線性代數(shù)作業(yè)紙新答案2015

第一章行列式

(-)

一、填空

ab

1.二階行列式=a2b-ab2.

bb

1000

1200

2.四階行列式］24

230

1234

3-11

3.設(shè)。=一2-31則元素。33=2的代數(shù)余子式&3="11.

012

二、選擇

ax00々

0>0

1.四階行列式°22的值等于D).

b3a30

00(z

a4

(A)的2a3a4一站4(B)2a3a4+。也。3。4

(C)(%%—伉力)33a4-4%)(D)（a2a3-。2。3）（4。4—瓦。4）

25

2.若行列式13—2=0,。x=(D).

25x

(A)-3(B)-2(C)2(D)3

k21

3.若左=(A),則2k0=0.

1-1

(A)-2(B)2(C)0(D)-3

、1"X

三、計(jì)導(dǎo)

Oxy

1.-x0z=0（對(duì)角線法則）

-y-z0

0仇000

00b200

2.000%00也也2b3b4（按第一列展開(kāi)）

0000b4

a1出a3%%

000?-010

000?-200

000?-000

3.(-1)2加

0n—20?-000

n—100?-000

000?-00n

（二）

一、填空

1.若=1atj1=a,則Dn=1—atj1=(一1)"〃.

dyci?

2.若b2

C1C2

abcd

bda,

3.設(shè)Z)=，則A+44+A+A=°?

dbca143444

abd

二、選擇

〃12

1.設(shè)o=〃?2

an\%2

a

annn^n—i)n!

則方=")'“("T)("-1)，7"=(A).

aina\\

(A)D(B)-D(C)(-1)"￡)(D)2D

2.行列式。=0的必要條件是(B).

(A)。中有兩行(列)元素對(duì)應(yīng)成比例

(B)D中至少有一行元素可用行列式的性質(zhì)化為零

(C)O中有一行元素全為零

(D)D中任意一行元素都可用行列式的性質(zhì)化為零

2x1-1

3

3.在函數(shù)/(%)=-X-XX%的系數(shù)是(A).

12X

(A)-2(B)1(C)-1(D)2

三、計(jì)算

4124

1202

1.=0

10520

0117

a1(tz+1)"(a+2)23+3)2

b2(b+iy3+2)2S+3)2

2.=0

c2(C+l)2(c+2『(c+3)2

d2("I)?(d+2)2(d+3)2

xa???a

aJQ.??Q

n-1

3.Dn=,,=(x-a)[%+(n-l)a].

aa???x

(三)

一、填空

+%+%3=0

1.齊次線性方程組1%+4羽+范=0有非零解的充分必要條件是4=1或-2.

%+工2+=0

Ax—y=a

2.若線性方程組｛:有唯一解，則2必須滿足W±l.

-x+Ay=b

2玉+2X2-x3=0

3.齊次線性方程組］須-2々+4/=0的解的情況是僅有零解.(填僅有零解或有非

5玉+8X2-2X3=0

零解)

二、選擇

1.若齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式。(A).

(A)必為零(B)必不為零

(C)必為1(D)可為任意數(shù)

axx+2X2+3X3=8

2.設(shè)非齊次線性方程組12〃玉+2々+3/=1。有唯一解，則〃力必須滿足(D).

/+%+bx3=5

3

(A)aWO且Z?W0(B)—且

2

333

(C)a豐—且—(D)aWO且—

222

kX[+x3=0

3.當(dāng)左。(C)時(shí)，齊次線性方程組?2再+kx2+x3=0只有零解

kx「2X2+x3=0

(A)0(B)-1C)2(D)-2

二、計(jì)導(dǎo)

axx+x2=0

1.若齊次線性方程組12玉+〃/+2/=0有非零解，求〃的值.

x2+ax3=0

a10

解：方程組有非零解，則系數(shù)行列式2a2=?((?2-4)=0,

01a

則a=0或±2.

an(a-1)"???(a-n)n

an-'(a-ir1???(a-n)n-1

-D=-：?:■:提示：利用范德蒙德行列式的結(jié)果.

aa-\???a-n

11???1

解：將行列式上下左右翻轉(zhuǎn),即為范德蒙德行列式.

111

a—na—n+1a

=n(-)?

1<j<i<n+\

(a-n)n(a—n+l)n

+x2+x3=0

3.問(wèn)4,〃取何值時(shí)，齊次線性方程組｛苞+〃2+七=0有非零解?

