解：如圖，矩形紙片48(力中，

*8=4,BC=3,

故由勾股定理可得/C=5.

由折疊知：FC=BC=3,/EFC=/B=90°,BE=FE.

.*.AF=AC-FC=5-3=2,

設｛E=x,則BE=4-x=FE.

在Rt/XAFE中，22+(4-x)2=x2,

解得：x