人教版七年級數(shù)學(xué)上冊專題05線段、角、對角線的計數(shù)模型(原卷版+解析)

專題05.線段、角、對角線的計數(shù)模型本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題等。線段的條數(shù)、直線的交點(diǎn)數(shù)、角的個數(shù)、對角線條數(shù)等計數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進(jìn)行記憶。本專題就線段（角度）的計數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計數(shù)、多邊形的對角線條數(shù)和三角形個數(shù)的計數(shù)模型進(jìn)行研究，以方便大家掌握。模型1.

線段與角度的計數(shù)模型1）線段的計數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n個點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（條）例1．（2023春·山東淄博·七年級校考期中）下面圖形中共有線段()條．A．7 B．8 C．9 D．10例2．（2023秋·山西太原·七年級?？茧A段練習(xí)）往返于太原、運(yùn)城兩地的高鐵列車，若中途停靠太谷、介休和臨汾站則有（）種不同票價．A．7 B．8 C．9 D．10例3．（2023秋·湖南長沙·七年級?？计谀?022年12月26日上午10時06分，渝廈高鐵常德至益陽段開通運(yùn)營。某列車從常德至長沙運(yùn)行途中停靠的車站依次是：常德—常德漢壽—益陽南—寧鄉(xiāng)西—長沙南，59分鐘即可抵達(dá)長沙，這標(biāo)志著渝廈高鐵常益長段實現(xiàn)了全線開通。每兩站之間由于方向不同，車票也不同，那么鐵路運(yùn)營公司要為常德至長沙南往返最多需要準(zhǔn)備（

）張車票.A．10 B．15 C．20 D．30例4．（2023秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解題問題：在一條直線上有A，B，C，D四個點(diǎn)，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個問題，我們可以這樣考慮，以A為端點(diǎn)的線段有，，共3條，同樣以B為端點(diǎn)，以C為端點(diǎn)，以D為端點(diǎn)的線段也各有3條，這樣共有4個3，即（條），但和是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有6條線段．那么，若在一條直線上有5個點(diǎn)，則這條直線上共有_________條線段；若在一條直線上有n個點(diǎn)，則這條直線上共有_________條線段．知識遷移：兩條直線相交只有1個交點(diǎn)，三條直線相交最多有3個交點(diǎn)，四條直線相交最多有_________個交點(diǎn)，n條直線相交最多有_________個交點(diǎn)．學(xué)以致用：某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，如果每兩人握手一次問好，全班同學(xué)共握手______次．例5．（2023秋·山西七年級月考）主題式學(xué)習(xí)：數(shù)形規(guī)律探究學(xué)習(xí)(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想說理．．．．．．．．．．．．．以此類推，我們發(fā)現(xiàn)的和與第一個數(shù)、最后一個數(shù)及數(shù)的個數(shù)有關(guān)．如果，我們設(shè)則我們可以看出此等式的右邊是若干個的和，∴_________．則_______．(2)運(yùn)用規(guī)律，計算表達(dá)．①求_____________．②某校為慶祝2023年元旦，活躍學(xué)生文化生活，舉行歌詠比賽．七年級（9）班獲得第一名，該班學(xué)生列隊以“單擊掌”形式（每兩個學(xué)生擊掌一次）祝賀獲獎；活動結(jié)束后該班同學(xué)又互贈“元旦祝福語”．如果該班有名同學(xué)，則共擊掌_____________次，共贈送祝福語___________條．(3)遷移規(guī)律，解決問題．①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個城市，如果每兩個城市都要互通航班，那么這條航線上一共需要開通_____架航班．②如圖，在的方格中，橫線和豎線上的線段共有___________條．③2022年足球世界杯在卡塔爾舉行（如圖是足球世界杯獎杯“大力神杯”和卡塔爾世界杯會徽、吉祥物），共有32支國家足球隊參賽．比賽分小組賽、1/8決賽、1/4決賽、半決賽、三四名決賽、決賽六個階段進(jìn)行．32支球隊平均分成8個進(jìn)行小組循環(huán)賽（小組內(nèi)每兩支球隊舉行一場比賽）；每小組前兩名球隊進(jìn)入1/8決賽，然后實行淘汰賽，勝者進(jìn)入1/4決賽．．．．．．請你計算2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽？2）角度的計數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（個）（注意：按一個方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n條射線，則角度數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（個）例1．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，總共有個角．例2．（2023·四川內(nèi)江·七年級月考）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條不同射線，可得6個銳角；畫3條不同射線，可得10個銳角；…照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角個．例3．（2023秋·重慶七年級課時練習(xí)）（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖1中有個不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖2中有個不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖3中有個不同的角；（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE…，則圖中有個不同的角；（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE…，則圖中有個不同的角．例4．（2023秋·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，從點(diǎn)分別引兩條射線，則得到一個角．（圖中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如圖2，從點(diǎn)分別引三條射線，則圖中得到________個角；②如圖3，從點(diǎn)分別引四條射線，則圖中得到________個角；③依此類推，從點(diǎn)分別引條射線，則得到________個角（用含的式子表示）；(2)應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有16個班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即每兩隊之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？3）平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計數(shù)模型直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)102214337.........n例1．（2023春·浙江七年級期中）已知條直線最多有個交點(diǎn)，條直線最多有個交點(diǎn)，條直線最多有個交點(diǎn)，…由此猜想，條直線最多有個交點(diǎn)（）A．16 B．28 C．32 D．40例2．（2023春·安徽蕪湖·七年級校聯(lián)考期中）將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為（）A．3 B．5 C．7 D．9例3．（2023春·廣東七年級期中）平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點(diǎn)個數(shù)最少為個，最多為個，n條直線兩兩相交的直線最多有個交點(diǎn)．例4．（2023春·廣東七年級期中）觀察下列圖形，閱讀下面相關(guān)文字并填空：（1）在同一平面內(nèi)，兩條直線相交最多有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多有______個交點(diǎn)，4條直線相交最多有______個交點(diǎn)，……，像這樣，8條直線相交最多有______個交點(diǎn)，n條直線相交最多有______個交點(diǎn)：（2）在同一平面內(nèi)，1條直線把平面分成2部分，兩條直線最多把平面分成4部分，3條直線最多把平面分成______部分，4條直線最多把平面分成______部分，……，像這樣，8條直線最多把平面分成______部分，n條直線最多把平面分成______部分．例5．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖，我們通過觀察后可以發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交，最多有1個交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個交點(diǎn)；那么四條直線相交，最多有______個交點(diǎn)；n條直線相交，最多有______個交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）；【實踐應(yīng)用】在實際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問題，請你類比上述規(guī)律探究，計算：某校七年級舉辦籃球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有16個班，則這一輪共要進(jìn)行多少場比賽？4）多邊形的對角線條數(shù)和三角形個數(shù)的計數(shù)模型結(jié)論：從n邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線；這些對角線把多邊形分割成（n-2）個三角形；n邊形共有對角線。例1．（2023秋·湖北武漢·八年級校考階段練習(xí)）六邊形共有多少條對角線（

）A．8 B．9 C．10 D．12例2．（2023秋·甘肅蘭州·七年級?？计谀┤绻粋€多邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)最多能畫五條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8例3．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）過某個多邊形一個頂點(diǎn)的所有對角線，將這個多邊形分成6個三角形，則這個多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形例4．（2023秋·廣東梅州·七年級統(tǒng)考期末）一個多邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)引出8條對角線，那么這個多邊形對角線的總數(shù)是（）A．88 B．44 C．45 D．50例5．（2023·山東·八年級專題練習(xí)）多邊形的對角線：多邊形的對角線是連接多邊形的兩個頂點(diǎn)的線段，從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線，將n邊形分成個三角形，一個n邊形共有條對角線．例6．（2023春·重慶七年級月考）樂樂和數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們研究多邊形對角線的相關(guān)問題，邀請你也加入其中！請仔細(xì)觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題：多邊形的頂點(diǎn)數(shù)45678…n從一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)12345…________多邊形對角線的總條數(shù)2591420…________(1)觀察探究：請自己觀察上面的圖形和表格，并用含n的代數(shù)式將上面的表格填寫完整；(2)實際應(yīng)用：數(shù)學(xué)社團(tuán)共分為6個小組，每組有3名同學(xué)．同學(xué)們約定，大年初一時不同組的兩位同學(xué)之間要打一個電話拜年，請問，按照此約定，數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話多少個？(3)類比歸納：樂樂認(rèn)為(1)，(2)之間存在某種聯(lián)系，你能找到這兩個問題之間的聯(lián)系嗎？請用語言描述你的發(fā)現(xiàn)．課后專項訓(xùn)練1．（2023·湖北·七年級階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個數(shù)最多是（）A．46個 B．55個 C．56個 D．67個2．（2023秋·四川成都·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)點(diǎn)P沿直線l從右向左移動，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個點(diǎn)距離相等時，就會發(fā)出警報，則直線l上會發(fā)出警報的點(diǎn)P最多有A．4個 B．5個 C．6個 D．7個3．（2023秋·山東青島·七年級?？计谀┤鐖D，AB是一段高鐵行駛路線圖圖中字母表示的5個點(diǎn)表示5個車站在這段路線上往返行車，需印制（）種車票．A．10 B．11 C．20 D．224．（2023·河北邯鄲·七年級?？计谀┯珊惖奖本┑哪骋淮瘟熊?，運(yùn)行途中停靠的車站依次是：邯鄲—邢臺—石家莊—保定—北京，那么要為這次列車制作的火車票有（

