2024八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第五章分式與分式方程單元測(cè)試新版北師大版

Page1分式與分式方程(時(shí)間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．若分式eq\f(3x,x－5)有意義，則x的取值范圍是(A)A．x≠5B．x≠－5C．x＞5D．x＞－52．(2024·涼山州)分式eq\f(x2－x,x－1)的值為0，則x的值是(A)A．0B．－1C．1D．0或13．上復(fù)習(xí)課時(shí)，李老師叫小聰舉出一些分式的例子，他舉出了：eq\f(1,x)，eq\f(1,2)，eq\f(x2＋1,2)，eq\f(3xy,π)，eq\f(3,x＋y)，a＋eq\f(1,m)，其中正確的個(gè)數(shù)為(B)A．2B．3C．4D．54．計(jì)算eq\f(m2,m－1)－eq\f(2m－1,m－1)的結(jié)果是(B)A．m＋1B．m－1C．m－2D．－m－25．(2024·哈爾濱)方程eq\f(2,x)＝eq\f(3,x＋1)的解為(C)A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－26．若關(guān)于x的分式方程eq\f(m＋4,x－3)＝eq\f(3x,x－3)＋2有增根，則m的值為(D)A．2B．3C．4D．57．若(eq\f(4,a2－4)＋eq\f(1,2－a))·w＝1，則w＝(C)A．a(chǎn)＋2(a≠－2)B．－a＋2(a≠2)C．－a－2(a≠±2)D．a(chǎn)－2(a≠2)8．(2024·宜昌)某校學(xué)生去距離學(xué)校12km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過(guò)了20min后，其余學(xué)生乘汽車動(dòng)身，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，汽車的速度是(D)A．0.2km/minB．0.3km/minC．0.4km/minD．0.6km/min9．(2024·內(nèi)江)用計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，某探討室支配兩名程序操作員各輸入一遍，比較兩人的輸入是否一樣，本次操作需輸入2640個(gè)數(shù)據(jù)，已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時(shí)輸完．這兩名操作員每分鐘各能輸入多少個(gè)數(shù)據(jù)？設(shè)乙每分鐘能輸入x個(gè)數(shù)據(jù)，依據(jù)題意得方程正確的是(D)A．eq\f(2640,2x)＝eq\f(2640,x)＋2B．eq\f(2640,2x)＝eq\f(2640,x)－2C．eq\f(2640,2x)＝eq\f(2640,x)＋2×60D．eq\f(2640,2x)＝eq\f(2640,x)－2×6010．關(guān)于x的分式方程eq\f(ax－3,x－2)＋1＝eq\f(3x－1,2－x)的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的一元一次不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3y－2,2)≤y－1，,y＋2＞a))有解，則全部滿足條件的整數(shù)a的值之和是(B)A．－5B．－4C．－3D．－2二、填空題(每小題3分，共15分)11．分式eq\f(1,2x2y)與eq\f(1,3xy2)的最簡(jiǎn)公分母是__6x2y2__．12．(2024·寧夏)計(jì)算：eq\f(1,x－1)＋eq\f(3,x－1)＝__eq\f(4,x－1)__．13．假如a－b＝5，那么代數(shù)式(eq\f(a2＋b2,ab)－2)·eq\f(ab,a－b)的值是__5__．14．假如解關(guān)于x的分式方程eq\f(m,x－2)－eq\f(2x,2－x)＝1時(shí)出現(xiàn)增根，那么m的值為_(kāi)_－4__．15．(2024·眉山)關(guān)于x的方程eq\f(x＋m,x－2)－3＝eq\f(x－1,2－x)的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是__m≥－5且m≠－3__.三、解答題(本大題共8個(gè)小題，滿分75分)16．(8分)計(jì)算：(1)(eq\f(5a,a＋1)－eq\f(2a,a－1))·eq\f(a2－1,a)；解：原式＝3a－7(2)(2024·大連)(eq\f(1,a＋3)＋eq\f(1,a2－9))÷eq\f(a－2,2a＋6).解：原式＝eq\f(2,a－3)17．(9分)解方程：(1)eq\f(1,x)＝eq\f(2,x＋3)；解：去分母，得x＋3＝2x，解得x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，x(x＋3)≠0，∴分式方程的解為x＝3(2)eq\f(x＋1,x－1)－eq\f(4,x2－1)＝1.解：方程兩邊同乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)，解得x＝1.檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，(x＋1)(x－1)＝0，∴x＝1是增根，∴原方程無(wú)解18．