高中數(shù)學(xué)《點(diǎn)線面的位置關(guān)系》訓(xùn)練30題（含解析）

高中數(shù)學(xué)《點(diǎn)線面的位置關(guān)系》專題訓(xùn)練30題(含解析)

1.如圖，在三棱錐中，平面平面BCD,AB=AD,。為8。的中點(diǎn).

(1)證明：OA1CD；

(2)若AOCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱4。上，DE=2EA,且二面角E-8C-D的大小為45。，求

三棱錐A-BCZ)的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)立.

6

【解析】

【分析】

(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；

(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體積即可.

【詳解】

(1)因?yàn)锳B=A￡>,O是8。中點(diǎn)，所以。

因?yàn)镺Au平面AftD,平面ABDJ_平面BCD,

且平面A8￡)c平面3c7)=3￡),所以O(shè)A_L平面BCD.

因?yàn)镃Ou平面BCD,所以O(shè)4，C￡>.

(2)［方法一］:通性通法T標(biāo)法

如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4為z軸，。。為y軸，垂直。。且過(guò)。的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-Ayz,

則C亭,;,0),￡>(0,1,0),8(0,-1,0),設(shè)A(0,0,⑼,旦。,；,》)，

C

所以麗=（0,-*-|機(jī)）,就=（乎1,0）,

設(shè)。=（x,y,z）為平面E8C的法向量，

EB.萬(wàn)=02

則由八可求得平面EBC的一個(gè)法向量為力=（-石,1,）.

ECn=Om

又平面58的一個(gè)法向量為）=（0,0,，"），

所以COSG，OA）=|---J-1=4,解得機(jī)=L

rv4+^l

又點(diǎn)C到平面池的距離為立，所以匕BCD=VCA8D=lxlx2xlx^=^l,

2八一Lic3226

所以三棱錐A-8。的體積為

6

［方法二］【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角

如圖所示，作垂足為點(diǎn)G.

作GF_LBC,垂足為點(diǎn)尸，連結(jié)“，則。4〃EG.

因?yàn)椤?,平面8c。，所以EGJ?平面8C。,

DEFG為二面角E-8C-D的平面角.

因?yàn)镹EFG=45。，所以EG=FG.

由己知得OB=O￡>=1,故O3=OC=1.

又NOBC=NOCB=30°,所以8c=6.

24222

因?yàn)?。=一,68=—,F6=—€7)=-,￡＜；=—,04=1,

33333

V

4-Bco=1^ecflxC?A=1x2S4BOCxOA=1x2x(lx^xlxl)xl=-^-.

33JZZO

［方法三］:三面角公式

考慮三面角B-EDC,記NEBD為?,NEBC為P,ADBC=30°,

記二面角E-8C—3為凡據(jù)題意，得。=45。.

對(duì)夕使用三面角的余弦公式，可得cos夕=cosa-cos30。，

化簡(jiǎn)可得cos夕=^-cosa.①

試卷第2頁(yè)，共58頁(yè)

使用三面角的正弦公式，可得sin〃="3，化簡(jiǎn)可得sin笈=&sinc.②

sin”

將①②兩式平方后相加，可得gcos2c+2sin2a=1,

4

由此得sin?a=-cos2a,從而可得tana=±，.

42

IF]

如圖可知ae(O=),即有tana=彳，

22

4

根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為。。的三等分點(diǎn)，即可得3G=§,

結(jié)合a的正切值，

可得EG=弓,。4=1從而可得三棱錐A-BCD的體積為正.

【整體點(diǎn)評(píng)】

(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問(wèn)題代數(shù)

化，適合于復(fù)雜圖形的處理；

方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時(shí)可以對(duì)幾何體的幾何特征有更加深刻的

認(rèn)識(shí)，該法為本題的最優(yōu)解.

方法三:三面角公式是一個(gè)優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問(wèn)題更加簡(jiǎn)單、直觀、

迅速.

2.如圖，四邊形A8C￡>為矩形，且A￡>=2,A8=1,PA_L平面ABC。，P4=l,E為8C的中點(diǎn).

(1)求證:PE_LDE；

(2)求三棱錐C-PDE的體積；

(3)探究在承上是否存在點(diǎn)G,使得EG||平面PCO,并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見解析；(2)(3)見解析.

