2024屆山西省優(yōu)生聯(lián)考高三上學(xué)期1月考試數(shù)學(xué)試題及答案

2023～2024學(xué)年第一學(xué)期優(yōu)生聯(lián)考高三數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.23izz1.已知，則（）31i553131iD.315iiA.B.C.55555xx11，則Ax0Byye，xeBA2.已知集合（）(,(,A.C.B.D.(,(,3.第19屆亞洲運動會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，時值中秋和國慶假期，某班同學(xué)利用假期在家通過網(wǎng)絡(luò)直播觀看比賽.已知該班有30名學(xué)生喜歡看排球比賽，40名同學(xué)喜歡看籃球比賽，50名同學(xué)喜歡看排球比賽或籃球比賽，若從喜歡看排球比賽的同學(xué)中抽取1人，則此同學(xué)喜歡看籃球比賽的概率為（）3445231A.B.C.D.2b2a2aab4.已知平面向量a、b滿足，若，則a與b的夾角為（）π5ππ2πA.B.C.D.66335.已知拋物線C:y28x的焦點為F，點P在C上，若點Q3，則周長的最小值為（A.13B.12是兩個平面，直線lC.10D.86.已知、，l，若以①l；②l//；③中兩個為條件，另一個為結(jié)論構(gòu)成三個命題，則其中正確的命題有（）A.①③②；①②③①B.①③②；②③①C.①②③；②③D.①③②；①②③；②③①π5fxsinx0)7.已知函數(shù)gx的圖象關(guān)于軸對稱，若將的圖象向左至fx的圖象與x第1頁/共5頁π少平移個單位長度后可得到的圖象，則（）gx2A.的圖象關(guān)于原點對稱gxπ2gxgxB.π5C.在gx上單調(diào)遞增2πg(shù)x的圖象關(guān)于點,0D.對稱58.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方2形，如此繼續(xù).設(shè)初始正方形的邊長為，依次構(gòu)造出的小正方形（含初始正方形）的邊長構(gòu)成數(shù)列21，若的前n項和為)n，令bnaSnn2(20nN*na,，其中2nnbnmax{x,}表示x，y中的較大值.若nc恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）3213223[[,A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.19.下列代數(shù)式的值為的是（）4tan151tansinA.22B.2C.cos36cos72a,bD.2cos20408010.已知，且ab1，則（）A.aC.22b221B.ab2ln2ab22D.ab2第2頁/共5頁32343411.已知定義在R上的函數(shù)滿足fx，且為奇函數(shù)，當(dāng)fxfxfxx,0時，8fxx2ax2，則（）3A.是周期為的周期函數(shù)fx3B.D.f11398223x,fxx2x2fi2C.當(dāng)時，243i1ABCD22AA14D12.在長方體中，，E是棱BC的中點，過點B，E，的平1111111面交棱AD于點F，P為線段）1FA.三棱錐P的體積為定值B.存在點P，使得1BC.直線與平面所成角的正切值的最大值為21PBB1E外接球的表面積的取值范圍是,44)D.三棱錐三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.2x5，則5x2a2xa13.已知_______．ye)xbyf(x)相切，則b與曲線a45f(x)(xe)x14.已知函數(shù)，若直線________________.15.月球背面指月球的背面，從地球上始終不能完全看見.某學(xué)習(xí)小組通過單光源實驗來演示月球背面.由光源點A2射出的兩條光線與eO:xy1分別相切于點M、N，稱兩射線AM、上切點上22Ba,2MN()O“上方所夾的平面區(qū)域含邊界為圓的背面若以點”.為圓心，r為半徑的方部分的射線與優(yōu)弧O圓處于的“背面”，則r的最大值為__________.x22y22ab0)的左?右焦點分別為F,F，點P在CPFa16.已知雙曲線C:的左支上，，122abbPO交C的右支于點QP,Q，延長，點M為雙曲線上任意一點（異于12MQkk__________.與的斜率之積四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.，數(shù)列的前項和為1.Sn，且n2Sn中，，a47328bnn17.在等差數(shù)列n（1）求數(shù)列和的通項公式；abnn第3頁/共5頁nncncn項和n.n（2）若，求數(shù)列18.已知中，角,B,C所對的邊分別為a,b,c,2acosCbc.