高中數(shù)學高考總復習等差數(shù)列習題及詳解+函數(shù)的單調性與最值習題及詳解+充分必要條件習題及詳解

高中數(shù)學高考總復習等差數(shù)列習題及詳解

+函數(shù)的單調性與最值習題及詳解+充分必要條件習題及詳解

高中數(shù)學高考總復習等差數(shù)列習題（附參考答案）

一、選擇題

1.（2010.寧夏）一個等差數(shù)列的前4項是“，x,b,2x,貝哈等于（）

1

aA.4

D.|

C-3

［答案］c

2x=a+ba=/匕=表

［解析］'

2b=x+2x

.9=J.

?'b~y

2.（文）（2010?茂名市?？迹?shù)列｛斯｝的前〃項和為S”若斯=〃（〃；］），則S4等于（）

A.1B.|

C-2Ou6

［答案］A

［解析］

「?S4=41+。2+的+々4

-2）+（2-3）+（3-4）+（H）=5'故選A-

（理）已知等差列｛斯｝共有2008項，所有項的和為2010,所有偶數(shù)項的和為2,則“1004=（)

A.1B.2

C-L-L

J502?D256

［答案］B

［解析］依題意得出細產(chǎn)說=2010,

10051004（42+。20（）。___1_

a1十。2008—502，2-十。2。08—25］‘

故。2—。1=—4需=或1為公差），

又改+〃2008=2〃1005,

?__L__,__L,1PO3_

??a\oo5-502，皿4-〃ioo5a-502+502-，

3.(文)(2010?山東日照模擬)已知等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為或dWO),且內+恁+。10+〃13=32,若加=8,

則m為()

A.12B.8

C.6D.4

［答案］B

［解析］由等差數(shù)列性質知，43+46+410+。13=(〃3+〃13)+(〃6+〃10)=2〃8+2。8=4〃8=32,

??〃8=8.

.,.m=8.故選B.

（理）（2010?溫州中學）設等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”，若$3=9,56=36,則。7+制+。9=（)

A.63B.45

C.43D.27

［答案］B

［解析］由等差數(shù)列的性質知，S3,56—53,S9—§6成等差數(shù)列，.??2（S6—S3）=S3+（S9—S6）,；.aj+a?

+〃9=S9—§6=2(56—S3)—$3=45.

4.（2010.浙江省金華十校）等差數(shù)列｛斯｝中,S”是｛〃〃｝前〃項和，已知§6=2,S9=5,則$5=（)

A.15B.30

C.45D.60

［答案］A

§6—2

［解析］解法1:由等差數(shù)列的求和公式及「二知，

59=5

「.6X5,（1

6四十d=2?i=-27

<?9X8，j4，

9ai+~yd=5［仁力

.15X14

.?.515=15。］+-2~4=15.

5222

S63D---

解法2：由等差數(shù)列性質知，｛岸｝成等差數(shù)列，設其公差為力,59-=-96-9.D-

6-27

.,.得=號+6。=3+6><看=1,.".Sis-15.

5.（文）（2010?福建福州一中）設數(shù)列｛斯｝的通項公式為斯=20—4”,前〃項和為S”則S,中最大的是（）

A.S3B.S4或S5

（）

C.55D.S

［答案］B

［解析］由%=20-4〃N0得〃W5,故當〃>5時，a?<0,所以S4或S5最大，選B.

（理）（2010?山師大附中）已知｛〃"｝為等差數(shù)列，G+〃3+a5=105,42+。4+。6=99,以S”表不｛0｝的前"

項和，則使得S,達到最大值的“是（）

A.21B.20

C.19D.18

［答案］B

［解析］3d—（02+04+616）—（?1+A3+?5）—99—105——6,d——2,由ai+a3+a5=105得30+6d

=105,；.0=39,/.a,,=39-2（/1-1）=41~2n,

由%20,"GN得，"W20,：.a2o>O,a21c0,故選B.

6.（文）（2010.遼寧錦州）公差不為零的等差數(shù)列｛即｝中，2a3-a^+2au=0,數(shù)列｛d｝是等比數(shù)列，且

bi=aj,則bbb?=（）

A.2B.4

C.8D.16

［答案］D

［解析］：243—。72+20］=0,｛斯｝為等差數(shù)列，

2

.,.a7=2to+i7n）=4tZ7,

:｛兒｝為等比數(shù)列，格=如,：.ai^0,：.ai=4,

.?.岳=4,.，./76&8=^72=16.

