遼寧省沈陽(yáng)2023-2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)試題

遼寧省沈陽(yáng)2023-2024高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)集合，則為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】化簡(jiǎn)集合A，B，根據(jù)交集計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，故選：A2.已知，那么命題p的一個(gè)必要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】首先解不等式，得到不等式的解，利用集合之間的關(guān)系，判斷充分必要性，得到結(jié)果.【詳解】，運(yùn)用集合的知識(shí)易知，A中是p的充要條件；B中是p的必要條件；C中是p的充分條件；D中是p的既不充分也不必要條件.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判段，正確解題的關(guān)鍵是理解充分必要條件的定義.3.給定函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】由函數(shù)與方程的思想將函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖像數(shù)形結(jié)合即可得.【詳解】若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，易知，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在取得最小值，易知當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如下圖所示：由圖可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：C4.若函數(shù)的圖像向左平移（）個(gè)單位，所得的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則當(dāng)最小時(shí)，A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)平移變換得到解析式后,利用所得的圖像關(guān)于軸對(duì)稱列式,再求最小值.【詳解】將函數(shù)的圖像向左平移（）個(gè)單位后,得到函數(shù),因?yàn)槠鋱D像關(guān)于軸對(duì)稱,所以,,即,,因?yàn)?所以時(shí),取得最小值,此時(shí).故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的平移變換,以及對(duì)稱軸,屬于中檔題.5.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，且，則使成立的實(shí)數(shù)的集合為（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根據(jù)的特征，構(gòu)造，研究其單性與奇偶性，又，得到，將，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性與奇偶性求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闀r(shí)，都有x+2f（x）＞0恒成立，所以，所以在上是增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)所以也是定義在R上的偶函數(shù)所以在上是減函數(shù)，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，?所以故選：A6.已知()，則（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先求出，再求出，再求的值即得解.【詳解】∵，∴，將兩邊同時(shí)平方得：，則，∵，∴，，∴，∴，故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角恒等變換常用的方法：三看（看角看名看式）三變（變角變名變式）.要根據(jù)已知靈活選用方法求解.7.已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】探討給定函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)脫去法則“f”，再借助一次函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又是定義在上的偶函數(shù)，即有在上單調(diào)遞減，且它的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)，，于是得，兩邊平方整理得，令，因此，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A8.已知函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，且，當(dāng)在上與在R上的單調(diào)性相同時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】依題意可得，為定值，設(shè)，則，不難得到在上為增函數(shù)，再對(duì)求導(dǎo)，利用三角恒等變換將化簡(jiǎn)為，又在上與在上單調(diào)性相同，所以時(shí)，恒成立，即恒成立，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則沒(méi)有零點(diǎn)，所以或恒成立，又，，所以為定值，設(shè)，則，不難得到在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，又在上與在上單調(diào)性相同，所以時(shí)，恒成立，即恒成立，因則，所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.二、多選題（本題共4小題，共20分，每題選項(xiàng)全對(duì)給5分，少選或漏選給2分，錯(cuò)選、多選和不選給0分）9已知函數(shù)f(x)＝＋，則（）A.f(x)的定義域?yàn)閇－3，1] B.f(x)為非奇非偶函數(shù)C.f(x)的最大值為8 D.f(x)的最小值為2【答案】ABD【分析】先求得函數(shù)定義域?yàn)椋珹B對(duì)，對(duì)表達(dá)式同時(shí)平方，求得的范圍，進(jìn)一步判斷范圍即可【詳解】由題設(shè)可得函數(shù)的定義域?yàn)?，則選項(xiàng)AB正確；f2(x)＝4＋2×＝4＋2×，而0≤≤2，即4≤f2(x)≤8，∵f(x)＞0，∴2≤f(x)≤2，∴f(x)的最大值為2，最小值為2，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD．10.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.，D.函數(shù)在上無(wú)最小值【答案】BC【分析】由圖可知，，進(jìn)而結(jié)合待定系數(shù)得，再依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：由圖可知，，，所以，即，所以，再將代入得，即，所以，即，因?yàn)?，所以，即，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，解得，即函數(shù)的對(duì)稱中心為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；因?yàn)?，，即函?shù)關(guān)于對(duì)稱，由函數(shù)圖像易知正確，故C正確；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)函數(shù)取得最小值，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】ABD【分析】由基本不等式，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】因?yàn)椋揖鶠檎龑?shí)數(shù)，所以由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確；由不等式，得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C錯(cuò)誤（或）；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，D正確．故選：ABD12.已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A.B.C.D.【答案】ABC【分析】根據(jù)互為反函數(shù)的性質(zhì)可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，從而可判斷A；利用基本不等式可判斷B、D；利用零點(diǎn)存在性定理以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C.【詳解】函數(shù)與互為反函數(shù)，則與的圖象關(guān)于對(duì)稱，將與聯(lián)立，則，由直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，作出函數(shù)圖像：則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)于A，由，解得，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)?，即等?hào)不成立，所以，故B正確；對(duì)于C，將與聯(lián)立可得，即，設(shè)，且函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，，，故函數(shù)的零點(diǎn)在上，即，由，則，，故C正確；對(duì)于D，由，解得，由于，則，故D錯(cuò)誤；故選：ABC【點(diǎn)睛】本題考查了互為反函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的應(yīng)用、零點(diǎn)存在性定理以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若命題：“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)特稱命題的否定，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由題意可知：命題：，.