%1+2//X2+x3=0

解：方程組的系數(shù)行列式必須為0

411211

丫3f

D=11141

12〃100

故只有當(dāng)〃=0或2=1時(shí)，方程組才可能有非零解.

第二章矩陣

填空

'帖］岫2。四、

1.設(shè)A=〃2■8=(4b2Z?3),貝ijAB=a2bxa2b2a2b3

9bl。3b2出4)

'岫］

a2bl/A'

(〃/1+TTT

BA=a2b2+a3b3);(AB)=arb2a2b2a3b2；AB+〃202+。303)；

l他a2b3a3b3)

a2bl〃3》i'

TT

BA=arb2a2b2a3b2

a力3。303,

’101、

2.設(shè)4=020,而〃N2為正整數(shù)，則A〃—2A〃T=O.

J0"

(1n

1--

23

3.設(shè)0=(1,R),〃=(1,1,1,)1則(網(wǎng))"=(當(dāng)I13?

23623

選擇

1.設(shè)A,5都是”階方陣且45=0,則(B)

(A)B=O(B)141=0或151=0

(C)BA=O(D)(A-B)2=A2+B2

2.以下結(jié)論正確的是(C)

(A)若方陣4的行列式等于0,則4=0

(B)若4?=。，則4=0

(C)若4為對(duì)稱矩陣，則A?也為對(duì)稱矩陣

(D)對(duì)任意的同階方陣A,5,<(A+B)(A-B)=A2-B2

T

3.由故做乘積4則必須滿足(B)

(A)m=n(B)m=t(C)n=s(D)n=t

三.計(jì)算與證明

111、f123、

1.設(shè)4=11-1,B=-1-24,求345-24及4TB.

1-11705b

q11123q11、，-21322、

解：345—24=3i1-1-1-24i1-1-2-1720

i-11,1-11,4-2

7\05177297

(1ii、123、r058、

ATB1i-i-1-240-56

J-ii八05b390

q31

，2140、0-12'6-78、

2.

,1-134,i-31、20-5-6

、40-2J

f、/、

ai2a13

a12“23x2

Ia13a23

7\x37

^^12*^1+^^22b^2+^^32*^3+"33>^3)

=+a2lx2+cz31x3

I0^22^^2+^^33*^3+■

4.設(shè)A,5為”階方陣，且4為對(duì)稱陣，證明5T45也是對(duì)稱陣

證明：已知：Ar=A,則(B^AB/=BT(BTA)T=BTATB=AB

從而BTAB也是對(duì)稱陣.

（二）

一.填空

,123、’-1-2-3、

1.設(shè)4為三階可逆矩陣，且4一1=01-2，則A*=0-12

o-b<0。L

’100]

2.設(shè)4=220,則(A)'—；(A-1)*=—

1345j1010

3.設(shè)4為3階矩陣，且國(guó)=；，則卜24尸—5A*|=-16.

,1-11、

4.設(shè)。為3維列向量，aa'=-11-1,則ara=3

J-1L

選擇

1.設(shè)4為“階可逆矩陣，4*為4的伴隨矩陣，貝I］必有(A)

(A)|A*|TA『T⑻|A*|=|A|CO|A*|=|A|"(D)|A*|=|A-||

2.設(shè)”階方陣A,5,C滿足關(guān)系式45C=E,其中E為”階單位矩陣，則必有(D).

(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E

3.已知4為”階方陣，且滿足關(guān)系式工+34+4后=0,貝U(4+E尸=(C)

(A)A-'+E(B)E+-A(C)-E--A(D)A+4E

22

4.設(shè)A,5都是“階方陣，則下列命題中正確的是(D)

(A)若4。。且則(B)若4,6都是對(duì)稱陣，則45是對(duì)稱陣

(C)若45不可逆，則A,5都不可逆(D)若45可逆，則A,5都可逆

三.計(jì)算與證明

’5200

2100

1.求的逆陣.