（理）（2010.重慶市）己知等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S,”若S3、$9、S6成等差數(shù)列，則（）

A.Sb=—2s3B.S（>=—2s3

C.$6=權3D.S6=2$3

I答案］C

|解析I：S3、S9、S6成等差數(shù)列，，2S9=S3+S6,

?.3,是等比數(shù)列｛為｝前n項的和，.匕療二寸+/，

々WO,.26=1+43,"=1或一/k=1時，S3、S9、S6不成等差數(shù)列，應舍去，"=一；，

S6=（。1+。2+。3）+31+。2+。3）爐=S3（1+/）=^3.

7.（2010?重慶中學）數(shù)列｛斯｝中，0=3,42=7,當心21時，斯+2等于加斯+1的個位數(shù)字,則42010=（）

A.1B.3

C.7D.9

［答案ID

［解析］由條件知，6/1=3,<12=7,。3=1,。4=7,615=7,恁=9,617=3,...可見｛冊｝是周期為6的

周期數(shù)列,故。2010=06=9.

8.（2010?廣東五校、啟東模擬）在等差數(shù)列｛如｝中，?=-2010,其前"項的和為S”.若輸一黯=2

則$2010=()

A.-2010B.-2008

C.2009D.2010

［答案］A

［解析］..^009_52007

I用牛T"J,20092007=2

?,.(〃［+1004J)—(〃］+1003d)=2,J=2,

2010X2009

??82010=2010〃i?J=-2010.

2

9.（文）將正偶數(shù)按下表排成4歹lj：

第1列第2列第3列第4列

第1行2468

第2行16141210

第3行18202224

...2826

則2010在（）

A.第502行，第1列B.第502行，第2列

C.第252行，第4列D.第251行，第4列

［答案］C

|解析|2010是第1005個偶數(shù)，

又1005=8X125+5,故前面共排了125X2+1=251行，余下的一個數(shù)2010應排在第4列.

（理）已知數(shù)列｛〃〃｝滿足0=0,斯+］=如+2〃，那么42011的值是（）

A.2008X2009B.2009X2010

C.2010X2011D.2011X2012

［答案］C

［解析］解法1：0=0,672=2,43=6,44=12,考慮到所給結論都是相鄰兩整數(shù)乘積的形式，可變形

為：

41=0X1〃2=1義26=2X344=3X4

猜想。2011=2010X2011,故選D.

—

解法2：an~cin-1=2(n1),

an-\—an-2—2(〃—2),

。3一。2=2義2,

〃2—=2X1.

???斯=（?！?0LI）+（〃，L1一%-2）+…+（〃3一。2）+（〃2-+

=2[（/?—1）+（〃—2）+…+1].

（〃一1）（〃一1+1）

=22—1）.

Aa2oii=2OlOX2Oll.

10.在函數(shù)y=/（x）的圖象上有點列（X”,%）,若數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛），“｝是等比數(shù)列，則函數(shù)y

=/&）的解析式可能為（）

A./（x）=2x+1B.XJC）=4-v2

C.,Ax）=logsrD.犬x）=G｝

［答案］D

I解析］對于函數(shù)yu）=O上的點列（斯，?■）>有）%=住）"，由于｛%｝是等差數(shù)列，所以x〃+i—斯=",

兔+1

因此第=￥F=G｝"+1—X"=G>,這是一個與w無關的常數(shù)，故｛%）是等比數(shù)列.故選D.

二、填空題

11.一個等差數(shù)列前4項之和為26,最末4項之和為110,所有項之和為187,則它的項數(shù)為.

［答案］11

［解析］?.,01+42+43+44=26,a,t+an-1++cin-3=110,，0+勾尸心］一~=34,

又???&=」^~~-=187,：.n=\\.

11212312391

12.已知數(shù)列｛”"｝：2>3+r4+4+4-…,而+而+而+…+而，…，設4產(chǎn)蔡二？那么數(shù)列｛d｝

的前n項和Sn—.