(9分)小明解方程eq\f(1,x)－eq\f(x－2,x)＝1的過(guò)程如下：解：方程兩邊同乘x，得1－(x－2)＝1.①去括號(hào)，得1－x－2＝1.②合并同類項(xiàng)，得－x－1＝1.③移項(xiàng)，得－x＝2.④解得x＝－2.⑤∴原方程的解為x＝－2.⑥請(qǐng)指出他解答過(guò)程中的錯(cuò)誤，并寫出正確的解答過(guò)程．解：小明的解法有三處錯(cuò)誤：步驟①去分母有誤；步驟②去括號(hào)有誤；步驟⑥前缺少“檢驗(yàn)”步驟．正確解法如下：方程兩邊同乘x，得1－(x－2)＝x.去括號(hào)，得1－x＋2＝x.合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，得x＝eq\f(3,2).經(jīng)檢驗(yàn)，x＝eq\f(3,2)是原分式方程的根．∴原方程的解為x＝eq\f(3,2)19．(9分)(2024·威海)先化簡(jiǎn)(a－eq\f(2a－1,a))÷eq\f(a2－1,a)，再?gòu)模?＜a＜3的范圍內(nèi)選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值．解：原式＝eq\f(a2－2a＋1,a)÷eq\f(（a＋1）（a－1）,a)＝eq\f(（a－1）2,a)·eq\f(a,（a＋1）（a－1）)＝eq\f(a－1,a＋1)，要使分式有意義，則a≠0且a－1≠0且a＋1≠0，所以a不能為0，1，－1，又因?yàn)椋?＜a＜3，所以a可以取2，當(dāng)a＝2時(shí)，原式＝eq\f(2－1,2＋1)＝eq\f(1,3)20．(9分)(2024·寧夏)“人間煙火味，最撫凡人心”，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來(lái)源．某經(jīng)營(yíng)者購(gòu)進(jìn)了A型和B型兩種玩具，已知用520元購(gòu)進(jìn)A型玩具的數(shù)量比用175元購(gòu)進(jìn)B型玩具的數(shù)量多30個(gè)，且A型玩具單價(jià)是B型玩具單價(jià)的1.6倍．(1)求兩種型號(hào)玩具的單價(jià)各是多少元？依據(jù)題意，甲、乙兩名同學(xué)分別列出如下方程：甲：eq\f(520,1.6x)＝eq\f(175,x)＋30，解得x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是原方程的解．乙：eq\f(520,x)＝1.6×eq\f(175,x－30)，解得x＝65，經(jīng)檢驗(yàn)x＝65是原方程的解．則甲所列方程中的x表示__B型玩具的單價(jià)__，乙所列方程中的x表示__A型玩具的數(shù)量__．(2)該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備用1350元以原單價(jià)再次購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的玩具共200個(gè)，則最多可購(gòu)進(jìn)A型玩具多少個(gè)？解：(1)B型玩具的單價(jià)；A型玩具的數(shù)量(2)設(shè)可購(gòu)進(jìn)A型玩具a個(gè)，則B型玩具(200－a)個(gè)，依據(jù)題意得8a＋5(200－a)≤1350，a≤116eq\f(2,3)，∴整數(shù)a的最大值是116，答：最多可購(gòu)進(jìn)A型玩具116個(gè)21．(10分)(2024·濟(jì)南)某校開(kāi)設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，購(gòu)買了A，B兩種型號(hào)的機(jī)器人模型．A型機(jī)器人模型單價(jià)比B型機(jī)器人模型單價(jià)多200元，用2000元購(gòu)買A型機(jī)器人模型和用1200元購(gòu)買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同．(1)求A型，B型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元？(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購(gòu)買A型和B型機(jī)器人模型共40臺(tái)，購(gòu)買B型機(jī)器人模型不超過(guò)A型機(jī)器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號(hào)機(jī)器人模型均打八折的實(shí)惠．問(wèn)購(gòu)買A型和B型機(jī)器人模型各多少臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少？最少花費(fèi)是多少元？解：(1)設(shè)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是x元，則B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是(x－200)元．