O

【解析】

【分析】

(1)連結(jié)AE,由幾何體的空間結(jié)構(gòu)可證得。平面PAE,利用線面垂直的定義可知

⑵由⑴知AZJCE為腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)可得心的=

O

⑶在以上存在中點(diǎn)G,使得EG//平而PCD.取PAPD的中點(diǎn)G,〃,連結(jié)EG,GH,CH.易證得四邊形EGHC是平

行四邊形，所以EG//C”,結(jié)合線面平行的判斷定理可知EG//平面PCD.

【詳解】

⑴連結(jié)為BC的中點(diǎn),EC=C￡>=1,

；?ADCE為等腰直角三角形，

則/DEC=45,同理可得ZAEB=45。,，ZAED=90,-'?DELAE,

又PA_L平面A3CD，且DEu平而48。,APAYDE,

XVAEr>PA=A,：.DE±平面PAE,又PEu平面PAEDELPE.

(2)由(1)知ADCE為腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，

?,-&DC￡=；xlxl=g,而叢是三棱錐P-DCE的高，

?，,^C-PDE=^P-DCE=2^ADCE=^,

⑶在叢上存在中點(diǎn)G,使得EG//平面PCD理由如下：

取PA,PO的中點(diǎn)G,，，連結(jié)EG、GH,CH.

G,H是PA,PD的中點(diǎn)，G”//A。,且GH=gA￡>,

又因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，且四邊形ABC。為矩形，所以EC//AD,S.EC=^AD,

所以EC//GH,且EC=GH,所以四邊形EG”C是平行四邊形，所以EG//CH,

又EGN平面PCRCHu平面PCD,所以EG〃平面PCD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判斷定理，線面垂直的判斷定理，棱錐的體積公式，立體幾何中探索問(wèn)題的處理方法等

知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

3.如圖，在三棱錐產(chǎn)一A8C中，AB=BC=2日PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

試卷第4頁(yè)，共58頁(yè)

（1）證明：PO_L平面ABC；

（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-H-C為30°,求尸C與平面P4M所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）也.

4

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC,再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得尸。垂直。8,最后根據(jù)線面垂直判定

定理得結(jié)論；

（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面以M一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求

出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得例坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向

量PC與平面以M法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果.

【詳解】

（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4,。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P_LAC,且OP=2上.

連結(jié)OB.

因?yàn)锳B=BC=正AC,

2

所以AABC為等腰直角三角形,

且OB_LAC,OB」AC=2

2

由OP-+OB-=PB1知POLOB.

由OP_L08,OP，AC知PO_L平面ABC.

（2）如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，礪的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。-DZ.

由已知得0(0,0,0),8(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),尸(0,0,2石)，衣=(0,2,2我

取平面PAC的法向量08=(2,0,0).

UUUL

設(shè)M5,2-a,0)(0<a<2),則AA/=(a,4-a,0).

設(shè)平面RV0的法向量為后=(x,y,z).

,—.---\2y+2Gz=0

由AP?萬(wàn)=0,AM?方=0得(,，

ar+(4-tz)y=0

可取2萬(wàn)=(屈I-4),瓜i,-a)

所以cos〈麗1〉=/26(：-4).由已知得cos{14”〉=苴

2V3(a-4)2+3a2+a22

2V3|a-4|y/34

所以2描-4)2+3/+廣彳?解得。7(舍去)‘

.(8734734)

所以〃十丁，亍,F.

又PC=(0,2,-2百)，所以cos〈PC,元〉.

4

所以PC與平面所成角的正弦值為如.

4

【點(diǎn)睛】

利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求

坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

4.如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SBC_L平面ABC,SB=SC=AB=AC=42,BC=2,若。為BC的中點(diǎn).

試卷第6頁(yè)，共58頁(yè)

(1)證明：SO_L平面ABC；

(2)求異面直線A8和SC所成角；

(3)設(shè)線段SO上有一點(diǎn)M,當(dāng)4W與平面S45所成角的正弦值為叵時(shí)，求OM的長(zhǎng).

15

jr1

【答案】⑴證明見解析；(2)y(3)-.

