2023屆上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測試,先將600個(gè)零件進(jìn)行編號,編號分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個(gè)樣本,下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個(gè)樣本編號是()A.324 B.522 C.535 D.5782.已知命題:“關(guān)于的方程有實(shí)根”,若為真命題的充分不必要條件為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.在棱長為a的正方體中,E、F、M分別是AB、AD、的中點(diǎn),又P、Q分別在線段、上,且,設(shè)平面平面,則下列結(jié)論中不成立的是()A.平面 B.C.當(dāng)時(shí),平面 D.當(dāng)m變化時(shí),直線l的位置不變5.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.166.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.7.若,,,點(diǎn)C在AB上,且,設(shè),則的值為()A. B. C. D.8.已知橢圓,直線與直線相交于點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,則橢圓的離心率取值范圍為()A. B. C. D.9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為M,若.則該雙曲線的離心率為A.2 B.3 C. D.10.音樂,是用聲音來展現(xiàn)美,給人以聽覺上的享受,熔鑄人們的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì),他證明了所有的樂聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述,它們是一些形如的簡單正弦函數(shù)的和,其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音,其余的為泛音.由樂聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波.下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂音的是()A. B. C. D.11.在直角梯形中,,,,,點(diǎn)為上一點(diǎn),且,當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),()A. B.2 C. D.12.已知f(x),g(x)都是偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,則()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.14.若函數(shù),則的值為______.15.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.①當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為__________.16.某中學(xué)舉行了一次消防知識競賽,將參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分為5組,繪制如圖所示的頻率分布直方圖,記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組,已知第二組的頻數(shù)是80,則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)2019年6月,國內(nèi)的運(yùn)營牌照開始發(fā)放.從到,我們國家的移動通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時(shí)間,完成了技術(shù)上的飛躍,躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對的消費(fèi)意愿,2019年8月,從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查,樣本中各類用戶分布情況如下:用戶分類預(yù)計(jì)升級到的時(shí)段人數(shù)早期體驗(yàn)用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學(xué)生升級時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為套餐支付更多的費(fèi)用作比較,可得出下圖的關(guān)系(例如早期體驗(yàn)用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的).(1)從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級到的概率;(2)從樣本的早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取1人,以表示這2人中愿意為升級多支付10元或10元以上的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)2019年底,從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人,這三位學(xué)生都已簽約套餐,能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用戶的人數(shù)有變化?說明理由.18.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.19.(12分)某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉,觀景噴泉的示意圖如圖所示,兩點(diǎn)為噴泉,圓心為的中點(diǎn),其中米,半徑米,市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞.(1)若當(dāng)時(shí),,求此時(shí)的值;(2)設(shè),且.(i)試將表示為的函數(shù),并求出的取值范圍;(ii)若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)處觀賞噴泉時(shí),觀賞角度的最大值不小于,試求兩處噴泉間距離的最小值.20.(12分)已知橢圓,過的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且與軸相交于點(diǎn).(1)若,求直線的方程;(2)設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,證明:直線過軸上的定點(diǎn).21.(12分)自湖北武漢爆發(fā)新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來,武漢醫(yī)護(hù)人員和醫(yī)療、生活物資嚴(yán)重缺乏,全國各地紛紛馳援.截至1月30日12時(shí),湖北省累計(jì)接收捐贈物資615.43萬件,包括醫(yī)用防護(hù)服2.6萬套N95口軍47.9萬個(gè),醫(yī)用一次性口罩172.87萬個(gè),護(hù)目鏡3.93萬個(gè)等.中某運(yùn)輸隊(duì)接到給武漢運(yùn)送物資的任務(wù),該運(yùn)輸隊(duì)有8輛載重為6t的A型卡車,6輛載重為10t的B型卡車,10名駕駛員,要求此運(yùn)輸隊(duì)每天至少運(yùn)送720t物資.已知每輛卡車每天往返的次數(shù):A型卡車16次,B型卡車12次;每輛卡車每天往返的成本:A型卡車240元,B型卡車378元.求每天派出A型卡車與B型卡車各多少輛,運(yùn)輸隊(duì)所花的成本最低?22.(10分)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和為;(Ⅱ)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

因?yàn)橐獙?00個(gè)零件進(jìn)行編號,所以編號必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,重復(fù)出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個(gè)編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:,因?yàn)?35重復(fù)出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為,故第6個(gè)數(shù)據(jù)為578.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用,正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】命題p:,為,又為真命題的充分不必要條件為,故3、B【解析】

求出復(fù)數(shù),得出其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),確定所在象限.【詳解】由題意,對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為,在第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個(gè)分析即可.【詳解】因?yàn)?所以,因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn),所以,所以,因?yàn)槊婷?所以.選項(xiàng)A、D顯然成立;因?yàn)?平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以,所以B項(xiàng)成立;易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項(xiàng)不成立.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.5、C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.6、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡得,所以為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用,向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用.8、A【解析】

先求得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo),判斷出直線過橢圓的焦點(diǎn).然后判斷出,判斷出點(diǎn)的軌跡方程,根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式,化簡后求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓的焦點(diǎn),所以.直線過點(diǎn),直線過點(diǎn),由于,所以,所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,所以橢圓的短軸大于,即,所以,所以雙曲線的離心率,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系,考查動點(diǎn)軌跡的判斷,考查橢圓離心率的取值范圍的求法,屬于中檔題.9、D【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過點(diǎn)作垂線交于點(diǎn),然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度,的長度即點(diǎn)縱坐標(biāo),然后將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程即可得出點(diǎn)坐標(biāo),最后將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?!驹斀狻扛鶕?jù)題意可畫出以上圖像,過點(diǎn)作垂線并交于點(diǎn),因?yàn)?,在雙曲線上,所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知,,即,,因?yàn)閳A的半徑為,是圓的半徑,所以,因?yàn)?,,,,所以,三角形是直角三角形,因?yàn)椋?,,即點(diǎn)縱坐標(biāo)為,將點(diǎn)縱坐標(biāo)帶入圓的方程中可得,解得,,將點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線中可得,化簡得,,,,故選D?!军c(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)了綜合性,提高了學(xué)生的邏輯思維能力,是難題。10、C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.11、B【解析】

