專題04 生活的軸對稱（考題猜想易錯必刷43題11種題型專項訓(xùn)練）（解析版）-2023-2024學(xué)年7下數(shù)學(xué)期末考點大串講（北師大版）

專題04生活的軸對稱（易錯必刷43題11種題型專項訓(xùn)練）角平分線的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)等邊三角形的判定與性質(zhì)軸對稱的性質(zhì)利用軸對稱設(shè)計圖案翻折變換（折疊問題）線段垂直平分線的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)生活中的軸對稱現(xiàn)象作圖-軸對稱變換軸對稱-最短路線問題

一．角平分線的性質(zhì)（共11小題）1．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為（）A．1 B．6 C．3 D．12【答案】C【解答】解：過點D作DH⊥BC交BC于點H，如圖所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分線，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴點D是直線BC外一點，∴當(dāng)點P在BC上運動時，點P運動到與點H重合時DP最短，其長度為DH長等于3，即DP長的最小值為3．故選：C．2．在Rt△ABC中，如圖所示，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，點D到AB的距離DE＝3.8cm，則BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm【答案】C【解答】解：∵∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，在Rt△BDE中，BD＝2DE＝7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC＝DE＝3.8，∴BC＝BD+DC＝7.6+3.8＝11.4．故選：C．3．如圖，直線l1，l2，l3表示三條相交叉的公路．現(xiàn)在要建一個加油站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地點有（）A．四處 B．三處 C．兩處 D．一處【答案】A【解答】解：滿足條件的有：（1）三角形兩個內(nèi)角平分線的交點，共一處；（2）三角形外角平分線的交點，共三處．故選：A．4．如圖，△ABC的三邊AB、AC、BC的長分別為4、6、8，其三條角平分線將△ABC分成三個三角形，則S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（）A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2【答案】A【解答】解：過點O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三條角平分線的交點，∴OD＝OE＝OF，∵AB＝4，AC＝6，BC＝8，∴S△OAB：S△OAC：S△OBC＝2：3：4．故選：A．5．如圖，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，則以下結(jié)論：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③點D在∠BAC的平分線上．正確的是（）A．① B．② C．①② D．①②③【答案】D【解答】解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACF（第一個正確）∴AE＝AF，∴BF＝CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（第二個正確）∴DF＝DE，連接AD∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD＝∠EAD，即點D在∠BAC的平分線上（第三個正確）故選：D．6．點O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分線的交點，已知△ABC的面積是12，周長是8，則點O到邊BC的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：如圖所示，過O作OE⊥AB，OF⊥AC，連接AO，∵點O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分線的交點，∴OE＝OD＝OF，∵△ABC的面積是12，周長是8，∴AB×OE+BC×OD+AC×OF＝12，即×8×OD＝12，即OD＝3，故選：C．7．如圖，已知△ABC的面積為8，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分線交AD于點P，連接PC，則△BPC的面積為（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的平分線，∴AP＝PD，∴S△BPD＝S△ABD，S△CPD＝S△ACD，∴S△BPC＝S△BPD+S△CPD＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∵△ABC的面積為8，∴S△BPC＝×8＝4．故選：B．8．如圖△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，給出下列結(jié)論：①DC＝DE；②DA平分∠CDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC＝AB；⑤∠BAC＝∠BDE．其中正確的是①②④⑤（寫序號）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DC＝DE，故①正確；在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠ADC＝∠ADE，AC＝AE，∴DA平分∠CDE，故②正確；BE+AC＝BE+AE＝AB，故④正確；∵∠BAC+∠B＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠BAC＝∠BDE，故⑤正確；∵∠ADE+∠BAD＝90°，而∠BAD≠∠B，∴∠BDE≠∠ADE，∴DE平分∠ADB錯誤，故③錯誤；綜上所述，正確的有①②④⑤．故答案為：①②④⑤．9．