【解析】

【分析】

(1)先證明平面SBCJ?平面ABC,再證明5。J_平面ABC；(2)分別以O(shè)B,OA,0C為x軸，V軸，z軸的

非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線A8和SC所成角；(3)設(shè)“(0,0"),(re[0,1]),利用

向量法得到g=J：",，解方程即得t的值和OM的長(zhǎng).

1573.7177

【詳解】

(1),:SB=SC,BO=OC,

：.SOIBC,

平面SBC±平面ABC,

平面S8CI平面"C=BC,

SOu平面SBC,

SO_L平面ABC.

(2),:SB=SC=AB=AC=五,BC=2,

：.BSrCS,BArCA,

如圖，分別以O(shè)B,OA,OC為x軸，y軸，z軸的非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

VA(0,l,0),B(1,0,0),S(0,0,l),C(-l,0,0),

UUUULI

AB=(l,-l,0),SC=(-l,0,-l),

iuunuu'i

I/umuiTvIAB-5Cjj

Vcos(AB,SC)=]Uti\=-7=--r==—,

1\/I\AB\-\SC\近?近2

.?.異面直線A8和SC所成角為不TT

VAB=(1,-1,O),SB=(1,O,-1),

[a-b=G一/、

：.\八，即〃z=(l,U),

[a-c=O'/

設(shè)M((w),(re[0,1]),

uuu

/.AM=(0,-1,r),

設(shè)與平面SAB所成角為e,

IITUUU|

I/ITUUUT\|"

*/sin0-cos(m,AM)=叫|UutT[,

?'〃網(wǎng).4M

...而；IT

?,15G.J1+-'

6+6r2=15(r-2r+l),

3產(chǎn)―107+3=0,

(r-3)(3f-l)=o,

r=3(舍)，t=-,

3

OM的長(zhǎng)為;.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的證明，考查異面直線所成的角和線面角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知

識(shí)的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.

5.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2丘,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：PO_L平面ABC；

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面RW的距離.

試卷第8頁(yè)，共58頁(yè)

【解析】

【詳解】

分析：（1）連接。8,欲證PO_L平面ABC,只需證明POJLAC,POL08即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH_LOM,垂足

為M，只需論證C"的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.

詳解：（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4,0為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PLAC,且0P=2G.

/71

連結(jié)。民因?yàn)锳B=BC=X^AC,所以AABC為等腰直角三角形，OBLAC,0B=~AC=2.

22

由OF+OB?=「"2知，OPJ_O8.

由OP_LOB,OPJ_AC知PO_L平面ABC.

（2）作CH_LOM,垂足為”.又由（1）可得OPJ_C〃，所以C”,平面POM.

故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離.

由題設(shè)可知0C=；AC=2,CM=^BC=^-,ZACB=45°.

所以0M=空,cH=/MCWmZACB二還

3OM5

所以點(diǎn)C到平面尸0M的距離為生叵.

5

點(diǎn)睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問(wèn)多以線面的證明為主，解題的核心是

能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問(wèn)可以通過(guò)作出點(diǎn)到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.

6.如圖，直四棱柱ABCD-4B/C/。/的底面是菱形，AA1=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,

A/￡)的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CIDE；

(2)求點(diǎn)C到平面C7Z)E的距離.

【答案】(1)見解析；

⑵"

17

【解析】

【分析】

(1)利用三角形中位線和4以劣?？勺C得〃現(xiàn)少。，證得四邊形MVDE為平行四邊形，進(jìn)而證得

根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;

(2)根據(jù)題意求得三棱錐G-C0E的體積，再求出ACQE的面積，利用%皿=%一衿求得點(diǎn)C到平面GCE的

距離，得到結(jié)果.

