2023-2024學(xué)年安徽省亳州市高一下學(xué)期第二次月考5月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

/2023-2024學(xué)年安徽省亳州市高一下學(xué)期第二次月考5月聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．測(cè)試范圍：平面向量+解三角形+復(fù)數(shù)+立體幾何一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知平面向量，且，則（

）A． B． C． D．13．如圖，一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，則原平面圖形的周長(zhǎng)為（

）A．4a B．8a C．6a D．4．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．如圖所示，要測(cè)量底部不能到達(dá)的某電視塔的高度，在塔的同一側(cè)選擇兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，且在兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得，兩地相距500m，則電視塔的高度是（

）A． B． C． D．7．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若為銳角三角形，則C．若，則一定是等腰直角三角形D．若，，則一定是等邊三角形8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則OG的最小值為A．1 B． C．1 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則10．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．向是能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底B．C．兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向D．若，且與的夾角為銳角，則11．如圖圓臺(tái)，在軸截面中，，下面說(shuō)法正確的是（

）A．線段B．該圓臺(tái)的表面積為C．該圓臺(tái)的體積為D．沿著該圓臺(tái)的表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)，是不共線的兩個(gè)向量，，，.若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為.13．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，每年新春佳節(jié)，我國(guó)許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望.圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖2中正六邊形的邊長(zhǎng)為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為2，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓的直徑，則的取值范圍是．14．已知平面非零向量和單位向量，若與的夾角為與的夾角為，則的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知，，與的夾角為．(1)求；(2)若向量與相互垂直，求實(shí)數(shù)k的值．16．已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.(1)求A﹔(2)若的面積為，求的周長(zhǎng).17．如圖，在中，，點(diǎn)滿足．(1)若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求的余弦值．18．如圖：在正方體中，為的中點(diǎn).(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面；(3)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.19．如下左圖，矩形中，，，.過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，交對(duì)角線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折，形成四面體，如下右圖.

(1)求四面體外接球的體積；(2)求證：平面平面；(3)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷在將沿翻折過(guò)程中，直線能否平行于面.若能請(qǐng)求出此時(shí)的二面角的大小；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.1．D【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出復(fù)數(shù)，再求出即可得解.【詳解】依題意，，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D2．B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，因?yàn)?，可得，解?故選：B.3．B【分析】由直觀圖還原可得原圖形，結(jié)合斜二測(cè)畫法求邊長(zhǎng)，再求其周長(zhǎng)即可.【詳解】由直觀圖可得原圖形，所以，，，所以，原圖形的周長(zhǎng)為.故選：B.4．A【分析】由正弦定理解三角形.【詳解】中，由正弦定理，得.故選：A.5．C【分析】逐項(xiàng)舉反例判斷選項(xiàng)A,B,D錯(cuò)誤，證明選項(xiàng)C正確.【詳解】對(duì)于A，如圖，若，但直線平行，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，若，但是平面不平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：如圖，若，過(guò)直線作兩個(gè)平面，可得則，C正確；對(duì)于D，如圖，若，則，D錯(cuò)誤；故選：C.6．D設(shè)，將用表示，在中，由余弦定理得出關(guān)于的方程，求解，即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)，在中，，所以.在中，，所以.在中，，，由余弦定理得，解得（舍去）.故選:D.本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查余弦定理，以及計(jì)算求解能力，屬于中檔題.7．ABD【分析】A選項(xiàng)根據(jù)大邊對(duì)大角結(jié)合正弦定理分析，B選項(xiàng)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷，C選項(xiàng)利用余弦定理統(tǒng)一成邊化簡(jiǎn)后可判斷，D選項(xiàng)利用余弦定理進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)大角對(duì)大邊，，根據(jù)正弦定理可得，其中為三角形外接圓半徑，于是，正確；B選項(xiàng)，若為銳角三角形，則，所以，則，正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，整理可得，所以或，故為等腰三角形或直角三角形，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由于，，由余弦定理可得，可得，解得，所以，故是等邊三角形，正確.故選：ABD8．D【分析】首先根據(jù)條件解△ABC可得：C和△ABC外接圓的半徑R，由此建立直角坐標(biāo)系，可得.A（，0），B（，0），外心O為（0，），重心G.從而求得|OG|2sinθ，即可得解.【詳解】A=5sin（B），c=5，∴acsin（B），由正弦定理可得：sinAsinC（sinB+cosB），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，化為：sinBcosC=sinCsinB，sinB0，∴cosC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.∴C.∴△ABC外接圓的半徑R.如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A（，0），B（，0），O（0，）.△ABC外接圓的方程為：x2.設(shè)C（cosθ，sinθ）.θ∈（0，π）則G.|OG|2sinθ，∴|OG|的最小值為.故選：D.本題考查了解三角形，考查了外心和重心的概念，考查了較強(qiáng)的計(jì)算能力，解決該類問題常用如下方法：（1）根據(jù)條件，利用正、余弦定理直接解三角形；（2）利用向量，結(jié)合向量的數(shù)量積進(jìn)行求解；（3）建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)進(jìn)行求解.9．AC【分析】利用復(fù)數(shù)的定義、幾何意義，共軛復(fù)數(shù)的概念，乘法運(yùn)算法則一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】不妨設(shè)，若，即，顯然，故A正確；若，則，則，該值不一定為0，故B錯(cuò)誤；若，則，而，故C正確，，故不一定成立，即D錯(cuò)誤；故選：AC10．BC【分析】直接利用向量的共線、向量的基底的定義，兩角和與差的余弦公式，向量的數(shù)量積公式，向量的夾角公式，判斷、、、的結(jié)論．【詳解】對(duì)于：因?yàn)?，所以不能作為平面?nèi)的一組基底，故錯(cuò)誤；對(duì)于：，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以有，所以，即，所以共線且反向，即C正確；對(duì)于：已知，，則，所以：，且和不共線．即，且解得且，故錯(cuò)誤；故選：BC．11．ABD【分析】在等腰梯形中求出判斷A；利用圓臺(tái)表面積公式、體積公式計(jì)算判斷BC；利用側(cè)面展開圖計(jì)算判斷D.【詳解】顯然四邊形是等腰梯形，，其高即為圓臺(tái)的高對(duì)于A，在等腰梯形中，，A正確；對(duì)于B，圓臺(tái)的表面積，B正確；對(duì)于C，圓臺(tái)的體積，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圓臺(tái)一半側(cè)面展開，如下圖中扇環(huán)且為中點(diǎn)，而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐半側(cè)面展開為且，又，在△中，，斜邊上的高為，即與弧相離，所以C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，D正確.