4〃

［答案］

〃+1

,nn

I解析I由條件知斯=e+市卜干=1

4

?〃

?b=〃（〃+1）

4n

?+r

13.（09?上海）已知函數(shù)於）=sinx+tanx.項數(shù)為27的等差數(shù)列｛〃“｝滿足斯e（一全?，且公差.若

X?l）4-/612）H---H/327）=0，則當％=時，|或）=0.

［答案］14

［解析］..?y(x)=sirL￥+tanx為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，.\/(0)=0.

???｛?,｝為等差數(shù)列且dHO,

且共。1)+犬。2)H-----卜仙27)=0,

???知(1W27,〃eN*)對稱分布在原點及原點兩側

?\/(a】4)=0.

???左=14.

14.給定81個數(shù)排成如圖所示的數(shù)表，若每行9個數(shù)與每列的9個數(shù)按表中順序構成等差數(shù)列，且

表中正中間一個數(shù)。55=5,則表中所有數(shù)之和為.

anan…a\g

ai\〃22…。29

????????????

。91〃92〃99

［答案］405

［解析］S=(a“+…+。19)+…+(。91+…+。99)=9(。15+。25+…+。95)=9X9X々55=405.

三、解答題

15.(09?安徽)已知數(shù)列｛如｝的前〃項和S〃=2/+2小數(shù)列｛d｝的前〃項和Tn=2-hn.

(1)求數(shù)列｛斯｝與｛為｝的通項公式；

(2)設品=小2.瓦，證明：當且僅當時，c〃+i<c〃.

［解析］(l)〃i=Si=4,當時，?！?5“一*-1=2〃(〃+1)—2(〃-1)〃=4〃.

又。1=4適合上式，??.a”=4〃(〃￡N*).

將n=1代入Tn=2—b,n得bi=2—bi,

.\T\=b\=l.

當一22時,7^-1=2—/??-1,Tn=2—bn,

==

:?b〃Tn—Tn-\hn-\-b”,bn—~^)n-1,

in

bn=2~.

(2)解法1：由Cn=a??bn=*?25F,

得蜉4+》?

I4r~

當且僅當〃23時，1也，BPCn+\<Cn.

解法2：由Cn=(Xn,bn=?2-25”得，

C"+l—C“=24-”［(〃+1)2—2〃2］

=24~"［-(/7-1)2+2］.

當且僅當“，3時，c,i+|—c?<0,即C"+I<C".

16.(2010?山東)已知等差數(shù)列｛〃“｝滿足：s=7,偌+。7=26,｛4｝的前"項和為S..

⑴求anRS?；

(2)令b“=W77(〃eN*),求數(shù)列｛仇｝的前n項和T?.

［分析］(1)由條件和等差數(shù)列的通項公式可列出關于0、d的方程組解出卬和乩代入通項公式及前

〃項和公式可求得如，sn.

(2)由許可得瓦,觀察仇的結構特點可裂項求和.

［解析］(1)設等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為d,因為的=7,的+。7=26,

a\+2J—7

所以有解得。i=3,d=2.

2〃i+10J—26

所以斯=3+2(〃-1)=2"+1；S”=3〃+“(〃2"2

=n2+2n.

⑵由⑴知斯=2〃+1,所以劣=￡匕=而方=［4舄幣=需一擊)，

所以〃=撲一桿卜％”+卜擊)

=乂1—春)=^15，

即數(shù)列｛兒｝的前〃項和刀，=而飛.

［點評］數(shù)列在高考中主要考查等差、等比數(shù)列的定義、性質以及數(shù)列求和，解決此類題目要注意合

理選擇公式，對于數(shù)列求和應掌握經(jīng)常使用的方法，如：裂項、疊加、累積.本題應用了裂項求和.

17.(文)已知數(shù)列｛斯｝的各項均為正數(shù)，前”項和為S,”且滿足2S“=斯2+〃-4.

(1)求證｛為｝為等差數(shù)列；

(2)求｛?。耐椆?

［分析］利用斯與8的關系及條件式可消去S?(或許)，得到斯與斯-1(或S,與S〃_1)的關系式，考慮待

求問題，故應消去工.

［解析］(1)當〃=1時，有20=。/+1—4,即〃］2-20-3=0,解得0=33］=-1舍去).

當時,有2sLi=斯一5,又2s般=。/+〃—4,兩式相減得2〃〃=。,『一如一J+1,

即2知+1=?！?］2,也即(如-1)2=〃〃_］2,

因此an—1—dn-\或Cln~1=—?！币?.