）A．9種 B．20種 C．10種 D．72種5．（2023·湖北荊門·七年級統(tǒng)考期中）兩條相交直線與另外一條直線在同一平面內(nèi)，它們的交點(diǎn)個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或36．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖所示，2條直線相交只有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多能有3個交點(diǎn)，4條直線相交最多能有6個交點(diǎn)，5條直線相交最多能有10個交點(diǎn)，……，（≥2，且是整數(shù)）條直線相交最多能有（

）A．個交點(diǎn)B．個交點(diǎn)C．個交點(diǎn)D．個交點(diǎn)7．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）從五邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對角線，它們將五邊形分成個三角形，則的值為(

)A．9 B．8 C．6 D．58．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）過某個多邊形一個頂點(diǎn)的所有對角線，將此多邊形分成4個三角形，則此多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．6 C．5 D．49．（2023秋·廣東七年級月考）平面內(nèi)有7條直線，這7條直線兩兩相交，最多可以得到a個交點(diǎn)，最少可以得到b個交點(diǎn)，則的值是（

）A．16 B．22 C．20 D．1810．（2023春·山東泰安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，2條直線相交有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多有3個交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個交點(diǎn)按這樣的規(guī)律若n條直線相交交點(diǎn)最多有36個，則此時n的值為（

）A．10 B．9 C．8 D．711．（2023·四川成都·七年級校考期末）成都與重慶之間往返的動車，除起始站和終點(diǎn)站外中途都有3個?？空?，則鐵路部門針對此動車需要發(fā)售種不同行程的動車票.12．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）過五邊形的一個頂點(diǎn)有條對角線．13．（2023秋·河南鄭州·七年級?？计谀┮粋€正八邊形，從它的一個頂點(diǎn)可引出m條對角線，并把這個正八邊形分成n個三角形，則．14．（2023秋·重慶·七年級期中）如圖所示，過六邊形的頂點(diǎn)的所有對角線可將六邊形分成個三角形．15．（2023秋·山東德州·八年級校考期中）從多邊形的一個頂點(diǎn)所引的對角線，把這個多邊形分成7個三角形，則這個多邊形共條對角線．16．（2023秋·黑龍江綏化·八年級校考期中）從十二邊形的一個頂點(diǎn)作對角線，把這個十二邊形分成三角形的個數(shù)是，十二邊形的對角線的條數(shù)是17．（2023秋·河南許昌·七年級統(tǒng)考期末）2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區(qū)段鳴笛出發(fā)，鄭許市域鐵路開始空載試運(yùn)行，未來“雙城生活模式”指日可待．圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個站點(diǎn)，若要滿足乘客在這五個站點(diǎn)之間的往返需求，鐵路公司需要準(zhǔn)備種不同的車票．18．（2023·北京·七年級?？茧A段練習(xí)）表反映了平面內(nèi)直線條數(shù)與它們最多交點(diǎn)個數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：圖形…直線條數(shù)234…最多交點(diǎn)個數(shù)13=1+26=1+2+3…按此規(guī)律，6條直線相交，最多有個交點(diǎn)；n條直線相交，最多有個交點(diǎn)．（n為正整數(shù)）19．（2023·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）若平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個交點(diǎn)，則平面被分成了個部分．20．（2023秋·四川自貢·七年級?？茧A段練習(xí)）已知：四點(diǎn)A、B、C、D的位置如圖所示，根據(jù)下列語句，畫出圖形．(1)畫直線、射線相交于點(diǎn)O，畫線段；(2)圖中以字母A、B、C、D、O為端點(diǎn)的線段共有____條．21．（2023秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，為直線上一點(diǎn)，，平分．(1)請你數(shù)一數(shù)，圖中有___________個小于平角的角；(2)求的度數(shù)．22．（2023秋·山西七年級月考）小明在一條直線上選了若干個點(diǎn)，通過數(shù)線段的條數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含了一定的規(guī)律，下邊是他的探究過程及聯(lián)想到的一些相關(guān)實際問題.（1）一條直線上有2個點(diǎn)，線段共有1條；一條直線上有3個點(diǎn)，線段共有1+2=3條；一條直線上有4個點(diǎn)，線段共有1+2+3=6條…一條直線上有10個點(diǎn)，線段共有條.（2）總結(jié)規(guī)律：一條直線上有n個點(diǎn)，線段共有條.（3）拓展探究：具有公共端點(diǎn)的兩條射線OA、OB形成1個角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB內(nèi)部再加一條射線OC，此時具有公共端點(diǎn)的三條射線OA、OB、OC共形成3個角；以此類推，具有公共端點(diǎn)的n條射線OA、OB、OC…共形成個角（4）解決問題：曲沃縣某學(xué)校九年級1班有45名學(xué)生畢業(yè)留影時，全體同學(xué)拍1張集體照，每2名學(xué)生拍1張兩人照，共拍了多少張照片？如果照片上的每位同學(xué)都需要1張照片留作紀(jì)念，又應(yīng)該沖印多少張紙質(zhì)照片？23．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）平面上有7條不同的直線，如果其中任何三條直線都不共點(diǎn)．(1)請畫出滿足上述條件的一個圖形，并數(shù)出圖形中各直線之間的交點(diǎn)個數(shù)；(2)請再畫出各直線之間的交點(diǎn)個數(shù)不同的圖形（至少兩個）；(3)你能否畫出各直線之間的交點(diǎn)個數(shù)為n的圖形，其中n分別為6，21，15？(4)請盡可能多地畫出各直線之間的交點(diǎn)個數(shù)不同的圖形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？24．（2023·北京市七年級課時練習(xí)）如圖，線段上的點(diǎn)數(shù)與以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的總數(shù)有如下關(guān)系：

(1)當(dāng)線段上有3個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；當(dāng)線段上有4個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；當(dāng)線段上有5個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；(2)當(dāng)線段上有個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有多少條？(3)根據(jù)上述信息解決下面的問題：①某學(xué)校七年級共有20個班級進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每兩個班賽一場），那么該校七年級的辯論賽共要進(jìn)行多少場？②乘火車從站出發(fā)，沿途經(jīng)過10個車站方可到達(dá)站，那么在，兩站之間需要設(shè)置多少種不同的車票（僅考慮車票的起點(diǎn)站與終點(diǎn)站之分）？25．（2023秋·廣東惠州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，線段AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段上有3個點(diǎn)時，線段共有3條；如果線段上有4個點(diǎn)時，線段共有6條；如果線段上有5個點(diǎn)時，線段共有10條；(1)當(dāng)線段上有6個點(diǎn)時，線段共有條？(2)當(dāng)線段上有n個點(diǎn)時，線段共有多少條？（用n的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)，線段共有多少條？

