高中數(shù)學(xué)仿真模擬試題二理 試題

創(chuàng)作；朱本曉

2022年元月元日

普通高等招生全國(guó)統(tǒng)一考試仿真模擬（二）

理科數(shù)學(xué)

第一卷（一共60分）

一、選擇題：本大題一一共12個(gè)小題，每一小題5分，一共60分.在每一小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)里面，只有一項(xiàng)是哪一項(xiàng)符合題目要求的.

s={「2},T={x|x2<4x-3},那么SAT=（）

A.{l}B.也}C.1D.2

2.（2021?模擬）復(fù)數(shù)z=（a+i）Cl-i）,a=R,i是虛數(shù)單位.假設(shè)|J=2,那么a=（）

A.1B.-1C.0D.±1

3.（2021?質(zhì)檢）某公司為了增加其商品的銷售利潤(rùn)，調(diào)查了該商品投入的廣告費(fèi)用x與銷

售利潤(rùn)y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：

廣告費(fèi)用X（萬(wàn)元）2356

銷售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）57911

由表中數(shù)據(jù)，得線性回歸方程I：

y=bx+a,b=i=i/_\,a=y-bx，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()

111(匯)|||

JI

A.b>0B.a>0c.直線I過點(diǎn)(4,8)D.直線I過點(diǎn)(2,5)

{a}為等差數(shù)列，a+a=1,2+2=9,那么2+2=()

n23101156

A.4B.5c.6D.7

(\[logx,x>0,1

5.(2021?質(zhì)檢)函如3=(05*<0,那么f(|(f(|(2拋=(

11

A.4艮TC.-4D.-

44

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6.一個(gè)幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的外表積為（）

A.9+石B,18+2^C.96+3D.186+2

7.(2021?實(shí)戰(zhàn)考試)直線ax+y—1=0與圓C:(x—1)2+(y+a)2=1相交于A,B，且

△ABC為等腰直角三角形，那么實(shí)數(shù)a的值是（）

1

A.一或者—1B.-1C.1或者—1D.1

7

8?按如下的程序框圖，假設(shè)輸出結(jié)果為273,那么判斷框應(yīng)補(bǔ)充的條件為（）

A.i>7B.i>7c.i>9D.i>9

P—ABC,在底面△ABC中，三A=60三B=90,BC=73,PAJ平面ABC,

PA=2,那么此三棱錐的外接球的體積為（）

A.8MB.4出幾J苧D.8幾

33

io.（2021?統(tǒng)測(cè)）過點(diǎn)A（Z'Q）的直線I與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,與直線l,：y=25交

于點(diǎn)C,且點(diǎn)C在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)|OB|二x,假設(shè)f（x）=|OB|+|OCI，那

么函數(shù)y=f（x）的圖象大致為（）

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o123456：〃123456%°、2345670123456*

A.B.C.D.

11.（2021?模擬）雙曲線”一心1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的間隔等于它到漸

a2b2

近線間隔的2倍，那么其漸近線方程為（）

A.2x±y=0B.x±2y=0c.4x±3y=0D.3x±4y=0

12.（2021?一監(jiān)）偶函數(shù)《XWXHO）的導(dǎo)函數(shù)為f（x）,且滿足f（1）=0,當(dāng)X>0時(shí)，

xf（x）<2f（x）,那么使得f（x）>0成立的X的取值范圍是（）

A.（-oc,-H）J（0,1）B.（-X,-1）（_/1,+OO）

C.（一1,0必（1,+oc）D.（-

第二卷（一共90分）

二、填空題（每一小題5分，滿分是20分，將答案填在答題紙上）

13.（2021?監(jiān)測(cè)）向量mN（入+1,1）,心（為+2,2）,假設(shè)（rrT+n）/（m-n）,那么

入=?

[x-y-2>0,

x,y滿足條件僅一2?0,那么z=x+3y的最小值為__________.

卜+1>0,

15.（2021?模擬）（x2+X+lll-X卜展開式中X2的系數(shù)為_________.

:a；的前n項(xiàng)和為S,且滿足a=1,a=2S（nwN?），那么a=

nn1IH-1nn

三、解答題（本大題一一共6小題，一共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或者演算

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步驟.)

cosB2cosA

17.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,-=cosC

2a-bc

a

(i)求一的值；

b

(2))假設(shè)角A是鈍角，且c=3,求b的取值范圍.

