高中數(shù)學(xué)：高二第2周周練卷

吳興高級(jí)中學(xué)高二第2周周練卷班級(jí)姓名

一、單項(xiàng)選擇題

1.若A,B,C,D為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式為零向量的是（）

①海+2就+2國(guó)+反；②2醺+2瓦+3/+3礪+雙；③麗+CX+麗；④Ag-函+而一而.

A.①②B.②③C.②④D.①④

2.已知A（l,2-1）關(guān)于面xOy對(duì)稱點(diǎn)為6,而8關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,則前=（）

A.（0,4,2）B.（0,-4,-2）C.（0,4,0）D.（2,0,-2）

3.若直線4：ar+2y+6=o與直線4：x+（a_l）y+5=O垂直，則實(shí)數(shù)。的值是（）

21

A.-B.1C.—D.2

32

4.已知四面體A-BCD的所有棱長(zhǎng)都是2,點(diǎn)E,F分別是AD,DC的中點(diǎn)則麗?麗=（）p

A.lB.-lC.6D.一百

5.如圖，M是三棱錐P-A3C的底面AABC的重心.若而'=xWP+y礪+Z而（x、/c[\

211

y、ZWR），則X+y+Z的值為（）A.-B.1C.-—D.一一.4L----------

332

6.已知三棱錐底面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均為2,則側(cè)棱與底面所成角的余弦值為（）

AbR1c幣D出

A?------t）.L/.U?

3236

7.在三棱錐P-ABC中，PC_L底面ABC,ZBAC=90'，AB=AC=4,ZPBC=60S則點(diǎn)。到平面PAB的距

離是（）A.-B.c.D,-

7777

TT

8.在直三棱柱A4G-43c中，NB4c=],AB=AC=A4,=1已知G和E分別為A4和CG的中點(diǎn)，D與F

分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若8，EE,則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為（）

二、多項(xiàng)選擇題

9.在以卜命題中，不正確的命題有（）

A.ab=a+b是：^共線充要條件

B.若％則存在唯一的實(shí)數(shù)；i,使

C.對(duì)空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若協(xié)=2a_20%_況，則尸，A，B,。四點(diǎn)共面

（TT->）（->f->->->->）

D.若卜,41為空間的一個(gè)基底，則卜+b,b+c,c+a）構(gòu)成空間的另一個(gè)基底

10.已知平面上一點(diǎn)M（5,0）,若直線上存在點(diǎn)P使則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割

4

型直線”的是（）A.ym+lB.y=lC.y=D.y=lx+l

11.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻舞”（cE，〃e〃g）是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如下圖五

面體A8CDEE是一個(gè)芻霓，其中四邊形ABC。為矩形，其中AB=8,AD=26,與△BC尸都是等邊三

7T

角形，且二面角E—AD-3與尸—BC—A相等且大于：，則EF長(zhǎng)度可能為（）

A.1B.5C.9D.13

12.如圖（1）是一副直角三角板.現(xiàn)將兩三角板拼成直二面角，得到四面體A8CO,

如圖（2）所示.下列敘述中正確是（）

A.BDAC=O

B.平面BCD的法向量與平面ACD的法向量垂直

C.異面直線8c與A￡>所成的角小于60°

D.直線。C與平面A8C所成的角為30。

三、填空題

13.經(jīng)過兩條直線2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交點(diǎn)，且垂直于直線3x—2y+4=0的直線的一般式方程為

14.如圖，已知在大小為60°的二面角。一/一月中，入6久3€夕,4。，/于點(diǎn)。,&），/

于點(diǎn)。，且AC=1,3。=2,A3=5,則CD=.

15.已知點(diǎn)4（—3,4）,8（2,2）,直線〃?x+y+〃7+2=O與線段相交，則根的范圍為

16.如圖，已知平面四邊形ABC。，AB=BC=3,CD=\,AD=B△4。。=90°.沿直線4。將八48翻

折成△AC。'，直線AC與3。所成角的余弦的最大值是.

四、解答題

17.求經(jīng)過直線A：3x+4y-5=0,，2：2%-3y+8=0的交點(diǎn)且滿足下列條件的直線的方程.

