專題2-2 勾股定理（考題猜想巧用勾股定理解決折疊問題）原卷版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點(diǎn)大串講（人教版）

專題2-2勾股定理（考題猜想，巧用勾股定理解決折疊問題）折疊問題是中考的熱點(diǎn)問題，通常與動(dòng)點(diǎn)問題結(jié)合起來，這類問題的題設(shè)通常是將某個(gè)圖形按一定的條件折疊，通過分析折疊前后圖形的變換，借助軸對稱性質(zhì)、勾股定理等知識進(jìn)行解答?！痉椒偨Y(jié)】利用勾股定理解答折疊問題的一般步驟：1.運(yùn)用折疊圖形的性質(zhì)找出相等的線段或角；2.

在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)圖形中某一線段的長為x，將此直角三角形的三邊長用數(shù)或含有x的代數(shù)式表示出來；3.利用勾股定理列方程求出x；4.進(jìn)行相關(guān)計(jì)算解決問題技巧1：巧用對稱法求折疊中線段的長【例題1】（22-23八年級下·河北滄州·階段練習(xí)）已知如圖，折疊長方形的一邊，點(diǎn)D落在邊的點(diǎn)F處，已知，，則（

）cmA．3 B．4 C．5 D．6【變式1】（22-23八年級下·山東德州·期中）如圖，折疊長方形紙片的一邊，使點(diǎn)D落在邊的處，，，求的長．【變式2】．（23-24八年級下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）如圖，長方形紙片中，，將紙片折疊，使頂點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕的一端點(diǎn)在邊上．(1)如圖（1），當(dāng)折痕的另一端在邊上且時(shí)，求的長(2)如圖（2），當(dāng)折痕的另一端在邊上且時(shí)，①求證：．②求的長．【變式3】（22-23八年級下·浙江金華·期中）如圖，將矩形紙片折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，將紙片展開，折痕為，在邊上找一點(diǎn)P，沿將折疊，得到，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q.

問題提出：（1）若點(diǎn)Q落在EF上，，連接.①是三角形；②若是等邊三角形，則的長為.深入探究：（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，判斷的形狀并證明；拓展延伸；（3）若，，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)Q落在矩形內(nèi)部（包括邊）時(shí)，連接，直接寫出的取值范圍.技巧2：巧用方程思想求折疊中線段的長【例題2】（22-23八年級下·四川德陽·期中）如圖，矩形如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中，若將其沿著對折后，為點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．4.5【變式1】（22-23八年級下·遼寧撫順·階段練習(xí)）如圖，在中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，連接交于，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長是．【變式2】（22-23八年級下·四川瀘州·期末）如圖（1），已知直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，C，以為邊在第一象限內(nèi)作矩形．(1)求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；(2)如圖（2），將對折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕分別交于點(diǎn)D，E，求直線的解析式；(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)P（除點(diǎn)B外），使得與全等？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【變式3】．（21-22八年級下·廣東佛山·期末）如圖，把矩形紙片放入直角坐標(biāo)系中，使，分別落在軸，軸的正半軸上，連接，且，．

(1)求所在直線的解析式；(2)將紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合（折痕為，求折疊后紙片重疊部分的面積；(3)若過一定點(diǎn)的任意一條直線總能把矩形的面積分為相等的兩部分，則定的坐標(biāo)為．技巧3：巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系【例題3】（22-23八年級下·黑龍江齊齊哈爾·期末）綜合與實(shí)踐折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識．(1)折一折、猜想計(jì)算：如圖①：把邊長為8的正方形紙片對折，使邊與重合，展開后得到折痕．如圖②：將正方形紙片沿經(jīng)過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，展開后連接，圖②中，為_________三角形，線段_________；(2)折一折、類比探究：如圖③將正方形紙片折疊，使點(diǎn)落點(diǎn)處，折痕與邊交于點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，展開后連接．①猜想線段與線段之間的關(guān)系_________；②_________；(3)折一折、探究證明：如圖④：將正方形紙片沿經(jīng)過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)落在正方形紙片內(nèi)部的點(diǎn)處，折痕與邊交于點(diǎn)，展開后延長交于點(diǎn)．猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明；若，則_________．【變式1】（20-21八年級上·福建泉州·期末）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，現(xiàn)有矩形紙片．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，將圖1中的矩形紙片沿對角線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)M，若，，則____．(2)如圖3，將圖2中的紙片展平，再次折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為，然后展平，則以點(diǎn)A，F(xiàn)，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形？并說明理由．(3)實(shí)踐探究：如圖4，將圖3中的EF隱去，點(diǎn)G為邊上一點(diǎn)，且，將紙片沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，延長與的延長線交于點(diǎn)H，則與有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【變式2】（21-22八年級下·全國·單元測試）在中，，，M是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q，試求三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【變式3】（22-23八年級下·江西宜春·期末）課本再現(xiàn)：（1）如圖1，是一個(gè)正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個(gè)門，且．要修建兩條路和，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？和的數(shù)量關(guān)系是：___________；和的位置關(guān)系是___________；（無需證明）知識應(yīng)用：（2）如圖2，是一個(gè)正方形草地，現(xiàn)要在內(nèi)部修建兩條路，且，①請問這兩條路還相等嗎？為什么？②如圖3，將邊長為12的正方形紙片沿折疊，點(diǎn)D落在