第二十九章 重點突破訓練：視圖與投影的常見問題舉例-簡單數(shù)學之2020-2021九年級下冊同步講練（解析版）（人教版）

第二十九章重點突破訓練：視圖與投影的常見問題舉例第五章

典例體系（本專題共79題45頁）

考點1：平行投影

典例：（2019?臺灣中考真題）在公園有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一堵與地面

互相垂直的墻，且圓柱與墻的距離皆為120公分.敏敏觀察到高度90公分矮圓柱的影子落在地面上，其影

長為60公分；而高圓柱的部分影子落在墻上，如圖所示.

已知落在地面上的影子皆與墻面互相重直，并視太陽光為平行光，在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下,

請回答下列問題：

（1）若敏敏的身高為150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，則影長為多少公分？

（2）若同一時間量得高圓柱落在墻上的影長為150公分，則高圓柱的高度為多少公分？請詳細解釋或完整

寫出你的解題過程，并求出答案.

【答案】（1）敏敏的影長為100公分；（2）高圓柱的高度為330公分.

解：（1）設敏敏的影長為X公分.

“15090

由題忌：---=——

x60

解得x=100（公分）,

經檢驗：x=100是分式方程的解.

敏敏的影長為100公分.

（2）如圖，連接AE,作M//EA.

AB//EF，

：.四邊形ABFE是平行四邊形,

/.AB=E4=150公分,

設5C=y公分，由題意BC落在地面上的影從為120公分.

y90

12060

.0=180（公分）,

.?.AC=A3+6C=150+180=330（公分）,

答：高圓柱的高度為330公分.

方法或規(guī)律點撥

本題考查相似三角形的應用，平行投影，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知

識解決問題，屬于中考?？碱}型.

鞏固練習

1.實驗學校某班開展數(shù)學”綜合與實踐”測量活動.有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后

面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為100cm.王詩娘觀測到高度90cm矮圓柱的影子落

在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示.已知落在地面上的影子皆與坡腳水平

線互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度i=1:0.75,在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下,

請解答下列問題:

（1）若王詩媾的身高為150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長為多少cm?

（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內.請直接回答這

個猜想是否正確？

（3）若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100cm,則高圓柱的高度為多少cm?

【答案】（1）120cm；（2）正確；（3）280cm

解：（1）設王詩嬤的影長為xcm,

-一90150

由題忌可得：——---,

72x

解得：x=120,

經檢驗：x=120是分式方程的解，

王詩嬤的的影子長為120cm；

（2）正確，

因為高圓柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽光的光線與MN垂直，

則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，

而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，

...高圓柱和它的影子與斜坡的某個橫截面一定同在一個垂直于地面的平面內；

（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽光，ACDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子,

過點F作FGLCE于點G,

由題意可得：BC=IO（）,CF=10（）,

???斜坡坡度i=1:0.75,

.DEFG14

"CE-CG-075,

.?.設FG=4m,CG=3m,在ACFG中，

（4???）2+（3W）2=1002,

解得：m=20,

/.CG=60,FG=80,

???BG=BC+CG=160,

過點F作FHLAB于點H,

?.?同一時刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm,

FG_LBE,AB1BE,FH±AB,

可知四邊形HBGF為矩形，

.90_A”_AH

90“90…

；.AH=—xBG=——x160=200,

7272

AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280,

故高圓柱的高度為280cm.

2.數(shù)學實踐小組的同學利用太陽光下形成的影子測量大樹的高度.在同一時刻下，他們測得身高為1.5

米的同學立正站立時的影長為2米，大樹的影子分別落在水平地面和臺階上.已知大樹在地面的影長為2.4

米，臺階的高度均為0.3米，寬度均為0.5米.求大樹的高度48.

【答案】3.45米

【詳解】解：延長?！苯挥邳cM,延長AO交于N.

it

可求BM=3.4,DM=0.9.

由二=」-,可得MN=1.2.

2MN

：.BN=34+1.2=4.6.

由~^-=丁7，可得AB=3.45.

24.6

所以，大樹的高度為3.45米.

3.如圖，上午小明在上學路上發(fā)現(xiàn)路燈的燈泡8在太陽光下的影子恰好落到點E處，他自己的影子恰好落

在另一燈桿CO的底部點。處，晚自習放學時，小明又站在上午同一地方，此時發(fā)現(xiàn)燈泡。的燈光下自己

的影子恰好落在點E處.請在圖中畫出表示小明身高的線段(用線段FG表示).

D

C

【答案】詳見解析.

??

【詳解】■一G/

J_

FF

如圖所示，線段FG即為所求.

4.如圖，4B和MN是直立在地面上的兩根立柱，4B=6m，某一時刻4B在陽光下的投影BC=3m.

(1)請你在圖中畫出此時MN在陽光下的投影.

(2)在測量48的投影時，同時測量出MN在陽光下的投影長為6m,計算MN的長.

【答案】(1)見解析；(2)MN=12(m).

【解析】解：(1)如圖所示，PN為MN在陽光下的投影.

