小學(xué)奧數(shù)容斥原理之最值問(wèn)題

小學(xué)奧數(shù)容斥原理

之最值問(wèn)題

"班仁罩學(xué)目混

1.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；

2.掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.

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一、兩量重疊問(wèn)題

在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算.求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地

把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)

數(shù)，用式子可表示成：AB=A+B-A8（其中符號(hào)“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思：符

號(hào)“”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思.）則稱(chēng)這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱(chēng)容斥原理.圖示如下:A

表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB,即陰影面積.圖示如下:

A表示小圓部分，8表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB,即陰影面積.

1.先包含——A+B

重疊部分/口8計(jì)算了2次，多加了1次:

2.再排除——A+B-AQB

把多加了1次的重疊部分/n8減去.

包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合4B的并集A8的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：

第一步：分別計(jì)算集合A、B的元素個(gè)數(shù)，然后加起來(lái)，即先求A+B（意思是把A、B的一切元素都“包含”

進(jìn)來(lái)，加在一起）；

第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去C=A8（意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)）.

二、三量重疊問(wèn)題

A類(lèi)、8類(lèi)與C類(lèi)元素個(gè)數(shù)的總和=4類(lèi)元素的個(gè)數(shù)+8類(lèi)元素個(gè)數(shù)+C類(lèi)元素個(gè)數(shù)-既是A類(lèi)又是8

類(lèi)的元素個(gè)數(shù)-既是8類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)-既是A類(lèi)又是C類(lèi)的元素個(gè)數(shù)+同時(shí)是A類(lèi)、8類(lèi)、C類(lèi)

的元素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為：ABC=A+B+C-AB-BC-AC+ABC.圖示如下：

圖中小圓表示/的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示6的元素的個(gè)數(shù)，大圓

表示C的元素的個(gè)數(shù).

-----------------------------------------------------------\

\重疊部分力08、8nc、cn/重疊了2次，多加了1次.

2.再才非除：A+B+C-AHB-BnC-AnC

重疊部分/n^nc重疊了3次，但是在進(jìn)行/+8+。-

/n8-8nc-/nc計(jì)算時(shí)都被減掉了.

3.再包含：A+B+C-AQB-BQC-AClC+AnBQC.J

在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí),我們甯常利用圓圈圖（韋恩圖）來(lái)幫助分析思考.

【例1】“走美”主試委員會(huì)為三?八年級(jí)準(zhǔn)備決賽試題。每個(gè)年級(jí)12道題，并且至少有8道題與其他各

年級(jí)都不同。如果每道題出現(xiàn)在不同年級(jí)，最多只能出現(xiàn)3次。本屆活動(dòng)至少要準(zhǔn)備道

決賽試題。

【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，4年級(jí)，決賽，第9題

【解析】每個(gè)年級(jí)都有自己8道題目，然后可以三至五年級(jí)共用4道題目，六到八年級(jí)共用4道題目，總

共有8x6+4x2=56(道)題目。

【答案】56題

【例2】將1?13這13個(gè)數(shù)字分別填入如圖所示的由四個(gè)大小相同的圓分割成的13個(gè)區(qū)域中，然后把

每個(gè)圓內(nèi)的7個(gè)數(shù)相加，最后把四個(gè)圓的和相加，問(wèn)：和最大是多少？

【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空

【解析】越是中間，被重復(fù)計(jì)算的越多，最中心的區(qū)域被重復(fù)計(jì)算四次，將數(shù)字按從大到小依次填寫(xiě)

于被重復(fù)計(jì)算多的區(qū)格中，最大和為：

13x4+(12+11+10+9)x3+(8+7+6+5)x2+(4+3+2+1)=240.

【答案】240

【例3】如圖，5條同樣長(zhǎng)的線段拼成了一個(gè)五角星.如果每條線段上恰有1994個(gè)點(diǎn)被染成紅色，那么

在這個(gè)五角星上紅色點(diǎn)最少有多少個(gè)？

【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空

【解析】如下圖，下圖中“一”位置均有兩條線段通過(guò)，也就是交點(diǎn)，如果這些交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的線段都在

位置恰有紅色點(diǎn)，那么在五南星上重疊的紅色點(diǎn)最多，所以此時(shí)顯現(xiàn)的紅色點(diǎn)最少，有

1994x5-(2-1)x10=9960個(gè).

