函數(shù)的極值與最大（小）值 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

選修第二冊(cè)

第五章《一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》5.3.2

函數(shù)的極值和最大（?。┲?.函數(shù)的極值函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減.1.定義域；2.求導(dǎo)；3.求臨界點(diǎn)；4.畫導(dǎo)數(shù)圖象-判號(hào)；5.單調(diào)區(qū)間.復(fù)習(xí)回顧1.跳水運(yùn)動(dòng)員距離水面的高度h(t)在t=

a點(diǎn)處附近的情況：當(dāng)t

=

a時(shí),（1）運(yùn)動(dòng)員距水面高度如何？

（2）h(t)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？（3）這點(diǎn)附近的圖象有什么特點(diǎn)？（4）導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律？athoh(t)=-4.9t2+6.5t+10h'(a)=0探索新知將最高點(diǎn)附近放大t

=

at

<

at

>

ah'(t)<0h'(t)>0h'(t)先正后負(fù)高度最大h'(a)=0h(t)先增后減探究：由特殊到一般①函數(shù)y=f(x)在a，b，c，d，e，f，g，h點(diǎn)的函數(shù)值與這些點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？②y=f(x)在這些點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是多少？③在這些點(diǎn)附近，y=f(x)的圖象有何特點(diǎn)？③在這些點(diǎn)附近，

f'(x)的符號(hào)有什么規(guī)律？極大/小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)；極大/小值統(tǒng)稱極值.極值點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)x0為極小值點(diǎn)極值f(x0)為極大值f(x0)為極小值條件f'(x0)=0x0附近左側(cè)f'(x0)>0x0附近右側(cè)f'(x0)<0x0附近左側(cè)f'(x0)<0x0附近右側(cè)f'(x0)>0x0附近f(x)<f(x0)x0附近f(x)>f(x0)圖像極值點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號(hào)從導(dǎo)數(shù)角度深入探究yxO思考1：極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值(即切線斜率）有何特點(diǎn)？aby=f(x)x1

x2x3f'(x1)=0f'(x2)=0

f'(x3)=0結(jié)論:

極值點(diǎn)處如果有切線，那么切線是水平的，即

f(x)=0.函數(shù)的極值與極值點(diǎn)思考2：如圖，對(duì)函數(shù)f(x)=x3，①是否存在x0，使得f

(x0)

=0？②x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)嗎？f(x)有極值嗎？xyof(x)

x3思考3：“f(x0)=0”是“可導(dǎo)函數(shù)在x0點(diǎn)處取得極值”的什么條件？必要不充分從導(dǎo)數(shù)角度深入探究f

(x0)

=0x0

是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)

而

f

(x0)=0

x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)

f

(0)

=0沒(méi)有函數(shù)的極值與極值點(diǎn)極大值點(diǎn)兩側(cè)極小值點(diǎn)兩側(cè)思考4：極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)正負(fù)符號(hào)有何規(guī)律？y=f(x)xyoabf'(x)>0f'(x)>0f'(x)<0f'(x)<0極值點(diǎn)x0處，f

(x0)=0；且x0兩側(cè)單調(diào)性不同，即導(dǎo)數(shù)異號(hào).從導(dǎo)數(shù)角度深入探究思考5：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)有極值嗎？極值不單調(diào)，單調(diào)無(wú)極值左正右負(fù)取極大；左負(fù)右正取極小函數(shù)的極值與極值點(diǎn)探究3oax1x2x3x4bxy看圖并回答下列問(wèn)題：f(x1)f(x3)f(x2)f(x4)x1x3x4x2不一定，如f(x4)>f(x1)若x0是極值點(diǎn)（即f(x0)是極值），則f'(x0)=0；若f'(x0)=0，x0不一定是極值點(diǎn);只有f

(x0)=0且x0兩側(cè)f(x)單調(diào)性不同時(shí)，x0才是極值點(diǎn).

1、y=f(x)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取得極值的必要不充分條件.小結(jié)左正右負(fù)（先增后減）取極大左負(fù)右正（先減后增）取極小函數(shù)的極值與極值點(diǎn)

2、函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)

不可能成為極值點(diǎn).3、極值是一個(gè)局部概念.極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小.也就是說(shuō)極值與最值是兩個(gè)不同的概念.

4、函數(shù)的極值不是唯一的.即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè).5、極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系.即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值.小結(jié)函數(shù)的極值與極值點(diǎn)例題精講

（1）如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象,試找出函數(shù)極值點(diǎn),并指出哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn)？（2）如果把函數(shù)圖象改為導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象，有何結(jié)論?題組一：根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值【課本P92/練習(xí)1】題組二：求函數(shù)的極值例2、解：x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)

f'(x)+0-0+

f(x)單增↗單減↘單增↗問(wèn)題1：如何作出f(x)的大致圖象？-22問(wèn)題2：求函數(shù)極值的一般方法步驟？求函數(shù)極值的一般方法步驟：(1)求定義域；(2)求

f'(x)

；(3)求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)；(4)列表斷號(hào)；(5)下結(jié)論.方法總結(jié)+-x0-+x0如果同號(hào)，則f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值.左正右負(fù)取極大；左負(fù)右正取極小求下列函數(shù)的極值:【課本P92/練習(xí)2】

【補(bǔ)充練習(xí)】

【補(bǔ)充練習(xí)】求函數(shù)的極值x(-∞,-1)-1(-1,0)(0,1)1(1,+∞)+0--0+所以，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)的極大值是-2，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的極小值是2導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)是交替出現(xiàn)的嗎？不是極大值極小值函數(shù)極值函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法1.求導(dǎo)；