若詼-1=一斯7,則斯+4-］=1,而。1=3,所以。2=—2這與數(shù)列｛&｝的各項均為正數(shù)相矛盾,所

以an—\=an-\,即an—an-\=l9因此｛斯｝為等差數(shù)列.

(2)由(1)知m=3,d=l,所以數(shù)列｛斯｝的通項公式斯=3+(〃-1)=〃+2,即%=〃+2.

(理)(2010?新課標全國)設數(shù)列｛斯｝滿足〃］=2,即+］—斯=3?22〃一】.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式;

(2)令b?=nan,求數(shù)列也｝的前n項和S?.

|解析］(1)由已知得，當”21時，

a，-1=［(斯+1—a”)+(%—a”-1)H---F(。2—a1)］+a1=3(22"1+22w3H----|-2)+2=22<n+lr

而ai=2,所以數(shù)列｛為｝的通項公式為a?=^'.

(2)由bn~ncin=n-2.~"‘知

S?=l-2+2-23+3-25H----

從而22-S?=l-23+2-25+3-27H----bn-22n+1.@

①一②得

(1-22)5?=2+23+25H---l-22,,-|-n-22,,+1.

=1(4n-l)-n-22n+l

=|(22n+l-2-3n-22n+l)

=|［(l-3n)2n+l-2］

?■?5?=1［(3n-l)22n+l+2］.

高考總復習函數(shù)的單調性與最值習題(附參考答案)

一、選擇題

1.已知兀v)=-x-/,xG［a,h］,且式“)皿與<0,則/x)=0在［a,加內()

A.至少有一實數(shù)根B.至多有一實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.有唯一實數(shù)根

［答案］D

I解析］???函數(shù)凡*)在［a,切上是單調減函數(shù)，

又丸a),冊)異號.二於)在［a,句內有且僅有一個零點,故選D.

2.(2010?北京文)給定函數(shù)①②y=log1(x+1),③>=僅-1|,@y=2x+x,其中在區(qū)間(0,1)上單

調遞減的函數(shù)的序號是()

A.①②B.②③

C.③④D.①④

［答案］B

［解析］易知>=《在(0,1)遞增，故排除A、D選項；又y=log1(x+l)的圖象是由y=log|x的圖象向

左平移一個單位得到的，其單調性與y=log|x相同為遞減的，所以②符合題意，故選B.

3.(2010?濟南市模擬)設)，1=0.4；,”=0.5；,乃=0.5：,則()

A.>'3<j2<yiB.丫|勺2勺3

C.j2<j3<yiD.?勺3勺2

［答案］B

11

［解析］,.?y=0.5*為減函數(shù)，...為5了0.59

?.?>=￡在第一象限內是增函數(shù)，

二0.4；<0.5；,故選B.

\(a—2)x—1xW］

4.(2010?廣州市)已知函數(shù)，若?r)在(-8,+8)上單調遞增，則實數(shù)〃的取值

Ilog,/x>\

范圍為()

A.(1,2)B.(2,3)

C.(2,3］D.(2,+8)

［答案］C

I解析］在R上單調增，

a>\

a-2>0,

.(a-2)Xl-l<logfll

.?.2<aW3,故選C.

5.(文)(2010?山東濟寧)若函數(shù)段)=9+2x+Hax在(0,1)上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.B.aWO

C.a2一4D.aW—4

［答案］D

Gi.?IG］

［解析］:,函數(shù)火jOuV+Zx+alru在(0,1)上單調遞減，，當xd(0,l)時,/'(x)=2x+2+f=--------------

<0,...g(x)=2f+2x+aW0在xG(0,l)時恒成立，

.?.g(O)WO,g(l)W0,即aW—4.

(理)已知函數(shù)尸tans在(甘，號內是減函數(shù)，則3的取值范圍是()

A.0〈①B.-1WG<0

C.co2lD.coW—1

［答案］B

［解析］55在(一看號上是減函數(shù)，

/.①<0.當-時，有

兀一兀neo^Tt

5、兀

殍i—2

.'K兀?兀，.*.—1WCO<0.

一產(chǎn)q

<co<0

2

6.（2010?天津文）設a=log54,/?=（log53）,c=log45,則（）

A.a<c<hB.h<c<a

C.a<b<cD.b<a<c

I答案］D

［解析］VI>log54>log53>0,/.Iog53>（log53）2>0,而log45>l,c>a>b.