18.某人經(jīng)營(yíng)一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，顧客花費(fèi)2元錢可購(gòu)置一次游戲時(shí)機(jī)，每次游戲中，顧客從裝

有」個(gè)黑球，3個(gè)紅球，6個(gè)白球的不透明袋子中依次不放回地摸出3個(gè)球(除顏色外其他都

一樣)，根據(jù)摸出的球的顏HY況進(jìn)展兌獎(jiǎng).顧客獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、四等獎(jiǎng)時(shí)分

別可領(lǐng)取獎(jiǎng)金a元，10元、5元、1元.假設(shè)經(jīng)營(yíng)者將顧客摸出的3個(gè)球的顏HY況分成以

下類別：A：1個(gè)黑球，2個(gè)紅球；B：3個(gè)紅球：C：恰有1個(gè)白球；D：恰有2個(gè)白球；

E：3個(gè)白球，且經(jīng)營(yíng)者方案將五種類別按照發(fā)生時(shí)機(jī)從小到大的順序分別對(duì)應(yīng)中一等獎(jiǎng)、

中二等獎(jiǎng)、中三等獎(jiǎng)、中四等獎(jiǎng)、不中獎(jiǎng)五個(gè)層次.

(1)請(qǐng)寫出一至四等獎(jiǎng)分別對(duì)應(yīng)的類別(寫出字母即可)；

(2)假設(shè)經(jīng)營(yíng)者不打算在這個(gè)游戲的經(jīng)營(yíng)中賠本，求a的最大值；

(3)假設(shè)a=50,當(dāng)顧客摸出的第一個(gè)球是紅球時(shí)，求他領(lǐng)取的獎(jiǎng)金的平均值.

19.(2021?二模)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是菱形，=DAB=60,

PDJ平面ABCD,PD=AD=1,點(diǎn)E,F分別為AB和PD中點(diǎn).

P

(1)求證：直線AF//平面PEC；

(2)求PC與平面PAB所成角的正弦值.

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20.(2021?調(diào)研)設(shè)直線I:y=k(x+I)(k豐0)與橢圓X2+4y2=m2(m>0)相交于A,

B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(2)假設(shè)AC=3CB,求^OAB的面積獲得最大值時(shí)橢圓的方程.

21.(2021?廣西質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)=clnx+1-X2+bx(b,c=R,c豐0),且x=1為f(x)

2

的極值點(diǎn).

(1)假設(shè)x=1為f(x)的極大值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間(用C表示)；

(2)假設(shè)f(x)=。恰有兩解，務(wù)實(shí)數(shù)C的取值范圍.

請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題答題，假如多做，那么按所做的第一題記分.

22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

(x=1+cosa

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(,.仁(a為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為

|y=sma

極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線I的極坐標(biāo)方程為psin(|(9+「1=k2.

(1)求曲線C和直線I在該直角坐標(biāo)系下的普通方程：

(2)動(dòng)點(diǎn)A在曲線C上，動(dòng)點(diǎn)B在直線I上，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,2),求|PB|+|AB|的

最小值.

23.選修4-5：不等式選講

,ifia,b,c=R+且a+b+c=1.

Q2_1

(1)求證：2ab+be+ca+_三_；

22

⑵求證：…+b2+%+C2+b之2.

bca

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試卷答案

一、選擇題

1-5:BDDAB6-10:BCBAB11,12：CD

二、填空題

13.014.-215.316.a；

n>2.

三、解答題

cosB2cosAcosC

17.解析：（1：

2abc

.\c（cosB-2cosA）=cosC（2a-b）,

在△ABC中，由正弦定理有，

sinCcosB-2sinCcosA=2sinAcosC-sinBcosC,

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2022車元月元日

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即sin（B+C）=2sin（A+C）,

A+B+C=幾，

a

/.sinA=2sinB,=2.

b

（2）由余弦定理

巾仙=加+9-m=6+9-加=9-3b2想。

%.2AA6b

b>/3,①

b+c>a,

b+3>2b,

二.b想3,②

由①②得b的范圍是（石,3）.

Ci.C23

W-13--,

C3C3

1010

P（B）=9=_L,

C3C3

1010

C3C3

1010

p（D）=c：&+c；）=e

C3C3

1010

P（E）=_2=2,

C3C3

1010

???P（B）想P（A）想P（E）想P（C）想P（D）.

中一至四等獎(jiǎng)分別對(duì)應(yīng)的類別是B,A,E,C.

（2）設(shè)顧客進(jìn)展一次游戲經(jīng)營(yíng)者可盈利X元，那么

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創(chuàng)作；至本鹿

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13203660

P

C3C3C3C3C3

1010101010

.?.-L^-a+2—24—60+36+120)>0,

C3

10

a共74,即a的最大值為74兀.