BCNP36

：.MN=12(m).

5.如圖，公路旁有兩個高度相同的路燈AB,CD,小明上午上學時發(fā)現(xiàn)路燈在太陽下的影子恰好落到E處,

他自己的影子恰好落在路燈CD的底部C處.晚自習放學時，站在上午同一地方，發(fā)現(xiàn)在路燈CO的燈光下自

己的影手恰好落在E處.

BD

AEC

(1)在圖中畫出小明的位置(用線段MN表示)并畫出光線，標明太陽光、燈光.

(2)若上午上學時高1m的木棒的影子為2m,小明身高為1.6m,他離E恰好4m,求路燈高.

【答案】(1)見解析；(2)路燈高2.88m.

【解析】解：(1)如圖所示.

、太陽光、燈光

(2)上午上學時，1m木棒的影子為2m,小明身高為1.6m,

二小明的影子長為3.2m.

MC=3.2m.

VFM=4m，.\EC=7.2m

?..晚上小明的影子投在E點，

.MN=EM即竺=工

CDECCD7.2

：.CD=2.88(m).

答：路燈高2.88m.

6.如圖所示，陽光透過長方形玻璃投射到地面上，地面上出現(xiàn)一個明亮的平行四邊形，楊陽用量角器量出

了一條對角線與一邊垂直，用直尺量出平行四邊形的一組鄰邊的長分別是30cm,50cm,請你幫助楊陽計算

出該平行四邊形的面積.

【答案】1200cm2

【解析】解如圖，AB=30cm,8c=50cm,AB±AC,

在RtAABC中，AC="BR-482=40cm,

所以該平行四邊形的面積=30x40=1200（cm2）.

7.（2019?陜西西安?初三期中）如圖是位于陜西省西安市薦福寺內的小雁塔，是中國早期方形密檐式磚塔的

典型作品，并作為絲綢之路的一處重要遺址點，被列入《世界遺產名錄》.小銘、小希等幾位同學想利用一

些測量工具和所學的幾何知識測量小雁塔的高度，由于觀測點與小雁塔底部間的距離不易測量，因此經過

研究需要進行兩次測量，于是在陽光下，他們首先利用影長進行測量，方法如下：小銘在小雁塔的影子頂

端D處豎直立一根木棒CD,并測得此時木棒的影長DE=2.4米；然后，小希在BD的延長線上找出一點F,

使得A、C、F三點在同一直線上，并測得DF=2.5米.已知圖中所有點均在同一平面內，木棒高CD=1.72

米，AB±BF,CD±BF,試根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，求小雁塔的高度AB.

【答案】43米.

【解析】由題意得：ZAfi￡>=ZCD￡=90°,ZADB=ZCED,：./\CDE^^ABD,

.CDDE

VZF=ZF,:.△CDFs^ABF,

CDDFDEDF?2.42.5

...----=-----,...----------,即a----------------f

ABBFBDBFBD30+2.5

17224

???8D=60，--=—,：.AB=43.

AB60

答：小雁塔的高度48是43米.

8.（2018?全國初三單元測試）圖①是一起吊重物的簡單裝置，AB是吊桿，當它傾斜時，將重物掛起，當

它逐漸直立時，重物便能逐漸升高.在陽光下，當?shù)鯒U的傾斜角/ABC=60。時，量得吊桿的影子長BC=

11.5米，很快將吊桿直立（直立過程所需的時間忽略不計），如圖②，AB與地面垂直時，量得吊桿AB的影

長BC=4米，求吊桿AB的長.

【答案】23-46

【解析】在題圖①中，過點A作AD1BC于點D.

設BD=x米，則DC=(11.5-x)米.

又因為NABC=60。，

所以AD={5x米，AB=2x米.

因為太陽光是平行的，根據(jù)同一時刻，同一地點物高與影長成正比,

所以題圖①中的“AD：DC”和題圖②中的“AB：BC”相等，

即#x：(11.5-x)=2x:4,

解得x=l1.5—2木x=0不符合題意，舍去)，

所以吊桿AB=2x=(23—4■)米.

考點2：中心投影

典例：學習投影后，小明、小穎利用燈光下自己的影子長度來測量--路燈的高度，并探究影子長度的變化規(guī)律.

如圖，在同一時間，身高為1.6m的小明(AB)的影子BC長是3m,而小穎(EH)剛好在路燈燈泡的正下方H點，并

測得HB=6m.

(1)請在圖中畫出形成影子的光線,并確定路燈燈泡所在的位置G;

(2)求路燈燈泡的垂直高度GH;

(3)如果小明沿線段向小穎(點H)走去，當小明走到的中點Bi處時，其影子長為BCi；當小明繼續(xù)走剩下

路程的;到電處時，其影子長為&C2；當小明繼續(xù)走剩下路程的}到B3處,…，按此規(guī)律繼續(xù)走下去，當小明走

剩下路程的—到&處時，其影子B,.Cn的長為_____m.(直接用含n的代數(shù)式表示)

H+1

HB\

【答案】⑴詳見解析；(2)路燈燈泡的垂直高度G”是4.8m；(3)

【解析】解：(1)形成影子的光線如圖所示，路燈燈泡所在的位置為點G.