7.若於）=d-6奴的單調遞減區(qū)間是（一2,2）,則a的取值范圍是（）

A.（一8,0］B.［-2,2］

C.{2}D.［2,+8）

［答案］C

［解析］/（幻=3/—6〃，

若aWO,則/a）NO,?,?危）單調增，排除A；

若4>0,則由/'（x）=0得X=±V^,當九V—4五和五時，/'（x）>0,/（X）單調增，當一，五

時,X%）單調減,

.7/U）的單調減區(qū)間為（一，五，4五），從而，五=2,

??4=2.

［點評］/U）的單調遞減區(qū)間是（一2,2）和犬X）在（-2,2）上單調遞減是不同的，應加以區(qū)分.

8.（文淀義在R上的偶函數(shù)?在［0,+8）上是增函數(shù)，若,）=0,則適合不等式小。號x）>0的x

的取值范圍是（）

A.（3,+°°）B.（0,1）

C.（0,+8）D.（0,1）U（3,+8）

［答案］D

［解析］...定義在R上的偶函數(shù)段）在［0,+8）上是增函數(shù)，且舄=0,則由穴log1）>0,得|log4|>4,

D2727,

即log，x>w或log，x<一選D.

27J27J

（理）（2010?南充市）已知函數(shù)段）圖象的兩條對稱軸元=0和％=1,且在x￡［—l⑼上7U）單調遞增，設a

=A3）,6=/卜準），c=/（2）,則a、b、c?的大小關系是（）

A.a>h>cB.a>c>h

C.b>c>aD.c>b>a

［答案］D

［解析］:/u)在［-1,0］上單調增，兀0的圖象關于直線x=o對稱，

在［0,1］上單調減；又貝x)的圖象關于直線x=l對稱，

..../(X)在［1,2］上單調增，在［2,3］上單調減.

由對稱性大3)=穴-1)=式1)寸也)勺(2),

即a<b<c.

f+4x,xNO,

；"I若負2—〃)>火/，則實數(shù)〃的取值范圍是()

{4x~x~,x<0.

A.(-8,-1)U(2,+8)

B.(-1,2)

C.(-2,1)

D.(-8,-2)U(1,4-00)

［答案］C

［解析］時，氏r)=『+4x=(x+2)2-4單調遞增，且大x)'O；當x<0時，貝的=4*一*=一(》一

2)2+4單調遞增，且式x)<0,在R上單調遞增，由.穴2一層)次〃)得2—/>a,

10.(2010?泉州模擬)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+y)=/(x)+/b，)，當x<0時，犬x)>0,則函數(shù)火x)在

［a,切上有()

A.最小值4a)

B.最大值1A力

C.最小值人力

D.最大值產(chǎn)要)

［答案］C

［解析］令x=y=O得，式0)=0,

令、=一%得，式0)=/(尤)+I/(一笛，

?\/(—x)=1/U)?

對任意X1,X2GR且X1<X2,,

yui)一/2)=/ai)+y(—、2)

=%］一短)>0,?\AX1)/M)，

.\/U)在R上是減函數(shù)，

???兀0在［a,加上最小值為貝加.

二、填空題

11.(2010?重慶中學)已知函數(shù)段)=ax+§—4(”，匕為常數(shù))，4g2)=0,貝"/)=.

［答案］一8

I解析］令9(x)=ox+與，則1(x)為奇函數(shù)，兀r)=9(x)—4,

V/(lg2)=^(lg2)-4=0,?.p(lg2)=4,

.?*J)=/(Tg2)=9(-lg2)-4

=-p(lg2)—4=—8.

12.偶函數(shù)/(x)在(一8,0］上單調遞減，且式X)在［-2,網(wǎng)上的最大值點與最小值點橫坐標之差為3,

則k=.

［答案］3

［解析］；偶函數(shù)怨)在(-8,0］上單調遞減，.\/U)在［0,+8)上單調遞增.

因此，若ZW0,則4一(-2)=%+2<3,若Q0,:/)在［-2,0］上單調減在［0,一幻上單調增，,最小

值為火0),又在［-2,內上最大值點與最小值點橫坐標之差為3,.0=3,即無=3.