【詳解】

(1)連接ME,8c

■：M,E分別為8用，BC中點(diǎn)為△及BC的中位線

試卷第10頁(yè)，共58頁(yè)

ME//B'C且ME=aB0

又N為AC中點(diǎn)，且:.NDllBg且ND=；Be

AMEHND，四邊形MNDE為平行四邊形

:.MNUDE,又MN.平面CQE,￡>Eu平面CQE

.?.用囚//平面^￡)￡■

(2)在菱形ABC。中，E為BC中點(diǎn)，所以￡>E_L8C,

根據(jù)題意有。E=6，G￡=J萬(wàn)，

因?yàn)槔庵鶠橹崩庵?，所以有DEL平面8CGA，

所以。ELEC.所以=gx6xjl7,

設(shè)點(diǎn)C到平面C0E的距離為"，

根據(jù)題意有Vc、-a>E=K--C,DE>則有—X—x->/3xx/F?xt/=—X—xlx5/3x4,

解得一邛，

V1717

所以點(diǎn)c到平面GOE的距離為筆.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定，點(diǎn)到平面的距離的求解，在解題的過(guò)程

中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋找思路，再者就是利用等積法求點(diǎn)到平面的距離是

文科生常考的內(nèi)容.

7.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底面A8CO,

AB=BC=^AD,ABAD=NABC=90。，E是p。的中點(diǎn).

(1)證明：直線CE〃平面R4B；

(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線與底面ABC。所成角為45。，求二面角M-A5-。的余弦值.

p

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）取摩的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,BF,由題意證得CE〃BF,利用線面平行的判斷定理即可證得結(jié)

論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量：而=（0,-后,2）,n=（0,0,1）,然后利用空間向量的相關(guān)結(jié)

論可求得二面角的余弦值為典.

5

試題解析：（1）取R4中點(diǎn)F，連結(jié)EF,BF.

因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以斯〃4）,￡：尸=34。,由/84￡）=/4比；=90。得3?！?1。，又8C=；A。

所以EF%C.四邊形8CE尸為平行四邊形，CEHBF.

又BFu平面尸A8,。￡：二平面「48,故CE〃平面PA8

（2）

由已知得54,4）,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，陽(yáng)的方向?yàn)閤軸正方向，|而|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)-xyz,則

則A（0,0,0）,8（1,0,0）,C（l,1,0）,尸（0,1,⑹，

PG=（1,0,-石），通=（1,0,0）則

BM=（x-Ly,z）,PM=fx,y-1,z-G）

試卷第12頁(yè)，共58頁(yè)

因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45。，而5=(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以

|cos(W,n)|=sin45%而冶

BP(x-1)2+y2-z2=0

又M在棱PC」二，設(shè)PM=APC,則

x=4,y=1,z=>/3—出入

x=l+也

x=l---

22

由①，②得，y=l(舍去卜y=i

瓜戊

z=----Z=——

22

所以M1-*,1,*,從而AM=1-等si，等

7

設(shè)〃2=卜0，丫0*0)是平面ABM的法向量，則

m-AM=0(2-0bo+2yo+痘°=0

_即niI4

/77-AB=0X。=°

一_/----\nvnyflO

所以可取機(jī)=(0,-#,2).于是cos(〃?,〃六麗=—

因此二面角M-AB-D的余弦值為典

5

點(diǎn)睛：(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)

算，要認(rèn)真細(xì)心、準(zhǔn)確計(jì)算.

m-n

(2)設(shè)m,n分別為平面a,￡的法向量,則二面角。與<m,n>互補(bǔ)或相等，故有|cos0|=|cos<m,11>|=同不,求

解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

8.如圖，在四棱錐中，AB〃CQ,且/BAP=/CO尸=9(T.

(1)證明：平面辦B_L平面出Q；

(2)PA=PD=AB=DC,ZAP。=90,求二面角A-P8-C的余弦值.

【答案】(1)見解析；(2)-昱.

3

【解析】

【詳解】

(1)由已知/B"=/C￡＞尸=90°,得CDLPD.

由于AB〃C。，故48_LPZ),從而A3_L平面B4O.

又ABu平面所以平面附8_L平面B4ZX

(2)在平面PAO內(nèi)作PF_LA￡),垂足為F,

由(1)可知，A8_L平面上4￡),故尸，可得PfJ?平面ABCD

以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，包的方向?yàn)閤軸正方向，|而|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-qz.

由(1)及已知可得AB一,1,0,C--,1,0

I2J22

試卷第14頁(yè)，共58頁(yè)

所以定=(-日,1,-曰］,CB=(>/2,0,0),⑸=(等,0「等］,荏=(0,1,0).

設(shè)。=(x,y,z)是平面尸C3的法向量，則

/丘

n-PC=0,即，2z=0,

n-CB^O,友x=0,

可取為=(0,-1,一夜).