故選：ABD12．【分析】先求出，再由A，B，D三點(diǎn)共線，必存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，由此可得，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，由題意，A，B，D三點(diǎn)共線，故必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得.所以，又因?yàn)榕c不共線，所以，解得.故.13．【分析】結(jié)合圖形將所求數(shù)量積中的向量轉(zhuǎn)化，化簡(jiǎn)為，從而只需求的取值范圍，由圖易得的最大最小值，代入即得.【詳解】如圖，取的中點(diǎn),連接.則,因?yàn)閳A的直徑，長(zhǎng)度為4，故得,要求的取值范圍，即要求的取值范圍.根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)點(diǎn)與正六邊形的頂點(diǎn)重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)為正六邊形的邊的中點(diǎn)時(shí)(如圖點(diǎn))，故.故思路點(diǎn)睛：本題解題思路在于結(jié)合圖形的特點(diǎn)，分別將其中的向量進(jìn)行分解、計(jì)算、化簡(jiǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為求距離的最大最小值問題.14．【分析】結(jié)合題意可作出圖形，經(jīng)分析可知點(diǎn)的軌跡在如圖以為圓心，半徑為的圓上，得當(dāng)且所在直線過(guò)圓心點(diǎn)時(shí)最小，然后結(jié)合圖形即可求解【詳解】，，如圖作，

，則，，所以，即，又為單位向量，所以，在中，由正弦定理，則，所以點(diǎn)的軌跡在如圖以為圓心，半徑為的圓上，由圖可知，當(dāng)且所在直線過(guò)圓心點(diǎn)時(shí)最小，作于，于，于，則，，則，所以.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，關(guān)鍵能夠根據(jù)已知條件確定的軌跡為圓，從而當(dāng)且所在直線過(guò)圓心點(diǎn)時(shí)最小，即可求解.15．(1)2；(2).【分析】（1）根據(jù)題意求得數(shù)量積，再求向量的模長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合（1）中所求，即可求得參數(shù)值.【詳解】（1）根據(jù)題意，，又.（2）根據(jù)題意，，即，，解得.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再借助和角的正弦公式求解作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用三角形面積公式、余弦定理求出即可作答.【詳解】（1）在中，，由正弦定理得：，而，于是，又C為三角形內(nèi)角，有，解得，所以，（2）依題意，，由余弦定理得，，即，所以的周長(zhǎng)17．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合圖形以及平面向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）設(shè)，在和中利用正弦定理，建立等量關(guān)系求的余弦值.【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)?，所以，，又，所以，所以，所以?shí)數(shù)的值為；（2）因?yàn)椋?，由題意設(shè)，所以，在中，①，在中，②，由①②可得，所以，所以，又，，所以，所以的余弦值為.18．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)線面平行的判定進(jìn)行證明；（3）根據(jù)面面平行的的判定進(jìn)行證明.【詳解】（1）顯然平面，于是.（2）設(shè)，連接，在正方體中，四邊形是正方形，是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面平面平面；（3）為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，又平面平面平面，由（2）知平面平面平面，平面平面.19．(1)(2)證明見解析(3)不能，理由見解析【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知四面體外接球的半徑，即可求出外接球的體積；（2）依題意，，即可得到平面，從而得證；（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，即可證明平面，再假設(shè)平面，即可得到平面平面，由面面平行的性