13.函數(shù)_AX)=M不在(-8,—3)上是減函數(shù)，則。的取值范圍是.

［答案］(—8,一§

［解析］,?7U)=a一女士1在(-8,—3)上是減函數(shù)，.??3〃+1<0,...〃<一；.

XIJJ

14.(2010?江蘇無錫市調研)設是給定的常數(shù)，/)是R上的奇函數(shù)，且在(0,+8)上是增函

數(shù)，若■/(；)=。，./Uog〃)>。，則f的取值范圍是.

［答案I(1,+)u(o,也)

|解析IXlog?0>0,即Alog")習(J),

,.求尤)在(0,+8)上為增函數(shù)，.Fog.斗

*.*0<a<1,0<t<y［a.

又人勸為奇函數(shù)，.=-/(J)=o,

:奇函數(shù)火X)在(0,+8)上是增函數(shù),

二段)在(一8,0)上為增函數(shù)，二0>lOgQ一5,

'."0<0<1,\<t<q=,

綜上知，0</<也或l<r寸^

三、解答題

15.(2010.北京市東城區(qū))已知函數(shù)兀r)=log“(x+l)-log“(l-x),a>0且aWl.

(1)求/(x)的定義域；

(2)判斷7(x)的奇偶性并予以證明；

(3)當a>\時，求使於)>0的x的取值集合.

［解析］(1)要使火x)=log"(x+l)—log?(l—x)有意義，則

x+l>0

,解得一

1-x>0

故所求定義域為｛x|—14V1｝.

(2)由(1)知於)的定義域為閔一14<1｝,

且犬—X)=1O閾(一x+1)—log，1+x)=一［log“a+1)—log?(l—x)］=—fix),故/(x)為奇函數(shù).

⑶因為當。>1時，7U)在定義域｛x|—1<X<1｝內是增函數(shù)，

x+1

所以兀v)>0o=>l.

解得0<v<l.

所以使/(x)>0的x的取值集合是｛x|0<x<l｝.

1——mx

16.(2010,北京東城區(qū))己知函數(shù)/U)=1ogwp丁是奇函數(shù)(tf>0,。云1).

(1)求相的值；

(2)求函數(shù)犬X)的單調區(qū)間；

(3)若當xW(l,2)時，火x)的值域為(1,+8),求實數(shù)〃的值.

］—nix1+iTix

I解析］(1)依題意，,八一X)=一/(x),即共x)+K—x)=0,即log囁二丁+log,=7=0,

1—tnx1+〃優(yōu).r°14、

7=1，(1~m2)x~=0怛成立，

1—m2=0,??.m=-1或相=1(不合題意，舍去)

］+尤

當,"=一1時，由不了>0得，xG(—8,-1)U(1,+8),此即函數(shù)人元)的定義域，

又有人一x)=-Ax),

???加=-1是符合題意的解.

??1+x

(2)?/u)=iog?n，

-l1(x-1)—(x+1),2log(?e

=7TTa-ip*=1

①若a>l,則log〃e>0

當xG(l,+8)時，1T<O,.(x)<0,危)在(1,+8)上單調遞減，

即(1,+8)是大》)的單調遞減區(qū)間；

由奇函數(shù)的性質知，(-8,—1)是犬X)的單調遞減區(qū)間.

②若0<4Z<1,則lOg</<0

當Xd(l,+8)時，1一*<0,：.f'(X)>0,

/.(I,+8)是y(x)的單調遞增區(qū)間；由奇函數(shù)的性質知，(一8,一1)是4x)的單調遞增區(qū)間.

(3)令z=』1+x=l+言2，則，為龍的減函數(shù)

VxG(l,t7—2),

???/￡(1+黃^，+8)且。>3,要使火X)的值域為(1,+8),需log”。+總')=1,解得〃=2+小.

1-a

17.(2010?山東文)已知函數(shù)?r)=lnx—ar+-^-l(“GR).

(1)當〃=一1時，求曲線y=/U)在點(2,犬2))處的切線方程；

(2)當時，討論兀r)的單調性.

2

[解析](l)a=—1時，J(x)=\nx+x+-—l9xG(0,+°°).

x—2

/a)=-p—,20,+°°),

因此f'(2)=1,

即曲線)，=<x)在點(2,42))處的切線斜率為1.

