2024成都中考數(shù)學第一輪專題復習之第三章 微專題 二次函數(shù)綜合題 類型三~四 教學課件

二次函數(shù)綜合題微專題問題：已知點A，B和直線l，在l上求點P，使△PAB為等腰三角形．找點：①若AB為底，分別以點A，B為圓心，大于

AB長為半徑畫弧，過兩弧交點作直線，與直線l的交點P即為所求；滿分技法類型三等腰三角形存在性問題(8年2考)一階

設問突破②若AB為腰，分別以點A，B為圓心，AB長為半徑畫圓，與直線l的交點P1，P2，P3，P4即為所求．求解方法：對于等腰三角形的腰和底不確定問題，需按照三條邊兩兩相等分三種情況進行討論，通常先設點坐標，再利用兩點間距離公式，分別表示出三條邊的長度，然后再分三種情況列方程求解；在分析定線段是底時，也可根據(jù)動點在定線段的垂直平分線上求解；若已知角相等也可通過全等或相似三角形求解．例

如圖，拋物線y＝－x2＋4x＋12與x軸交于點A，B兩點，與y軸交于點C，連接BC，P是拋物線上的動點．(1)如圖①，D是拋物線對稱軸上一點，若點D的縱坐標為4，判斷△ABD的形狀，并說明理由；例題圖①解：(1)△ABD為等邊三角形，理由如下：如解圖①，設拋物線對稱軸與x軸交于點E.令y＝－x2＋4x＋12＝0，解得x＝－2或x＝6，∴A(－2，0)，B(6，0)，∴AB＝8，AE＝4.∵點D的縱坐標為4，即DE＝4，在Rt△AED中，tan∠DAE＝

，∴∠DAE＝60°.∵AD＝BD，∴△ABD為等邊三角形；例題解圖①(2)如圖②，連接PC，PO，當△PCO是以OC為底的等腰三角形時，求點P的坐標；例題圖②(2)如解圖②，作CO的垂直平分線交拋物線于點P和點P′，交CO于點D，則△POC和△P′OC是以OC為底的等腰三角形．令x＝0，則y＝12，∴C(0，12)，∴OC＝12，CD＝OD＝6，∴點P的縱坐標為6，例題解圖②當y＝6時，即－x2＋4x＋12＝6，解得x＝2＋

或x＝2－

，∴點P的坐標為(2＋

，6)或(2－

，6)；例題解圖②(3)如圖③，D是拋物線對稱軸上一點，連接BD，CD，當△CDB是等腰三角形時，求點D的坐標；例題圖③(3)∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，設點D的坐標為(2，n).∵由(1)，(2)知C(0，12)，B(6，0)，∴BC2＝62＋122＝180，CD2＝22＋(12－n)2，BD2＝42＋n2，當△CDB是等腰三角形時，分以下三種情況：①當CD＝CB時，CD2＝CB2，即22＋(n－12)2＝180，解得n1＝12＋4，n2＝12－4；②當CD＝BD時，CD2＝BD2，即22＋(n－12)2＝42＋n2，解得n3＝

；③當BD＝CB時，BD2＝CB2，即42＋n2＝180，解得n4＝2，n5＝－2.綜上所述，當△CDB是等腰三角形時，點D的坐標為(2，12＋4)，(2，12－4)，(2，

)，(2，2)或(2，－2)；例題圖③(4)如圖④，若點P在直線BC上方，過點P作PQ∥y軸交BC于點Q，連接OP交BC于點M，若△PQM是等腰三角形，求點M的坐標．例題圖④(4)∵PQ∥y軸，∴∠COM＝∠QPM.∵∠CMO＝∠QMP，∴△PQM∽△OCM.∵△PQM是等腰三角形，∴△OCM也是等腰三角形．設yBC＝kx＋b(k≠0)，將B(6，0)，C(0，12)代入得

解得

即yBC＝－2x＋12.點M在BC上，設點M坐標為(a，－2a＋12).∵P在BC上方，∴0＜a＜6.①如解圖③，當MP＝MQ時，MO＝MC，∴點M在OC的垂直平分線上，∴點M的縱坐標為6.當－2a＋12＝6時，解得a＝3，∴M點坐標為(3，6)；②如解圖④當MQ＝QP時，CM＝CO＝12，作MH⊥y軸于點H，∴HM2＋HC2＝CM2，∴a2＋[12－(－2a＋12)]2＝122，解得a＝

(負值已舍去)，∴M點的坐標為(，12－

)；例題解圖③例題解圖④③當MP＝PQ時，則OM＝CO＝12.∵C(0，12)，∴a2＋(－2a＋12)2＝122，解得a＝

或a＝0(均不符合條件，舍去).綜上所述，△PQM是等腰三角形，點M的坐標為(3，6)或(，12－

).例題圖④

解題關鍵點由于等腰△PQM的腰或底邊都不確定，則需分三種情況討論．問題：已知點A，B，直線l，在l上求點P，使△PAB為直角三角形．找點：①若點A為直角頂點，過點A作AB的垂線，與直線l的交點P1即為所求；滿分技法類型四直角三角形存在性問題一階