(2)根據(jù)題意，得△A8CsaG〃C,.：-='，?:~————，解得GH=4.8m.

GHHCGH6+3

答:路燈燈泡的垂直高度GH是4.8m.

(3)提示:同理可得△48《|646”(7|,.：整=萼，

UnnC}

]6x

設長為xm,則二=一；

4.8x+3

解得x=1.5,即81cl=1.5m.

1.6BC

同理=''，解得82c2=1m,

4-.o￡?-)C-)+Z

L6=B,C,3

?：4.81解得&<?,,=；?

紇C“+,x6n+1

n+l

方法或規(guī)律點撥

本題主要考查相似三角形的應用及中心投影，只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的

性質對應邊成比例解題.

鞏固練習

1.一天晚上，小穎由路燈A下的B處向正東走到C處時，測得影子CD的長為1米，當她繼續(xù)向正東走

到D處時，測得此時影子DE的一端E到路燈A的仰角為45。，已知小穎的身高為1.5米，那么路燈AB的

高度是多少米？

【答案】AB=4.5m

【詳解】解:如圖，VZABE=W°,NE=45°,

NE=ZEAB=ZEFD=45°,

：.AB=BE,DE=DF=1.5,

'：MC//AB,

；./\DCMS/\DBA,

.DCBD

設A8=x,則BO=x-1.5,

1x-1.5

?\--=------,

1.5x

解得：x=4.5.

路燈A的高度AB為4.5m.

2.（2018?南通市啟秀中學初三期中）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影

子如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段BG所示，路燈燈泡在線段OE上.

E

CADF

（1）請你確定燈泡所在的位置并畫出小亮在燈光下形成的影子；

（2）如果小明的身高48=1.8〃?，他的影子長AC=1.6m,且他到路燈的距離AD=24",求燈泡的高.

【答案】（1）如圖，見解析；點。為燈泡所在的位置，線段FH為小亮在燈光下形成的影子：（2）燈泡的

高為4.5m.

【詳解】

（1）如圖，點。為燈泡所在的位置，

線段FH為小亮在燈光下形成的影子.

E

AB_CA

(2)由已知可得:

~DO~~CD

.1.81.6

'DO~1.6+2.4

DO=4.5m,

?,?燈泡的高為4.5m.

3.如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段AB所示，他在地面上的影子如圖中線段AC所示，小亮的身

高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段OE上.

E

(1)請你確定燈泡所在的位置，并畫出表示小亮在燈光下形成的影子線段.

(2)如果燈桿高12小，小亮的身高1.6機，小亮與燈桿的距離13w，請求出小亮影子的長度.

【答案】(1)詳見解析；(2)小亮影子的長度為2”.

【詳解】

(2)'：FG//DE,

/.△GFN^ANDE,

?_F__N__FG

"NDDE

?.?燈桿高12m,小亮的身高1.6m,小亮與燈桿的距離13m,

FN1.6

FN+\3~12

解得：FN=2,

答：小亮影子的長度為2，〃.

4.如圖，小明在晚上由路燈C底部A走向路燈D底部B,當他行至點P處時，發(fā)現(xiàn)他在路燈D下的影長

為2米，影子頂端正好落在A點，接著他又走了6.5米至點Q處，此時在路燈C下的影子的頂端正好落在

B點.已知小明身高1.8米，燈桿8。高9米.

（1）標出小明站在點P處時，在路燈D下的影子；

（2）計算小明站在點Q處時，在路燈C下的影子的長度；

（3）求燈桿AC的高度.

【答案】（1）見解析；（2）在路燈C下的影子的長度為1.5米；（2）12米

【詳解】

解：（1）如圖，線段AP即為小明在路燈D下的影子.

(2)設小明在路燈C下的影長QB為x米，如圖.

EPIAB,DBYAB,

???NEPA=NDBA=9G.

又NEAP=NDAB,

EPAP??1.82

"DB—AB''9-2+6.5+x.

解得x=1.5.

.??小明站在點Q處時，在路燈C下的影子的長度為1.5米.

(3)由題意易知，RtAFQB^RtACAB,

.Q^=QB

"AC~AB

1.81.5

設AC=y米,則丁=1.5+6.5+2,

解得y=12.

燈桿AC的高度為12米.

5.如圖，某光源下有三根桿子，甲桿GH的影子為GM,乙桿EF的影子一部分落在地面EA上，一部分落

在斜坡AB上的AD處.

（1）請在圖中畫出形成影子的光線，確定光源所在的位置R,并畫出丙桿PQ在地面的影子.

（2）在（1）的結論下，若過點F的光線尸。1AB,斜坡與地面的夾角為60。，AD=Im,AE=2m,請

【答案】（1）見解析：（2）EF=

3

【解析】（1）如圖所示，QN即為PQ在地面的影子。

(2)分別延長FD,EA交于點S.在RtZkADS中，ZADS=90°,

9：^DAS=60°,

?"S=30°.

