統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)第三篇關(guān)鍵能力為重專題三立體幾何第1講空間幾何體的三視圖表面積與體積文

第1講空間幾何體的三視圖、表面積與體積考點(diǎn)一空間幾何體的三視圖——識(shí)圖、想圖、構(gòu)圖，“原形畢露”一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖的長(zhǎng)度一樣；側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”．例1[2024·貴州省貴陽(yáng)五校聯(lián)合考試]一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖為()[聽(tīng)課記錄](méi)歸納總結(jié)由三視圖還原到直觀圖的思路[留意]三視圖中的虛線表示幾何體中看不到的線．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練[2024·全國(guó)甲卷]在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積——找特征、求標(biāo)量、代公式，割補(bǔ)相濟(jì)1．柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式(1)S直棱柱側(cè)＝________(c為底面周長(zhǎng)，h為高)；(2)S正棱錐側(cè)＝______(c為底面周長(zhǎng)，h′為斜高)；(3)S正棱臺(tái)側(cè)＝________(c′，c分別為上、下底面的周長(zhǎng)，h′為斜高).2．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式(1)V柱體＝________(S為底面面積，h為高)，(2)V錐體＝________(S為底面面積，h為高)；(3)V臺(tái)體＝_______________________(S，S′分別為上、下底面面積，h為高).3．球的表面積和體積公式(1)S球表＝________(R為球的半徑)；(2)V球＝________(R為球的半徑).角度1求空間幾何體的表面積例2[2024·四川省巴中市考試]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．7πB．8πC．9πD．(5＋3)π[聽(tīng)課記錄](méi)歸納總結(jié)求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開(kāi)”并展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其結(jié)構(gòu)特征入手，將其綻開(kāi)后求表面積，但要搞清晰它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面綻開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表面積角度2求空間幾何體的體積例3[2024·全國(guó)甲卷]如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為()A．8B．12C．16D．20歸納總結(jié)求空間幾何體體積的常用方法公式法干脆依據(jù)常見(jiàn)柱、錐、臺(tái)等規(guī)則幾何體的體積公式計(jì)算等積法依據(jù)體積計(jì)算公式，通過(guò)轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更簡(jiǎn)潔，或是求出一些體積比等割補(bǔ)法把不能干脆計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.[2024·四川省成都市樹(shù)德中學(xué)三診]如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)幾何體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積為()A．23C．432．[2024·貴州省威寧縣試題]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．3π＋4B．2π＋4C．3π＋2D．4π＋2考點(diǎn)三多面體與球的切、接問(wèn)題——找“切”點(diǎn)，抓“接”點(diǎn)，與半徑相“聯(lián)”幾何體與球組合體的結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R.①正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)在長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.例4(1)[2024·新高考Ⅱ卷]已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100πB．128πC．144πD．192π(2)[2024·全國(guó)甲卷]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O為AC1的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球O的球面有公共點(diǎn)，則球O的半徑的取值范圍是________．(3)[2024·河南省開(kāi)封市杞縣三模]在三棱錐P-ABC中，PA＝AB，PA⊥平面ABC，∠ABC＝eq\f(π,2)，AB＋BC＝6，則三棱錐P-ABC外接球體積的最小值為()A．8eq\r(6)πB．16eq\r(6)πC．24eq\r(6)πD．32eq\r(6)π[聽(tīng)課記錄](méi)歸納總結(jié)空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與幾何體的位置和數(shù)量關(guān)系．(2)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何學(xué)問(wèn)找尋幾何中元素間的關(guān)系求解．(3)補(bǔ)成正方體、長(zhǎng)方體、正四面體、正棱柱、圓柱等規(guī)則的幾何體．提示內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．