26．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）觀察思考：

（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，則圖中有幾個不同的角？（3）3條射線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出n條射線能有幾個不同的角？27．（2023春·廣東肇慶·七年級?？茧A段練習(xí)）觀察如圖所示中的各圖，尋找對頂角（不含平角）：（1）如圖a，圖中共有＿＿＿對對頂角；（2）如圖b，圖中共有＿＿＿對對頂角；（3）如圖c，圖中共有＿＿＿對對頂角.（4）研究（1）～（3）小題中直線條數(shù)與對頂角的對數(shù)之間的關(guān)系，若有

n條直線相交于一點(diǎn),則可形成＿＿＿對對頂角？（5）若有2008條直線相交于一點(diǎn)，則可形成＿＿＿對對頂角？28．（2023秋·山東七年級課時練習(xí)）下面各個圖形中，分別有多少個小于平角的角，請用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎具@些角．（1）圖（1）中共有_______個小于平角的角，這些角分別是________；（2）圖（2）中共有_______個小于平角的角，這些角分別是________；（3）圖（3）中共有_______個小于平角的角，這些角分別是________．29．（2023·云南保山·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，從一點(diǎn)O出發(fā)，引兩條射線可以得到一個角，引三條射線可以得到三個角，引四條射線可以得到六個角，引五條射線可以得到十個角，如果從一點(diǎn)出發(fā)引n（n為大于等于2的整數(shù)）條射線，則會得到多少個角？如果n=8時，檢驗?zāi)闼玫慕Y(jié)論是否正確．30．（2023秋黑龍江七年級月考）找規(guī)律：一次足球比賽中，有n（n≥2）個球隊參加比賽，假設(shè)此次比賽為單循環(huán)比賽（參加比賽的每一個隊都與其他所有的隊各賽一場），球隊總數(shù)與總的比賽場數(shù)如表．球隊數(shù)（n）23456比賽場數(shù)1361015（1）8個球隊總共比賽的總場數(shù)為．（2）當(dāng)有n個球隊參加時，共比多少場？（2）當(dāng)n＝10時，共有多少場比賽？31．（2023秋·河北八年級課時練習(xí)）如圖，△ABC中，A1，A2，A3，…，An為AC邊上不同的n個點(diǎn)，首先連接BA1，圖中出現(xiàn)了3個不同的三角形，再連接BA2，圖中便有6個不同的三角形…

（1）完成下表：連接個數(shù)出現(xiàn)三角形個數(shù)若出現(xiàn)了45個三角形，則共連接了多少個點(diǎn)？若一直連接到An，則圖中共有__________個三角形．32．（2023春·山東青島·七年級校考期中）數(shù)學(xué)中，常對同一個量用兩種不同的方法計算，從而建立相等關(guān)系，我們把這一思想稱為“算兩次”．[探究一]如圖1，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個邊長為的正方形，你能表示圖中陰影部分的面積嗎？陰影部分的面積是______．如圖2，也可以把陰影部分沿著虛線AB剪開，分成兩個梯形，陰影部分的面積是______．用兩種不同的方法計算同一個陰影部分的面積，可以得到等式______．[探究二]如圖3，一條直線上有n個點(diǎn)，請你數(shù)一數(shù)共有多少條線段呢？方法1：一路往右數(shù)，不回頭數(shù)．以為端點(diǎn)的線段有、、、、…、，共有條；以為端點(diǎn)的線段有、、、…、，共有條；以為端點(diǎn)的線段有、、…、，共有條；…以為端點(diǎn)的線段有，共有1條；圖中線段的總條數(shù)是______．方法2：每一個點(diǎn)都能和除它以外的個點(diǎn)形成線段，共有n個點(diǎn)，共可形成條線段，但所有線段都數(shù)了兩遍，所以線段的總條數(shù)是______．用兩種不同的方法數(shù)線段，可以得到等式______．[應(yīng)用]運(yùn)用探究一、探究二中得到的等式解決問題．計算：．33．（2023秋·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）問題提出：某校要舉辦足球賽，若有5支球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽（即全部比賽過程中任何一隊都要分別與其他各隊比賽一場且只比賽一場），則該校一共要安排多少場比賽？構(gòu)建模型：生活中的許多實際問題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來解決問題．為解決上述問題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：（1）如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫出5個點(diǎn)（任意3個點(diǎn)都不在同一條直線上），其中每個點(diǎn)各代表一支足球隊，兩支球隊之間比賽一場就用一條線段把他們連接起來．由于每支球隊都要與其他各隊比賽一場，即每個點(diǎn)與另外4個點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成5×4條線段，而每兩個點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計算了一次，實際只有條線段，所以該校一共要安排場比賽．

（2）若學(xué)校有6支足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排__________場比賽；…………（3）根據(jù)以上規(guī)律，若學(xué)校有n支足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排___________場比賽．實際應(yīng)用：（4）9月1日開學(xué)時，老師為了讓全班新同學(xué)互相認(rèn)識，請班上42位新同學(xué)每兩個人都相互握一次手，全班同學(xué)總共握手___________次．拓展提高：（5）往返于青島和濟(jì)南的同一輛高速列車，中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個車站（每種車票票面都印有上車站名稱與下車站名稱），那么在這段線路上往返行車，要準(zhǔn)備車票的種數(shù)為_____種．

專題05.線段、角、對角線的計數(shù)模型本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題等。線段的條數(shù)、直線的交點(diǎn)數(shù)、角的個數(shù)、對角線條數(shù)等計數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進(jìn)行記憶。本專題就線段（角度）的計數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計數(shù)、多邊形的對角線條數(shù)和三角形個數(shù)的計數(shù)模型進(jìn)行研究，以方便大家掌握。模型1.

線段與角度的計數(shù)模型1）線段的計數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n個點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（條）例1．（2023春·山東淄博·七年級?？计谥校┫旅鎴D形中共有線段()條．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】分別以為線段的一個端點(diǎn)找出線段即可求解．【詳解】解：圖中線段有：共10條，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)線段條數(shù)，掌握線段的定義是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·山西太原·七年級?？茧A段練習(xí)）往返于太原、運(yùn)城兩地的高鐵列車，若中途?？刻?、介休和臨汾站則有（）種不同票價．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】由于一共有太原、太谷、介休、臨汾、運(yùn)城一共五個站，每兩個站之間都有一種票價，其中一個站與其他4個站之間都有4種不同的票價，而兩個站之間，來回的票價相同，只能算作一次，由此求解即可．【詳解】解：∵一共有太原、太谷、介休、臨汾、運(yùn)城一共五個站，每兩個站之間都有一種票價，∴其中一個站與其他4個站之間都有4種不同的票價，∴一共有5×4=20種不同票價，又∵兩個站之間，來回的票價相同，只能算作一次，∴一共應(yīng)該有20÷2=10種不同的票價，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的數(shù)量問題即車站為線段的端點(diǎn)，票價為線段數(shù)量，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握求解線段數(shù)量的方法．例3．（2023秋·湖南長沙·七年級?？计谀?022年12月26日上午10時06分，渝廈高鐵常德至益陽段開通運(yùn)營。某列車從常德至長沙運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵撼５隆５聺h壽—益陽南—寧鄉(xiāng)西—長沙南，59分鐘即可抵達(dá)長沙，這標(biāo)志著渝廈高鐵常益長段實現(xiàn)了全線開通。每兩站之間由于方向不同，車票也不同，那么鐵路運(yùn)營公司要為常德至長沙南往返最多需要準(zhǔn)備（