（1）求A；BC邊上的點，且滿足CM2BM,aMABMBA，求△ACM（2）設(shè)M是內(nèi)切圓的半徑.19.2020年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務(wù)項目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機調(diào)查了500分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時長的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的，其中近似為樣本N,2（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時長X服從正態(tài)分布平均數(shù)x，s22近似為樣本方差．一般正態(tài)分布概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計算：若的XaY~N0,1PXaPY，且X~N,2，令Y，則．PX（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時長超過10小時的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.001）以及的數(shù)學(xué)期望．PZ1Z，則0.7734200.0059Y~N0,1PY0.780.7734．參考數(shù)據(jù)：，．若第4頁/共5頁83-ABC1ACABBA的面積為4，且四棱錐的體積為11120.如圖，在三棱柱中，側(cè)面.1111B1A的距離;1（1）求點到平面1ACCA1A1ABCACAC的中點，，求平面111（2）若平面平面，側(cè)面是正方形，D為11111ABC所成銳二面角的余弦值.1與平面111x22y223F1F20)的左、右焦點，，橢圓的離心率為FF231221.設(shè)，分別是橢圓D:ab.ab2（1）求橢圓D的方程；lQ0，若點N(0,t)PQ垂（2）作直線與橢圓D交于不同的兩點P，，其中點P的坐標(biāo)為是線段1直平分線上一點，且滿足NPNQ4，求實數(shù)的值.t1f(x)x(a0a22.已知函數(shù)且.ax（1）討論f(x)的單調(diào)性；1a1，求證：x0f(x)a.（2）若，2第5頁/共5頁2023～2024學(xué)年第一學(xué)期優(yōu)生聯(lián)考高三數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.23izz（1.已知，則）31i5531i31iD.315iA.B.C.55555【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再求出其共軛復(fù)數(shù).23i23i3i3i3i31zzi，所以【詳解】因為.555故選：Bxx11，則Ax0Byye，xeBA2.已知集合（）(,(,A.C.B.D.(,(,【答案】C【解析】【分析】首先解分式不等式求出集合A，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，最后根據(jù)補集的定義計算可得.xx1x10xx100x1，或x0【詳解】由，等價于，解得xx1所以Ax0,1，1Byyex又，所以eAB,10,1.故選：C第1頁/共25頁3.第19屆亞洲運動會于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉行，時值中秋和國慶假期，某班同學(xué)利用假期在家通過網(wǎng)絡(luò)直播觀看比賽.已知該班有30名學(xué)生喜歡看排球比賽，40名同學(xué)喜歡看籃球比賽，50名同學(xué)喜歡看排球比賽或籃球比賽，若從喜歡看排球比賽的同學(xué)中抽取1人，則此同學(xué)喜歡看籃球比賽的概率為（）2334451A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】先求出喜歡觀看兩種比賽的人數(shù)，再用古典概率求解即可.x【詳解】設(shè)有人兩種比賽都喜歡，則有30x40x人只喜歡看排球比賽，人只喜歡看籃球比賽，所以有30x40xx50，解得x=20人，203023所以從喜歡看排球比賽的同學(xué)中抽取1人，則此同學(xué)喜歡看籃球比賽的概率為.故選：Bb2a2aab4.已知平面向量a、b滿足，若，則a與b的夾角為（）π5ππ2πA.B.C.D.6633【答案】D【解析】aab0【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律求出ab，再由夾角公式計算可得.b2a2aabaab0，所以2【詳解】因為，且，即aab0，2所以，aba1ab1211cos，因為π，設(shè)a與b的夾角為，則ab22π2π所以，即a與b的夾角為.33故選：D5.已知拋物線C:y28x的焦點為F，點P在C上，若點Q3，則周長的最小值為（B.12C.10D.8A.13【答案】A【解析】【分析】由拋物線的定義結(jié)合三點共線取得最小值.