新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2第1課時(shí)直線與平面垂直的定義及判定定理學(xué)生用書(shū)新人教A版必修第二冊(cè)

直線與平面垂直第1課時(shí)直線與平面垂直的定義及判定定理學(xué)習(xí)任務(wù)1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關(guān)系．(直觀想象)2．歸納出直線與平面垂直的判定定理．(數(shù)學(xué)抽象)3．了解直線與平面所成的角．(數(shù)學(xué)抽象)木工要檢查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次，如圖．假如兩次檢查時(shí)，曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合，便可以判定木棒與板面垂直．問(wèn)題：(1)用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎？(2)上述問(wèn)題說(shuō)明白直線與平面垂直的條件是什么？學(xué)問(wèn)點(diǎn)1直線與平面垂直的定義定義一般地，假如直線l與平面α內(nèi)的________直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α相互垂直，記作l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的____，平面α叫做直線l的____．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做____圖示畫(huà)法畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“隨意一條直線”是否可以換成“多數(shù)條直線”？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________學(xué)問(wèn)點(diǎn)2直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言假如一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的____________垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言m?α，n?α，______＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α圖形語(yǔ)言學(xué)問(wèn)點(diǎn)3直線與平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線與一個(gè)平面____，但不與這個(gè)平面____，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，如圖中直線PA斜足斜線和平面的____，如圖中點(diǎn)A射影過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引____，過(guò)____和____的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，如圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，如圖中∠PAO；規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是______；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是____．取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則________________1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直． ()(2)若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線． ()(3)若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線． ()2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于________；AB1與平面ADD1A1所成的角等于________；AB1與平面DCC1D1所成的角等于________．類型1直線與平面垂直的判定【例1】如圖，在三棱錐S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________證線面垂直的方法(1)線線垂直證明線面垂直：①定義法(不常用，但由線面垂直可得出線線垂直)．②判定定理最常用：要著力找尋平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時(shí)作幫助線)；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直，也與另一條垂直等結(jié)論來(lái)論證線線垂直．(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：①a∥b，a⊥α?b⊥α.②α∥β，a⊥α?a⊥β.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，M是圓周上隨意一點(diǎn)，AN⊥PM，垂足為N.求證：AN⊥平面PBM._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2直線與平面所成的角【例2】已知正方體ABCD-A1B1C1D1．(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母題探究]在本例正方體中，若E為棱AB的中點(diǎn)，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求直線與平面所成角的步驟(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過(guò)斜線上一點(diǎn)作平面的____，再過(guò)垂足和斜足作直線，留意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問(wèn)題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的__________中計(jì)算．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．在正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，求直線BC′與平面ABB′A′所成角的正弦值．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不確定2．(多選)下列說(shuō)法，正確的是()A．若直線l垂直于α，則直線l垂直于α內(nèi)任始終線B．若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行C．若a∥b，a?α，l⊥α，則l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，則a∥α3．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°4．設(shè)三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影是點(diǎn)H，給出以下說(shuō)法：①若PA⊥BC，PB⊥AC，則點(diǎn)H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC兩兩相互垂直，則點(diǎn)H是△ABC的垂心；③若點(diǎn)P到△ABC的三邊距離相等，且點(diǎn)H在△ABC的內(nèi)部，則H是△ABC的內(nèi)心；④若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)H是△ABC的外心．其中正確的說(shuō)法是________(填序號(hào))．回顧本節(jié)學(xué)問(wèn)，自主完成以下問(wèn)題：1．直線與平面垂直的判定定理的內(nèi)容是什么？證明線面垂直的主要方法有哪些？2．若圖中的∠POA是斜線PO與平面α所成的角，則需具備哪些條件？如何求直線與平面所成的角？8.6.2直線與平面垂直第1課時(shí)直線與平面垂直的定義及判定定理[必備學(xué)問(wèn)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]學(xué)問(wèn)點(diǎn)1隨意一條垂線垂面垂足思索提示：不行以，因?yàn)橐粭l直線與某平面內(nèi)多數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個(gè)平面不愿定垂直．學(xué)問(wèn)點(diǎn)2兩條相交直線m∩n學(xué)問(wèn)點(diǎn)3相交垂直交點(diǎn)垂線垂足斜足90°0°0°≤θ≤90°課前自主體驗(yàn)1．(1)×(2)√(3)×2．45°45°0°[∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.][關(guān)鍵實(shí)力·合作探究釋疑難]例1證明：(1)因?yàn)镾A＝SC，D是AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因?yàn)镾D∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.跟進(jìn)訓(xùn)練1．證明：設(shè)圓O所在的平面為α，∵PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM.又∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)M為圓周上一點(diǎn)，∴AM⊥BM.由于直線PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，∴AN與PM、BM兩條相交直線相互垂直．故AN⊥平面PBM.2．證明：如圖，連接AC，則AC⊥BD，又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，AC，A1A?平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC，∵A1C?平面A1AC，∴BD⊥A1C.同理可證BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，∴A1C⊥平面BC1D.例2解：(1)∵直線A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，設(shè)A1A＝1，則AC＝2，∴tan∠A1CA＝22(2)連接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1∴∠A1BO＝30°，即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.母題探究解：連接AC交BD于點(diǎn)O，過(guò)E作EO1∥AC交BD于點(diǎn)O1，易證AC⊥平面BB1D1D，∴EO1⊥平面BB1D1D，∴B1O1是B1E在平面BB1D1D內(nèi)的射影，∴∠EB1O1為B1E與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.∵E是AB的中點(diǎn)，EO1∥AC，∴O1是BO的中點(diǎn)，∴EO1＝12AO＝12×B1O1＝BO12+BB∴tan∠EB1O1＝EO1B1O發(fā)覺(jué)規(guī)律(1)垂線(3)直角三角形跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：如圖所示，取A′B′的中點(diǎn)D，連接C′D，BD.因?yàn)榈酌妗鰽′B′C′是正三角形，所以C′D⊥A′B′.因?yàn)锳A′⊥底面A′B′C′，所以A′A⊥C′D.又AA′∩A′B′＝A′，所以C′D⊥側(cè)面ABB′A′，所以BD是斜線BC′在平面ABB′A′上的射影，∠C′BD是直線BC′與平面ABB′A′所成的角．等邊三角形A′B′C′的邊長(zhǎng)為1，C′D＝32在Rt△BB′C′中，BC′＝B'B2故直線BC′與平面ABB′A′所成的角的正弦值為sin∠C′BD＝C'DB[學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)]1．B[一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則其垂直于三角形所在平面，從而垂直第三邊．]2．AC[由線面垂直的定義知，A正確；當(dāng)l⊥α?xí)r