）張車票.A．10 B．15 C．20 D．30【答案】C【分析】將每一個車站看作一個點(diǎn)，鐵路線為線段，求出所有線段條數(shù)的2倍即可．【詳解】解：如圖，圖中線段的條數(shù)為（條），由于車票往返的不同，因此需要制作火車票的種類為（種），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段、直線、射線，掌握線段條數(shù)的計算方法是解決問題的關(guān)鍵．例4．（2023秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解題問題：在一條直線上有A，B，C，D四個點(diǎn)，那么這條直線上總共有多少條線段？要解決這個問題，我們可以這樣考慮，以A為端點(diǎn)的線段有，，共3條，同樣以B為端點(diǎn)，以C為端點(diǎn)，以D為端點(diǎn)的線段也各有3條，這樣共有4個3，即（條），但和是同一條線段，即每一條線段重復(fù)一次，所以一共有6條線段．那么，若在一條直線上有5個點(diǎn)，則這條直線上共有_________條線段；若在一條直線上有n個點(diǎn)，則這條直線上共有_________條線段．知識遷移：兩條直線相交只有1個交點(diǎn)，三條直線相交最多有3個交點(diǎn)，四條直線相交最多有_________個交點(diǎn)，n條直線相交最多有_________個交點(diǎn)．學(xué)以致用：某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，如果每兩人握手一次問好，全班同學(xué)共握手______次．【答案】10，，6，，990【分析】問題：根據(jù)線段的定義進(jìn)行求解即可；知識遷移：根據(jù)線段的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；學(xué)以致用：當(dāng)時，代入求值即可．【詳解】解：問題：若在一條直線上有5個點(diǎn)，則這條直線上共有條線段；若在一條直線上有n個點(diǎn)，則這條直線上共有條線段，故答案為：10，；知識遷移：四條直線相交最多有6個交點(diǎn)，n條直線相交最多有個交點(diǎn)，故答案為：6，；學(xué)以致用：當(dāng)時，（次），故答案為：990．【點(diǎn)睛】本題考查線段的計數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．例5．（2023秋·山西七年級月考）主題式學(xué)習(xí)：數(shù)形規(guī)律探究學(xué)習(xí)(1)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想說理．．．．．．．．．．．．．以此類推，我們發(fā)現(xiàn)的和與第一個數(shù)、最后一個數(shù)及數(shù)的個數(shù)有關(guān)．如果，我們設(shè)則我們可以看出此等式的右邊是若干個的和，∴_________．則_______．(2)運(yùn)用規(guī)律，計算表達(dá)．①求_____________．②某校為慶祝2023年元旦，活躍學(xué)生文化生活，舉行歌詠比賽．七年級（9）班獲得第一名，該班學(xué)生列隊以“單擊掌”形式（每兩個學(xué)生擊掌一次）祝賀獲獎；活動結(jié)束后該班同學(xué)又互贈“元旦祝福語”．如果該班有名同學(xué)，則共擊掌_____________次，共贈送祝福語___________條．(3)遷移規(guī)律，解決問題．①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個城市，如果每兩個城市都要互通航班，那么這條航線上一共需要開通_____架航班．②如圖，在的方格中，橫線和豎線上的線段共有___________條．③2022年足球世界杯在卡塔爾舉行（如圖是足球世界杯獎杯“大力神杯”和卡塔爾世界杯會徽、吉祥物），共有32支國家足球隊參賽．比賽分小組賽、1/8決賽、1/4決賽、半決賽、三四名決賽、決賽六個階段進(jìn)行．32支球隊平均分成8個進(jìn)行小組循環(huán)賽（小組內(nèi)每兩支球隊舉行一場比賽）；每小組前兩名球隊進(jìn)入1/8決賽，然后實行淘汰賽，勝者進(jìn)入1/4決賽．．．．．．請你計算2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽？【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③【分析】（1）根據(jù)題目中的規(guī)律即可求解；（2）①根據(jù)（1）中的規(guī)律即可求解；②根據(jù)規(guī)律即可求解；（3）①10個城市每兩個城市都要互通航班，據(jù)此即可求解；②分別計算橫向和豎向的線段條數(shù)，即可求解；③利用分類的方法可求得2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽．【詳解】（1）解：．則．故答案為：，；（2）解：①．②如果該班有名同學(xué)，則共擊掌次，共贈送祝福語條．故答案為：①5047；②100；③，；（3）解：①如圖，“北京——廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個城市，如果每兩個城市都要互通航班，10個城市一共需要開通架航班；②橫線上的線段有條，豎線上的線段有條，則橫線和豎線上的線段共有條；③32支比賽分為8個小組，每個小組4支球隊，共有場比賽，16強(qiáng)分成8組對陣，共有8場比賽，8強(qiáng)分成4組對陣，共有4場比賽，4強(qiáng)分成2組對陣，共有2場比賽，決賽有2場比賽，故共有場比賽．故答案為：①90；②135；③64．【點(diǎn)睛】本題考查了探索規(guī)律，線段的計數(shù)，線段的計數(shù)時應(yīng)注重分類討論的方法計數(shù)，做到不遺漏，不重復(fù)，利用規(guī)律解決問題．2）角度的計數(shù)模型結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（個）（注意：按一個方向數(shù)，不回頭）；結(jié)論拓展：若有n條射線，則角度數(shù)量為：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（個）例1．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，總共有個角．【答案】10【分析】根據(jù)圖形分別表示出所有角即可．【詳解】解：圖中的角有：，，，，，，，，，共有10個角．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了角的概念，正確會表示角，做到不重不漏是關(guān)鍵．例2．（2023·四川內(nèi)江·七年級月考）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條不同射線，可得6個銳角；畫3條不同射線，可得10個銳角；…照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角個．【答案】66【分析】分別找出各圖形中銳角的個數(shù)，找出規(guī)律解題．【詳解】解：∵在銳角∠AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得1+2=3個銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫2條射線，可得1+2+3=6個銳角；在銳角∠AOB內(nèi)部，畫3條射線，可得1+2+3+4=10個銳角；…∴從一個角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個數(shù)是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2），∴畫10條不同射線，可得銳角×（10+1）×（10+2）=66．故答案為：66．例3．（2023秋·重慶七年級課時練習(xí)）（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖1中有個不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖2中有個不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖3中有個不同的角；（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE…，則圖中有個不同的角；（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE…，則圖中有個不同的角．【答案】（1）3（2）6（3）10（4）66（5）【詳解】試題分析：（1）根據(jù)圖形，圖中有1+2=3個不同的角；（2）根據(jù)圖形，圖中有1+2+3=6個不同的角；（3）圖中有1+2+3+4=10個不同的角，；（4）圖中有1+2+3+…+9+10+11=66個角；（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可試題解析：（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個不同的角，故答案為3．（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC，OD，則圖中有6個不同的角，故答案為6．（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC，OD，OE，則圖中有10個不同的角，故答案為10．（4）在∠AOB內(nèi)部畫10條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+10+11=66個不同的角，故答案為66．（5）在∠AOB內(nèi)部畫n條射線OC，OD，OE，…，則圖中有1+2+3+…+n+（n+1）=個不同的角．考點(diǎn)：角的概念．例4．（2023秋·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，從點(diǎn)分別引兩條射線，則得到一個角．（圖中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如圖2，從點(diǎn)分別引三條射線，則圖中得到________個角；②如圖3，從點(diǎn)分別引四條射線，則圖中得到________個角；③依此類推，從點(diǎn)分別引條射線，則得到________個角（用含的式子表示）；(2)應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有16個班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即每兩隊之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？【答案】(1)①3；②6；③(2)【分析】（1）①②根據(jù)角的概念求出即可；③根據(jù)①②分析得出的規(guī)律求解即可；（2）將代入求解即可．【詳解】（1）①由題意可得，從點(diǎn)分別引三條射線，圖中的角有，，∴圖中得到3個角；②由題意可得，從點(diǎn)分別引四條射線，圖中的角有，，∴圖中得到6個角；③由①②可得，當(dāng)從點(diǎn)分別引條射線，，∴得到個角；（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)時，．∴全部賽完共需120場比賽．【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義及其應(yīng)用，掌握角的定義以及歸納規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3）平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計數(shù)模型直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)102214337.........n例1．（2023春·浙江七年級期中）已知條直線最多有個交點(diǎn)，條直線最多有個交點(diǎn)，條直線最多有個交點(diǎn)，…由此猜想，條直線最多有個交點(diǎn)（）A．16 B．28 C．32 D．40【答案】B【分析】利用給出的交點(diǎn)個數(shù)，推導(dǎo)出規(guī)律，再將8代入計算即可．【詳解】解：∵條直線最多有個交點(diǎn)，條直線最多有個交點(diǎn)，條直線最多有個交點(diǎn)，……∴條直線最多有個交點(diǎn)，∴時，（個），∴條直線最多有個交點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直線的交點(diǎn)個數(shù)，也就是數(shù)字規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是找到數(shù)字規(guī)律，把特殊值代入求值．例2．（2023春·安徽蕪湖·七年級校聯(lián)考期中）將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可求解．【詳解】如圖所示，將一塊等邊三角形蛋糕切三次，最多能分成的塊數(shù)為塊，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線分平面問題，理解題意是解題的關(guān)鍵．例3．（2023春·廣東七年級期中）平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點(diǎn)個數(shù)最少為個，最多為個，n條直線兩兩相交的直線最多有個交點(diǎn)．【答案】115【分析】根據(jù)相交直線的交點(diǎn)找出相應(yīng)規(guī)律求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：6條直線相交于一點(diǎn)時交點(diǎn)最少，此時交點(diǎn)為1個；若平面內(nèi)有相交的2條直線，則最多有1個交點(diǎn)；（即：）；若平面內(nèi)有兩兩相交的3條直線，則最多有3個交點(diǎn)；（即：）；若平面內(nèi)有兩兩相交的4條直線，則最多有6個交點(diǎn)；（即：）；若平面內(nèi)有兩兩相交的5條直線，則最多有10個交點(diǎn)；（即：）；則平面內(nèi)兩兩相交的6條直線，其交點(diǎn)個數(shù)最多有15個交點(diǎn)；（即）；若平面內(nèi)有n條直線兩兩相交，則最多有個交點(diǎn)；故答案為：1，15，．