001-2

、00117

2、12、

解：

An=朗31-1

b[25/i?b

'1-200、

-2500

川=00--

33

[25)<4-6>

2.解矩陣方程X=

1321

(251(4-5V4-61_（2一23、

解:2121廠〔。

k132

0、

3.設(shè)P―4P=/A求「

2,

解：PT4P=/故A=P/pT所以4"=P/UpT

(1公1(14、

|P|=3P*

3H1J

oY10、

而A11

11

02J027

0]33,27312732、

故A”

2n)_11、一683-684,

35

（三）

一.填空

02-2、

1.已知4=2x3不可逆，貝ijx=-6或-3

、3-11,

、

，-200、-200

2.設(shè)4+45+5=0,且4=000，則5=000

、004；4

700

5

3.設(shè)4=140,則(4—2E)T=---0

22

[003)[001

選擇

1.設(shè)A,5都是“階可逆矩陣，則必有(C)

(A)4+5是〃,階可逆矩陣

(B)\A+B\=\A\+\B\

(C)只用初等變換可把4變?yōu)?

(D)AB-BA

2.設(shè)〃階矩陣46,。,0滿足46。0=￡,貝ij(A)

(A)(CB)1=CDADAB(B)(CB)1=DA

(C)(CB)1=AD(D)(CB)1=DABCDA

3.設(shè)AX=5,則(B)

(A)當(dāng)4可逆時(shí)，X=BA1

(B)當(dāng)4可逆時(shí)，X=AB

(C)當(dāng)時(shí),14X0

(D)當(dāng)X/O時(shí),4可逆

三.計(jì)算與證明

(101-n

2010

1.用初等變換求矩陣的逆矩陣.

3120

104J

f-421-1、

1—4-107-1

解:

682-22

24-117

’010](1

2.設(shè)4X+5=X，其中4=-111,B=2求X.

-J卜

-10

解：X=(E-Ay1B而(E-4)T=-1--

33

2

0

33-1、(3-n

21

所以X=-120—20

33

5

11T)

0

33;

3.設(shè)三階矩陣A,6滿足關(guān)系式4一%4=34+54,且4=0-0，求5.

4

'300、

解：A}BA-BA=3A,(相-E)A4=3A,A-1=040

、007,

"3、

2

5=3(4-1—后尸=1

、2>

(四)

填空

1.設(shè)矩陣A,””的秩為r,P為機(jī)階可逆矩陣，則R(Z4)=r.

2.設(shè)四階方陣A的秩R(A)=2,則其伴隨矩陣A*的秩為RG4*)=0

11P

、1^11

3.設(shè)4=,7?(A)=3,則左=一3.

11k1---------------------

J11a

選擇

1.從矩陣4中劃去一行得到矩陣5,則A,5的秩的關(guān)系為(A)

(A)K(A)>H(B)>R(A)-1(B)R(A)>R(B)>R(A)-1

(C)R(A)>R(5)>R(A)-1(D)7?(A)>7?(B)>7?(A)-1

2.在秩是廠的矩陣中(C)

(A)沒(méi)有等于0的廠-1階子式

(B)沒(méi)有等于0的/?階子式

(0等于0的廠-1階子式和等于0的廠階子式都可能有

(D)所有廠-1階子式等于0

3.設(shè)A,5都是”階方陣，且45=0,則必有(A)

(A)若R(A)=〃，則B=0(B)若貝ijB=0

(C)4=0或者B=0(D)141+151=0

102、

4.設(shè)4是4x3矩陣,且4的秩R(4)=2,而5020，則R(A5)=(C)

3)

-10

(A)0(B)1(C)2(D)3

二.計(jì)\I舁Zr~/r~

/3102

1.求矩陣4=1-12-1的秩.

13-44

7

解：R(A)=2

3k

2.設(shè)4=-1-3求k為何值時(shí)可使R(A)等于:

37

(1)1；(2)2：(3)3

-23k

解：A-02伏-1)3(1)

、°o3(l-k)(2+k)7

(1)當(dāng)左=1時(shí)，R(A)=1；

(2)當(dāng)上=—2時(shí)，7?(A)=2；

(3)當(dāng)上。1且左。一2時(shí),R(A)=3.

/0012

13-22-1

3.設(shè)矩陣4，求R(4),并求一個(gè)最高階非零子式.

26-450

-1-340一5〃

012

解：R(4)=3,一個(gè)最高階非零子式為1-22

2-45

第三章線性方程組

(一)

一、選擇

1.當(dāng)(D)時(shí)，齊次線性方程組A“x“x=o一定有非零解。

(A)m豐n(B)m=n(C)m>n(D)m<n

3%+日2-=0

2.齊次線性方程組《

4X2-X3=0有非零解,則上=(A)

+kx=0

4X23

(A)-1(B)1(02(D)-3

_、IA-/r-QT-

—、計(jì)導(dǎo)題

%1+x2+2X3-x4=0

1.求齊次線性方程組4+x2+x3-x4=0的通解.