第2頁/共25頁【詳解】y24x，故F0,x2，2記拋物線C的準(zhǔn)線為，則l：l記點P到l的距離為d，點到l的距離為Q6,3d，d622302d58513.則PQPFPQ故選：A.6.已知、是兩個平面，直線l，l；②l//；③，若以①l中兩個為條件，另一個為結(jié)論構(gòu)成三個命題，則其中正確的命題有（）A.①③②；①②③①B.①③②；②③①C.①②③；②③【答案】AD.①③②；①②③；②③①【解析】【分析】對三個命題逐個分析，可采用判定定理、定義、作圖的方法進(jìn)行說明，由此可確定出正確選項.1）證明：①②③為真命題因為l，l//，設(shè)l平行于內(nèi)一條直線l，所以l，根據(jù)面面垂直的判定定理可知：，所以①②（2）證明：①③③為真命題；②為真命題因為l，，所以l或l//，又因為l，所以l//，所以①③（3）證明：②③②為真命題；①為假命題作出正方體如下圖所示：第3頁/共25頁記直線AD為l，平面為，平面所以，l//，但l//，所以②③故選：A.為，ABCDCC111111①為假命題；【點睛】本題考查空間中關(guān)于線、面的命題的真假判斷，主要考查學(xué)生對空間中位置關(guān)系的理解，難度一般.說明位置關(guān)系不成立也可以舉反例.π5fxsinx0)gx的圖象與7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，若將的圖象向左至xfxπ少平移個單位長度后可得到的圖象，則（）gx2A.圖象關(guān)于原點對稱gx的π2gxgxB.π5C.在gx上單調(diào)遞增2πg(shù)x的圖象關(guān)于點,0D.對稱5【答案】B【解析】π5gxfxmsinxm【分析】先設(shè)m0x，從而根據(jù)圖象關(guān)于軸對稱，得到方程，，，得到AB選項，化簡得到BC選項，利用整體法判斷g00求出2，A選項，根據(jù)2πg(shù)函數(shù)的單調(diào)性；D選項，由0得到D錯誤.5第4頁/共25頁π5πg(shù)xfxmsinxm【詳解】由題意，可設(shè)sinxmm0，，5因為與的圖象關(guān)于x軸對稱，gxfxπ5π56π5sinxmsinxsinx所以，π6π則m2π,kZ，解得mπ2π,kZ，55π，由于0m0，故m的最小值為，π因為的圖象向左至少平移個單位長度后可得到的圖象，gxfx2ππ，解得2，所以2ππ254πg(shù)xsin2x則sin2x.54π對于A，因為的定義域為R，而圖象不關(guān)于原點對稱，A錯誤；g0sin，所以不是奇函數(shù)，gx0gx5π2sin2xπ4π254π5gxsin2xπ對于B，4π5sin2xgx，B正確；π54π4π2π2x,x對于C，由，得，5554π2πysinzz,又在上不單調(diào)，C錯誤；552πg(shù)4π4πsin8πsin0，對于D，55552π,0gx不是圖象的對稱中心，D錯誤.故5故選：B.8.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方第5頁/共25頁2形，如此繼續(xù).設(shè)初始正方形的邊長為，依次構(gòu)造出的小正方形（含初始正方形）的邊長構(gòu)成數(shù)列21，若的前n項和為)n，令bnaSnn2(20nN*na,，其中2nnbnmax{x,}表示x，y中的較大值.若nc恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）3213223[[,A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出數(shù)列和的通項公式，再根據(jù)集合新定義確定，再由不等式bnnan3恒成立分類ncababcbaba求出對應(yīng)的值取并集即可.討論時列不等式和時列不等式3333433332【詳解】因為的前n項和為Snn(20)nnN，a2*naSSn2(20)nn(20)n2n20，2所以當(dāng)n2時，nnn1又當(dāng)n1時，aS202，符合上式，11所以數(shù)列的通項公式a2n20，nan2數(shù)列滿足b，bn12122b11222b212q因為，公比，22n1n222所以n1qn1，22212n所以，b2n1a2n0是遞減數(shù)列，而22n是遞增數(shù)列；因為數(shù)列nbn第6頁/共25頁1ca,max{x,}表示x，y中的較大值.若nc，其中恒成立，3nn2bn中的最小項，cc所以是數(shù)列3n2cabab，即8620162所以當(dāng)時，則，解得，333343cbaba6208420，解得32，當(dāng)時，則，即3333223取并集可得，故選：D.1an【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題中集合新定義是取較大者，這樣就轉(zhuǎn)化成比較和的大小問題了，利用已b2n知求出數(shù)列和的通項公式再比較大小可確定，最后由不等式bnnan3恒成立，列不等式組求出n參數(shù)范圍即可.