是真命題，①當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；②當(dāng)時(shí)，則，解得；故答案為：.14.已知函數(shù)，若的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】分別討論和時(shí)，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值，解不等式可得所求范圍.【詳解】函數(shù)，可得時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，由時(shí)，，若時(shí)，在遞減，可得，由于的最小值為，所以，解得；若時(shí)，在處取得最小值與題意矛盾，故舍去；綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值求法，考查二次函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，以及不等式的解法，屬于中檔題.15.我們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有“”、“內(nèi)卷”、“躺平”等，定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“躺平點(diǎn)”。若函數(shù)，，的“躺平點(diǎn)”分別為，，，則，，的大小關(guān)系為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)“躺平點(diǎn)”新定義，可解得,，利用零點(diǎn)存在定理可得,即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)“躺平點(diǎn)”定義可得，又；所以，解得；同理，即；令，則，即為上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以在有唯一零點(diǎn)，即；易知，即，解得；因此可得.故答案為：.16.對(duì)于給定的區(qū)間，如果存在一個(gè)正的常數(shù)，使得都有，且對(duì)恒成立，那么稱函數(shù)為上的“增函數(shù)”.已知函數(shù)，若函數(shù)是上的“3增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】先分析出為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，分，與三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性，得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，則定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，故在R上單調(diào)遞增，若，則畫(huà)出的圖象如下：即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減”，可知：在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以有，滿足3增函數(shù)，若，畫(huà)出的圖象如下：則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減”，可知：在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以只需任取，使得，由對(duì)稱性可知，存在，使得，且，故滿足，故滿足3增函數(shù)，若時(shí)，畫(huà)出的圖象如下：則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿足“同增異減”，可知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故只需滿足任取，使得，由對(duì)稱性可知：存在，使得，所以要滿足，結(jié)合，解得：，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，先考慮函數(shù)的定義域，再拆分為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，利用同增異減來(lái)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；復(fù)合函數(shù)的奇偶性，先考慮函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再拆分為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，利用“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”進(jìn)行判斷，即若內(nèi)層函數(shù)為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù)，若內(nèi)層函數(shù)為奇函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的奇偶性取決于外層函數(shù)的奇偶性，若外層函數(shù)為奇函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為奇函數(shù)，若外層函數(shù)為偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù).四、解答題（本題共6小題，共70分）17.數(shù)列前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用遞推關(guān)系可求得，再得到關(guān)系后即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由此可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由得：，兩式相減得：即由，得：，故，且，故且，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，，，兩式作差得：，.18.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞增.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗?，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在上恒成立，∴上單調(diào)遞增.19.在中，已知＝．（1）求的值；（2）求＋＋的最小值．【答案】（1）2（2）【分析】（1）利用二倍角余弦公式和同角三角函數(shù)關(guān)系對(duì)題給條件化簡(jiǎn)即可得到的值；（2）利用（1）的結(jié)論和均值定理即可求得＋＋的最小值．【小問(wèn)1詳解】在中，因?yàn)椋?，所以＝，即＝，即，即?；【小問(wèn)2詳解】在中，，則A、B均為銳角，則；因?yàn)椋裕剑剑?；故＋＋＝＋－＝＝＋?＝，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以＋＋的最小值為．20.已知函數(shù)，的圖象與直線相交，且兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為.（1）求的解析式，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)，若對(duì)任意，均有，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【詳解】分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的周期公式可得的值，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得到函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）對(duì)任意，均有，等價(jià)于的最小值不小于的最大值，即或，由此求得的取值范圍.詳解：（1）與直線y=2的圖象的兩相鄰交點(diǎn)之間的距離為.則T=.所以單調(diào)增區(qū)間(2)由，得，當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，只需，解得當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，只需，矛盾.綜上的取值范圍是點(diǎn)睛：以三角恒等變換為手段，對(duì)三角函數(shù)恒等變換，進(jìn)行考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問(wèn)題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問(wèn)題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.21.近期受新冠疫情的影響，某地區(qū)遭受了奧密克戎病毒的襲擊，為了控制疫情，某單位購(gòu)入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的消毒劑濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x（單位：小時(shí)）變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到殺滅空氣中病毒的作用.（1）若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間最長(zhǎng)可達(dá)幾小時(shí)？（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑a（）個(gè)單位的消毒劑，要使接下來(lái)的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值.【答案】（1）6小時(shí)（2）2【分析】（1）根據(jù)題意得到，再分類討論與兩種情況下，的解集情況，從而得解；（2）根據(jù)題意得到從第一次噴灑起，經(jīng)過(guò)x（）小時(shí)后，濃度為，從而利用基本不等式