【點(diǎn)睛】題目主要考查直線交點(diǎn)問題及規(guī)律探索，找出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．例4．（2023春·廣東七年級期中）觀察下列圖形，閱讀下面相關(guān)文字并填空：（1）在同一平面內(nèi)，兩條直線相交最多有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多有______個交點(diǎn)，4條直線相交最多有______個交點(diǎn)，……，像這樣，8條直線相交最多有______個交點(diǎn)，n條直線相交最多有______個交點(diǎn)：（2）在同一平面內(nèi)，1條直線把平面分成2部分，兩條直線最多把平面分成4部分，3條直線最多把平面分成______部分，4條直線最多把平面分成______部分，……，像這樣，8條直線最多把平面分成______部分，n條直線最多把平面分成______部分．【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37，【分析】（1）根據(jù)圖形求出兩條直線相交、三條直線相交、四條直線相交時最多交點(diǎn)個數(shù)，總結(jié)出規(guī)律即可得出n條直線相交最多有交點(diǎn)的個數(shù)；（2）根據(jù)圖形求出兩條直線相交、三條直線相交、四條直線相交時最多把平面分成幾部分，總結(jié)出規(guī)律即可n條直線最多把平面分成幾部分．【詳解】解：（1）2條直線相交有1個交點(diǎn)；3條直線相交最多有1+2=3個交點(diǎn)；4條直線相交最多有1+2+3=6個交點(diǎn)；5條直線相交最多有1+2+3+4=10個交點(diǎn)；6條直線相交最多有1+2+3+4+5=15個交點(diǎn)；7條直線相交，最多有1+2+3+4+5+6=21個交點(diǎn)，8條直線相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28個交點(diǎn)，…n條直線相交最多有個交點(diǎn)；（2）1條直線最多把平面分成1+1=2部分；2條直線最多把平面分成1+1+2=4部分；3條直線最多把平面分成1+1+2+3=7部分；4條直線最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分；5條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分；6條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分；7條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分；8條直線最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分；…n條直線最多把平面分成【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，體現(xiàn)了從一般到特殊再到一般的認(rèn)知規(guī)律，有一定的挑戰(zhàn)性，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．例5．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖，我們通過觀察后可以發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交，最多有1個交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個交點(diǎn)；那么四條直線相交，最多有______個交點(diǎn)；n條直線相交，最多有______個交點(diǎn)（用含n的代數(shù)式表示）；【實踐應(yīng)用】在實際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問題，請你類比上述規(guī)律探究，計算：某校七年級舉辦籃球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有16個班，則這一輪共要進(jìn)行多少場比賽？【答案】[觀察發(fā)現(xiàn)]6，；[實踐應(yīng)用]120場【分析】[觀察發(fā)現(xiàn)]根據(jù)題意，結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：3條直線相交最多有3個交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個交點(diǎn)，5條直線相交最多有10個交點(diǎn)．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n?1)個交點(diǎn)；[實踐應(yīng)用]把每個班作為一個點(diǎn),進(jìn)行一場比賽就是用線把兩個點(diǎn)連接,用此方法即可.【詳解】[觀察發(fā)現(xiàn)]解：①兩條直線相交最多有1個交點(diǎn)：1=；②三條直線相交最多有3個交點(diǎn)：3=；③四條直線相交最多有6個交點(diǎn)：6=；…n條直線相交最多有個交點(diǎn)．故答案為：6，．[實踐應(yīng)用]該類問題符合上述規(guī)律，所以可將n＝16代入．∴這一輪共要進(jìn)行120場比賽．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解決本題的關(guān)鍵是要找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．4）多邊形的對角線條數(shù)和三角形個數(shù)的計數(shù)模型結(jié)論：從n邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線；這些對角線把多邊形分割成（n-2）個三角形；n邊形共有對角線。例1．（2023秋·湖北武漢·八年級?？茧A段練習(xí)）六邊形共有多少條對角線（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)對角線公式求解即可．【詳解】解：六邊形共有多少條對角線有：條．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線，牢記n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線，把n邊形分成個三角形，n邊形對角線的總條數(shù)為：是解題的關(guān)鍵．例2．（2023秋·甘肅蘭州·七年級?？计谀┤绻粋€多邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)最多能畫五條對角線，則這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)從邊形的一個頂點(diǎn)可以作出條對角線，求出邊數(shù)即可．【詳解】解：多邊形的邊數(shù)為，由題意可得：，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線條數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握邊形從一個頂點(diǎn)可以作出條對角線．例3．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）過某個多邊形一個頂點(diǎn)的所有對角線，將這個多邊形分成6個三角形，則這個多邊形是（）A．七邊形 B．八邊形 C．九邊形 D．十邊形【答案】B【分析】根據(jù)n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線，可組成個三角形，依此可得n的值．【詳解】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，由題意得，解得：，即這個多邊形是八邊形，故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線，解題的關(guān)鍵是掌握n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線，可組成個三角形．例4．（2023秋·廣東梅州·七年級統(tǒng)考期末）一個多邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)引出8條對角線，那么這個多邊形對角線的總數(shù)是（）A．88 B．44 C．45 D．50【答案】C【分析】根據(jù)一個n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線，即可求出該多邊形的邊數(shù)．再根據(jù)n邊形對角線的總數(shù)為即可求解．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，∵一個多邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)共引8條對角線，∴，解得：，∴總的對角線的條數(shù)為：條．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對角線的條數(shù)問題．掌握n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線和其對角線總數(shù)為是解題關(guān)鍵．例5．（2023·山東·八年級專題練習(xí)）多邊形的對角線：多邊形的對角線是連接多邊形的兩個頂點(diǎn)的線段，從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線，將n邊形分成個三角形，一個n邊形共有條對角線．【答案】任意不相鄰【分析】根據(jù)多邊形的對角線的定義作答即可．【詳解】解：多邊形的對角線是指連接多邊形任意不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線，將邊形分成個三角形，一個n邊形共有條對邊線．故答案為：任意不相鄰，，，．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對角線．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握多邊形對角線的定義，對角線的條數(shù)等知識．例6．（2023春·重慶七年級月考）樂樂和數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們研究多邊形對角線的相關(guān)問題，邀請你也加入其中！請仔細(xì)觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題：多邊形的頂點(diǎn)數(shù)45678…n從一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)12345…________多邊形對角線的總條數(shù)2591420…________(1)觀察探究：請自己觀察上面的圖形和表格，并用含n的代數(shù)式將上面的表格填寫完整；(2)實際應(yīng)用：數(shù)學(xué)社團(tuán)共分為6個小組，每組有3名同學(xué)．同學(xué)們約定，大年初一時不同組的兩位同學(xué)之間要打一個電話拜年，請問，按照此約定，數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話多少個？(3)類比歸納：樂樂認(rèn)為(1)，(2)之間存在某種聯(lián)系，你能找到這兩個問題之間的聯(lián)系嗎？請用語言描述你的發(fā)現(xiàn)．【答案】(1)n－3，n(n－3)；(2)135個；(3)每個同學(xué)相當(dāng)于多邊形的一個頂點(diǎn)，則共有n個頂點(diǎn).【分析】（1）依據(jù)圖形以及表格中的變換規(guī)律，即可得到結(jié)論；（2）依據(jù)數(shù)學(xué)社團(tuán)有18名同學(xué)，即可得到數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話數(shù)量；（3）每個同學(xué)相當(dāng)于多邊形的一個頂點(diǎn)，則共有n個頂點(diǎn)，進(jìn)而得到每人要給不同組的同學(xué)打一個電話，則每人要打（n-3）個電話，據(jù)此進(jìn)行判斷．【詳解】解：（1）由題可得，當(dāng)多邊形的頂點(diǎn)數(shù)為n時，從一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)為n-3，多邊形對角線的總條數(shù)為n（n-3）；故答案為n-3，n（n-3）；（2）∵3×6=18，∴數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話為×18×（18-3）=135（個）；(3)每個同學(xué)相當(dāng)于多邊形的一個頂點(diǎn)，則共有n個頂點(diǎn)；每人要給不同組的同學(xué)打一個電話，則每人要打(n－3)個電話；兩人之間不需要重復(fù)撥打電話，故撥打電話的總數(shù)為n(n－3)；數(shù)學(xué)社團(tuán)有18名同學(xué)，當(dāng)n＝18時，×18×(18－3)＝135.【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對角線，n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對角線．從n個頂點(diǎn)出發(fā)引出（n-3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為：n（n-3）（n≥3，且n為整數(shù)）．課后專項訓(xùn)練1．（2023·湖北·七年級階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個數(shù)最多是（）A．46個 B．55個 C．56個 D．67個【答案】C【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．【詳解】設(shè)直線條數(shù)有n條，分成的平面最多有m個．有以下規(guī)律：n