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.19.下列代數(shù)式的值為的是（）4tan151tansinA.22B.2C.cos36cos72D.2cos204080【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式可判斷A選項；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判斷B選項；利用二倍角的正弦公式可判斷CD選項.3【詳解】對于A選項，275sin275cos1501803030；2sin15cos15tan15sin15cos1511sin30對于B選項，1tan；sin242sin22212第7頁/共25頁12sin72cos72sin36cos36cos721sin14414對于C選項，cos36cos72；sin364sin144sin1801442cos20sin204080sin20對于D選項，2cos2040801sin80cos801sin160sin404080142.sin204sin160sin180160故選：BCD.a,bab1，則（10.已知，且）A.aC.22b221B.ab2ln2ab22D.ab2【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合對數(shù)和指數(shù)的運算逐一判斷即可.a2b22ab，所以2a2b22b2ab，2【詳解】對于A，因為a212ab12ab所以a2b2，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A錯誤；2a,bab0,1ab0，故，對于B，因為，所以21ab14ab又因ab，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，241abab2ln2所以，故B正確；22ab22，當(dāng)且僅當(dāng)412ab對于C，2a2b22a2b時取等號，故C正確；2對于D，因為ab2ab，所以2abab2abab，ab2ab2所以當(dāng)且僅當(dāng)故選：BCD.，1ab時取等號，故D正確.2第8頁/共25頁32343411.已知定義在R上的函數(shù)滿足fx，且為奇函數(shù)，當(dāng)fxfxfxx,0時，8fxx2ax2，則（）3A.是周期為的周期函數(shù)fx3B.D.f11398223x,fxx2x2fi2C.當(dāng)時，243i1【答案】ABD【解析】3f0Bf1可得A選a43924選項；利用函數(shù)的周期性和對稱性求出函數(shù)在fx,上的解析式，可判斷C選項；利用函數(shù)周期性的定義可求出所求代數(shù)式的值，可判斷D選項.32【詳解】對于A選項，因為定義在R上的函數(shù)滿足fxfx，fx32fx3fx則fxfx，故是周期為3的周期函數(shù)，A對；34343fxfxfx對于B選項，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，4343434fxfxx0f0，在等式中，令可得3x,083x2ax2fx又因為當(dāng)時，，，解得，438f93312a2a0a則，431644233x,08323x2x2fx故當(dāng)時，421f1f8121所以，21，B對；23232第9頁/共25頁392433x3,33234x,x3x,0對于C選項，當(dāng)時，，，242343434fxfxfx的圖象關(guān)于點,0因為，則函數(shù)對稱，39243232x,fxfx3fx3fx所以當(dāng)時，28323328223xx2x2x3，C錯；323對于D選項，由C選項，可知，f02，f32，則8223f222231，所以，，f1f2f31120且3，D對.fi0674f1f2112202436742因為，故i1故選：ABD.12.在長方體ABCD22AA14D1中，，E是棱BC的中點，過點B，E，的平111111面交棱AD于點F，P為線段）1FA.三棱錐P的體積為定值B.存在點P，使得1BC.直線與平面所成角的正切值的最大值為2,44)外接球的表面積的取值范圍是1PBB1ED.