設(shè)玩=(x,y,z)是平面PA8的法向量，則

［V2夜

m-PA=0,

BPTA-T"可取比=(i,o,i).

m-AB=0,

,y=o.

則cos伍m)=胃與=一"，

所以二面角4-尸3-。的余弦值為-1.

3

【名師點(diǎn)睛】

高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；

②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；

③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，長(zhǎng)方體A8CD-A/BQD的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA/上，BE±ECi.

(1)證明：BE，平面ESC/；

(2)若AE=A/E,求二面角3-EC-G的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)同

2

【解析】

【分析】

(1)利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)，可以知道與a_L側(cè)面AgBA,利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出這樣可以

利用線面垂直的判定定理，證明出Ml平面EB￡；

(2)以點(diǎn)8坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC,BA,網(wǎng),分別為x，V，z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,B、B=b,

求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用8ELEG，可以求出。力之間的關(guān)系，分別求出平面EBC、平面ECG的法向量，利用

空間向量的數(shù)量積公式求出二面角B-EC-G的余弦值的絕對(duì)值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角

B-EC-G的正弦值.

【詳解】

證明(1)因?yàn)?8CO-ABC。是長(zhǎng)方體，所以4GJ?側(cè)面A瓦BA,而BEu平面AB田4,所以8c

又BELEG，B￡cEq=a，B￡,EGu平面EB￡,因此平面防心；

(2)以點(diǎn)B坐標(biāo)原點(diǎn)，以阮，麗,西分別為％y,z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

3(0,0,0),C(a,0,0),C,(a,0,b),E(0,a,9，

因?yàn)锽ELEG，所以屁?南■=0n(0,a,2).(a,-J)=0n-〃2+C=0n〃=2a,

224

所以E(0,a,a),EC=(a,-a,-a),CC,=(0,0,2a),BE=(0,?a),

設(shè)機(jī)=(X[,y,Z])是平面BEC的法向量，

試卷第16頁(yè)，共58頁(yè)

m?BE=。,一aIy.+a-z.=0n,iJF

所以

inEC=O.

設(shè)〃=(W，%，Z2)是平面EC。1的法向量,

n-CCj=0,n2az『°，-⑼,

所以

n-EC=0.[ax2-ay2-az2=0.

I___l_

二面角B-EC-G的余弦值的絕對(duì)值為

&x拒-2

所以二面角B-EC-G的正弦值為

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函

數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

10.如圖，四棱錐P-ABCO的底面是矩形，底面ABCO,〃為BC的中點(diǎn)，且尸

(1)證明：平面RU/_L平面

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)正.

3

【解析】

【分析】

(1)由底面ABC?？傻肞￡>_LAA/,又依_LA/W,由線面垂直的判定定理可得AMJ_平面尸8￡),再根據(jù)面

面垂直的判定定理即可證出平面■平面P皮)；

(2)由(1)可知，AM±BD,由平面知識(shí)可知，.DABfABM,由相似比可求出A￡),再根據(jù)四棱錐P-ABCD

的體積公式即可求出.

【詳解】

(1)因?yàn)檫?，底面ABC。，AMu平面ABCD,

所以

又PBRPD=P,

所以AMJ_平面尸&),

而A"u平面RIM,

所以平面RU7J■平面尸8￡>.

(2)［方法一］:相似三角形法

由(1)可知AM_L80.

十目4/AOAB

于ZEAABD^ABMA,故——=——.

ABBM

因?yàn)锽M=gBC,AO=8C,AB=l,所以(BC2=1,即8c=夜.

故四棱錐尸一ABC。的體積V=jAB-8C-PD=正.

33

［方法二］:平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法

由(2)知所以心

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=2a(</>0).

因?yàn)镈C=1,所以40,0),5(1,0),。(0,2“)，M(l,a).

2

從而k11M-kHI)=x之：:=。x(-2a)=-2a=-1.

1-UU—1

所以。=孝，即。A=拒.下同方法一.

［方法三］【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-召z,

試卷第18頁(yè)，共58頁(yè)

z

設(shè)IDA0,所以0(0,0,0),C(0,l,0),P(0,0,l),A(r,0,0),即JO).