m1

1+12

1+1+23

1+1+2+3?n

m＝1+1+2+3+…+n＝+1，∴根據(jù)表中規(guī)律，當(dāng)直線為10條時，把平面最多分成56部分，為1+1+2+3+…+10＝56；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了過平面上兩點(diǎn)有且只有一條直線，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．2．（2023秋·四川成都·七年級校考階段練習(xí)）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)點(diǎn)P沿直線l從右向左移動，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個點(diǎn)距離相等時，就會發(fā)出警報，則直線l上會發(fā)出警報的點(diǎn)P最多有A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】C【分析】點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個點(diǎn)距離相等時，也就是點(diǎn)P恰好是其中一條線段中點(diǎn)而圖中共有線段六條，所以出現(xiàn)報警次數(shù)最多六次．【詳解】解：由題意知，當(dāng)P點(diǎn)經(jīng)過任意一條線段中點(diǎn)的時候會發(fā)出警報,圖中共有線段DC、DB、DA、CB、CA、BA發(fā)出警報的可能最多有6個故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與線段的相關(guān)內(nèi)容，利用整體思想去思考線段的總條數(shù)是解決問題最巧妙的辦法，可以減去不必要的討論與分類．3．（2023秋·山東青島·七年級校考期末）如圖，AB是一段高鐵行駛路線圖圖中字母表示的5個點(diǎn)表示5個車站在這段路線上往返行車，需印制（）種車票．A．10 B．11 C．20 D．22【答案】C【分析】分析觀察可以發(fā)現(xiàn)，每個車站作為起始站，可以到達(dá)除本站外的任何一個站，需要印制（5﹣1）種車票，而有5個起始站，故可以直接列出算式．【詳解】解：5×（5﹣1）＝20，故選：C．【點(diǎn)睛】本題在線段的基礎(chǔ)上，考查了排列與組合的知識，解題關(guān)鍵是要理解題意，每個車站都既可以作為起始站，可以到達(dá)除本站外的任何一個站．4．（2023·河北邯鄲·七年級?？计谀┯珊惖奖本┑哪骋淮瘟熊?，運(yùn)行途中?？康能囌疽来问牵汉悺吓_—石家莊—保定—北京，那么要為這次列車制作的火車票有（

）A．9種 B．20種 C．10種 D．72種【答案】A【詳解】共需制作的車票數(shù)為：4+3+2+1，=2×10，=10（種）．故選A．5．（2023·湖北荊門·七年級統(tǒng)考期中）兩條相交直線與另外一條直線在同一平面內(nèi)，它們的交點(diǎn)個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3【答案】D【分析】本題中直線的位置關(guān)系不明確，應(yīng)分情況討論，包括兩條相交直線是否是另一條直線平行、相交或交于同一點(diǎn)．【詳解】解：當(dāng)另一條直線與兩條相交直線交于同一點(diǎn)時，交點(diǎn)個數(shù)為1；當(dāng)另一條直線與兩條相交直線中的一條平行時，交點(diǎn)個數(shù)為2；當(dāng)另一條直線分別與兩條相交直線相交時，交點(diǎn)個數(shù)為3；故選D．【點(diǎn)睛】本題涉及直線的相關(guān)知識，難度一般，考生需要全面考慮問題6．（2023春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖所示，2條直線相交只有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多能有3個交點(diǎn)，4條直線相交最多能有6個交點(diǎn)，5條直線相交最多能有10個交點(diǎn)，……，（≥2，且是整數(shù)）條直線相交最多能有（

）A．個交點(diǎn)B．個交點(diǎn)C．個交點(diǎn)D．個交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)題目中的交點(diǎn)個數(shù)，找出n條直線相交最多有的交點(diǎn)個數(shù)公式：【詳解】解：2條直線相交有1個交點(diǎn)；3條直線相交有1+2=3個交點(diǎn)；4條直線相交有1+2+3=6個交點(diǎn)；5條直線相交有1+2+3+4=10個交點(diǎn)；6條直線相交有1+2+3+4+5=15個交點(diǎn)；…n條直線相交有1+2+3+4+…+（n-1）=故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是多條直線相交的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即n條直線相交最多有個交點(diǎn)．7．（2023春·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）從五邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對角線，它們將五邊形分成個三角形，則的值為(

)A．9 B．8 C．6 D．5【答案】B【分析】邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線，它們把邊形分成個三角形，由此即可計算．【詳解】解：從五邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出條對角線，它們將五邊形分成個三角形，，，的值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對角線，關(guān)鍵是掌握：邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線，把邊形分成個三角形．8．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）過某個多邊形一個頂點(diǎn)的所有對角線，將此多邊形分成4個三角形，則此多邊形的邊數(shù)為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根據(jù)多邊形對角線定義可知，一個邊形某個頂點(diǎn)除了不能和自身以及左右兩個相鄰的頂點(diǎn)連成對角線外，其余的個頂點(diǎn)都能與其連成對角線，這個對角線將多邊形分成個三角形，結(jié)合此多邊形被對角線分成4個三角形，得到，解方程求出多邊形邊數(shù)即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，一個邊形過某個頂點(diǎn)所有對角線條數(shù)為，這個對角線將多邊形分成個三角形，此多邊形被對角線分成4個三角形，，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形對角線的定義及實際應(yīng)用，分析出多邊形對角線條數(shù)以及將多邊形分成的三角形個數(shù)，由題意列出方程是解決問題的關(guān)鍵．9．（2023秋·廣東七年級月考）平面內(nèi)有7條直線，這7條直線兩兩相交，最多可以得到a個交點(diǎn)，最少可以得到b個交點(diǎn)，則的值是（