'：AD=1,

：.AS=2,DS=V3，

???ES=4S+4E=2+2=4

.在山△EPS中，VzFFS=90°,zS=30°,

:?FS=2EF,

由勾股定理得EF=這m.

3

6.如圖，晚上小明由路燈AO走向路燈BC,當他行至點P處時，發(fā)現(xiàn)他在路燈BC下的影長為2相，且

影子的頂端恰好在A點，接著他又走了6.5機至點Q處，此時他在路燈AD下的影子的頂端恰好在B點，

己知小明的身高為1.8m,路燈BC的高度為9m.

D

（1）計算小明站在點Q處時在路燈AD下影子的長度；

（2）計算路燈AD的高度。

【答案】（1）小明站在點Q處時在路燈AD下影子的長度為1.5加；（2）路燈AD的高度為12加.

【解析】解：（1）根據(jù)題圖，得EP_LAB,CBVAB,\AEP^\ACB.

.?圖=”,即"=2,

CBAB9AB

AB-10//2,

:.QB=AB-AP-PQ=W-2-6.5=1.5m,

即小明站在點Q處時在路燈ADF影子的長度為1.5加.

（2）同（1）可知△HQBSADAB,

.HQ=QB即1A3

ADAB'AD10'

/.AD=12m,

即路燈AD的高度為12機.

7.（2019?全國）如圖，晚上小紅和小穎在廣場的一盞路燈下玩耍，AB表示小紅的身高，BC表示她的影子，

DE表示小穎的身高，E尸表示她的影子，請在圖中畫出燈泡的位置，并且畫出形成影子MN的小木桿。（用

線段表示）

D

MNBCE

【答案】見解析.

【解析】解：如圖，連接CA、FD并延長，交點即為路燈P的位置；

連接PM,過點N作NQLMN交PM于Q,則形成影子MN的小木桿為QN.

9.如圖，公路旁有兩個高度相同的路燈AB,CD,小明上午上學時發(fā)現(xiàn)路燈AB在太陽光下的影子恰好落

到里程碑E處，他自己的影子恰好落在路燈CD的底部C處晚自習放學時，小明站在上午同一個地方，發(fā)

現(xiàn)在路燈CD的燈光下自己的影子恰好落在里程碑E處。

BD

'A1C

（1）在圖中畫出小明的位置（用線段FG表示），并畫出光線，標出太陽光、燈光；

（2）若上午上學時，高I米的木棒在太陽光下的影子為2米，小明身高為1.5米，他離里程碑E恰好5米,

求路燈的高度.

【答案】（1）見解析：（2）路燈的高度為2.4米.

【解析】解：（1）根據(jù)題意畫圖如圖所示.

（2）?.?上午上學時，高1米的木棒在太陽光下的影子為2米，小明的身高為1.5米,

小明的影長CF為3米.

GF±AC,DC1AC,

:.GFIICD.

：.\EGF^\EDC,

GFEF

"~DC~~EC'

小明離里程碑E恰好5米，即ER=5米，

?L55

-DC-5+3'

DC=2.4,

答：路燈的高度為2.4米.

考點3：與盲區(qū)有關的問題

典例：圖1至圖7中的網格圖均是20x20的等距網格圖（每個小方格的邊長均為1個單位長）.偵察兵王凱

在P點觀察區(qū)域MNCD內的活動情況.當5個單位長的列車（圖中的一）以每秒1個單位長的速度在鐵

路線MN上通過時，列車將阻擋王凱的部分視線，在區(qū)域MNCD內形成盲區(qū)（不考慮列車的寬度和車廂間

的縫隙）.設列車車頭運行到M點的時刻為0,列車從M點向N點方向運行的時間為t（秒）.

（1）在區(qū)域MNCD內，請你針對圖1,圖2,圖3,圖4中列車位于不同位置的情形分別畫出相應的盲區(qū)，

并在盲區(qū)內涂上陰影.

（2）只考慮在區(qū)域ABCD內開成的盲區(qū).設在這個區(qū)域內的盲區(qū)面積是y（平方單位）.

①如圖5,當5WtW0時，請你求出用t表示y的函數(shù)關系式；

②如圖6,當10SW15時，請你求出用t表示y的函數(shù)關系式；

③如圖7,當15W620時，請你求出用t表示y的函數(shù)關系式；

④根據(jù)①?③中得到的結論，請你簡單概括y隨t的變化而變化的情況.

（3）根據(jù)上述研究過程，請你按不同的時段，就列車行駛過程中在區(qū)域MNCD內所形成盲區(qū)的面積大小

的變化情況提出一個綜合的猜想.

p__________________p__________________p__________________P

cQDCQDCQDCQD

圖4圖5圖6圖7

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】（1）在P視點看不見的列車后的區(qū)域就是盲區(qū)，也就是過P和列車的兩端的射線交CD于兩點,

這兩點和列車兩端構成的梯形就是所指的盲區(qū).如圖1的梯形AAQiD,圖2的梯形A?B2c2D2，圖3的梯

形B3BCC3.