所以PB=(M,-1),麗=(一；/,0).

所以P反而=f1_g)+lxl+Ox(_l)=_/+l=O.

所以f=&,BP|DA|=V2.下同方法一.

［方法四］:空間向量法

由P8_LAW,得麗.而0=0.

所以(而+方X+而)?麗/=0.

^PD-7M+DAAM+ABAM=O.

又底面A8CD,AM在平面A8CZ)內(nèi)，

因此PD_LAM,所以麗?麗7=0.

所以方?麗7+福?麗7=0，

由于四邊形A8C。是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，

得一;I礪F+I通f=o,即一;|mF+i=o.

所以|肥|=&,即8C=應(yīng).下同方法一.

【整體點(diǎn)評(píng)】

(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；

方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；

方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，為最常用的通性通法，為

最優(yōu)解；

方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長(zhǎng).

11.如圖，已知三棱柱ABC-A/B/G的底面是正三角形，側(cè)面BB/C/C是矩形，M,N分別為BC,B/C/的中點(diǎn),

P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B/G和P的平面交4B于E,交AC于F.

(1)證明：AA1//MN,且平面A/AMN_LEB/C/F；

(2)設(shè)0為△A/小。的中心，若A0〃平面EB/GF,且AO=AB,求直線8/E與平面A*MN所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)眄.

10

【解析】

【分析】

(1)由M,N分別為8C,的中點(diǎn)，MN//CC,,根據(jù)條件可得4人"BB、,可證MN//AA,,要證平面EB￡F1

平面AAMN,只需證明防，平面AAMN即可；

(2)連接NP,先求證四邊形ONPA是平行四邊形，根據(jù)幾何關(guān)系求得EP,在8C截取B|Q=EP,由(1)BC1

平面AAMN,可得NQPN為瓦￡與平面AAMN所成角，即可求得答案.

【詳解】

(1)??,M,N分別為BC,BC的中點(diǎn)，

二MNHBB、,

又AAJIBB],

MN//AA,,

在△ABC中，/為3C中點(diǎn)，貝l」8C_LAM,

又?.?側(cè)面陰G。為矩形，

BC1BB1,

?/MNIIBB、,

試卷第20頁(yè)，共58頁(yè)

MNIBC,

由M/VcAW=〃，MN,AMu平面AAMN,

BCJ?平面AAMN,

又：EC〃BC,且B?<z平面ABC,BCu平面ABC,

，用G〃平面ABC,

又：B￡u平面EB￡F，且平面ESC/c平面ABC=EF

:.BXCJ/EF,

EFUBC,

又?.?BC,平面AAMN,

AEF_L平面AAMN,

?.?EPu平面EgG尸，

平面EB。/，平面AAMN.

(2)［方法一］:幾何法

如圖，過(guò)。作8c的平行線分別交A%AC于點(diǎn)g,耳，聯(lián)結(jié)4昂AO,A耳NP,

由于AO〃平面EBgF,E￡〃平面E86尸，AO［｝EXF^O,

AOu平面力用耳，平面4片耳，所以平面Ag￡//平面E4GF.

又因平面A￡耳D平面例8/=Ag,平面EBC尸C平面所以Eg〃AE-

因?yàn)?G，AN,BG工MN,ANCMN=N,所以片C|_1_面44可〃.

又因巴耳〃烏G，所以面AANM,

所以AE與平面AAMW所成的角為N片40.

22

令A(yù)B=2,則柳1=1,由于。為△A4G的中心，故。片=耳沖|=耳.

2

在Rt^AE,O中，AO=AB=2、0E、=—,

3

由勾股定理得A￡,=FAO'OE；=駕.

所以sM4也墨=%

由于E四〃AE,,直線耳E與平面\AMN所成角的正弦值也為嚕.

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法

因?yàn)锳O〃平面以。與，平面EFC百口平面AMN4=N尸，所以AO〃NP.

因?yàn)镺N//”，所以四邊形OAPN為平行四邊形.

由（I）知EFJ_平面AMNA，則EF為平面AMNA,的垂線.

所以qE在平面AMNA、的射影為NP.

從而BE與NP所成角的正弦值即為所求.