）A．16 B．22 C．20 D．18【答案】B【分析】分別求出2條直線、3條直線、4條直線…的交點(diǎn)個數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：如圖：2條直線相交最多有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多有1+2個交點(diǎn)，4條直線相交最多有1+2+3個交點(diǎn)，…n直線相交最多有1+2+3+4+5+…+(n?1)＝個交點(diǎn)．∴7直線相交最多有1+2+3+4+5+…+6＝=21個交點(diǎn)．∴7條直線兩兩相交最多可以得到21個交點(diǎn)，最少可以得到1個交點(diǎn)，∴a＝21，b=1，∴a+b＝22，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線的交點(diǎn)問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，需注意的是n條直線相交時最少有一個交點(diǎn)．10．（2023春·山東泰安·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，2條直線相交有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多有3個交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個交點(diǎn)按這樣的規(guī)律若n條直線相交交點(diǎn)最多有36個，則此時n的值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】2條直線相交有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多有個交點(diǎn)，4條直線相交最多有個交點(diǎn)……按這樣的規(guī)律，n條直線相交的交點(diǎn)最多是個交點(diǎn)，再把各選項的n的值代入計算即可解答問題．【詳解】解：2條直線相交有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多有個交點(diǎn)，4條直線相交最多有個交點(diǎn)…，按照這樣的規(guī)律，n條直線相交的交點(diǎn)最多是個交點(diǎn)，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，答：若n條直線相交交點(diǎn)最多有36個，則此時n的值為9．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是相交線及規(guī)律性題目，解答此題關(guān)鍵是根據(jù)直線的條數(shù)變化得到的交點(diǎn)個數(shù)的變化，得出規(guī)律，再利用規(guī)律進(jìn)行計算即可解答問題．11．（2023·四川成都·七年級?？计谀┏啥寂c重慶之間往返的動車，除起始站和終點(diǎn)站外中途都有3個?？空?，則鐵路部門針對此動車需要發(fā)售種不同行程的動車票.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，數(shù)出線段的條數(shù)，再根據(jù)往返是兩種不同的車票，可得答案．【詳解】解：由圖知：成都與重慶之間往返的動車，中途還需?？?個站，共有10條線段，∵往返是兩種不同的車票，∴鐵路部門對此運(yùn)行區(qū)間應(yīng)準(zhǔn)備20種不同的火車票．故答案為20．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題；需要掌握正確數(shù)線段的方法．12．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）過五邊形的一個頂點(diǎn)有條對角線．【答案】2【分析】根據(jù)多邊形的對角線的定義：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線，得出n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對角線．【詳解】從五邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以向與這個頂點(diǎn)不相鄰的2個頂點(diǎn)引對角線，即能引出2條對角線，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的性質(zhì)，從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，能引出條對角線．13．（2023秋·河南鄭州·七年級?？计谀┮粋€正八邊形，從它的一個頂點(diǎn)可引出m條對角線，并把這個正八邊形分成n個三角形，則．【答案】【分析】過八邊形的一個頂點(diǎn)可以引出5條對角線，過八邊形的一個頂點(diǎn)畫出所有的對角線，可以將這個八邊形分成6個三角形，據(jù)此求得的值，繼而即可求解．【詳解】解：過八邊形的一個頂點(diǎn)可以引出5條對角線，過八邊形的一個頂點(diǎn)畫出所有的對角線，可以將這個八邊形分成6個三角形，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對角線，掌握過多邊形的一個頂點(diǎn)的對角線條數(shù)為是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·重慶·七年級期中）如圖所示，過六邊形的頂點(diǎn)的所有對角線可將六邊形分成個三角形．【答案】4【分析】從邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，連接這個點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個多邊形分割成個三角形，依此作答．【詳解】解：過六邊形的頂點(diǎn)的所有對角線可將六邊形分成個三角形．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的對角線，從邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，形成的三角形個數(shù)為．15．（2023秋·山東德州·八年級?？计谥校亩噙呅蔚囊粋€頂點(diǎn)所引的對角線，把這個多邊形分成7個三角形，則這個多邊形共條對角線．【答案】27【分析】經(jīng)過n邊形的一個頂點(diǎn)的所有對角線把多邊形分成個三角形，根據(jù)此關(guān)系式求邊數(shù)，再求出對角線．【詳解】解：設(shè)這個多邊形有n條邊，，解得：，∴這個多邊形的對角線條數(shù)：．故答案為：27．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對角線，解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形過一個頂點(diǎn)的對角線與分成的三角形的個數(shù)的關(guān)系列方程求解．多邊形過一個頂點(diǎn)引的對角線將多邊形分為個三角形，一共有條對角線．16．（2023秋·黑龍江綏化·八年級?？计谥校氖呅蔚囊粋€頂點(diǎn)作對角線，把這個十二邊形分成三角形的個數(shù)是，十二邊形的對角線的條數(shù)是【答案】【分析】根據(jù)多邊形有的性質(zhì)一個頂點(diǎn)引條對角線，分成個三角形，總共有條對角線可得答案．【詳解】解：由多邊形公式可得，十二邊形的一個頂點(diǎn)作對角線，把這個十二邊形分成個三角形，總共有條對角線，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟知幾個性質(zhì)．17．（2023秋·河南許昌·七年級統(tǒng)考期末）2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區(qū)段鳴笛出發(fā)，鄭許市域鐵路開始空載試運(yùn)行，未來“雙城生活模式”指日可待．圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個站點(diǎn)，若要滿足乘客在這五個站點(diǎn)之間的往返需求，鐵路公司需要準(zhǔn)備種不同的車票．【答案】20【分析】先求得單程的車票數(shù)，在求出往返的車票數(shù)即可．【詳解】解：5個點(diǎn)中線段的總條數(shù)是（種），∵任何兩站之間，往返兩種車票，∴應(yīng)印制（種），故答案為：20．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握“直線上有個點(diǎn)，則線段的數(shù)量有條”．18．（2023·北京·七年級?？茧A段練習(xí)）表反映了平面內(nèi)直線條數(shù)與它們最多交點(diǎn)個數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：圖形…直線條數(shù)234…最多交點(diǎn)個數(shù)13=1+26=1+2+3…按此規(guī)律，6條直線相交，最多有個交點(diǎn)；n條直線相交，最多有個交點(diǎn)．（n為正整數(shù)）【答案】15,【分析】根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：n條直線最多的交點(diǎn)是1+2+3+（n-1）．【詳解】6條直線相交，最多有個交點(diǎn)1+2+3+4+5=15；n條直線相交，最多有1+2+3+（n-1）＝.故答案是：15，.【點(diǎn)睛】考查了直線，每兩條直線有一個交點(diǎn)得出n條直線最多的交點(diǎn)是1+2+3+（n-1）是解題關(guān)鍵.19．（2023·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）若平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個交點(diǎn)，則平面被分成了個部分．【答案】8或9．【分析】根據(jù)題意畫出圖形即可．【詳解】如圖，或所以，平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個交點(diǎn)，則平面被分成了8或9個部分．故答案為：8或9．【點(diǎn)睛】此題考查了相交線，關(guān)鍵是根據(jù)直線交點(diǎn)個數(shù)的問題，找出規(guī)律，解決問題．20．（2023秋·四川自貢·七年級校考階段練習(xí)）已知：四點(diǎn)A、B、C、D的位置如圖所示，根據(jù)下列語句，畫出圖形．(1)畫直線、射線相交于點(diǎn)O，畫線段；(2)圖中以字母A、B、C、D、O為端點(diǎn)的線段共有____條．【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）根據(jù)直線沒有端點(diǎn)，射線有一個端點(diǎn)，線段兩個端點(diǎn)畫圖即可；（2）分別找出以字母、、、、為端點(diǎn)的線段．【詳解】（1）解：如圖所示；（2）解：以、、、、為端點(diǎn)的線段有：，，，，，，，共7條，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖，復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．21．（2023秋·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，為直線上一點(diǎn)，，平分．(1)請你數(shù)一數(shù)，圖中有___________個小于平角的角；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平角定義，數(shù)形結(jié)合即可數(shù)出小于平角的角；（2）由是平角，得到，再根據(jù)平分得到，從而由圖得到的度數(shù)．【詳解】（1）解：由圖可知是平角，為，圖中小于平角的角有，共個角，故答案為：；（2）解：為直線上一點(diǎn)，，，平分，，．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)角的個數(shù)及求角度，涉及平角定義、角平分線定義、角的和差倍分，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確找出各個角之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．22．（2023秋·山西七年級月考））小明在一條直線上選了若干個點(diǎn)，通過數(shù)線段的條數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含了一定的規(guī)律，下邊是他的探究過程及聯(lián)想到的一些相關(guān)實際問題.（1）一條直線上有2個點(diǎn)，線段共有1條；一條直線上有3個點(diǎn)，線段共有1+2=3條；一條直線上有4個點(diǎn)，線段共有1+2+3=6條…一條直線上有10個點(diǎn)，線段共有條.（2）總結(jié)規(guī)律：一條直線上有n個點(diǎn)，線段共有條.（3）拓展探究：具有公共端點(diǎn)的兩條射線OA、OB形成1個角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB內(nèi)部再加一條射線OC，此時具有公共端點(diǎn)的三條射線OA、OB、OC共形成3個角；以此類推，具有公共端點(diǎn)的n條射線OA、OB、OC…共形成個角（4）解決問題：曲沃縣某學(xué)校九年級1班有45名學(xué)生畢業(yè)留影時，全體同學(xué)拍1張集體照，每2名學(xué)生拍1張兩人照，共拍了多少張照片？如果照片上的每位同學(xué)都需要1張照片留作紀(jì)念，又應(yīng)該沖印多少張紙質(zhì)照片？【答案】（1）45；（2）；（3）；（4）共需拍照991張，共需沖印2025張紙質(zhì)照片【分析】（1）根據(jù)規(guī)律可知：一條直線上有10個點(diǎn)，線段數(shù)為整數(shù)1到10的和；（2）根據(jù)規(guī)律可知：一條直線上有n個點(diǎn)，線段數(shù)為整數(shù)1到n的和；（3）將角的兩邊看著線段的兩個端點(diǎn)，那么角的個數(shù)與直線上線段的問題一樣，根據(jù)線段數(shù)的規(guī)律探究遷移可得答案；（4）把45名學(xué)生看著一條直線上的45點(diǎn)，每2名學(xué)生拍1張兩人照看著兩點(diǎn)成的線段，那么根據(jù)（2）的規(guī)律即可求出兩人合影拍照多少張，再加上集體照即可解答共拍照片張數(shù)，然后根據(jù)兩人合影沖印，集體合影45張計算總張數(shù)即可.【詳解】解：（1）一條直線上有10個點(diǎn)，線段共有1+2+3+……+10=45（條）.故答案為：45；（2）一條直線上有n個點(diǎn)，線段共有條.故答案為：；（3）由（2）得：具有公共端點(diǎn)的n條射線OA、OB、OC…共形成個角；故答案為：；（4）解：