（2）①如圖1,當5WtS0時，盲區(qū)是梯形AAiDQ

p

：O是PQ中點，且OA〃QD,

/.A|,A分別是PDi和PD中點

...A|A是APD1D的中位線.

又,.?A|A=t-5,；.D|D=2(t-5)

而梯形AA|DQ的高OQ=10,

?\y=15t-75.

②如圖2,當10WK15時，盲區(qū)是梯形A2B2c2D2,

易知A2B2是APCzD?的中位線，且A?B2=5,

.".C2D2=IO

又?.?梯形A?B2c2D2的高OQ=10,

1

；.y=—(5+10)x10=75

2

/.y=75.

③如圖3,當150W2O時，盲區(qū)是梯形B3BCC3

易知BB3是心83的中位線

且BB3=5-(t-15)=20-1

又?.?梯形B3BCC3的高OQ=10,

|(20-t)+2(20-t)]x10=300-15t

.,.y=300-15t.

④當5W￡10時，由一次函數(shù)y=15t-75的性質可知，盲區(qū)的面積由。逐漸增大到75；

當10<t<15時,盲區(qū)的面積y為定值75；

當15WtW20時，由一次函數(shù)y=300-15t的性質可知，盲區(qū)的面積由75逐漸減小到0.

（3）通過上述研究可知，列車從M點向N點方向運行的過程中，在區(qū)域MNCD內盲區(qū)面積大小的變化是：

①在0<t<l0時段內，盲區(qū)面積從0逐漸增大到75；

②在10SW15時段內，盲區(qū)的面積為定值75；

③在15<t<20時段內，盲區(qū)面積從75逐漸減小到0.

法或規(guī)律點撥

本題主要考查了梯形的面積公式，盲區(qū)，一次函數(shù)等知識點，知識點比較多，需要細心求解.

鞏固練習

1.當你在筆直的公路上乘車由A至E的過程中（如圖所示），發(fā)現(xiàn)路邊有兩棟建筑物，那么不能看到較高建

筑物PD的路段是（）

A.ABB.BCC.CDD.DE

【答案】B

【解析】由圖知：當乘車在BC段行駛時，建筑物PD位于自己的盲區(qū)內，因此看不到建筑物PD的路段是

BC段.

故選B.

2.（2019?全國初三單元測試）當你去看電影的時候，你想坐得離屏幕近一些，可是又不想為了看屏幕邊緣

的鏡頭不停地轉動眼睛.如圖所示，點A、B分別為屏幕邊緣兩點，若你在P點,則視角為N4P8.如果你覺

得電影院內尸點是觀看的最佳位置，可是已經有人坐在那了，那么你會找到一個位置。，使得在Q、P兩點

有相同的視角嗎？請在圖中畫出來（保留畫圖痕跡，不寫畫法）.

【答案】詳見解析.

【解析】解：作A8,AP的中垂線，交點為。，以。為圓心，0P長為半徑做三角形ABP的外接圓,

在圓上P點同側找一點。，連接A。，B。，則點。即可所求點.

3.（2018?全國初三單元測試）如圖，一墻墩（用線段AB表示）的影子是BC,小明（用線段OE表示）

的影子是EF,在M處有一顆大樹，它的影子是MN.

（1）試判斷是路燈還是太陽光，如果是路燈確定路燈的位置（用點P表示）.如果是太陽光請畫出光線.

（2）在圖中畫出表示大樹高的線段.

（3）若小明的眼睛近似地看成是點。，試畫圖分析小明能否看見大樹.

VMBCKF

【答案】（1）見解析;（2）見解析;（3）見解析.

【解析】解：⑴根據(jù)光線相交于一點，即可得出路燈確定路燈的位置；（2）如圖所示：⑶如圖所示，小

明的眼睛近似地看成是點。，小明不能看見大樹.

VMBCEF

4.（2018?全國初三單元測試）作圖題：如圖所示：大王站在墻前，小明站在墻后，小明不能讓大王看見,

請你畫出小明的活動區(qū)域.

大王

【答案】見解析

【解析】如圖，小明的活動區(qū)域是A、B、C三個陰影部分區(qū)域.

B

5.如圖，正方形ABC。的邊長為4,點M,N,P分別為A。，BC,CO的中點.現(xiàn)從點P觀察線段

AB,當長度為1的線段/(圖中的黑粗線)以每秒1個單位長的速度沿線段從左向右運動時，/將阻擋

部分觀察視線，在區(qū)域內形成盲區(qū).設/的左端點從M點開始，運動時間為“少(O?fV3).設PAB

區(qū)域內的盲區(qū)面積為(平方單位).

(1)求與，之間的函數(shù)關系式；

(2)請簡單概括)'隨t的變化而變化的情況.