在梯形EFC4中，設(shè)瓦'=1,過(guò)E作EG,用G，垂足為G,則PN=EG=3.

在直角三角形AEG中，sinZBtEG=-^=—.

V1010

［方法三］:向量法

UUUU

由（1）知，用6,平面斗狀阿，則與￡為平面AAMN的法向量.

因?yàn)锳O〃平面E4GF,AOu平面AAMN,且平面A^MNC平面E4JF=PN,

所以AO//PN.

由（I）知=MN,即四邊形APN。為平行四邊形，則AO=NP=A8.

因?yàn)?。為正△A8C的中心，故AP=ON=gAM.

由面面平行的性質(zhì)得EF〃:B￡,EF=：B6，所以四邊形E/匕始為等腰梯形.

由P,N為等腰梯形兩底的中點(diǎn)，得PNLBCi，則PN.BC=0,EB；=EP+PN+Z瓦=

河+西-聞=麗-匹?

設(shè)直線qE與平面AAMN所成角為凡AB=a

所以直線4E與平面AAMN所成角的正弦值巫.

10

試卷第22頁(yè)，共58頁(yè)

［方法四］:基底法

不妨設(shè)AO=M=AC=2,則在直角AAA0中，懼=半.

以向量麗■，礪，衣為基底，

從而〈其砌=?（環(huán)元）后，（而，恁〉

____________2______

EBl=EA+AA^+A^=-AB+AA^,BC=AC-AB,

則|函|=IBC1=2.

所以畫屈=《詬+珂?（/—麗）=|而通2=_；

由（I）知8C_L平面AAMN,所以向量肥為平面AAMN的法向量.

設(shè)直線耳E與平面AAMV所成角凡則sin9=卜os（西碼|=局需「嚕?

故直線與平面\AMN所成角的正弦值為sin”叵.

10

【整體點(diǎn)評(píng)】

（2）方法一：幾何法的核心在于找到線面角，本題中利用平行關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；

方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，構(gòu)造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；

方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直線的方向向量，然后利用向量法求解即可；

方法四：基底法是立體幾何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其關(guān)鍵之處在于找到平面的法向量和直

線的方向向量.

12.如圖，長(zhǎng)方體A8CD-A/8/G。/的底面ABC。是正方形，點(diǎn)E在棱44/上，BE±ECi.

（1）證明：BE,平面EB/G；

（2）若AE=A/E,AB=3,求四棱錐E-88（（的體積.

【答案】（1）見詳解；（2）18

【解析】

【分析】

(1)先由長(zhǎng)方體得，B|G_L平面AAqB,得到BgLBE,再由8EJ.EG，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證

明結(jié)論成立；

(2)先設(shè)長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為2”，根據(jù)題中條件求出〃=3；再取中點(diǎn)/，連結(jié)EF,證明平面880。，

根據(jù)四棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體A8CQ-4BCQ中，及G，平面AASB；

BEu平面AAB#,所以

又BELEQ,86CEG=G，且E￡u平面E8C，片￡匚平面￡86，

所以班1平面E8￡；

(2)設(shè)長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為射，則AE=AE=a,

由(1)可得Eqj.BE；所以EB：+BE。=BB：,gp2BE2=BB；,

又筋=3,所以2AE2+248J8B：,g|I2a2+18=4a2,解得。=3；

取叫中點(diǎn)尸，連結(jié).，因?yàn)锳E=AE,則所〃加；

所以EF_L平面BBCC，

所以四棱錐E-BBCC的體積為/“Gc=乎矩物呻c?EF=；?BC-?EF=gx3x6x3=18.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定，依據(jù)四棱錐的體積，熟記線面垂直的判定定理，以及四棱錐的體積公式即可，屬

于基礎(chǔ)題型.

13.如圖，在長(zhǎng)方體ABCO-AgCQ中，點(diǎn)E,尸分別在棱。A，網(wǎng)上，且2DE=ER,BF=2FBt.

試卷第24頁(yè)，共58頁(yè)

（1）證明：點(diǎn)G在平面AEF內(nèi):

⑵若他=2,AD=1,M=3,求二面角A-E尸-A的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）叵.