【答案】9960

[例4]某班共有學(xué)生48人，其中27人會(huì)游泳，33人會(huì)騎自行車(chē)，40人會(huì)打乒乓球.那么，這個(gè)班至

少有多少學(xué)生這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)？

【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空

【解析】(法1)首先看至少有多少人會(huì)游泳、自行車(chē)兩項(xiàng)，由于會(huì)游泳的有27人，會(huì)騎自行車(chē)的有33

人，而總?cè)藬?shù)為48人，在會(huì)游泳人數(shù)和會(huì)騎自行車(chē)人數(shù)確定的情況下，兩項(xiàng)都會(huì)的學(xué)生至少有

27+33-48=12人，再看會(huì)游泳、自行車(chē)以及乒乓球三項(xiàng)的學(xué)生人數(shù)，至少有12+40-48=4人.

該情況可以用線段圖來(lái)構(gòu)造和示意：

23]24

M1一-1可1627[284可.

總?cè)藬?shù)?-----------*..........—1--------------------------?48人

游泳,---------------------27人

自行車(chē)----------------------------33人

游泳?-----------?一-----------------40人

(法2)設(shè)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的人有x人，只會(huì)兩項(xiàng)的有y人，只會(huì)一項(xiàng)的有z人,

那么根據(jù)在統(tǒng)計(jì)中會(huì)”項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的學(xué)生被統(tǒng)計(jì)〃次的規(guī)律有以下等式：

3JC+$+z=2-1+3：

<x+y+z448

x,y,z>0

由第一條方程可得到z=100-3x-2y,將其代入第二條式子得到：

10-0x^,y<,即2x+y252①

而第二條式子還能得到式子x+y448,即2x+yW48+x②

聯(lián)立①和②得到48+52,即x±4.可行情況構(gòu)造同上.

【答案】4

【鞏固】某班有50名學(xué)生，參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有23人，參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有2()人，

每人最多參加兩科，那么參加兩科的最多有人.

【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空

【解析】根據(jù)題意可知，該班參加競(jìng)賽的共有28+23+20=71人次.由于每人最多參加兩科，也就是說(shuō)有

參加2科的，有參加1科的，也有不參加的，共是71人次.要求參加兩科的人數(shù)最多，則讓這71

人次盡可能多地重復(fù)，而71+2=351,所以至多有35人參加兩科，此時(shí)還有1人參加1科.

那么是否存在35人參加兩科的情況呢？由于此時(shí)還有1人是只參加一科的，假設(shè)這個(gè)人只參加

教學(xué)一科，那么可知此時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科的共有(28+22-20)+2=15人，參加語(yǔ)文、英語(yǔ)兩

科的共有28-15=13人，參加數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科的共有20-13=7人.也就是說(shuō)，此時(shí)全班有15人

參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科，13人參加語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科，7人參加數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科，1人只參加數(shù)學(xué)1

科，還有14人不參加.檢驗(yàn)可知符合題設(shè)條件.所以35人是可以達(dá)到的，則參加兩科的最多有

35人.(當(dāng)然本題中也可以假設(shè)只參加一科的參加的是語(yǔ)文或英語(yǔ))

【答案】35

［鞏固)60人中有-的人會(huì)打乒乓球，-的人會(huì)打羽毛球，士的人會(huì)打排球，這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的人有22人，

345

問(wèn)：這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不會(huì)的最多有多少人？

【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空

【解析】設(shè)只會(huì)打乒乓球和羽毛球兩項(xiàng)的人有x人，只會(huì)打乒乓球和排球兩項(xiàng)的有y人，只會(huì)打羽毛球和

排球兩項(xiàng)的有z人.由于只會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中的一項(xiàng)的不可能小于0,所以x、y、z有如下關(guān)系：

44(x+y+癖

<45-(x+z+

4&(y+z+熠

將三條關(guān)系式相加，得到x+y+z433,而60人當(dāng)中會(huì)至少一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)有

40+45+48—(x+y+z)—2x22456人，所以60人當(dāng)中三項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)最多4人(當(dāng)x、y、

z分別取7、11、15時(shí)，不等式組成立).