(1)經(jīng)過點(diǎn)尸(1,3)；(2)與直線2x+y+5=0平行；(3)與直線2x+y+5=0垂直.

18.向量。=(1,-3,2),S=(-2,l,l),點(diǎn)A(-3,-1,4),8(—2,—2,2).

(1)求^^+目；(2)在直線A3上，是否存在一點(diǎn)E，使得瓦_(dá)1_坂，(O為原點(diǎn))，若存在，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，若不

存在，說明理由.

19.如圖，三棱柱43。-4月。]中，"，N分別是A3,gG上的點(diǎn)，且5A7=24",C、N=2B、N.設(shè)AB=a,

AC=b，A4,=c.

(1)試用〃，b,c表示向量MN；

(2)若NBAC=90。，ZBA4,=ZCAA]=60°,A3=AC=4Al=1,求MN的長(zhǎng).

7T

20.如圖所示，在四棱錐O—ABC。中，底面A8CD是邊長(zhǎng)為1的菱形，ZABC=~,OAlffiABCD,

4

Q4=2,M，N分別為。4、BC的中點(diǎn).

(1)證明：直線MN//平面08；

(2)求異面直線與MD所成角的大?。?/p>

(3)求點(diǎn)3到平面08的距離.

N

21.已知四棱錐P—A8CD,底面ABCO為菱形，如二必5為PC上的點(diǎn)，過AH的平面分別交尸員P。于點(diǎn)

M,N,且3。//平面AMUN.

(1)證明：MN工PC；

(2)當(dāng)H為PC中點(diǎn)，PA=PC=GAB,叢與平面A3CD所成的

角為60°,求二面角P-AW-N的余弦值.

22.已知三棱柱A6C—A|gG中，ZACB=90°-A^B1ACt,AC=M=4,BC=2.

(I)求證：面4ACGJ?面ABC；

(2)若NAAC=60'，在線段AC上是否存在一點(diǎn)P,使二面角8-4P—C的平面角的余弦值為正？若存在，確

定點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由

4

答案

1.若A,B,C,D為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式為零向量的是()

①有+2前+2畫+反；②2醺+2前+3而+3麗+在；③通+口+麗；④融一函+函一

A.①②B.②③

C②④D.①④

【答案】C

【詳解】@AB+2BC+2CD+DC=AB+2BD+DC=AB+BD+BD+DC=AD+BC；

@2AB+2BC+3CD+3DA+AC=2AC+3CA+AC=6；

?AB+CA+BD=AD+CA^

④通—函+①—礪=A月+86+。方+方表示Af3-C--4恰好形成一個(gè)回路，結(jié)果必為0；

綜上可知答案選C.

2.已知A(l，2-1)關(guān)于面尤0y的對(duì)稱點(diǎn)為5,而B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,則前=()

A.(0,4,2)B,(0,-4,-2)C.(0,4,0)D,(2,0,-2)

【答案】B

【詳解】本題考查空間直角坐標(biāo)系及向量的坐標(biāo)

因?yàn)锳(L2,-1)關(guān)于面的對(duì)稱點(diǎn)為B,所以5(1,2,1)；又而B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C,

則。(1,一2,—1),所以配=(1,—2,-1)—(1,2,1)=(0,-4,—2)

故正確答案為B

3.若直線4：ar+2y+6=0與直線/2：x+(a-l)y+5=0垂直，則實(shí)數(shù)”的值是()

,21

A.-B.1C.—D.2

32

【答案】A

2

【詳解】由4與4垂直得：&1+2(。-1)=0,解得,故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知四面體A-BCD的所有棱長(zhǎng)都是2,點(diǎn)E,F分別是AD,DC的中點(diǎn)，則訪?麗=()

A.1B.-1C.yfiD.—

【答案】B

【詳解】由題意可得而=,比，

2

______1________1

所以=—=—x2x2xcosl20°=—l.故選B.