2X]+2X2+￡+2X4=0

解：對(duì)系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形

112-P112-P112-1

r1-r\

A211-10-1-31013-1

弓一2rl與+(—3)

2212,00-3_4

4,001

C3、

100

10-103

rl-r2rl+r3

013-10103

運(yùn)「3%

_44

001001

-3?3

所以尺(A)=3。故方程組有4-R(A)=1個(gè)自由未知量。與原方程組同解的方程組為

4_

X]4=0n

x+，

23X4=0取與為自由未知量，令*4=。

4

%3-5X4=0

得所求方程組的解為,(Ce7?)

%1-x2-x3+x4=0

2.求非齊次線性方程組《

%1-x2+x3-3X4=1的通解.

%1-x-2X+3X

9342

"1-1-110、‘1-10-1p

解：B=1-11-31T001-2\

U-1-23f、00000,

所以

1

=工2++5

c1

退=2X4+5

取了2，%4為自由未知量，令％2=占，％4=%2

得所求方程組的解為:

,(《,月€R)

(2+3)%1+x2+x3=2

3.當(dāng)2取何值時(shí)，線性方程組

%1+(2+3)X2+X3=A

X]+/+(2+3)W=-2

（1）有唯一解；

（2）有無(wú)窮解，并求通解;

(3)無(wú)解。

解：141=(2+2)2(4+5)

(1)當(dāng)無(wú)?！?,且一2時(shí)，14上0,這時(shí)方程組有唯一解;

"111-2)(111-2、

(2)當(dāng)2=-2時(shí)，B=111-2-0000

1-2)100

J1007

由于R(4)=R(5)=1<3,有無(wú)窮解。

/-2、

通解為:1+。20+0

bJ

，-2111-2-2、

(3)當(dāng)4=-5時(shí)，B=1-211-11

,11-20017

由于R(A)#R(5),故無(wú)解。

(二)

一、填空

1.向量組/=(1』)1%=(2,-13,%=(0，一3尸是線性21置的.(填相關(guān)或無(wú)關(guān))

2.設(shè)向量組/=(a,O,c)T,%=(。，。，0)1"3=(°，a，b)T線性無(wú)關(guān)，則。也。必滿足關(guān)系式

abc豐0.

,12-2、

3.已知三階矩陣4=212,三維列向量。=(a/,l)T,且。與4a線性相關(guān)，則

、304J

a——1.

二、選擇

1.若向量組佻尸,/線性無(wú)關(guān)，a,尸?線性相關(guān)，貝U(C)

(A)a必可由民rS線性表示(B)/必可由a,7?線性表示

(C)S必可由a,』,/線性表示(D)4必不可由a,%6線性表示

2.向量組%,%，…，4線性無(wú)關(guān)的充要條件是(C)

(A)4,…%均不為零向量

(B)4中任意兩個(gè)向量的分量成比例

(C)中任意一個(gè)向量均不能由其余s-l個(gè)向量線性表示

(D)%,火,…,區(qū)中一部分向量線性無(wú)關(guān)

3.設(shè)三階行列式0=141=0,則(A)

(A)。中至少有一行向量是其余行向量的線性組合

(B)。中每一行向量是其余行向量的線性組合

(0O中至少有兩行向量線性相關(guān)

(D)。中每一行向量都線性相關(guān)

4.設(shè)A:%,%,。3，%是一組九維向量，且線性相關(guān)，貝(D)

(A)A的秩等于4(B)A的秩等于〃

(0A的秩等于1(D)A的秩小于等于3

三、計(jì)算與證明

1.設(shè)的=0，2,3>，%=。，3/f，

(1)問(wèn)f為何值時(shí)，向量組內(nèi),4,火線性無(wú)關(guān)；

(2)問(wèn)f為何值時(shí)，向量組出,。20線性相關(guān)，并將表示為。1，。2的線性組合?