45×（45-1）+1×45=2025答：共需拍照991張，共需沖印2025張紙質(zhì)照片【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段的計數(shù)問題，體現(xiàn)了“具體---抽象----具體”的思維探索過程，探索規(guī)律、運(yùn)用規(guī)律.解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．23．（2023秋·江蘇·七年級專題練習(xí)）平面上有7條不同的直線，如果其中任何三條直線都不共點(diǎn)．(1)請畫出滿足上述條件的一個圖形，并數(shù)出圖形中各直線之間的交點(diǎn)個數(shù)；(2)請再畫出各直線之間的交點(diǎn)個數(shù)不同的圖形（至少兩個）；(3)你能否畫出各直線之間的交點(diǎn)個數(shù)為n的圖形，其中n分別為6，21，15？(4)請盡可能多地畫出各直線之間的交點(diǎn)個數(shù)不同的圖形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？【答案】(1)圖見解析，有6個(2)見解析(3)見解析(4)①當(dāng)7條直線都相互平行時，交點(diǎn)個數(shù)是0，這時交點(diǎn)最少，②當(dāng)7條直線每兩條均相交時，交點(diǎn)個數(shù)為21，這是交點(diǎn)最多【分析】（1）畫出滿足條件的圖形即可；（2）根據(jù)題意畫出與解析（1）交點(diǎn)個數(shù)不同的圖形即可；（3）根據(jù)題意要求畫出交點(diǎn)個數(shù)分別為6，21，15的圖形即可；（4）從平行線的角度考慮，先考慮六條直線都平行，再考慮五條、四條，三條，二條直線平行，都不平行作出草圖即可看出，從畫出的圖形中歸納規(guī)律即可得到答案．【詳解】（1）解：解：如圖1所示；交點(diǎn)共有6個，（2）解：如圖2，3所示：（3）解：當(dāng)時，必須有6條直線平行，都與一條直線相交．如圖4所示：當(dāng)時，必須使7條直線中的每2條直線都相交（即無任何兩條直線平行）如圖5所示：當(dāng)時，如圖6所示．（4）解：當(dāng)我們給出較多答案時，從較多的圖形中，可以總結(jié)出以下規(guī)律：①當(dāng)7條直線都相互平行時，交點(diǎn)個數(shù)是0，這時交點(diǎn)最少，②當(dāng)7條直線每兩條均相交時，交點(diǎn)個數(shù)為21，這是交點(diǎn)最多．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線與相交線，關(guān)鍵是根據(jù)一定的規(guī)律畫出圖形，再再根據(jù)圖形歸納規(guī)律．24．（2023·北京市七年級課時練習(xí)）如圖，線段上的點(diǎn)數(shù)與以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的總數(shù)有如下關(guān)系：

(1)當(dāng)線段上有3個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；當(dāng)線段上有4個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；當(dāng)線段上有5個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有________條；(2)當(dāng)線段上有個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總共有多少條？(3)根據(jù)上述信息解決下面的問題：①某學(xué)校七年級共有20個班級進(jìn)行辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每兩個班賽一場），那么該校七年級的辯論賽共要進(jìn)行多少場？②乘火車從站出發(fā)，沿途經(jīng)過10個車站方可到達(dá)站，那么在，兩站之間需要設(shè)置多少種不同的車票（僅考慮車票的起點(diǎn)站與終點(diǎn)站之分）？【答案】(1)3，6，10(2)線段總共有條(3)①該校七年級的辯論賽共要進(jìn)行190場；②需要設(shè)置132種車票【分析】（1）根據(jù)線段的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）中的等式，得到以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有條；（3）①根據(jù)（2）中的結(jié)論，進(jìn)行求解即可；②根據(jù)（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）當(dāng)線段上有3個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）；當(dāng)線段上有4個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）；當(dāng)線段上有5個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）．答案：3，6，10（2）當(dāng)線段上有個點(diǎn)時，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段總數(shù)共有（條）；因為（條），所以（條）．答：線段總共有條．（3）①當(dāng)時，（場）．答：該校七年級的辯論賽共要進(jìn)行190場．②當(dāng)線段上（除兩端點(diǎn)，）有10個點(diǎn)時，∴，，∴車票有（種）．答：需要設(shè)置132種車票．【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵是得到一條線段上有個點(diǎn)，可以得到條線段．25．（2023秋·廣東惠州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，線段AB上的點(diǎn)數(shù)與線段的總數(shù)有如下關(guān)系：如果線段上有3個點(diǎn)時，線段共有3條；如果線段上有4個點(diǎn)時，線段共有6條；如果線段上有5個點(diǎn)時，線段共有10條；

(1)當(dāng)線段上有6個點(diǎn)時，線段共有條？(2)當(dāng)線段上有n個點(diǎn)時，線段共有多少條？（用n的代數(shù)式表示）(3)當(dāng)，線段共有多少條？【答案】(1)15(2)(3)4950條【分析】（1）由已知條件可得出線段上有6個點(diǎn)時的線段數(shù)的規(guī)律是，即可得出答案；（2）通過觀察得知，當(dāng)線段上有n個點(diǎn)時，線段總數(shù)為：，即可得出結(jié)論；（3）把代入前面的公式即可得出答案．【詳解】（1）通過觀察得知：當(dāng)有3個點(diǎn)時，線段的總數(shù)為：；當(dāng)有4個點(diǎn)時，線段的總數(shù)為：；當(dāng)有5個點(diǎn)時，線段的總數(shù)為：；∴當(dāng)有6個點(diǎn)時，線段的總數(shù)為：條．（2）由（1）可看出，當(dāng)線段AB上有n個點(diǎn)時，線段總數(shù)為：（3）把代入前面的公式：條．【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．26．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）觀察思考：

（1）在∠AOB內(nèi)部畫1條射線OC，則圖中有3個不同的角；（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，則圖中有幾個不同的角？（3）3條射線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出n條射線能有幾個不同的角？【答案】（2）6；（3）10，有個不同的角【分析】（2）根據(jù)圖1直接數(shù)出即可；（3）在圖1的基礎(chǔ)上看增加的角的個數(shù)即得畫3條射線時角的個數(shù)；依此規(guī)律可得在∠AOB內(nèi)部畫n條射線時角的個數(shù)．【詳解】解：（2）在∠AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD，如圖1，則圖中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，共1+2+3=6個不同的角；（3）在∠AOB內(nèi)部畫3條射線OC、OD、OE，如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10個不同的角；若在∠AOB內(nèi)部畫n條射線，則有個不同的角．【點(diǎn)睛】本題考查了射線、線段和角的基本知識以及規(guī)律探求問題，注重類比、找到解題的規(guī)律和方法是解答的關(guān)鍵．27．（2023春·廣東肇慶·七年級校考階段練習(xí)）觀察如圖所示中的各圖，尋找對頂角（不含平角）：（1）如圖a，圖中共有＿＿＿對對頂角；（2）如圖b，圖中共有＿＿＿對對頂角；（3）如圖c，圖中共有＿＿＿對對頂角.（4）研究（1）～（3）