三棱錐【答案】ACD【解析】1F//，從而可判斷出選項A正確；對于選【分析】對于選項A，利用面面平行的性質(zhì)，得到平面項B，假設(shè)存在，可推出平面DD，從而判斷選項BC，利用線面角的定義，找11出線面角為PEP'，從而在RtPP'E中，求出tanPEP'的值，進(jìn)而判斷選項正確對于選項，利C.DO2rd用球的截面圓的幾何性質(zhì)，找出球心在直線上，利用R22，建立方程2|OO1|2|1B|2|2|2|2P|2，從而求出球的表面積的取值范圍.AADD//CC，11【詳解】對于A，因為平面平面11第10頁/共25頁根據(jù)面面平行的性質(zhì)，平面與這兩個平面的交線互相平行，1F//BE1F面，面，即，因為1F//1F上，所以平面，又點P在線段所以三棱錐P的體積為定值，故A正確；BF，對于B，若存在點P，使得，因為DDBF，1DD1D，則DPBF，因為1,DDDD，11平面,所以平面11與題意矛盾，故B錯誤；對于C，如圖1所示，BC的中點Q，連接Q1B內(nèi)的射影上，在Q取，則點P在平面11BPEP'，直線與平面所成角即1PP'EP'tanPEP'|PP'|2，且有，由已知可得|EP'|最小為2，所以tanPEP'對于D，如圖2，的最大值為2，故C正確；AD的中點O，O取的中點G，連接，分別取，，1112第11頁/共25頁連接O，因為△BB1E是等腰直角三角形，2PBB1E外接球的球心O在直線O所以三棱錐上，2PBB1E外接球的半徑為R，則||R設(shè)三棱錐，所以|OO1|2|1B|2|2|2|2P|2，設(shè)|OO1d222d|2P|22，則d，1|OP|2所以d2,當(dāng)點P與F重合時，24|2P|取最小值2，此時d，R23，PBB1E三棱錐外接球的表面積為4R212π，D|2P|取最大值10，當(dāng)點P與重合時，1，11，三棱錐PBBE此時d3R24R244π，故D正確．外接球的表面積為1故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于選項D，利用球的截面圓的幾何性質(zhì)，找出球心在直線O上，利用22r2d2，建立方程|OO1|2|1B|2|2|2|2P|2，從而求出球的表面積的取值范圍.R三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.22a2xax5，則5x_______．13.已知a454【答案】【解析】x5【分析】先根據(jù)指數(shù)運算求出的值，根據(jù)對數(shù)運算的知識求得值，代入求出的值.5xaxa3225，所以a5，【詳解】因為212x2x2x所以a452522212x2lg5212x5，525log5x4即，所以x5，4第12頁/共25頁117x55454所以．5x545444故答案為：.f(x)(xe)xye)xbyf(x)相切，則b與曲線________________.14.已知函數(shù)，若直線【答案】e1##1e【解析】【分析】根據(jù)切線的斜率求出切點，再代入切線方程即可得解.，0x,fx【詳解】設(shè)切點為0xeefxxx1，xxe11efx0由題意可得，00e上都是增函數(shù)，yx,y1在因為函數(shù)所以函數(shù)xe上是增函數(shù)，yx1在xeln111ex1，0又，所以1所以切點為，1,001ebbe1.，解得則故答案為：e1.15.月球背面指月球的背面，從地球上始終不能完全看見.某學(xué)習(xí)小組通過單光源實驗來演示月球背面.由光源點A2射出的兩條光線與eO:xy1分別相切于點M、N，稱兩射線AM、上切點上22Ba,2MN()O“上方所夾的平面區(qū)域含邊界為圓的背面若以點”.為圓心，r為半徑的方部分的射線與優(yōu)弧O圓處于的“背面”，則r的最大值為__________.【答案】1146##46【解析】y2【分析】設(shè)過A點的切線方程為k，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求出，即可得到直線AM、的方程，從而求出a的取值范圍，當(dāng)圓B與圓O外切且圓B與AM（或）相切時，r取最大值，從而求出r的最大值，即可得解.第13頁/共25頁2y21，解得k3，【詳解】如圖設(shè)過A點的切線方程為，所以1k243所以直線AM的方程為y3x2，即3xy20，令y2，解得x，3433y3x23xy20y2，解得x直線的方程為，即，令，因為圓B:xa2y2r2處于圓的背面，2O“”4343a,，所以33當(dāng)圓B與圓O由圓B與圓O外切且圓B與AM（或）相切時，r取最大值，a4外切得a24r1，圓B與AM相切時r，2434342r4aa,ar，所以又，所以，33324343a,222r250，解得r1146或r1146，結(jié)合，即r33所以r1146，所以的最大值為r1146，相切時r的最大值為1146同理圓B與綜上可得r的最大值為1146，.故答案為：1146PFa，x2y22ab0)的左?右焦點分別為F,F，點P在C16.已知雙曲線C:的左支上，122a2bbPO交C的右支于點QP,Q，延長，點M為雙曲線上任意一點（異于12第14頁/共25頁MQkk__________.與的斜率之積【答案】2【解析】△PF1FPFO【分析】先利用平面向量加法的法則和雙曲線的性質(zhì)求出和的邊長，再分別利用余弦定理2ba222，最后根據(jù)斜率公式求解即可.