依據(jù)題意，得eq\f(2000,x)＝eq\f(1200,x－200)，解得x＝500，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝500是原方程的根，∴x－200＝300，答：A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是500元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是300元(2)設(shè)購(gòu)買A型編程機(jī)器人模型m臺(tái)，則購(gòu)買B型編程機(jī)器人模型(40－m)臺(tái)，購(gòu)買A型和B型編程機(jī)器人模型共花費(fèi)w元，由題意得40－m≤3m，解得m≥10，w＝500×0.8m＋300×0.8(40－m)，即w＝160m＋9600，∵160＞0，∴w隨m的減小而減小．當(dāng)m＝10時(shí)，w取得最小值11200，∴40－m＝30.答：購(gòu)買A型機(jī)器人模型10臺(tái)和B型機(jī)器人模型30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元22．(10分)(2024·牡丹江)某商場(chǎng)欲購(gòu)進(jìn)A和B兩種家電，已知B種家電的進(jìn)價(jià)比A種家電的進(jìn)價(jià)每件多100元，經(jīng)計(jì)算，用1萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A種家電的件數(shù)與用1.2萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)B種家電的件數(shù)相同．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)這兩種家電每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)若該商場(chǎng)欲購(gòu)進(jìn)兩種家電共100件，總金額不超過(guò)53500元，且A種家電不超過(guò)67件，則該商場(chǎng)有哪幾種購(gòu)買方案？(3)在(2)的條件下，若A和B兩種家電的售價(jià)分別是每件600元和750元，該商場(chǎng)從這100件中拿出兩種家電共10件嘉獎(jiǎng)優(yōu)秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請(qǐng)干脆寫出這10件家電中B種家電的件數(shù)．解：(1)設(shè)A種家電每件的進(jìn)價(jià)為x元，則B種家電每件的進(jìn)價(jià)為(x＋100)元，依據(jù)題意得eq\f(10000,x)＝eq\f(12000,x＋100)，解得x＝500，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝500是所列方程的解，且符合題意，∴x＋100＝500＋100＝600.答：A種家電每件的進(jìn)價(jià)為500元，B種家電每件的進(jìn)價(jià)為600元(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)A種家電a件，則購(gòu)進(jìn)B種家電(100－a)件，依據(jù)題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(500a＋600（100－a）≤53500，,a≤67，))解得65≤a≤67，又∵a為正整數(shù)，∴a可以為65，66，67，∴該商場(chǎng)共有3種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)進(jìn)A種家電65件，B種家電35件；方案2：購(gòu)進(jìn)A種家電66件，B種家電34件；方案3：購(gòu)進(jìn)A種家電67件，B種家電33件(3)設(shè)這10件家電中包含m件B種家電，則包含(10－m)件A種家電，當(dāng)a＝65時(shí)，600×[65－(10－m)]＋750(35－m)－500×65－600×35＝5050，解得m＝eq\f(14,3)，∵m為正整數(shù)，∴m＝eq\f(14,3)不符合題意，舍去；當(dāng)a＝66時(shí)，600×[66－(10－m)]＋750(34－m)－500×66－600×34＝5050，解得m＝eq\f(13,3)，∵m為正整數(shù)，∴m＝eq\f(13,3)不符合題意，舍去；當(dāng)a＝67時(shí)，600×[67－(10－m)]＋750(33－m)－500×67－600×33＝5050，解得m＝4.答：這10件家電中包含4件B種家電23．(11分)視察下列等式：eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，….將以上兩個(gè)等式兩邊分別相加得：eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).用你發(fā)覺(jué)的規(guī)律解答下列問(wèn)題：(1)干脆寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,2024×2025)＝__eq\f(2024,2025)__；②eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n（n＋1）)＝__eq\f(n,n＋1)__；(2)仿照題中的計(jì)算形式，猜想并寫出：eq\f(1,n（n＋3）)＝__eq\f(1,3)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋3))__；(3)解方程：eq\f(1,x（x＋3）)＋eq\f(1,