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為48和26，求△EDF的面積11．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF＝DH，在Rt△FDE和Rt△HDG中，，∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL），同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL），設(shè)△EDF的面積為x，由題意得，48﹣x＝26+x，解得x＝11，即△EDF的面積為11，故答案為：11．10．如圖，已知AD∥BC，DE、CE分別平分∠ADC、∠DCB，AB過點E，且AB⊥AD，若AB＝8，則點E到CD的距離為4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，過點E作EF⊥CD于F，∵AD∥BC，AB⊥AD，∴∠A＝∠B＝180°﹣90°＝90°，∵CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∴AE＝EF＝BE，∵AB＝8，∴EF＝×8＝4，即點E到CD的距離為4．故答案為：4．11．兩個城鎮(zhèn)A、B與兩條公路ME，MF位置如圖所示，其中ME是東西方向公路．現(xiàn)電信部門需在C處修建一座信號發(fā)射塔，要求發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A、B的距離必須相等，到兩條公路ME，MF的距離也必須相等，且在∠FME的內(nèi)部，請在圖中，用尺規(guī)作圖找出符合條件的點C．（不寫已知、求作、作法，只保留作圖痕跡）【答案】圖形見解答內(nèi)容．【解答】解：如圖：點C即為所求作的點．二．線段垂直平分線的性質(zhì)（共6小題）12．如圖，在△ABC中，AB邊的中垂線DE，分別與AB、AC邊交于點D、E兩點，BC邊的中垂線FG，分別與BC、AC邊交于點F、G兩點，連接BE、BG．若△BEG的周長為16，GE＝1．則AC的長為（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】B【解答】解：∵DE是線段AB的中垂線，GF是線段BC的中垂線，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周長為16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，∵EG＝1，∴AC＝14，故選：B．13．近年來，高速鐵路的規(guī)劃與建設(shè)成為各地政府爭取的重要項目，如圖，A，B，C三地都想將高鐵站的修建項目落戶在當(dāng)?shù)?，但是，國資委為了使A，B，C三地的民眾都能享受高鐵帶來的便利，決定將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，則高鐵站應(yīng)建在（）A．AB，BC兩邊垂直平分線的交點處 B．AB，BC兩邊高線的交點處 C．AB，BC兩邊中線的交點處 D．∠B，∠C兩內(nèi)角的平分線的交點處【答案】A【解答】解：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理可得：將高鐵站修建在到A，B，C三地距離都相等的地方，則高鐵站應(yīng)建在AB，BC兩邊垂直平分線的交點處，故選：A．14．如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，則∠C＝24度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵DE是AC的垂直平分線，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∴∠FAC＝∠EAC+19°，∵AF平分∠BAC，∴∠FAB＝∠EAC+19°，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，解得，∠C＝24°，故答案為：24．15．如圖，△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，則AF＝10．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接AE，BE，過E作EG⊥BC于G，∵D是AB的中點，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，∴∠ACE＝∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF＝BG，設(shè)CF＝CG＝x，則AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，∴12﹣x＝8+x，解得x＝2，∴AF＝12﹣2＝10．故答案為：10．16．已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點P是三個內(nèi)角平分線的交點，點O是三邊垂直平分線的交點，當(dāng)P、O同時在不等邊△ABC的內(nèi)部時，那么∠BOC和∠BPC的數(shù)量關(guān)系是：∠BOC＝4∠BPC﹣360°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；如圖，連接AO．∵點O是這個三角形三邊垂直平分線的交點，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，故答案為：4∠BPC﹣360°．17．如圖，直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，l與m分別交邊AB于點D和點E．（1）若AB＝10，則△CDE的周長是多少？為什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）△CDE的周長為10．∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周長＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直線l與m分別是△ABC邊AC和BC的垂直平分線，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．三．等腰三角形的性質(zhì)（共8小題）18．