專題3-1 平行四邊形（考題猜想構(gòu)造平行四邊形解題的六種應(yīng)用類型）原卷版-2023-2024學(xué)年8下數(shù)學(xué)期末考點大串講（人教版）

專題3-1平行四邊形（考題猜想，構(gòu)造平行四邊形解題的六種應(yīng)用類型）類型1：證兩線段相等【例題1】（2023春?濱?？h期中）如圖，在平行四邊形中，，是對角線上兩個點，且．（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．【變式1】（22-23八年級下·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，分別是邊上的點，且，直線分別與的延長線交于點，連接.(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)求證：．【變式2】（23-24八年級下·甘肅武威·期中）如圖，在中，O為的中點，連接并延長，交的延長線于點E．求證：．【變式3】（23-24八年級下·吉林·階段練習(xí)）如圖，在中，平分，交于點E，交的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，，求的面積．類型2：證兩線段互相平分【例題2】（23-24八年級下·山東聊城·期中）如圖，，分別是四邊形的邊，的中點，，是，的中點．求證：和互相平分．【變式1】（20-21八年級下·上海長寧·期末）如圖，BD、AC是四邊形ABCD的對角線，點E、F、G、H分別是線段AD、DB、BC、AC上的中點．(1)求證：線段EG、FH互相平分；(2)四邊形ABCD滿足什么條件時，EG⊥FH？證明你得到的結(jié)論．【變式2】（23-24八年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，在中，對角線，交于點O，，E，F(xiàn)，H分別是，，的中點，交于點G．(1)求證：線段與線段互相平分；(2)若，求的長度；(3)求的值．【變式3】（23-24八年級下·江西贛州·期中）【課本再現(xiàn)】我們把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．下面是三角形中位線的性質(zhì)及證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法：三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．已知：如圖1，在中，點分別是邊的中點．求證：，且．方法一：證明：如圖2，延長到點，使，連接．方法二：證明：如圖3，取中點，連接并延長到點，使，連接．【回顧證法】（1）請你選擇其中一種證法，繼續(xù)完成證明過程．【實踐應(yīng)用】（2）如圖4，B、C兩地被池塘隔開，在無法直接測量的情況下，小明通過下面的方法測出了間的距離：先在池塘外選一點，連接，然后測出的中點、，并測出的長度為12米，則兩點間的距離______米．【深入探究】（3）如圖5，是的中位線，是邊上的中線．與是否互相平分？請證明你的結(jié)論．類型3：證兩線段平行【例題3】（2023·四川南充·中考真題）如圖，在中，點，在對角線上，．求證：

(1)；(2)．【變式1】（22-23八年級下·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，點E，F(xiàn)是對角線上的點，．求證：

(1)；(2)．【變式2】（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，，點P為邊上的一點，，且，點C關(guān)于直線的對稱點為D，連接，又的邊上的高為：

(1)求的大??；(2)判斷直線是否平行？并說明理由；(3)證明：．【變式3】（22-23八年級下·山西忻州·期中）如圖，正方形中，E，F(xiàn)，G分別是上的中點，連結(jié)，連結(jié)CG分別交于點M，N，交于點H．

(1)求證：；(2)當點P從點A勻速運動到點E時，點Q恰好從點C勻速運動到點N處，若，設(shè)．①求的長；②當時，用含代數(shù)式表示四邊形的面積；③在P，Q整個運動過程中，當P，Q與四邊形的兩個頂點構(gòu)成平行四邊形時，求t的值．類型4：證線段的和差關(guān)系【例題4】（20-21八年級下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點，F(xiàn)為對角線AC上一點，連接DE、BF，若∠ADE與∠CBF的平分線DG、BG交于AC上一點G，連接EG．（1）如圖1，點B、G、D在同一直線上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的長；（2）如圖2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求證：AD＝BF+DE．【變式1】（22-23八年級下·安徽宿州·期末）如圖，平行四邊形中，于點，點在上，交于點，連接．

(1)若，求的長度；(2)求證：；(3)求證：．【變式2】（22-23八年級下·湖北武漢·期中）已知為平行四邊形．(1)如圖1，若于M，于N，求證：；(2)如圖2，若為兩條對角線，求證：．【變式3】（22-23八年級下·重慶沙坪壩·期末）如圖，在中，，D，E分別為上兩動點，．(1)如圖1，若于H交于K，求證：；(2)如圖2，若交于F，，，求證：；(3)如圖3，若，將繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得，N為中點，當取得最小值時，請直接寫出的面積．類型5：求線段的取值范圍【例題5】（22-23八年級下·四川綿陽·階段練習(xí)）在中，，，，點N是邊上一點．點M為邊上的動點（不與點B重合），點D，E分別為，的中點，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【變式1】（22-23八年級下·河北保定·期末）如圖，在平面直角坐標系中，，為軸上一動點，連接并延長至點，使，取軸負半軸上一點，使得，以，為邊作．（）點的坐標為．（）設(shè)點坐標為，則點的坐標為（用含的代數(shù)式表示），連接，則長度的取值范圍為．【變式2】（20-21八年級下·江蘇南京·期中）如圖，在等邊三角形中，，P為上一點（與點A、C不重合），連接，以、為鄰邊作平行四邊形，則的取值范圍是．【變式3】（21-22八年級下·廣東佛山·期中）如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，點E，F(xiàn)在上，點G，H在上，且，．(1)若，則的取值范圍為_____________；(2)若，求的度數(shù)；(3)試判斷與的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并說明理由．類型6：解決面積問題【例題6】（21-22八年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，是的邊上的點，是中點，連接并延長交于點，連接與相交于點，若，則陰影部分的面積為（

）

A．24 B．17 C．13 D．10【變式1】（22-23八年級下·黑龍江佳木斯·期中）如圖，在矩形中，點分別是的中點，連接和，分別取、的中點，連接，若，，則圖中陰影部分圖形的面積和為．

【變式2】（22-23八年級下·廣東深圳·期末）如圖，在四邊形中，，，E是的中點，佳佳用無刻度直尺進行如下操作：連接；連接，交于點F；連接，交于點P；作射線，交于點H．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)求證：；(3)若，，求四邊形的面積．【變式3】（22-23八年級下·北京密云·期中）已知：如圖，在邊長為1的小