22

5.如圖，M是三棱錐P-A3C的底面AABC的重心.若而'=xH+y麗+z而（x、y、zeR）,則

x+y+z的值為（）

211

A.—B.1C.—D.--

332

【答案】c

P

如圖，連結(jié)PM,AM,是三棱錐P-/8C的底面△/BC的重心，

**.A.M=—AS4-AC）,:.PM=PA.+AM=—A.P+—AB+—AC,'：PM=xAP4-yAB+zAC（x、歹、

xGR）,.*.%=-1,y=z=;，.'.x+y+z=—.故選：C.

6.已知三棱錐底面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均為2,則側(cè)棱與底面所成角的余弦值為（）

月R1cV3D出

.--t）.L/.--I）?

3236

【答案】D

【詳解】由已知易得該三棱錐為正三棱錐，則頂點(diǎn)在底面上的射影正好落在底面的中心上，如圖所示：

在三棱錐S-A3C中，0為底面中心，則易得S0J_40,A0=—,S4=2,

3

則ASAO即為側(cè)棱與底面所成的角，則cosNSAO=也=且，故選：D.

SA6

7.在三棱錐P—ABC中，PC_L底面ZBAC=90,AB=4C=4,ZPBC=60°,則點(diǎn)。到平面總的距

離是（）

R4反C5D6

A.返D.----------------屈疝

77,7,7

【答案】B

以力為原點(diǎn)，4?為x軸，”■為y軸，過4作平面4%?的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)。到

平面為6的距離.

【詳解】??,在三棱錐P-ABC中，PC,底面ABC.ABAC=90,.AB=AC=4-,ZPBC=60°

二以/為原點(diǎn)，仍為x軸，4C為y軸，

過4作平面｛■的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,4,0),P(0,4,4V6),A(0,0,0),5(4,0,0),XC=(0,4,0),AB=(4,0,0),/=(0,4,

l元"=4y+4"z=0

4V6）,設(shè)平面陰8的法向量為=（x,y,z）,貝叫_,

[n-AB=4x^0

取z=L得萬(wàn)=（0,-遙,1）,???點(diǎn)。到平面用8的距離]=y二1=半=生反.故選8.

'）\n\V77

TT

8.在直三棱柱中，N84C=E，A8=AC=A4,=1已知G和E分別為A4和CG的中點(diǎn)，D與F

分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若GO，所，則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為（）

人?序4B」例C（竽/[D.[孚1]

【答案】A

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0,0,（））,中,6），F(xiàn)（X,O,O）,D（O,y,O）,由于3"

所以x+2y-1=0,DF=/2+y2=島2_4丫+1=/1_5+/當(dāng)）,=河線段小長(zhǎng)度的最小值是q,

當(dāng)V=1時(shí)，線段OF的最大值是1,由于不包括端點(diǎn)，故y=］不能取，故選A.

一、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在以下命題中，不正確的命題有（）

A."一口=2+了是〉W共線的充要條件

B.若7/。則存在唯一的實(shí)數(shù)之，使；=^1

C.對(duì)空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,若d=2&-2朦A，則尸，A，B,C四點(diǎn)共面

D.若卜,b,c）為空間的一個(gè)基底，則k+b,/>+c,c+a）構(gòu)成空間的另—個(gè)基底

【答案】ABC

【詳解】解：對(duì)于A,當(dāng)d=W+限則1%共線成立，但］］同向共線時(shí)，a-b^a+b,

所以卜卜0=4+1是：，W共線的充分不必要條件，故A不正確；

對(duì)于B,當(dāng)W=3時(shí)，a//b'不存在唯一的實(shí)數(shù)2,使W=/l人故B不正確；

對(duì)于C，由于辦=2&—2&—次，而2-2—1工1,

根據(jù)共面向量定理知，P,A,B,C四點(diǎn)不共面，故C不正確；

對(duì)于D,若?工,日為空間的一個(gè)基底，則二工二不共面，由基底的定義可知，W+H+H+)不共面，

(->->->TT—>)

則卜+b,/?+c,c+a|構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故D正確.故選：ABC.

10.已知平面上一點(diǎn)M(5,0),若直線上存在點(diǎn)P使尸MN,則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型

直線”的是()

4

A.yw+lB.y之C.y~~xD.y&+1

【答案】BC

【詳解】A.點(diǎn)M⑸0)到直線尸+1的距離為：d=正6=3收>4,故錯(cuò)誤；B.點(diǎn)M(5,0)到直線網(wǎng)的距離

-x5

4z/_3_______A

為："=3v4,故正確；C.點(diǎn)”(5,0)到直線y=的距離為“一|乙、2一一故正確；

3

,2x5+111V5.