【答案】4

［例5］圖書(shū)室有100本書(shū)，借閱圖書(shū)者需在圖書(shū)上簽名.已知這100本書(shū)中有甲、乙、丙簽名的分別

有33,44和55本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書(shū)為29本，同時(shí)有甲、丙簽名的圖書(shū)為25本，

同時(shí)有乙、丙簽名的圖書(shū)為36本.問(wèn)這批圖書(shū)中最少有多少本沒(méi)有被甲、乙、丙中的任何一人

借閱過(guò)？

【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空

【解析】設(shè)甲借過(guò)的書(shū)組成集合A,乙借過(guò)的書(shū)組成集合B,丙借過(guò)的書(shū)組成集合C.同=33,網(wǎng)=44,|C|

=55,1AB\=29,|AC|=25,\BC\=36.

本題只需算出甲、乙、丙中至少有一人借過(guò)的書(shū)的最大值，再將其與100作差即可.

|ABC|=|A|+|B|+|C|-|A51TAC\-\BC\+\ABC\,

當(dāng)BC|最大時(shí)，BC|有最大值.也就是說(shuō)當(dāng)三人都借過(guò)的書(shū)最多時(shí)，甲、乙、丙中

至少有一人借過(guò)的書(shū)最多.

而B(niǎo)C|最大不超過(guò)網(wǎng)、網(wǎng)、|C|、|A卻、\BC\,\AC\6個(gè)數(shù)中的最小值，所以

|ABC|最大為25.此時(shí)BC|=33+44+55-29-25-36+25=67,即三者至少有一人借過(guò)的書(shū)

最多為67本，所以這批圖書(shū)中最少有33本沒(méi)有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過(guò).

【答案】33

【鞏固】甲、乙、丙都在讀同-一本故事書(shū)，書(shū)中有100個(gè)故事.每個(gè)人都從某一個(gè)故事開(kāi)始，按順序往

后讀.已知甲讀了75個(gè)故事，乙讀了60個(gè)故事，丙讀了52個(gè)故事.那么甲、乙、丙3人共同

讀過(guò)的故事最少有多少個(gè)？

甲40,甲、乙35,乙25,

丙52

【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空

【解析】考慮甲乙兩人情況，有甲乙都讀過(guò)的最少為：75+60-100=35個(gè)，此時(shí)甲單獨(dú)讀過(guò)的為75-35=40

個(gè)，乙單獨(dú)讀過(guò)的為60-35=25個(gè)；欲使甲、乙、丙三人都讀過(guò)的書(shū)最少時(shí)，應(yīng)將丙讀過(guò)的書(shū)盡

量分散在某端，于是三者都讀過(guò)書(shū)最少為52-40=12個(gè).

【答案】12

【例6】某數(shù)學(xué)競(jìng)賽共160人進(jìn)入決賽，決賽共四題，做對(duì)第一題的有136人，做對(duì)第二題的有125人，

做對(duì)第三題的有118人，做對(duì)第四題的有104人。在這次決賽中至少有一得滿分。

【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】5星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】走美杯，5年級(jí)，決賽，第10題

【解析】設(shè)得滿分的人都做對(duì)3道題時(shí)得滿分的人最少，有136+125+118+104-160x3=3(人)。

【答案】3人

【例7］某班有46人，其中有4()人會(huì)騎自行車(chē)，38人會(huì)打乒乓球，35人會(huì)打羽毛球，27人會(huì)游泳，

則該班這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的至少有人。

【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】5星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試

【解析】不會(huì)駒?車(chē)的6人，不會(huì)打乒乓球的8人，不會(huì)羽毛球的11人，不會(huì)游泳的19人，那么至少不會(huì)

一項(xiàng)的最多只有6+8+11+19=44人，那么思想都會(huì)的至少44人

【答案】44人

【例8】在陽(yáng)光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水，已知甲澆了30盆，乙澆了75

盆，丙澆了80盆，丁澆了90盆，請(qǐng)問(wèn)恰好被3個(gè)人澆過(guò)的花最少有多少盆？

【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】5星【題型】填空

【解析】為了恰好被3個(gè)人澆過(guò)的花盆數(shù)量最少，那么被四個(gè)人澆過(guò)的花、兩個(gè)人澆過(guò)的花和一個(gè)人澆過(guò)

的花數(shù)量都要盡量多，那么應(yīng)該可以知道被四個(gè)人澆過(guò)的花數(shù)量最多是30盆，那么接下來(lái)就變

成乙澆了45盆，丙澆了50盆，丁澆60盆了，這時(shí)共有10()-30=70盆花，我們要讓這70盆中

恰好被3個(gè)人澆過(guò)的花最少，這就是簡(jiǎn)