如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，則∠C的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，∵AD＝CD，∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，故選：A．19．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則它的頂角為60°或120°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：當(dāng)高在三角形內(nèi)部時，頂角是60°；當(dāng)高在三角形外部時，頂角是120°．故答案為：60°或120°．20．已知實數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是20．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰長時，三角形的三邊分別為4、4、8，∵4+4＝8，∴不能組成三角形，②4是底邊時，三角形的三邊分別為4、8、8，能組成三角形，周長＝4+8+8＝20，所以，三角形的周長為20．故答案為：20．21．定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值k稱為這個等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，則它的特征值k＝或．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：①當(dāng)∠A為頂角時，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：＝50°∴特征值k＝＝②當(dāng)∠A為底角時，頂角的度數(shù)為：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝綜上所述，特征值k為或故答案為或22．如圖，在△ADC中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，則∠ADB＝80度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C＝25°；∴∠ABD＝∠BDC+∠C＝50°；△ABD中，AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°；故∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝80°．故答案為：80．23．已知如圖，在△ABC中，AB＝AC，（1）如圖（1），若∠α＝35°，AD是BC上的高，AD＝AE，則∠β＝；（2）如圖（2），若∠α＝46°，AD是BC上的高，AD＝AE，則∠β＝23°；（3）如圖（3），D為BC上任意一點．請你思考：在△ABC中，若AB＝AC，AD＝AE，則∠α和∠β之間有什么關(guān)系？如果有，請你寫出來，并說明你的理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠α＝∠CAD，∵∠α＝35°，∴∠α＝∠CAD＝35°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝，∴∠β＝90°﹣＝；故答案為：；（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，∴∠α＝∠CAD，∵∠α＝46°，∴∠BAD＝∠CAD＝46°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67°，∴∠β＝23°；故答案為：23°；（3）∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠α+∠B＝∠ADC＝∠ADE+∠β＝∠AED+∠β＝（∠β+∠C）+∠β＝2∠EDC+∠C又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠α＝2∠β．24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一點，過點D分別向AB、AC引垂線，垂足分別為E、F，CG是AB邊上的高．（1）當(dāng)D點在BC什么位置時，DE＝DF？并證明；（2）線段DE，DF，CG的長度之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）當(dāng)點D在BC的中點時，DE＝DF，理由如下：∵D為BC中點，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF．（2）DE+DF＝CG．證明：如圖，連接AD，則S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB?CG＝AB?DE+AC?DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF．25．已知一個等腰三角形的周長為18cm．（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？（2）如果一腰上的中線將該等腰三角形的周長分為1：2兩部分，那么各邊的長為多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）解：設(shè)底邊BC＝acm，則AC＝AB＝2acm，∵三角形的周長是18cm，∴2a+2a+a＝18，∴a＝，2a＝，答：等腰三角形的三邊長是cm，cm，cm．（2）解：設(shè)BC＝acm，AB＝AC＝2bcm，∵中線BD將△ABC的周長分為1：2兩部分，18×＝12，18×＝6，∴2b+b＝6，b+a＝12或2b+b＝12，b+a＝6，解得：a＝10，b＝2或b＝4，a＝2，∴①三角形三邊長是10cm，4cm，4cm，因為4+4＜10，不符合三角形三邊關(guān)系定理，∴此種情況舍去，②三角形的三邊長是2cm，8cm，8cm，符合三角形的三邊關(guān)系定理，綜合上述：符合條件的三角形三邊長是8cm，8cm，2cm，答：等腰三角形的邊長是8cm，8cm，2cm．四．等邊三角形的性質(zhì)（共2小題）26．如圖，已知∠MON＝30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA1＝4，則△A6B6A7的邊長為128．