聯(lián)立可得c的半焦距為，則FFc,FOc【詳解】依題意，設(shè)雙曲線C，121POb，因為OFF是的中點，所以PFPF2PO，故由b得1212122a,aa又因為，所以，12212221F2a24c29a2c22a2在△PF1F中，F(xiàn)12，2122FF122a2cac1accaPFO|PO2a2c2b22222a22在PFO中，，cosPFO12PFFO2ac2acc11c22a2accba232，2所以，解得，所以aca2x2y22a2，則y22x2a2，2所以雙曲線方程為Qx,y，1Mx,yPx,y設(shè)，，001112012yyyyy20yx21212x所以kk01012，0101x2x2x2100故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.，數(shù)列的前項和為1.Sn，且n2Sn中，，a47328bnn17.在等差數(shù)列n第15頁/共25頁（1）求數(shù)列和的通項公式；abnnnncnc的前n項和n.n（2）若，求數(shù)列a2n1bn1【答案】（1），nnn1n1T3n（2）【解析】1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件求出d的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)and列n1，可求得b2S1可得b2Sn11，上述兩ab1n2的值，當(dāng)時，由nnnn1個等式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，即可求得數(shù)列的通項公式；bnbn（2）利用錯位相減法可求得n.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，ana2aad2a4da7d217d35d2，則，解得38444aan4d72n42n1，所以，n4數(shù)列的前項和為，且b2S1，bnSnnnn當(dāng)n1時，則有b2Sb1，111b2S1可得b2Sn11，nnn1當(dāng)n2時，由上述兩個等式作差可得nn1n0，即bb，n1n所以，數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則3.bnb13n13n1n【小問2詳解】an2n12n1n1135cnTn解：因為，則，①nn10121132n32n1T可得，②n2n1n333第16頁/共25頁2311122222n1n12n1311①②得T1n2n1nn33332n12，3nn1n1T3n故.18.已知中，角,B,C所對的邊分別為a,b,c,2acosCbc.（1）求A；BC邊上的點，且滿足CM2BM,aMABMBA，求△ACM（2）設(shè)M是【答案】（1）A333內(nèi)切圓的半徑.2π3（2）2【解析】1）根據(jù)正弦定理以及兩角和的正弦公式求解結(jié)果；2313AMABAC兩邊平方得出另一個（2）在中根據(jù)余弦定理得出關(guān)于邊長的一個關(guān)系，再由方程，聯(lián)立解出邊長，再由△ACM的面積與內(nèi)切圓半徑r的關(guān)系求得結(jié)果.【小問1詳解】2aC2bc已知，由正弦定理得，AcosCBsinCACsinCAcosC2cosAsinCsinCsinBsinACsinAcosCcosAsinC，又所以AcosCAcosC2cosAsinCsinC，10，所以A因為C，22πAπ，所以A因為.3【小問2詳解】如圖所示：第17頁/共25頁在中根據(jù)余弦定理得a2b2c2bccosA，即b2cbc81，①221又因為2，所以AMABAC，因為，所以3，33213AMABAC將兩邊平方并整理得b24c2bc81，②32ππ聯(lián)立①②得到bc33，所以，，36πCAM6.所以所以，2193△ACM的面積為333.2293212333設(shè)其內(nèi)切圓半徑為r，則3336r，解得r，2333所以△ACM內(nèi)切圓的半徑為.219.2020年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個志愿服務(wù)項目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動累計超過150萬小時．為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機調(diào)查了500分布直方圖．（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時長的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的第18頁/共25頁，其中近似為樣本N,2（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時長X服從正態(tài)分布平均數(shù)x，2近似為樣本方差s2．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計算：若XaY~N0,1PXaPY，且X~N,2，令Y，則．