D.點(diǎn)M(5,0)到直線產(chǎn)2%+1的距離為：d=/=工一>4,故錯(cuò)誤；故選：BC

J1+R)5

11.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻薨”(M〃加"g)是底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體.如下圖五

面體A8CDE/是一個(gè)芻薨，其中四邊形A8C。為矩形，其中AB=8,AD=26△〃>石與△BC尸都是等邊三

角形，且二面角石-A。-5與尸—5C—A相等且大于(，則所長(zhǎng)度可能為()

A.1B.5C.9D.13

【答案】CD

【詳解】等邊三角形AOE邊上的高為百tan600=3,同理等邊三角形BCF邊上的高為3.

二面角E—與戶—8C—A相等，且為平角時(shí)，防=6+8=14,因此石尸<14,

二面角E—4D-3與/一3C—A相等，且為1時(shí)，E/最小，

如圖所示，此時(shí)取8C,AO的中點(diǎn)QQ,連接OQ,FO,

由圖形的對(duì)稱性可得尸點(diǎn)在底面的投影必在OQ上，由于0FL8C,0H1BC,所以NFO”即為二面角

/一3C—A的平面角，即/FOH=工,故。"=二，此時(shí)族=8-2x==5由于二面角大于因此瓦1>5,

3223

即可得成長(zhǎng)度可能為9,13.故選：CD.

12.如圖（1）是一副直角三角板.現(xiàn)將兩三角板拼成直二面角，得到四面體ABC。，如圖（2）所示.下列敘述中正確

的是（）

A

A.BZ）AC=O

B.平面BCD的法向量與平面AC￡）的法向量垂直

C.異面直線BC與所成角小于60°

D.直線。C與平面ABC所成的角為30°

【答案】ACD

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:將兩三角板拼成直二面角，故平面ABCJ_平面BCD,

因?yàn)?O_L8C,平面A8CA平面8CD=6C,8Du平面BCD,

故_L平面ABC,所以3O_LAC,故而.恁=0,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B:平面88與平面ACO不垂直，故兩個(gè)平面的法向量不可能垂直，故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)c:過點(diǎn)。作ZM7和平行且相等，可得為異面直線8C與A。所成的角,

設(shè)AB=AC=2,則8。=2五，S￡)=BCtan300=2>/2x—=

33

因?yàn)樗倪呅蜝DMC為矩形，DM=BC=2g,

AD=dBD?+AB?

V2>/301

等腰三角形中,=>

ADMAD~2^5~10~2,故NADA/<60,故選項(xiàng)C正確；

3

對(duì)于選項(xiàng)D：8。_1平面46。，所以BC為。C在平面ABC內(nèi)的射影，所以NOCB為直線0c與平面ABC所成

的角，因?yàn)镹DC5=30°,故選項(xiàng)D正確，故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.

13.經(jīng)過兩條直線2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交點(diǎn)，且垂直于直線3x-2y+4=0的直線的一般式方程為

【答案】2x+3y-2=0

..3x+4y—2=0/、

【詳解】由方程組12x+；+2=o，得交點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,2),

因?yàn)樗笾本€垂直于直線3x—2y+4=0,故所求直線的斜率女=-士,

3

由點(diǎn)斜式得所求直線方程為y—2=-：(％+2),即2x+3y-2=0.

故答案為：2x+3y-2=0.

14.如圖，已知在大小為60。的二面角4一/一〃中，4￡。,8￡44。_1/于點(diǎn)。,8。，/于點(diǎn)。，且

AC=1,BD=2,AB=5,則CD=.

【答案】岳

【詳解】vACl/,B￡>l/,二面角的大小為60。，:(場(chǎng)，麗)=60°,

......*2■■■*2一..2-----?2.，……，?-...?---

vAB=AC+CD+DB，：.AB=AC+CD+DB+2ACCD+2AC-DB+2CD-DB

，5?=F+CD+4+2\AC\-\DB\-cos(^AC,DB)....CD2=20-2x1x2xcos1200=22--\CD|=722.

