高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講30.二項(xiàng)分布與超幾何分布

二項(xiàng)分布與超幾何分布本節(jié)主要探討二項(xiàng)分布與超幾何分布及兩者之間的區(qū)分，全國(guó)卷在這個(gè)點(diǎn)上的考察主要還是以基本的概念和公式為主，并沒(méi)有像地方卷那樣單獨(dú)考察，但是我們須要留意的是二項(xiàng)分布的期望和方差公式，須要熟記于心，這一部分內(nèi)容可能用來(lái)做為決策依據(jù)考察.一．二項(xiàng)分布1．重伯努利試驗(yàn)的概念只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn)．2．重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征（1）同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做次；（2）各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．3．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事務(wù)發(fā)生的概率為，用表示事務(wù)發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為：，假如隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量聽從二項(xiàng)分布，記作4．一般地，可以證明：假如，那么.二．超幾何分布超幾何分布模型是一種不放回抽樣，一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．假如隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X聽從超幾何分布．2．超幾何分布的期望E(X)＝eq\f(nM,N)＝np(p為N件產(chǎn)品的次品率)．三．二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)分1.看總體數(shù)是否給出，未給出或給出總體數(shù)較大一般考查二項(xiàng)分布，此時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)重要的題眼“將頻率視為概率”.2.看一次抽取抽中“次品”概率是否給出，若給出或可求出一般考查二項(xiàng)分布.3.看一次抽取的結(jié)果是否只有兩個(gè)結(jié)果，若只有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果或，一般考查二項(xiàng)分布.4.看抽樣方法，假如是有放回抽樣，確定是二項(xiàng)分布；若是無(wú)放回抽樣，須要考慮總體數(shù)再確定.5.看每一次抽樣試驗(yàn)中，事務(wù)是否獨(dú)立，事務(wù)發(fā)生概率是否不變，若事務(wù)獨(dú)立且概率不變，確定考查二項(xiàng)分布，這也是推斷二項(xiàng)分布的最根本依據(jù).6.把握住超幾何分布與二項(xiàng)分布在定義敘述中的區(qū)分，超幾何分布多與分層抽樣結(jié)合，出現(xiàn)“先抽，再抽”的題干信息.四．典例分析例1．某群體中的每位成員運(yùn)用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中運(yùn)用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3解析：推斷出為二項(xiàng)分布，利用公式進(jìn)行計(jì)算即可．或，,可知故答案選B.例2.（2024年天津卷）．已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)接受分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足夠，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事務(wù)“抽取的3人中，既有睡眠足夠的員工，也有睡眠不足的員工”，求事務(wù)A發(fā)生的概率.解析：（1）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于接受分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（2）（i）隨機(jī)變量X的全部可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．（ii）設(shè)事務(wù)B為“抽取的3人中，睡眠足夠的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事務(wù)C為“抽取的3人中，睡眠足夠的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事務(wù)A發(fā)生的概率為．下面例子主要的目標(biāo)是用來(lái)體驗(yàn)二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)分，這樣的題在?？贾锌疾燧^多，精確區(qū)分它們也是高考的基本要求.例3．電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視狀況，隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查．如圖是依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于分鐘的觀眾稱為“體育迷”．將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．(1)現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，接受隨機(jī)抽樣方法每次抽取名觀眾，抽取次，記被抽取的名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)用分層抽樣的方法從這名“體育迷”中抽取名觀眾，再?gòu)某槿〉某槿∶^眾中隨機(jī)抽取名，表示抽取的是“體育迷”的人數(shù)，求的分布列．解析：（1）“體育迷”對(duì)應(yīng)的頻率為：，用頻率估計(jì)概率，可知從該地區(qū)大量電視觀眾中，隨機(jī)抽取