這也是解決此類問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.[2024·陜西省商洛市三模]在四面體ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BC⊥AD，若AB＝6，BC＝AD＝3，則該四面體外接球的表面積為_(kāi)_______．2．[2024·全國(guó)甲卷]已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐O-ABC的體積為()A．eq\f(\r(,2),12)B．eq\f(\r(,3),12)C．eq\f(\r(,2),4)D．eq\f(\r(,3),4)第1講空間幾何體的三視圖、表面積與體積考點(diǎn)一[例1]解析：由正視圖、俯視圖可得幾何體的直觀圖如圖所示，∴側(cè)視圖如下圖所示，故選C.答案：C對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解析：依據(jù)題目條件以及正視圖可以得到該幾何體的直觀圖，如圖，結(jié)合選項(xiàng)可知該幾何體的側(cè)視圖為D.答案：D考點(diǎn)二1．（1）ch（2）eq\f(1,2)ch′（3）eq\f(1,2)（c＋c′）h′2．（1）Sh（2）eq\f(1,3)Sh（3）eq\f(1,3)（S＋eq\r(SS′)＋S′）h3．（1）4πR2（2）eq\f(4,3)πR3[例2]解析：由給定的三視圖知，這個(gè)幾何體是底面直徑為2，高為2的圓柱，上接一個(gè)底面直徑為2，高為eq\r(3)的圓錐構(gòu)成的組合體，如圖，則有圓錐的母線為eq\r(12＋\r(3)2)＝2，圓錐的側(cè)面積S1＝π×1×2＝2π，圓柱的側(cè)面積S2＝2π×1×2＝4π，圓柱下底面圓面積S3＝π·12＝π，這個(gè)幾何體的表面由圓錐的側(cè)面、圓柱的側(cè)面、圓柱的下底面組成，所以這個(gè)幾何體的表面積為S＝S1＋S2＋S3＝7π.故選A.答案：A[例3]解析：如圖，將三視圖還原成直觀圖．該直觀圖是一個(gè)側(cè)放的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，AA1＝2.所以底面面積S＝eq\f(（2＋4）×2,2)＝6，設(shè)該直四棱柱的高為h，則該幾何體的體積V＝Sh＝6×2＝12.故選B.答案：B對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．解析：如圖所示，題中三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為圖中棱長(zhǎng)為2的正方體中的三棱錐C-ABD，其體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3).故選C.答案：C2．解析：該幾何體為兩個(gè)四分之一圓柱拼接而成，拼接方式如圖，圓柱底面圓的半徑為1，高為2，所以幾何體的表面積為π×12＋eq\f(1,2)×2π×1×2＋2×1×2＝3π＋4.故選A.答案：A考點(diǎn)三[例4]解析：（1）設(shè)三棱臺(tái)上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圓半徑分別為r1，r2，外接圓圓心分別為O1，O2，三棱臺(tái)的外接球半徑為R，球心為O.令|OO1|＝t，則|OO2|＝|t－1|.由題意及正弦定理，得2r1＝eq\f(3\r(3),sin60°)＝6，2r2＝eq\f(4\r(3),sin60°)＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋t2＝req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋（t－1）2，即R2＝9＋t2＝16＋（t－1）2，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝4，,R2＝25.))所以三棱臺(tái)外接球的表面積為4πR2＝100π.故選A.（2）由該正方體的棱與球O的球面有公共點(diǎn)，可知球O的半徑應(yīng)介于該正方體的棱切球半徑和外接球半徑之間（包含棱切球半徑和外接球半徑）.設(shè)該正方體的棱切球半徑為r，因?yàn)锳B＝4，所以2r＝eq\r(2)×4，所以r＝2eq\r(2)；設(shè)該正方體的外接球半徑為R，因?yàn)锳B＝4，所以（2R）2＝42＋42＋42，所以R＝2eq\r(3).所以球O的半徑的取值范圍是[2eq\r(2)，2eq\r(3)].（3）依據(jù)題意三棱錐P-ABC可以補(bǔ)成分別以BC，AB，PA為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體，其中PC為長(zhǎng)方體的對(duì)角線，則三棱錐P-ABC的外接球球心即為PC的中點(diǎn)，要使三棱錐P-ABC的外接球的體積最小，則PC最?。O(shè)AB＝x，則PA＝x，BC＝6－x，|PC|＝eq\r(AB2＋PA2＋BC2)＝eq\r(3（x－2）2＋24)，所以當(dāng)x＝2時(shí)，|PC|min＝2eq\r(6)，則有三棱錐P-ABC的外接球的球半徑最小為eq\r(6)，所以Vmin＝eq\f(4,3)πR3＝8eq\r(6)π.答案：（1）A（2）[2eq\r(2)，2eq\r(3)]（3）A對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.解析：∵AB⊥BC，BC⊥AD，AB∩AD＝A，AB?平面ABD，AD?平面ABD，∴BC⊥平面ABD，BD?平面ABD，BC⊥BD.取AC的中點(diǎn)G，BD的中點(diǎn)O1，CD的中點(diǎn)O，又AD⊥AB，AD⊥BC，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，∴AD⊥平面ABC，∴OG∥AD，OG⊥平面ABC，G是△ABC外接圓的圓心，O1O∥BC，O1O⊥平面ABD，O1是△ABD外接圓的圓心，∴O是四面體ABCD外接球的球心；BD2＝62＋32＝45，CD2＝BC2＋BD2＝54，∴外接球O的半徑為OC＝eq\f(CD,2)＝eq\f(3\r(6),2)，外接球的表面積S＝4πOC2＝54π.答案：54π2．解析：如圖所示，因?yàn)锳C⊥BC，且AC＝BC＝1，所以AB為截面圓O1的直徑，且AB＝eq\r(2).連接OO1，則OO1⊥平面ABC，OO1＝eq\r