故答案為：夜

15.已知點(diǎn)工(一3,4),8(2,2),直線力x+y+"?+2=0與線段月8相交，則加的范圍為.

【答案】3,+8U(_8,一挑

【解答】解：直線加x+y+m+2=0,即加(x+1)+y+2=0,它經(jīng)過定點(diǎn)尸(-1,—2),斜率為一加，

4+22+24

PA的斜率為二49T=—3,PB的斜率為屆，=*

—3十12十1J

;直線mx+y+m+2=0與線段48相交，

??.一〃?<—3或一加2g,求得加23或加〈一事,故答案為：3,+8ij(—8,—g)].

16.如圖，已知平面四邊形ABC。，AB=BC=3,CD=1,AD=6NADC=900.沿直線AC將△AC。翻

折成△ACD',直線AC與BD所成角的余弦的最大值是.

【詳解】如圖所示，取AC的中點(diǎn)。，并連接8。，???AB=3C,??.3OJ_AC,

D

D

在R/V4C。'中，AC=jF+(府=遙,

作。'E_LAC,垂足為瓦由等面積法可得。上=上￡=且°

匹6

又c。邛，

.-.EO=CO-CE=—--=—

263

過點(diǎn)8作環(huán)//AC,作FE//BO交8尸于點(diǎn)凡則所_LAC,連接，則NFB。'為直線AC與由7所成的角.

V30

由DE,AC,EF1AC,可知N?！鶠槎娼?。'—C4—8的平面角，設(shè)為。，

由余弦定理可得：

?,?2,V30,2,A/30x2c>/30\^0c25u?10,a

DF=(----)-+(----)-2x----x----cos6=----5cos0>一(cos。=1時(shí)等節(jié)成人)

626233

由。'E_LAC,EF±AC,EF\D'E=E,則AC_L平面￡/￡F,

又。'Eu平面。所，則O'RLAC,所以DE_L班

在直角A￡)'EB中，利用勾股定理尸=。右2，可知

.?.。8的最小值=

二直線AC與80所成角的余弦的最大值為邁故答案為：《5.

66

四、解答題：本題共6小題，共70分.(其中17題10分，18-22題每題12分)解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文

字說明、證明過程或演算步驟.

17.解：⑴由［；：；；；；二；，求得能丁，可得直線外3x+4廠5=0/：2xf+8=0的交點(diǎn)M(-l,2).

???直線還經(jīng)過點(diǎn)P(l,3),故它的方程為口=再，即x—2y+5=0.

3—21十1

(2)根據(jù)所求直線與直線2x+y+5=0平行，可設(shè)它的方程為2x+y+m=0,

再把點(diǎn)M(—1，2)代入，可得-2+2+機(jī)=0,求得〃?=0,故所求的直線的方程為2x+y=0.

(3)根據(jù)所求直線與直線2x+y+5=0垂直，可設(shè)它的方程為x-2y+〃=0,

再把點(diǎn)M(—1,2)代入，可得一1—4+〃=0,求得〃=5,故所求的直線的方程為x—2y+5=0.

18.已知向量2=(1,-3,2),刃=(一2,1,1),點(diǎn)A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).

(1)求悔+可;

(2)在直線AB上，是否存在一點(diǎn)E,使得礪_LB，(。為原點(diǎn))，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

【答案】⑴5A/2；(2)存在，,一*一?|1

【詳解】(1)根據(jù)題意,得2:+，=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,—5,5)，故21+力=府+(-51+5、=5日

(2)由于點(diǎn)E在直線A3上,則oZ=QZ+A%=O：4+rA%,

即。E=(―3,—l,4)+r(l,—1,—2)=(-3+f,—l—r,4—2f)‘由OE_LZJ,則。田人二。,

9

所以—2(—3+，)+(—1—f)+(4—2。=。，解得，=g,

因此在直線AB上存在點(diǎn)E,使得詼J_B，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為￡■(一■!，-￡，1?).

