2024-2025學年高一上學期初高中數學銜接知識-第五講 三角形及其應用【課件】

第五講三角形及其應用(1)三角形三個內角的和等于____°,三個外角和為____°；一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的____；一個外角大于任何一個和它不相鄰的______；(2)三角形的任意兩邊之和_____第三邊,任意兩邊之差______第三邊.1.三角形的邊角關系180360和內角大于小于一、基礎知識回顧(1)按角分類：_______三角形、________三角形、______三角形；(2)按邊分類：_______三角形,______三角形、______三角形.2.三角形的分類銳角直角鈍角不等邊等腰等邊3.三角形全等的性質全等三角形的________相等，__________相等對應邊對應角(1)兩邊及其_______對應相等的兩個三角形全等(2)兩角及其_______對應相等的兩個三角形全等(3)兩角及其_______________對應相等的兩個三角形全等(4)_______邊對應相等的兩個三角形全等(5)斜邊和一條_______對應相等的兩個直角三角形全等4.三角形全等的判定：夾角夾邊一角所對的邊三直角邊初中數學資源網一、外心ABCABCABCABCABCABCABC三角形三邊的中垂線交于一點，這一點為三角形外接圓的圓心，稱外心。證明外心定理證明:設AB、BC的中垂線交于點O，則有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂線上，因為O到三頂點的距離相等，故點O是ΔABC外接圓的圓心．因而稱為外心．OO三角形的四心初中數學資源網二、垂心ABCABCABC三角形三邊上的高交于一點，這一點叫三角形的垂心。DEF證明:AD、BE、CF為ΔABC三條高，過點A、B、C分別作對邊的平行線相交成ΔA′B′C′，AD為B′C′

的中垂線；同理BE、CF也分別為

A′C′、A′B′的中垂線，由外心定理，它們交于一點，命題得證．證明垂心定理A′B′C′初中數學資源網三、重心ABCABCABC三角形三邊中線交于一點，這一點叫三角形的重心。證明重心定理

E

F

D

G例2．證明：三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍．另證:

A

B

C

E

F

D

G重心想想看？初中數學資源網四、內心ABCABCABCABCABC三角形三內角平分線交于一點，這一點為三角形內切圓的圓心，稱內心。證明內心定理證明:設∠A、∠C的平分線相交于I,

過I作ID⊥BC，IE⊥AC，

IF⊥AB，則有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分線上，即三角形三內角平分線交于一點．II

E

F

D二、命題趨向分析三角形三邊的關系（選擇、填空為主）三角形內角和定理、外角與內角的關系、外角和定理（選擇、填空及簡單的計算題為主）三角形分類（選擇為主）三角形的中線、高線、角平分線（選擇及簡單的計算）直角三角形角的關系、邊的關系（計算、填空、證明題為主）等腰三角形、等邊三角形的性質（填空、計算、證明題為主）全等三角形的判定和性質（簡答題，證明題為主）例1．解答下列各題

(1)長度分別為10cm，12cm，22cm的三條線段是否能構成三角形。

(2)已知三角形兩邊長分別為7和5，求第三邊x的取值范圍。

解：

(2)由于三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，故三角形中任意兩邊之差＜x＜兩邊之和，因此第三邊2＜x＜12，

三、典型問題分析(3)已知等腰三角形兩邊長分別為8cm，13cm。求這個三角形的周長。解：①當8cm長的一邊為底邊時，腰長就為13，這時三角形三邊分別為8，13，13，

而8＋13＝21＞13即兩較小邊之和大于第三邊故一定能組成三角形，此時周長為8＋13＋13＝34cm。

②當13cm長的邊為底邊時，腰長8cm，這時三邊分別為：8、8、13，而兩較小邊之和大于第三邊，即8＋8＞13，此時也能組成三角形，周長為8＋8＋13＝29cm。所以，這個三角形的周長為29cm或34cm。(4)三角形三內角度數之比為∠A:∠B:∠C＝3:4:5，求各內角度數。

解：(4)設∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°

∴3x＋4x＋5x＝180∴x＝15

∴∠A＝45°∠B＝60°∠C＝75°

（5）如果a,b,c表示ΔABC的三邊長，那么=___________。（6）等腰三角形有一個角50°，求另外兩個角的度數分別為

______________________.

50°,80°或65°,65°（7）等腰三角形有一個角是100°，求另外兩個角的度數分別為___________.40°,40°（9）如圖,AD與BC相交于點O,∠B=40°,∠D=70°,∠C=30°，則

∠A=____.ACDBO40°70°30°?60°（8）如圖,AC⊥DC，∠ABD=130°,則

∠A=______.130°ABCD？40°如圖，在△ABC中，BF與CE交于點D.(3)請用幾何道理說明為何

∠2一定大于∠A.(1)圖中共有________個三角形.BACBDEF1(2)∠BDC是_____的內角,是_____________的外角.8△BDC△BDE,△CDF★

三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。解：∵∠2是△DCF的外角

∴∠2＞∠1

∵∠1是△AFB的外角

∴∠1＞∠A

∴∠2＞∠A2若BF和CE分別平分∠ABC和∠ACB.ACBDEF如圖，在△ABC中，BF與CE交于點D,12(1)則∠1=____,∠2=____∠ABC∠ACB(2)已知∠A=40°,求∠BDC的度數.

已知∠BDC=130°,求∠A的度數.★三角形的三個內角和等于180°.如圖,A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A,B間的距離，但繩子不夠長，他叔叔想了一個方法：先在地上取一個可以直接到達A點和B點的點C，連接AC并延長到D,使CD=AC；連接BC并延長到E，使CE=CB；連接DE并測量出它的長度；(1)DE=AB嗎？請說明理由；(2)如果DE的長度是8m,則AB的長度是多少？ACDBE四、解題方法與技巧例一：如圖所示，AD為三角形ABC的中線，E為AC上一點，連結BE交AD于F，且AE=FE.求證：BF=ACABDCEFM倍長中線法例二：已知，如圖，在三角形ABC中，AB<AC，AD是∠BAC的平分線，∠B=2∠C，求證：AC=AB+BDECABD截長補短例三：已知，如圖，AB=14，AC=10，AD平分∠BAC，CE⊥AD于點E，M為BC邊中點求：線段ME的長FMEDCBA如果有與角平分線垂直的線段時，常把它延長與角的邊相交構造等腰三角形五、鞏固練習（1）如圖△ABC