’111)(10-1、

解：A=(%，的,%)=123~012

J3”100r-57

(1)當(dāng)f一5。0,即t。5時(shí)，=3,向量組線性無(wú)關(guān)。

(2)當(dāng)/一5=0,即，=5時(shí)，7?(0,％,。3)=2<3,向量組名,。2，%線性相關(guān)，并且

%=-?|+2a2.

T

2.設(shè)/=(2,0,-1,3＞，?2=(3,-2,l,-l),4=(一5,6,-5,9＞，尾=(4,—4,3,-5『,

證明向量組名,應(yīng)與片,A等價(jià)?

證明：(%%幾夕2)

由此可知7?(%,02,4,夕2)=2=我(％4)=我(四，夕2)

所以向量組名,4與01,02等價(jià)。

3.已知向量組名,4,%線性無(wú)關(guān)，

證明：向量組片=%22=/+%血=%+%+%也線性無(wú)關(guān)?

證明：設(shè)存在一組數(shù)占,右，&，使得勺4+勺&+勺夕3=0

即41/+攵2(。|+4)+&(/+4+%)=0

整理，(左］+42+%)%+(%2+=3)。2+A3a3=0V

因?yàn)橄蛄拷M%,%，%線性無(wú)關(guān)，

&+42+&=0

所以＜&+左3=0

勺=0

.?.41=&=&=0，所以向量組目，夕2,夕3也線性無(wú)關(guān)。

(三)

一、填空

TTT

1.向量組％=(1,0,0),a2=(0,1,0),%=(3,2,0)的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組是啰,電.

二、選擇

1.設(shè)九維向量組4的秩為廠(〃>廠)，則(B)

(A)%,火,…,％中任何r+1個(gè)向量線性相關(guān)，任何r個(gè)線性無(wú)關(guān)

(B)中一定存在含有廠-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量的部分組

(C)…,4中任何線性相關(guān)的部分組向量個(gè)數(shù)多于廠個(gè)

(D)若r=s,則任何九維向量都可用4線性表示

2.設(shè)兀維向量組名,％的秩為r,則(C)

(A)若r=s,則任何應(yīng)維向量都可用名,％線性表示

(B)若s=〃，則任何“維向量都可用藥,。2,…,該線性表示

(C)若r=〃,則任何〃維向量都可用名,4線性表示

(D)若s>〃，則r=n

3.設(shè)九維向量組%,%，…，4的秩為3，貝I(C)

(A)%,%，…，4中任意3個(gè)向量線性無(wú)關(guān)

(B)名,…4中無(wú)零向量

(C)%,%，…，4中任意4個(gè)向量線性相關(guān)

(D)名,％，…，4中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)

三、計(jì)算與證明

1.設(shè)有向量組A：0=(2』,4,3)1,%=(-1,1,一6,6尸,%=(-1,-2,2,-9了,

%=(1,1,-2,7尸，求A的秩和它的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組;

解：⑴

"2-1-1Or11-2O<11-21

11-212-1-110-33-1

T一

4-62-24-62-20-1010-6

、36-97)<36-9713-34

~》8-

000——0001

、000JI。00oj

/.=3

"111、

0-3-1

而(0,%,%)7()()]

、0007

該向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為,%,%(或%,%，%)

2.已知向量組A：

6=(1,1,1,1)T,應(yīng)=(1，T，1，一19，%=(1，3,1,3)T,&=(1,—1,-1,1)T.

⑴求向量組A：。］,%，%，%的秩及其一個(gè)最大無(wú)關(guān)組；

(2)將不屬于最大無(wú)關(guān)組的向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示.

‘1111、’1020、’1020、

1-13-1r01-1001-10

解：A=(0,。2,。3，。4)=

111-100010001

「131,10000)、0000,

因此(1)R(A)=3,%是向量組A的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組

(2)a3=2al-a2

(四)

一、填空

kX]+2X2+x3=0

1.線性方程組卜/=0僅有零解的充分必要條件是左。-2且k。3.

xl-x2+x3=0

2.設(shè)齊次線性方程組，其中4為mX”矩陣，x為“維列向量，R(A)=r,則線性方程組

Ax=0的基礎(chǔ)解系中有7-r個(gè)向量,當(dāng)r=”時(shí),方程組只有零解.

「H尸1

x+=0/0"1

3.四元齊次線性方程組12八的一個(gè)基礎(chǔ)解系為4=,4=八.

x2-x4=010

4.若線性方程組A“x,x=夕的系數(shù)矩陣的秩為機(jī)，則其增廣矩陣的秩為m.