又J2)=ln2+2,

所以尸危)在(2,42))處的切線方程為>—(ln2+2)=x-2,

即x—y+ln2=0.

(2)因為j[x}=\nx-ax-\-—^—1,

“，，1a—1ax2—x+1-a

所以/，(x)=--?+^2-=------p-----xS(0,+8).

令^(X)=6?JV2—x+1—a,

①當a=0時，g(x)=\~x,x￡(0,+~),

當xW(0,l)時,g(x)>0,f(x)<0,1/(x)單調遞減;

當xG(l,+8)時，g(x)<0,此時f'(x)+,丸功單調遞增;

②當nWO時，/(幻=〃/-1)比一(5-1)],

（1）當〃=2時，g（x）》O恒成立，f（x）^0,共x）在（0,+8）上單調遞減；

（ii）當0<吃時，1>1>0,

—（0,1）時,g（x）>0,此時石（x）〈0,4x）單調遞減；

XG（1,1―1）時，g（x）<0,此時/'（x）>0,y（x）單調遞增；

xe（^-l,+8）時，g（x）>0,此時,（x）<0,穴x）單調遞減；

③當“<0時，!-1<0,

xG（0,l）時,g（x）>0,有/（x）<0,兀v）單調遞減

x￡（l,+8）時，g（x）<0,有了'（x）>0,<x）單調遞增.

綜上所述：

當時，函數(shù)段）在（0,1）上單調遞減，（1,+8）上單調遞增；

當“=￡時，y（x）在（0,+8）上單調遞減；

當0<“<1時，式外在（0,1）上單調遞減，在（1,5一1）上單調遞增，在（!一1，+8）上單調遞減.

注：分類討論時要做到不重不漏，層次清楚.

高中數(shù)學高考總復習充分必要條件習題（附參考答案）

一、選擇題

1.（文）已知4、匕都是實數(shù)，那么“於爐”是“〃>少，的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］D

［解析］?>"不能推出a泌,例：（-2）2>12,但一2<1；a9不能推出。2乂九例：>—2,但收（一2）2,

故。2>〃是4的既不充分也不必要條件.

（理）“|無一1|<2成立”是“尤（無-3）<0成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

I答案］B

［解析］由任一1］<2得一2<%—1<2,—l<r<3；

由x（x—3）<0得0<v<3.

因此“僅一1|<2成立”是“x（x—3）v0成立”的必要不充分條件.

2.（2010?福建文）若向量a=a,3）（xWR）,則“尸4”是“悶=5”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

［答案］A

［解析］當x=4時，|a|=A/42+32=5

當⑷="\/小+9=5時,解得x=±4.

所以“x=4”是“⑷=5”的充分而不必要條件.

3.（文）已知數(shù)列｛m｝,“對任意的“GN*,點P”（〃,a“）都在直線y=3x+2上”是“｛斯｝為等差數(shù)列”

的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

［答案］A

［解析］點HG，斯）在直線y=3x+2上,即有斯=3〃+2,則能推出｛斯｝是等差數(shù)列；但反過來，｛斯｝

是等差數(shù)列，如=3〃+2未必成立，所以是充分不必要條件，故選A.

（理）（2理0?南充市）等比數(shù)列｛為｝中,“0<的”是“。5<。7”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分與不必要條件

［答案］C

I解析］在等比數(shù)列中，qWO,

4.（09?陜西）“心〃>0”是“方程版+町2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］C

［解析］由，〃>〃>0可以得方程如2+〃）2=1表示焦點在），軸上的橢圓，反之亦成立.故選C.

5.（文）設集合A=｛.*￡Y<0｝,5=｛x|0a<3｝,那么“〃?GA”是“mEB”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］A

［解析］,.,A={A-|0<A-<1},/.AB,故“mWA"是"WB”的充分不必要條件,選A.

（理）（2010?杭州學軍中學）已知〃?，"GR,則"m#0或〃#0”是“如?#0”的（）

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

［答案］A

I解析］六0=，"工0且”W0,故選A.

TT

6.（文）（2010.北京東城區(qū)）“尸是"函數(shù)產(chǎn)sin2x取得最大值”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

［答案］A

■JTjrjr

［解析］x=W時，y=sin2x取最大值，但y=sin2%取最大值時，2x=2E+］,k《Z,不一定有x=［

（理）"。=爭是"tan6=2cos《+。）”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

［答案］A

［解析］解法―中為方程tane=2cos（S+。）的解，

...。=華是tan0=2cosg+0）成立的充分條件；

又???。=號也是方程tane=2cos（S+。）的解，

。=用不是lanO=2cos（j+，）的必要條件，故選A.