CICl.Cl2

（3）此時(shí)中一等獎(jiǎng)的概率P=:-41?二等獎(jiǎng)的概率「=21---------=—；

1C2c22C2C2

9999

Ci（C+C2）18

中三等獎(jiǎng)的概率P=0,中四等獎(jiǎng)的概率P=622=——，

34c2c2

99

.?.150人1+10人2+0+1人18）=50+380元，

C2369

9

22

即此時(shí)顧客領(lǐng)取的獎(jiǎng)金的平均值為元.

9

19.解析：（1）證明：作FM//CD交PC于M.

?..點(diǎn)F為PD中點(diǎn)，

1

FM=-CD.

2

..?點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，

AE=1AB=FM,

2

又AE//FM,

二四邊形AEMF為平行四邊形,

AF//EM,

???AF億,平面PEC,EM彳二平面PEC,

...直線AF//平面PEC.

創(chuàng)作；至本嘵

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如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

那么p(0,0,1),c(0,1,0),E(W2-J0J0))||,A(||(B洲.

所以，AP=(||(^J,1))11^=(0,1,0),

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為：n=(x,y,z),

(|h.AB=0,

||n.AP=0,

|ly=0,

-(?

解得；n=1Q，2州，

一(@

所以平面PAB的法向量為：n=?1,0,-1|.

VPC=(O,1,-1),

，設(shè)向量n和PC的夾角為9,

n."PCJ42

8S9=j.----------,

|眄14

^42

???PC與平面PAB所成角的正弦值為

14-

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20.解析：（1）依題意，直線I顯然不平行于坐標(biāo)軸，故y=k（x+1）可化為x=1工一1.

k

1

將x二一y-1代入X2+4y2=rm,消去x,

k

得（1+4k?）yz—2ky+k2（1—rr）2）=0,①

由直線I與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),

(1—m?)(1+4k2)>04k2

編=4k?—4k2整理得作>-----

1+4k2

(2)設(shè)A(X,y),B(x,y).由①，得y+y=------,

1122121+4k2

因?yàn)锳C=3CB,得y=—3y,代入上式，得y=-^-

1221+4k2

帝什利_1

于是，aOAB的面積S=-pC.|y|—y'2R*

21221+4k241kl2

其中，上式取等號(hào)的條件是4k2=1,即卜=士一.

2

——k1

由y二------，可得y=士一.

21+4k224

,11,11

y=及k=-y=一

224224

5

這兩組值分別代入①，均可解出m2=一.

2

所以，^OAB的面積獲得最大值時(shí)橢圓的方程是

28

—X2+-y2=1.

55

21.解析：L（x）=叱x+b=X2+bx+c又f,⑴=0,

XX

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那么b+c+1=0,所以f(x)=(x-^x-c,且

X

(1)因?yàn)閤=1為Kx))的極大值點(diǎn)，所以c>1,

r

當(dāng)0vxv1時(shí)，f(x)>0；當(dāng)1<x<c時(shí)，f(x)<0;

當(dāng)x>c時(shí)，f'(x)>0,

所以<x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(c,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(1,c).

(2)①假設(shè)C<0,那么《X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+oc)上單調(diào)遞增，

f(x)=0恰有兩解，那么《1)<0,那么L+b<0,

2

所以一」<c<0；

2

②假設(shè)0<c<1,那么f(x)=f(c)=clnc+lc2+bc,f(x)=f(1)="b,

極大值2極小值2

因?yàn)閎=-1-c，那么f(x)=cInc-1-C)=CInc-C<0,

極大值22

f(x)=—1.=-c,從而f(x)=0只有一■解；

極小值2

幽設(shè)c>1,那么f(x)=cInc-1-c)=cInc-c-^<0,

極小值22

f(X)=一1一c,那么f(x)=0只有一解.

極大值2

綜上，使《X)=0恰有兩解的C的取值范圍為一L<c<o.

2

(X=1+COSCC

22.解析：(1)由曲線C的參數(shù)方程〈可得，

[y=sincx

(x-1>+y2=cos2a+sin2a=1,

所以曲線c的普通方程為(x-l)2+y2=1.

由直線I的極坐標(biāo)方程Psir?0+

I4J

可得p(sin。+cosO)=4,即x+y=4.

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（2）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為Q（a,b）,

(-2+42+b_4

|22(a=2,

那么

b-2解得I=6

)

IIIa-(-2,

由（1）知，曲線C為圓，圓心坐標(biāo)為C（1,o）,

故|PB|+|AB|=|QB|+|AB|>pC|-1=回―1.

當(dāng)Q,B,A,C四點(diǎn)一共線，且A在B,C之間時(shí)，等號(hào)成立，

所以|PB|+|AB|的最小值為4匚1.

23.證明：(1)因?yàn)?=(a+b+ch=a?+b2+C2+2ab+2bc+2ca>4ab+2bc+2ca+年,

所以2ab+be+ca+