5.如果”階方陣4的各行元素之和均為0,且R(A)=〃-1,貝峨性方程組Ax=0的通解

為晨1,1,…，1尸，(左為任意實(shí)數(shù)).

二、選擇

1.設(shè)4為7"X“矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=B所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，

則下列結(jié)論正確的是(D)

(A)若Ar=0僅有零解，則Ax=/有唯一解

(B)若Ax=0有非零解，則Ax=/有無(wú)窮多個(gè)解

(C)若Ax=夕有無(wú)窮多個(gè)解，則Ax=0僅有零解

(D)若Ax=夕有無(wú)窮多個(gè)解，則Ar=0有非零解

2.設(shè)4為?i(〃22)階方陣，且R(A)=〃-1,是Ax=0的兩個(gè)不同的解向量，k

為任意常數(shù)，則4x=0的通解為(C)

(A)kax(B)ka2(C)左(%一%)(D)左(0+4)

3.已知口,隹是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同解，%,%是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程

組Ax=0的基礎(chǔ)解系，占次2為任意常數(shù)，則非齊次線性方程組Ax=）的通解為（B）

（A）左］/+左2（名+a?）+（B）左［6T］+左2（。1—。2）+

（04鄉(xiāng)+心組+4）+”^（D）左0+左2（4一尾）+4土邑

三、計(jì)算與證明

玉+2X2+元3-44=0

1.求齊次線性方程組＜3Xi+6X2—x3—3X4=0的一■個(gè)基礎(chǔ)解系.

5*1+10x2+x3-5X4=0

解：對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，變成行最簡(jiǎn)形矩陣，有

121、(121一n’120-P

A=36-100-400010

、51017I0000,,0000,

玉+2X-x=0

所以有方程組24

X3=0

(-2)

’0、1

令,得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為。J

7J0

O

X]+/+￡+Z+%5=3

2x+x+3X+3X+4X=14

2.求線性方程組《12345的通解.

—

3X]+4々+X33X4+=—11

xl-x2+4X3+8x4+4X5=31

解：對(duì)增廣矩陣施行初等行變換:

f111113、(100-85-13、

21334140104-34

B=

341-32-110015-112

1-1484317、o00000，

%]=8X4-5X5-13

有《

x2=-4X4+3X5+4,令5=%=0,得方程組的一個(gè)解

x3=-5X4+x5+12

'-13、

4

*

n=12

0

、°，

對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為。

于是所求的通解為

X=喈+eg]+77*(q,02eR)

第四章相似矩陣和二次型

（一）

一、填空

、fl,i—j,、

1.設(shè)4=（%%「一，七）為"邛介正父陣，則內(nèi)積屹?,%]=〈（z,j=1,2,

0,iA./

2.設(shè)a=（l,2,a,4）T,夕=（一4,1一2,1尸,若a,夕正交,則a力應(yīng)滿足的關(guān)系為a=b.

?13

3.設(shè)單位向量a與以=（1,1』）T,4=（—1,2,0廠都正交，則。=（,一二）T.

'V14V1414

4.已知T是一個(gè)”階正交陣，〃維列向量llall=l,則IITa11=1.

二、計(jì)算與證明

1.試用施密特正交化方法把下列向量組正交化:

1p

(1)(al,a2,a,)=124

J39,

解根據(jù)施密特正交化方法：

Aa?一=0

DOJ

[22烏]8=j__2

\%町23

2

故正交化后得：(瓦區(qū),聆=1o--

11-C

11oj

解根據(jù)施密特正交化方法:

(n

取,

-1

、b

(1)

1-3

僅2=%—

32

、b

’-1、

[g'%]n_[夕2'。3]3

EO15I"3

5

3

0-1

故正交化后得：(△,△,回)=5

3

-1-

35

4

1-

(3

57

求一組非零向量生，。3使火,。2,。3兩兩正交。

解嘖，。3應(yīng)滿足方程，端％=0，即

$+九2+犬3=0，

它的基礎(chǔ)解系為

(n(o)

$=。，$=1，

〔-工

把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求.亦即取

冬=品名=4「解久

5，9iJ

其中匕名］=1，匕。］=2,于是得

[1）（（1）㈠

%=0,%—1——0=-2.

3.已知4為〃階正交陣，試證明IA1=1或