【答案】(1)時，y=3t,?<z<時，y=3,2<r<3時，y=9-3f：(2)1秒內，y隨，的

增大而增大；1秒到2秒，丫的值不變；2秒到3秒，y隨/的增大而減小.

【詳解】(I)..?正方形ABCD的邊長為4,點M,N,P分別為AO,BC,C。的中點，

...AM=2,盲區(qū)為梯形，且上底為下底的一半，高為2,

當時，y=+2。?2=3f,

當1</<2時，y=g(l+2)x2=3,

當2</43時，y=g[3-f+2(3-r)]?2=9—3f；

(2)i秒內，y隨t的增大而增大；1秒到2秒，y的值不變；2秒到3秒，),隨，的增大而減小.

6.如圖，在房子外的屋檐E處裝有一臺監(jiān)視器，房子前面有一面落地的廣告牌.

(1)監(jiān)視器的盲區(qū)在哪一部分？

(2)已知房子上的監(jiān)視器離地面高12加，廣告牌高6加，廣告牌距離房子5m，求盲區(qū)在地面上的長度.

【答案】5米.

【解析】（1）把墻看做如圖的線段，則如圖，ABC所圍成的部分就是監(jiān)控不到的區(qū)域:

設BC=x,則CD=x+5,

%_6

7+5-12

解得：x=5.

答：盲區(qū)在地面上的長度是5米.

7.（2018?全國初三單元測試）如圖，兩樓之間距離MN=20若m,兩樓的高各為10m和30m,則當你

至少與BM樓相距多少米時，才能看到后面的NC樓？此時，你的仰角是多少度？

【答案】10&m時，才能看到后面的NC樓，此時的仰角為30。.

【解析】解：連接CB并延長交NM的延長線于點A,設AM=xm,

則喬杜架，x=IOS，tan/BAM=^=湍=坐

/.ZBAM=30°,故當人與BM樓至少為IOSm時,才能看到后面的NC樓,此時的仰角為30。.

8.（2018?全國初三單元測試）如圖，小區(qū)管理者打算在廣場的地面上安裝一盞路燈（路燈高度忽略不計）.小

明此刻正在某建筑物的8處向下看，請問：此路燈安在什么位置，小明在8處看不到？請把這段范圍用線

段表示出來.

B

/

□□

N

墻

【答案】見解析.

【解析】

如圖所示：線段BE以下為盲區(qū)，此路燈安在8E5面，小明在8處看不到.

B

□□

墻

9.（2019?全國）我國《道路交通安全法》第四十七條規(guī)定“機動車行經人行橫道時，應當減速行駛；遇行人

通過人行橫道，應當停車讓行如圖：一輛汽車在一個十字路口遇到行人時剎車停下，汽車里的駕駛員看

地面的斑馬線前后兩端的視角分別是/DCA=30。和/DCB=60。，如果斑馬線的寬度是AB=3米，駕駛員

與車頭的距離是0.8米，這時汽車車頭與斑馬線的距離x是多少？

【答案】0.7米

【詳解】

如圖所示：延長AB,

C

；CD〃AB,

；./CAB=30°,ZCBF=60°,

二ZBCA=60°-30°=30°,即/BAC=NBCA,

/.BC=AB=3m,

在RtZkBCF中，BC=3m,ZCBF=60°,

1

/.BF=-BC=1.5m,

2

fex=BF-EF=1.5-0.8=0.7（m）,

答：這時汽車車頭與斑馬線的距離X是0.7m.

考點4：有三視圖還原幾何體

典例：（2020?江蘇徐州?初三一模）一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的名稱是（)

：主視此左視BB

??

??

岡

后視圖

A.四棱柱B.三棱錐C.四棱錐D.圓錐

【答案】C

【詳解】

解：???空間幾何體的主視圖、左視圖所對應的三角形皆為正三角形，俯視圖對應的四邊形為正方形，

二空間幾何體是正四棱錐，

故選C.

方法或規(guī)律點撥

本題考查了由三視圖來判斷幾何體，還考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間

想象能力.

鞏固練習

1.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

O

A.三棱柱B.長方體C.圓錐D.圓柱

【答案】B

【解析】根據(jù)主視圖和左視圖都是寬度相等的長方形，可判斷該幾何體是柱體，再根據(jù)俯視圖的形狀，可

判斷柱體是長方體.故選B.

2.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

A.圓柱B.圓錐C.正三棱柱D.正三棱錐

【答案】B

【解析】根據(jù)這個幾何體的三視圖即可得這個幾何體為圓錐.

3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）

【答案】C

【詳解】解：根據(jù)主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體，根據(jù)俯視圖是三角形可判斷出這個幾何體應該是

三棱柱.

故選C.

4.由4個相同的小正方體搭建了一個積木，從不同方向看積木，所得到的圖形如圖所示，則這個積木可能

是（）

從正面看從左面看從上面看

【答案】B

【解析】解：從主視圖上可以看出左面有兩層，右面有一層；從左視圖上看分前后兩層，后面一層上下兩

層，前面只有一層，從俯視圖上看，底面有3個小正方體，因此共有4個小正方體組成.故選B.