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝4，∴A2B1＝4，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝16＝24，A4B4＝8B1A2＝32＝25，A5B5＝16B1A2＝64＝26，以此類推：△AnBnAn+1的邊長為2n+1，∴△A6B6A7的邊長為：26+1＝128．故答案為：128．27．如圖，在等邊△ABC中，已知點E在直線AB上（不與點A、B重合），點D在直線BC上，且ED＝EC．（1）若點E為線段AB的中點時，試說明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的邊長為2，AE＝1，求CD的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，E為AB的中點，∴∠BCE＝30°，BE＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°，∵∠ABD＝120°，∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB；（2）如圖1，E在線段AB上時，∵AB＝2，AE＝1，∴點E是AB的中點，由（1）知，BD＝AE＝1，∴CD＝BC+BD＝3；如圖2，E在線段AB的反向延長線上時，∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝3，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，過E作EH∥AC交BC的延長線于H，∴∠BEH＝∠BHE＝60°，∴△BEH是等邊三角形，∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，∴∠BED＝∠HEC，在△BDE和△HCE中，，∴△BDE≌△HCE（SAS），∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．綜上所述，CD的長為1或3．五．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）28．如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是400．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖①∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，∴B′O＝AB，CO＝AC，∴△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形．又觀察圖可得，第1個圖形中大等邊三角形有2個，小等邊三角形有2個，第2個圖形中大等邊三角形有4個，小等邊三角形有4個，第3個圖形中大等邊三角形有6個，小等邊三角形有6個，…依次可得第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個．故第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是：2×100+2×100＝400．故答案為：400．六．生活中的軸對稱現(xiàn)象（共1小題）29．如圖，彈性小球從點P出發(fā)，沿所示方向運動，每當(dāng)小球碰到長方形的邊時反彈，反彈時入射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球從P點出發(fā)第1次碰到長方形邊上的點記為A點，第2次碰到長方形邊上的點記為B點，……第2020次碰到長方形邊上的點為圖中的（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】D【解答】解：如圖所示，經(jīng)過6次反彈后動點回到出發(fā)點P，∵2020÷6＝336…4，∴當(dāng)點P第2020次碰到長方形的邊時為第337個循環(huán)組的第4次反彈，∴第2020次碰到長方形的邊時的點為圖中的點D，故選：D．七．軸對稱的性質(zhì)（共3小題）30．如圖，在3×3的網(wǎng)格中，與△ABC成軸對稱，頂點在格點上，且位置不同的三角形有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】D【解答】解：如圖所示：與△ABC成軸對稱，頂點在格點上，且位置不同的三角形有8個，故選：D．31．如圖，在2×2的正方形格紙中，有一個以格點為頂點的△ABC，在格紙中能畫出與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形（不包括△ABC本身），這樣的三角形共有3個【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示，與△ABC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形有3個：故答案為：3．32．如圖，在等邊△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC的延長線上，DE＝DA．（1）求證：∠BAD＝∠EDC；（2）作出點E關(guān)于直線BC的對稱點M，連接DM、AM，猜想DM與AM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°．又∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠EDC+∠DEC＝∠ACB，∴∠BAD+∠DAC＝∠EDC+∠DEC．∵DE＝DA，∴∠DAC＝∠DEC，∴∠BAD＝∠EDC．（2）猜想：DM＝AM．理由如下：∵點M、E關(guān)于直線BC對稱，∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM．又由（1）知∠BAD＝∠EDC，∴∠MDC＝∠BAD．∵∠ADC＝∠BAD+∠B，即∠ADM+∠MDC＝∠BAD+∠B，∴∠ADM＝∠B＝60°．又∵DA＝DE＝DM，∴△ADM是等邊三角形，∴DM＝AM．八．作圖-軸對稱變換（共1小題）33．如圖，在2×2的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形．圖中的△ABC為格點三角形，在圖中最多能畫出5個不同的格點三角形與△ABC成軸對稱．【答案】答案請看解析過程．