2023年高考分類題庫考點(diǎn)20 平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用舉例_第1頁
2023年高考分類題庫考點(diǎn)20 平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用舉例_第2頁
2023年高考分類題庫考點(diǎn)20 平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用舉例_第3頁
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考點(diǎn)20平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用舉例4.(2023·全國甲卷·理科·T4)向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,則cos<a-c,b-c>=()A.-15 B.-25 C.25 【解析】選D.因?yàn)閍+b+c=0,所以a+b=-c,即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+2a·b=2,所以a·b=0.如圖,設(shè)=a,=b,=c,由題知,OA=OB=1,OC=2,△OAB是等腰直角三角形,AB邊上的高OD=22,AD=2所以CD=CO+OD=2+22=3tan∠ACD=ADCD=13,cos∠ACD=cos<a-c,b-c>=cos∠ACB=cos2∠ACD=2cos2∠ACD-1=2×3102-1=3.(2023·全國甲卷·文科·T3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),則cos<a+b,a-b>=()A.117 B.1717 C.55 【解析】選B.因?yàn)閍=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),則|a+b|=52+3|a-b|=1+1=2,(a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,所以cos<a+b,a-b>=(=234×26.(2023·全國乙卷·文科·T6)正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點(diǎn),則·=()A.5 B.3 C.25 D.5【解析】選B.方法一:以{,}為基底向量,可知||=||=2,·=0,則=+=12+,=+=-12+,所以·=12+·-12+=-14+=-1+4=3;方法二:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,則E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得=(1,2),=(-1,2),所以·=-1+4=3;方法三:由題意可得:ED=EC=5,CD=2,在△CDE中,由余弦定理可得cos∠DEC=DE2+CE所以·=||||cos∠DEC=5×5×35=3.14.(2023·天津高考)在△ABC中,∠A=60°,||=1,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),若設(shè)=a,=b,則可用a,b表示為;若=13,則·的最大值為.

【解析】在△ABC中,∠A=60°,||=1,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),=a,=b,則=12(+)=14+12=14a+12b;設(shè)||=x,||=y,由余弦定理可得:1=x2+y2-xy,又x2+y2≥2xy,即xy≤1,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號.又=13,則=+13=+13(-)=23+13=23a+13則·=14a+12b·23a+13b=112(2a2+5a·b+2b2)=1

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