19.如圖，三棱柱ABC—A4G中，M,N分別是4以&G上的點(diǎn)，且5M=24",C、N=2B、N.設(shè)

AB=a<AC=b,AA]=c-

B

(i)試用￡,坂，之表示向量面V;

(2)若Z^4C=90°,ZBA4,=ZC4A=60°,A8=AC=A4,=1,求MN的長(zhǎng).

【答案】(1)礪；(2)|麗卜當(dāng).

【解析】

_________11-1o

［詳解］(1)MN=MA^+A^+QN=-&\+AC+-CB=——AB+-A^+AC+-(JB-AC)=

1A3+大AAj+AC又入百=Q,XC=btAAj=c,?'-MN=—a+—b-^--c.

(2)AB=AC=AAj=1,.*.|^|=M=卜|=1.丁N8AC=90°,?e*a,b=0

*/ZBA4,=ZGMj=60°,:，a-c=h-c=^t二

—2—2—2——————\

a+b+c+2。?人+2a?c+2b?c=阿=卓

T[

20.如圖所示，在四棱錐0—ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，AABC=~.OAl^ABCD.

4

。4=2,M、N分別為。4、BC的中點(diǎn).

(1)證明：直線肱V//平面0CD；

(2)求異面直線AB與所成角的大?。?/p>

(3)求點(diǎn)3到平面08的距離.

n2

【答案】(1)證明見解析(2)g(3)-

JD

【詳解】(1)取QD的中點(diǎn)E,連接ME、CE.則四邊形MNCE為平行四邊形,

??.MN//CE,又：W平面OCD,C￡u平面08,

?1.MN//平面0CD.

(2)VCDHAB,

，NMDC為異面直線A3與M￡＞所成的角（或其補(bǔ)角）

作APLCZ）于點(diǎn)P,連接

乃正

.Q_L平面ABC。，CDIMP,vZADP=-,DP=—

42

MD=yjMA2+AD2=V2，

???cosZMZ）P=-=NMDC=NMDP=J

MD23

所以異面直線AB與MD所成的角為5.

O

(3):⑷?//平面OCD,點(diǎn)3和點(diǎn)A到平面08的距離相等.

連接0P,過點(diǎn)A作AQ_LOP于點(diǎn)Q,

■.AP1CD.OAA.CD...CD_L平面OAP,AQ±CD.

又.AQLOP,「AQ_L平面OCO,

線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，與點(diǎn)B到平面OCD的距離相等

OP=Jm一DP?=y/oA2+-DP?=迪,AP=AD=g

22

2乂顯

山二江=2

0P303

F

2

所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為y.

o

21.已知四棱錐P—ABC。，底面ABC。為菱形,PD=必，H為PC上的點(diǎn)，過AH的平面分別交PB,PD于點(diǎn)

M,N,且3。//平面.

⑴證明：MN上PC；

（2）當(dāng)“為PC的中點(diǎn)，PA=PC=6AB,必與平面ABC。所成的角為60°,求二面角P-4〃-N的余弦

值.

【答案】（1）見解析；（2）叵.

13

【詳解】（1）證明：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)。，連結(jié)PO.因?yàn)锳BCD為菱形，所以BDJ.AC,且。為AC、BD

的中點(diǎn)，因?yàn)镻D=PB,所以POLBD,因?yàn)锳CcPO=O且AC、POu平面PAC,所以BD_L平面P4C，

因?yàn)镻Cu平面PAC,所以8D_LPC.因?yàn)锽。//平面4WHN,BDu平面且平面AAffiNc平面

PBD=MN,所以8D//MN,所以MN_LPC.

（2）由（1）知且POL8D,因?yàn)镼4=PC,且。為AC的中點(diǎn)，

所以PO_LAC,所以尸O_L平面A8CO,所以Q4與平面ABCD所成的角為NPA。，

所以，所以AO=」PA,PO=Y^PA,因?yàn)?所以80=立PA.

226

分別以。底，。月，。戶為MV"軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Q4=2,則

X洌,P\

0(0,0,0),A(1,0,0),B,0,C(-l,0,0),￡>0,-

JI7

所以加=jo,子,o]而(30后、[1,加,

,AB==(-1,0,73),

I22

7