解法2：Vtan^=2cos^y+,

sin0=O或cosO=—

方程tane=2cos（^+0的解集為

8=Z兀或夕=2%社,兀，kGZj,

顯然｛爭｝A,故選A.

7."根=3"是"直線（，”+2）x+3/ny+1=0與直線（血-2）x+（〃?+2）y—3=0相互垂直”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

［答案］B

［解析］兩直線垂直的充要條件是（m+2）（5-2）+3制，“+2）=0即機=；或m=—2,...〃?=；是兩直線

相互垂直的充分而不必要條件.

8.（2010?浙江寧波統(tǒng)考）設川，"是平面a內的兩條不同直線，l\,A是平面夕內兩條相交直線，則a

邛的一個充分不必要條件是（）

A.l\LnB.ZH±/I，m-Lh

C.nA-hD.mHR、/i_Ln

［答案］B

［解析］當mJJi,mJ_/2時，??1與/2是4內兩條相交直線，，加，人???〃?Ua,??.aLg,但a_L￡時,

未必有機_L/］,mL12.

9.（2010?黑龍江哈三中）命題甲：弓）?…；浮成等比數(shù)列；命題乙：Igx,lg（x+l）,lg（x+3）成等差數(shù)

列，則甲是乙的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

I答案］B

［解析］由條件知甲：

2（1—x）=—x+x2,解得x=l或一2；

命題乙：21g（x+l）=lgx+lg（x+3）,

7X+1)2=X(X+3)

x+l>0

x>0

<x+3>0

???甲是乙的必要不充分條件.

10.（2010?遼寧文，4）已知。＞0,函數(shù)人工）=加+法+。若的滿足關于x的方程2ar+Z?=0,則下列

選項的命題中為假命題的是（）

A.BxeR,式x）W_/（xo）

B.SxSR,y（x）》Hxo）

C.VxCR,./（x）W_/Uo）

D.VxCR,y（x）電xo）

［答案］c

［解析］,:f'3=2ax+b,

又2a須）+方=0,二有/'（M））=0

故;（x）在點項處切線斜率為0

'.'a>0J（x）=ajr+bx+c

二力>0）為式x）的圖象頂點的函數(shù)值

為（冽）恒成立

故C選項為假命題，選C.

［點評J可以用作差法比較.

二、填空題

11.給出以下四個命題：

①若pVg為真命題，則pAg為真命題.

②命題“若AC3=A,則AU8=B”的逆命題.

③設a、b、c分別是△ABC三個內角A、B、C所對的邊，若〃=1,b=小,則4=30。是8=60。的必

要不充分條件.

④命題”若式x）是奇函數(shù)，則火一x）是奇函數(shù)”的否命題，

其中真命題的序號是.

［答案］②③④

［解析］①...pVq為真，二。真或q真，故p/\q不一定為真命題，故①假.

②逆命題：若AUB=8,則4nB=A,：AUB=B,：.AP\B=A,故②真.

③由條件得，￡=黑9=小，當8=60。時，有sin/l=g,注意b>a,故A=30。；但當A=30。時，有sinB

=勺，B=60°,或B=120。.故③真；

④否命題：若/（X）不是奇函數(shù)，則五一X）不是奇函數(shù)，這是一個真命題，假若八一X）為奇函數(shù)，則咒一（一

x）］=—X）,即正一x）=—/（尤），二/U）為奇函數(shù)，與條件矛盾.

12.（文）設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意〃、6GP,都有。十氏a—b、ab、狂P（除數(shù)

br0）,則稱P是一個數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域.有下列命題：

①數(shù)域必含有0,1兩個數(shù)；

②整數(shù)集是數(shù)域；

③若有理數(shù)集QUM,則數(shù)集M必為數(shù)域；

④數(shù)域必為無限集；

其中正確命題的序號是.（把你認為正確命題的序號都填上）

［答案］①④

I解析］結合題設的定義，逐一判斷，可知①④正確.

（理）設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意a、AGP,都有。+尻（除數(shù)匕￥0）,

則稱P是一個數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集尸