5.（2020?湖北初三一模）如圖是一個三視圖，則此三視圖所對應的直觀圖是（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.B.C.D.

【答案】B

【詳解】

解：由圖可得，此三視圖所對應的直觀圖是

故選：B.

6.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體是（）

D.

【答案】C

【詳解】解：根據(jù)俯視圖為三角形，主視圖以及左視圖都是矩形，可得這個幾何體為四棱柱,

故選C.

7.（2020?云南昆明?初三學業(yè)考試）某幾何體的主視圖和左視圖如圖所示，則該幾何體可能是（）

【答案】A

【詳解】

解：底層正方體可能的個數(shù)應是3個，第二層正方體可能的個數(shù)應該是1個,

因此這個幾何體可能的圖示如圖所示,

8.（2020?陜西西安?高新一中初三其他）某幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖如圖所示，則其對應的幾何體

是（□

A.B.D.L

【答案】B

【詳解】

解：根據(jù)三視圖可得這個幾何體的名稱是三棱柱;

故選：B.

9.如圖是某個幾何體的三視圖，該幾何體是（)

A.圓錐B.三棱錐C.三棱柱D.四棱柱

【答案】C

【詳解】

解：A、圓錐的主視圖是等腰三角形，不符合題意;

B、三棱錐的三視圖均為三角形，不符合題意;

C、三棱柱的主視圖和左視圖均為矩形，俯視圖為三角形，符合題意;

D、四棱柱的主視圖、左視圖和俯視圖均為矩形，不符合題意;

故選：C.

10.如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體可能是（）.

【答案】c

【詳解】

?.?七視圖和左視圖是長方形，

該幾何體是柱體，

?.?主視圖有虛線，俯視圖是四邊形，

...該幾何體是前寬后窄的四棱柱.

故選：C.

11.詩句“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，意思是說要認清事物的本質，就必須從不同角度去觀察.下

圖是對某物體從不同角度觀察的記錄情況，對該物體判斷最接近本質的是（）.

Bi

A.是圓柱形物體和球形物體的組合體，里面有兩個垂直的空心管

B.是圓柱形物體和球形物體的組合體，里面有兩個平行的空心管

C.是圓柱形物體，里面有兩個垂直的空心管

D.是圓柱形物體，里面有兩個平行的空心管

【答案】D

【詳解】

由三視圖可知：幾何體的外部為圓柱體，內部為兩個互相平行的空心管

故選：D

12.右側的三視圖對應的物體為（）

【答案】c

【詳解】

解：從俯視圖可以看出直觀圖的下面部分為一個長方體和圓，且長方體的寬度和圓的宜徑相等.只有選項c

滿足這兩點，

故選C.

13.（2020.河南鄭州.初三二模）一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（）

V

主視圖左視圖

俯視圖

A.立方體B.四棱柱C.圓錐D.直三棱柱

【答案】D

【詳解】

解：該幾何體是直三棱柱,

故答案選：D.

14.（2020.眉山市東坡區(qū)蘇轍中學初三其他）如圖所示為某一物體的主視圖，下面是這個物體的是（）

【答案】D

【詳解】

解：從該組合體的主視圖看從左至右共有三列，從左到右第一列有兩個正方體，第二列有三個正方體，第

三列有一個，可得只有選項D符合題意.

故選：D.

考點5：有三視圖求幾何體表面積和側面積

典例：(2020?成都西川中學月考)如圖是某幾何體從正面、左面、上面看到的形狀圖.

從上面看

(1)這個幾何體的名稱是.

(2)若從正面看到的長方形的寬為4cm,長為9c"?,從左面看到的寬為3cm,從上面看到的直角三角形的

斜邊為5cm，則這個幾何體中所有棱長的和是多少？它的表面積是多少？

【答案】(1)直三棱柱；(2)5lew；120cm2

【詳解】(1)這個幾何體是直三棱柱；

故答案為：直三棱柱

(2)由題意可得：

它的所有棱長之和為：

(3+4+5)x2+9x3=51(cm)；

它的表面積為：

2x(-j-x3x4)+(3+4+5)x9=120(cm2)

答：所有棱長的和是51cm,它的表面積為120cm2.

方法或規(guī)律點撥

此題主要考查了由三視圖判斷幾何體的形狀，正確得出物體的形狀是解題關鍵.

鞏固練習

1.（2020.山東日照?二模）如圖是某工件的三視圖.則此工件的表面積為（）

I工

L8便位：cm）

A.20兀cm，B.367tcm?C.56兀cm'D.2471cm2

【答案】B

【詳解】

解：由三視圖，得：

3

OB=8-r2=4cm,OA=3cm,

由勾股定理得AB=732+42=5cm,

圓錐的側面積為：—><87rx5=207tcm2,

2

圓錐的底面積為:7ix42=167tcm2,

圓錐的表面積為：20K+167c=36ncm2.