由題,可求出,所以,根據(jù)共線定理,設(shè),利用向量三角形法則求出,結(jié)合題給,得出,進(jìn)而得出,最后利用二次函數(shù)求出的最大值,即可求出.【詳解】由題意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵點(diǎn)在線段上,設(shè),則,即,又因?yàn)樗裕?,?dāng)時(shí),等號成立.所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理,以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值,考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.12、A【解析】試題分析:由題意得,F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),綜上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故選A.考點(diǎn):1.函數(shù)的性質(zhì);2.分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點(diǎn)睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì),避免了由于單調(diào)性不同導(dǎo)致1-a與1+a大小不明確的討論,從而使解題過程得以優(yōu)化,另外,不要忘記定義域,如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題,通常先在原點(diǎn)一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮,然后推廣到整個(gè)定義域上.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先求得與關(guān)于軸對稱的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn),即方程有解.對分成三種情況進(jìn)行分類討論,由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對稱的函數(shù)為,因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點(diǎn),所以與的圖象有交點(diǎn),方程有解.時(shí)符合題意.時(shí)轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點(diǎn),是過定點(diǎn)的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn),滿足題意;若,設(shè),相切時(shí),切點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當(dāng),即時(shí),,的圖象有交點(diǎn),此時(shí),與的圖象有交點(diǎn),函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點(diǎn),綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識.14、【解析】

根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式求出的值,進(jìn)而計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù),則,則;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運(yùn)算求解能力.15、130.15.【解析】

由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用,然后分類討論,將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景,創(chuàng)設(shè)問題情境,考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué),考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).16、30【解析】

根據(jù)頻率直方圖中數(shù)據(jù)先計(jì)算樣本容量,再計(jì)算成績在80~100分的頻率,繼而得解.【詳解】根據(jù)直方圖知第二組的頻率是,則樣本容量是,又成績在80~100分的頻率是,則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是.故答案為:30【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)據(jù)處理,數(shù)形運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)詳見解析(3)事件雖然發(fā)生概率小,但是發(fā)生可能性為0.02,所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒有發(fā)生變化,詳見解析【解析】

(1)由從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生在2021年或2021年之前升級到,結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式,即可求解;(2)由題意的所有可能值為,利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式,分別求得相應(yīng)的概率,得到隨機(jī)變量的分布列,利用期望的公式,即可求解.(3)設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人,這三位學(xué)生都已簽約套餐”,得到七概率為,即可得到結(jié)論.【詳解】(1)由題意可知,從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生在2021年或2021年之前升級到的概率估計(jì)為樣本中早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶的頻率,即.(2)由題意的所有可能值為,記事件為“從早期體驗(yàn)用戶中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生愿意為升級多支付10元或10元以上”,事件為“從中期跟隨用戶中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生愿意為升級多支付10元或10元以上”,由題意可知,事件,相互獨(dú)立,且,,所以,,,所以的分布列為0120.180.490.33故的數(shù)學(xué)期望.(3)設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人,這三位學(xué)生都已簽約套餐”,那么.回答一:事件雖然發(fā)生概率小,但是發(fā)生可能性為0.02,所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒有發(fā)生變化.回答二:事件發(fā)生概率小,所以可以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶人數(shù)增加.【點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列,數(shù)學(xué)期望的求解及應(yīng)用,對于求離散型隨機(jī)變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可能取值,計(jì)算得出概率,列出離散型隨機(jī)變量概率分布列,最后按照數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望,其中列出離散型隨機(jī)變量概率分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)必考問題.18、(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】

(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),,當(dāng)時(shí),f′(x)<2,當(dāng)時(shí),f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因?yàn)閤≥2,故,(ⅰ)當(dāng)a≥1時(shí),1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當(dāng)1<a<1時(shí),2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當(dāng)時(shí),g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當(dāng)a≤1時(shí),1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時(shí),,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因?yàn)?,所以,故.法二?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時(shí),令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),不等式成立,即,則n=k+1時(shí),,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式對任何n∈N*都成立.故.考點(diǎn):1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3、數(shù)列的通項(xiàng)公式;4、數(shù)列的前項(xiàng)和;5、不等式的證明.19、(1);(2)(i),;(ii).【解析】

(1)在中,由正弦定理可得所求;(2)(i)由余弦定理得,兩式相加可得所求解析式.(ii)在中,由余弦定理可得,根據(jù)的最大值不小于可得關(guān)于的不等式,解不等式可得所求.【詳解】(1)在中,由正弦定理得,所以,即.(2)(i)在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,又所以,即.又,解得,所以所求關(guān)系式為,.(ii)當(dāng)觀賞角度的最大時(shí),取得最小值.在中,由余弦定理可得,因?yàn)榈淖畲笾挡恍∮?,所以,解得,?jīng)驗(yàn)證知,所以.即兩處噴泉間距離的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用,解題時(shí)要注意把條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊或角,然后借助正余弦定理進(jìn)行

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