PX（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；（ⅱ）從該地隨機抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時長超過10小時的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.001）以及的數(shù)學(xué)期望．PZ1Z，則0.780.7734．0.7734200.0059Y~N0,1PY參考數(shù)據(jù)：，．若【答案】（1）9，1.642?。?.7734ⅱ）0.994，4.532.【解析】1）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式直接求解即可.（2?。┯桑?）可得由題知9，2X~N9,1.64，則1.64，所以1091.28PX10PY可得答案.PX101PX100.2266Z~B20,0.2266（ⅱ?。┲獜亩傻么鸢?,則1）x60.0270.180.290.38100.18110.08120.049．s26920.027920.18920.29920.3810920.1811920.0812920.041.64．（2?。┯深}知9，21.64，所以X~N9,1.64，．1091.28PX10PY所以PY0.780.7734．PX101PX100.2266（ⅱ）由（?。┲猌~B20,0.2266．，可得10.00590.99410.994．PZ11PZ10.77340故Z的數(shù)學(xué)期望EZ200.22664.532．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和方差以及根據(jù)正態(tài)分布求概率和二項分布問第19頁/共25頁題，解答本題的關(guān)鍵是將問題“從該地隨機抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時，屬于中檔題.Z~B20,0.2266長超過10小時的人數(shù)，轉(zhuǎn)化為得到83-ABC1ACABBA20.如圖，在三棱柱中，側(cè)面的面積為4，且四棱錐的體積為.1111111B1A的距離;1（1）求點到平面1ACCA1A1A1的ACAC中點，，求平面111（2）若平面平面，側(cè)面是正方形，D為1111ABC所成銳二面角的余弦值.1與平面1115【答案】（1）2（2）3【解析】1）根據(jù)題意，由棱柱及棱錐的體積公式，結(jié)合等體積法即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】B1A的距離為h，1設(shè)點到平面111ASS由三棱柱知，四邊形是平行四邊形，所以，11B1A12114所以VV，CACA231111111AACCSS2CC11由三棱柱知四邊形是平行四邊形，所以，，11AA121431343又VVSh，所以2hh2，解得CABC11131111B1A的距離為2；1即點到平面1【小問2詳解】第20頁/共25頁AA中點為O，連接ACCA1AACAC取，因為平面平面，且，11111111ACCAABBAAA平面，111所以1AA，又平面111則1平面1A1A，且是正方形，11y分別為軸，軸正方向，過點作軸平行zxAB以O(shè)為坐標(biāo)原點，,O，建立如圖所示空間直角1111坐標(biāo)系，因為平面ACCA1A1ABA1A平面，1平面，且是正方形，則111111由（1）可知，AA12，12，則A1,0，A01，B0C0,0,2，，，且D為B1,01的中點，則111D,1，212AD,1,AB2,0，設(shè)平面x,y,z，1法向量為1n所以1nADxyz0yx2z1，則yx2，則，解得，取y2znAB2x2y012,1，所以平面的一個法向量為1a,b,c，2,0,0,AC1,211ABABC，設(shè)平面的法向量為111又則11mAB2a0b2c11，解得，取c1，則b2，a0mACb2c0112,1ABC的一個法向量為1所以平面，11ABC所成銳二面角為，111設(shè)平面與平面1第21頁/共25頁mncos,n145，93mn55ABC所成銳二面角的余弦值為111即平面與平面.13x22y223F1F20)的左、右焦點，，橢圓的離心率為FF231221.設(shè)，分別是橢圓D:ab.ab2（1）求橢圓D的方程；lQ0，若點N(0,t)PQ垂（2）作直線與橢圓D交于不同的兩點P，，其中點P的坐標(biāo)為是線段1直平分線上一點，且滿足NPNQ4，求實數(shù)的值.tx2y12【答案】（1）425（2）22，【解析】1）由離心率及焦距求出、，從而求出b；ac（2）設(shè)，直線的方程為ykx2Qx,yl1，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示線段的中點坐11標(biāo)，分類討論當(dāng)k0、k0時的情況，