故答案為：B.

2.如圖所示是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算，這個幾何體的側面積為（）.

■'r't'y

25乃-

A.—^―B.12兀C.2V3t4;TD.247r

【答案】B

【詳解】

由三視圖可判斷該兒何體是圓錐，底面直徑為4,母線長為6,

.,.這個幾何體的側面積為：-x4^x6=12^-.

2

故選：B.

3.（2020?重慶）要制作一個密封的長方體鐵盒，嘉嘉設計出了它的三視圖，如圖，按圖中尺寸（單位：cm）

判斷，要制作這個長方體鐵盒，如果只考慮面積因素，采用下列哪種面積的鐵板最合理（）

■主視圖o左視a圖n俯視圖

A.1000a/B.1030c/n2C.HOOcw2D.1200a/

【答案】C

【詳解】

（18x12+18x10+12x10）x2

=（216+180+120）x2

=516x2

=1032（cm2）,

故如果只考慮面積因素，采用面積1100cm2的鐵板最合理.

故選：C.

4.（2020?四川中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計算這個幾何體的表面積是（）

A.207tB.18兀C.16兀D.14兀

【答案】B

【詳解】

4

由幾何體的三視圖可得出原幾何體為圓錐和圓柱組合體，且底面半徑為「=:=2,

2

，這個幾何體的表面積

=底面圓的面積+圓柱的側面積+圓錐的側面積

=兀戶+Inrh+Krl

=22n+2x2x2兀+3義2兀=18兀,

故選：B.

5.如圖是某幾何體的三視圖，其側面積為（）

A.6B.47rC.6兀D.12n

【答案】C

【解析】觀察三視圖知：該幾何體為圓柱，高為3cm,底面直徑為2cm,

，側面積為：71dh=2itx3=6兀.

故選C.

6.如圖，一個幾何體的三視圖分別是兩個矩形，一個扇形，則這個幾何體表面積的大小為（）

（主曲（左視圖）

（W5?）

A.127tB.15nC.127t+6D.15兀+12

【答案】D

【詳解】

解：由幾何體的三視圖可得：

該幾何體的表面是由3個長方形與兩個扇形圍成，

其側面積為:3x（《x2萬x2+2+2）=9萬+12

上下底面面積為：兀=6兀

4

二這個幾何體表面積為9兀+12+6兀=15兀+12,

故選：D.

7.（2020?云南初三二模）云南是全國擁有少數(shù)民族數(shù)量最多的省份，風俗文化多種多樣，使得“云南十八怪”

成為云南旅游文化的一張名片，圖①是十八怪中的“草帽當鍋蓋”，圖②是一個草帽的三視圖，根據(jù)圖中所給

的數(shù)據(jù)計算出該草帽的側面積為（）

A.24();rcMB.576^cm2C.624-Trcm2D.12(比cm?

【答案】C

【詳解】

48

解：?.?圓錐的底面直徑為48cm,則半徑為一=24,又?.?圓錐的高為10cm,，圓錐的母線長為:

2

V102+242=7676-26，圓錐的底面周長（扇形的弧長）為：2%r=48?，

.?.該圓錐的側面積x487tx26=6247rc“，

故選C.

8.（2020?哈爾濱市實驗學校初三月考）如圖是由五個大小相同的正方體搭成的幾何體，則關于它的視圖,

下列說法正確的是（）

A.主視圖的面積最小B.左視圖的面積最小

C.俯視圖的面積最小D.主視圖，俯視圖,左視圖的面積一樣大

【答案】B

【詳解】

解：觀察圖形可知，幾何體的主視圖由4個正方形組成，俯視圖由4個正方形組成，左視圖由3個正方形

組成，

所以左視圖的面積最小.

故答案為：B.

9.“趕陀螺”是一項深受人們喜愛的運動.如圖所示是一個陀螺的立體結構圖.已知底面圓的直徑AB=8cm,

圓柱的高BC=6cm,圓錐的高CD=3cm,則這個陀螺的表面積是（）

AB

C___Jc

A.68ncm2B.74兀cm~C.84ncm2D.10071cm?

【答案】C

【解析】:,底面圓的直徑為8cm,高為3cm,母線長為5cm，，其表面積=71x4x5+47+8兀x6=84ncm\故

選C.

10.如圖，這是一個底面為等邊三角形的正三棱柱和它的主視圖、俯視圖，則它的左視圖的面積是（）

俯視圖

A.4B.2C.73D.273

【答案】D

【詳解】

由三視圖可知：底面等邊三角形的邊長為2,該幾何體的高為2,

該兒何體的左視圖為長方形，

該長方形的長為該幾何體的高2,寬為底面等邊三角形的高，

:底面等邊三角形的高=2xsin60=2XE=6，

2

.?.它的左視圖的面積是26，

故選：D.

II.（2020.黑龍江初三月考）如圖，該兒何體由棱長為1的六個小正方體疊合形成，其左視圖面積是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【詳解】

解：由左側可以：看到上