7

【解析】

【分析】

（1）方法一:連接GE、C,F,證明出四邊形AEG尸為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)G在平面AE尸內(nèi)；

（2）方法一：以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，CR、C向、GC所在直線分別為X、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系G-孫z,

利用空間向量法可計(jì)算出二面角A-EF-A,的余弦值，進(jìn)而可求得二面角A-EF-A,的正弦值.

【詳解】

（1）［方法一］【最優(yōu)解】：利用平面基本事實(shí)的推論

在棱CC上取點(diǎn)G,使得GG=；CG,連接。G、FG、CE、C,F,如圖1所示.

圖1

在長(zhǎng)方體A8CO-AAGR中，BFHCG,BF=CG,所以四邊形BCGF為平行四邊形，則8C//FG,8C=FG,而

BC=AD,BCHAD,所以AO//FG,A。=FG,所以四邊形D4尸G為平行四邊形，即有AF//DG,同理可證四邊

形。EGG為平行四邊形，.?.GE//OG,,GE〃/IF,因此點(diǎn)C1在平面向內(nèi).

［方法二］:空間向量共線定理

圖2

以G2，GM，GC分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

設(shè)CQ］=a,C］B［=b,CtC=3c,則6⑴,。，。),々。,。,？。),/^。,8。),/^。/0。).

所以甲=3,0,2c),麗=(a,0,2c).故年=麗.所以AF〃￡E,點(diǎn)C1在平面AE尸內(nèi).

［方法三］:平面向量基本定理

同方法二建系，并得G(0,0,0),E(n,0,2c),尸((),〃,c),A(a,仇3c),

所以GE=(a,0,2c),G尸=(0,仇c),GA=(a,b,3c).

故不=印+以戶.所以點(diǎn)C1在平面AEE內(nèi).

［方法四］:

根據(jù)題意,如圖3,設(shè)AR=a，AA=2.4A=3c.

在平面44氏4內(nèi)，因?yàn)?=2股，所以==

試卷第26頁(yè)，共58頁(yè)

B

圖3

延長(zhǎng)四交A用于G,

AFu平面AEF,

Aqu平面ABCQ.

GeAF,GeAB,,

所以Gw平面的；Ge平面A/CQ①.

延長(zhǎng)AE交AA于“，同理He平面AER”《平面44Gp②.

由①②得，平面AEFCI平面A4CQ=G”.

連接GH,GC、,g,根據(jù)相似三角形知識(shí)可得GB,=b,D、H=2a.

22

在/?以68。中，CtG=>Ja+b.

同理，在R/ACQ"中，C、H=2證+『.

圖4

如圖4,在R/AA,G”中，GH=3yJa2+b2-

所以Ga=GG+G”，即G,G，”三點(diǎn)共線.

因?yàn)镚〃u平面AEF,所以Gu平面AEF,得證.

［方法五］：

如圖5,連接練。片，則四邊形。EB7為平行四邊形，設(shè)。鳥與E尸相交于點(diǎn)0,則。為EF,。片的中點(diǎn).聯(lián)

結(jié)AC-由長(zhǎng)方體知識(shí)知，體對(duì)角線交于一點(diǎn)，且為它們的中點(diǎn)，即460片。=。，則AG經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,故點(diǎn)G在

平面AEF內(nèi).

圖5

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：坐標(biāo)法

以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，G。、G烏、GC所在直線分別為X、＞、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-斗，

如圖2.

則A(2,l,3)、A(2,1,0)、￡(2,0,2),歹(0,1,1),

A￡=(O,-l,-l),AF=(-2,0,-2),“=(0,-1,2),“=(-2,0,1),

設(shè)平面AE尸的一個(gè)法向量為根=(Xi，X，zJ,

由｛—,得｛.MXZ,=-1,得4=乂=1,p1lj/n=(l,l,-l),

m-AF=0［-2X］-2Z|=0

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為3=(%,%*2),

由/得］?+2Z20取z?=2,得々=1,%=4,則1=(1,4,2),

n-AtF=0［-2x,+z2=0''

試卷第28頁(yè)，共58頁(yè)

mn_3

cos<m,n>=

|葉卜|V3XV2T7

設(shè)二面角A-EF-A的平面角為。，則|cose|=」，，sin0=>/l-cos20=.

因此，二面角4-EF-A的正弦值為區(qū).