【解答】解：與△ABC成軸對稱的格點三角形如圖所示，在圖中最多能畫出5個不同的格點三角形與△ABC成軸對稱．最后一個圖的三角形BNC和三角形ANC都與三角形ABC成軸對稱，故答案為：5．九．利用軸對稱設(shè)計圖案（共1小題）34．如圖1所示的圖形是一個軸對稱圖形，且每個角都是直角，長度如圖所示，小明按圖2所示方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙，那么小明用9個這樣的圖形（圖1）拼出來的圖形的總長度是a+8b（結(jié)果用含a，b代數(shù)式表示）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：方法1、如圖，由圖可得，拼出來的圖形的總長度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b故答案為：a+8b．方法2、∵小明用9個這樣的圖形（圖1）拼出來的圖形∴口朝上的有5個，口朝下的有四個，而口朝上的有5個，長度之和是5a，口朝下的有四個，長度為4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a，即：總長度為5a+8b﹣4a＝a+8b，故答案為a+8b．一十．軸對稱-最短路線問題（共6小題）35．如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，且∠AOB＝40°，點M和點N分別是射線OA和射線OB上的動點，當(dāng)△PMN周長取最小值時，則∠MPN的度數(shù)為（）A．140° B．100° C．50° D．40°【答案】B【解答】解：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得MP＝P1M，PN＝P2N，則△PMN的周長的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故選：B．36．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點E、F分別是AD、AB上的動點，若∠BAC＝50°，當(dāng)BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°【答案】B【解答】解：過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，如圖，此時BE+EF最?。逜D是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故選：B．37．如圖，∠MON＝α，α＜30°，點A為ON上一定點，點C為ON上一動點，B，D為OM上兩動點，當(dāng)AB+BC+CD最小時，∠BCD+∠ABC＝（）A．5α B．6α C．90°﹣α D．180°﹣α【答案】B【解答】解：作點C關(guān)于OM的對稱點C′，過點C′作射線OP，則∠MOP＝α，連接C′B，C′D，則C′B＝CB，C′D＝CD，作點D關(guān)于OP的對稱點D′，過點D′作射線OQ，則∠POQ＝α，連接C′D′，則C′D′＝C′D＝CD，∴AB+BC+CD＝AB+BC′+C′D′，要使AB+BC+CD最小，需點A，B，C′，D′在一條直線上，且AD′⊥OQ，∵α＜30°，∴∠NOQ＝3α＜90°，∴可以過點A作AD′⊥OQ，此時∠BCD＝BCD′＝∠MOQ＝2α，∠ABC＝∠BCD+∠BC′D＝4α，∴當(dāng)AB+BC+CD最小時，∠BCD+∠ABC＝2α+4α＝6α，故選：B．38．如圖，在邊長為2的等邊△ABC中，D是BC的中點，點E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊△BEF，連接DF．當(dāng)△BDF的周長最小時，∠DBF的度數(shù)是30°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，連接CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BCF＝∠BAD＝30°，如圖，作點D關(guān)于CF的對稱點G，連接CG，DG，則FD＝FG，∴當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時，DF+BF的最小值等于線段BG長，且BG⊥CG時，△BDF的周長最小，由軸對稱的性質(zhì)，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，∴△DCG是等邊三角形，∴DG＝DC＝DB，∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，故答案為：30°．39．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分線交BC于點D，若點P、Q分別是AC和AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖，作點P關(guān)于直線AD的對稱點P′，連接CP′交AD于點Q，則CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根據(jù)對稱的性質(zhì)知△APQ≌△AP′Q，∴∠PAQ＝∠P′AQ．又∵AD是∠A的平分線，點P在AC邊上，點Q在直線AD上，∴∠PAQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴點P′在邊AB上．∵當(dāng)CP′⊥AB時，線段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∴AB＝4，且當(dāng)點P′是斜邊AB的中點時，CP′⊥AB，此時CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．40．如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于點D，EF垂直平分AB，交AC于點F，在EF上確定一點P，使PB+PD最小，則這個最小值為6．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15，AD⊥BC于點D，∴AD＝6，∵EF垂直平分AB，∴點P到A，B兩點的距離相等，∴AD的長度＝PB+PD的最小值，即PB+PD的最小值為6，故答案為：6．一十一．翻折變換（折疊問題）（共3小題）41．如圖，把一個邊長為7的正方形經(jīng)過三次對折后沿圖（4）中平行于MN的