設問突破②若點B為直角頂點，過點B作AB的垂線，與直線l的交點P2即為所求；③若點P為直角頂點，以AB為直徑畫圓,與直線l的交點P3，P4即為所求．求解方法：方法一：設出點P的坐標，表示出三邊的長，分三個角分別為直角討論，在每種情況下利用勾股定理列方程求解；方法二：找相似，利用相似三角形的性質(zhì)求解，通過構造一線三垂直利用相似求解(見微專題一線三等角模型解決全等、相似問題)；方法三：特殊地，若有30°，45°或60°角，考慮用銳角三角函數(shù)求解；方法四：利用兩直線垂直表示表達式中k的關系求解．例

如圖，拋物線y＝x2－3x－4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC.(1)若點P是y軸上的點，且∠PAC＝90°，求點P的坐標；例題圖①解：(1)當x＝0時，y＝－4，當y＝0時，x1＝－1，x2＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)，∴OA＝1，OC＝4.如解圖①，∵∠PAC＝90°，∴∠PAO＋∠OAC＝90°，∵∠AOC＝90°，∴∠OAC＋∠ACO＝90°，∴∠PAO＝∠ACO，∴tan∠PAO＝tan∠ACO＝

，∴OP＝

，∴點P的坐標為(0，

)；例題解圖①(2)點P是拋物線上一動點，當△PBC是以BC為直角邊的直角三角形時，求點P的坐標；例題圖②(2)由(1)知點B(4，0)，C(0，－4)易得直線BC的表達式為y＝x－4.∵BC是Rt△PBC的直角邊，∴分兩種情況討論：①當點B是直角頂點時，如解圖②，設直線P1B的表達式為y1＝－x＋n，將點B(4，0)代入，解得n＝4，例題解圖②∴直線P1B的表達式為y1＝－x＋4，聯(lián)立解得x＝4(舍去)或x＝－2，當x＝－2時，－x＋4＝6，∴P1(－2，6)；②如解圖②，當點C是直角頂點時，設直線P2C的表達式為y2＝－x＋m，將點C(0，－4)代入，解得m＝－4，∴直線P2C的表達式為y2＝－x－4，聯(lián)立解得x＝0(舍去)或x＝2，當x＝2時，－x－4＝－6，∴P2(2，－6).例題解圖②綜上所述，△PBC是以BC為直角邊的直角三角形時，點P的坐標為(－2，6)或(2，－6)；(3)若點N是對稱軸上一點，當△NBC是直角三角形時，求點N的坐標；例題圖③(3)∵A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)∴拋物線的對稱軸為x＝

.∵點N在對稱軸上，∴設點N的坐標為(

，t)，∴CN2＝(

)2＋(t＋4)2，NB2＝(

－4)2＋t2，BC2＝42＋42＝32，分三種情況討論：分三種情況討論：①當∠NCB＝90°時，NC2＋BC2＝NB2，∴()2＋(t＋4)2＋32＝(

－4)2＋t2，解得t1＝－

；②當∠NBC＝90°時，NB2＋BC2＝NC2，∴(

－4)2＋t2＋32＝(

)2＋(t＋4)2，解得t2＝

；例題圖③③當∠BNC＝90°時，NB2＋NC2＝BC2，∴(－4)2＋t2＋()2＋(t＋4)2＝32，解得t3＝－2＋

，t4＝－2－

.綜上所述，點N的坐標為(，－)或(，)或(，－2＋

)或(，－2－).例題圖③(4)若點N是對稱軸上一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上存在點D，使得△BDN是以N為直角頂點的等腰直角三角形，求點D的坐標．例題圖④(4)記拋物線的對稱軸與x軸的交點為E，則E(，0).①如解圖③，當點D在x軸下方時，點N，D分別在點N1，D1的位置，過點D1作D1G⊥對稱軸于點G.∵∠BN1D1＝90°，∴∠BN1E＋∠D1N1G＝90°.例題解圖③∵∠D1N1G＋∠N1D1G＝90°，∴∠BN1E＝∠N1D1G.∵BN1＝N1D1，∠BEN1＝∠N1GD1＝90°，∴△BEN1≌△N1GD1，∴BE＝N1G，N1E＝D1G.∵B(4，0)，E(，0)，∴BE＝N1G＝

.設N1(

，m)，則D1(－m＋

，m－

)，∵D是對稱軸右側(cè)拋物線上的點，∴－m＋

＞0，m＜0，將D1(－m＋

，m－

)代入y＝x2－3x－4，解得m1＝－

，m2＝

(舍去)，∴D1(3，－