高中數(shù)學(xué)函數(shù)解析(文)

函數(shù)

【知識點】

一、函數(shù)的概念：

1.映射：

一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A

中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A7B

為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應(yīng)關(guān)系)：A(原象)7B(象”'

對于映射￡1-6來說，則應(yīng)滿足：

(1)集合力中的每一個元素，在集合Z?中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合/中不同的元素，在集合8中對應(yīng)的象可以是同一個；

(3)不要求集合6中的每一個元素在集合A中都有原象。

2.函數(shù)的概念：

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個

數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AfB為從集合A到集合B

的一個函數(shù).記作：y=f(x),xGA.

其中，X叫做自變量，X的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做

函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)|xCA｝叫做函數(shù)的值域.

函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.

3.如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等.

4.函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.

1.設(shè)函數(shù)/(X)對任意X、y滿足f(x+y)=f(x)+/(y),且〃2)=4,則〃-1)=(A)

A.-2B.±-C.±1D.2

2

2.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(A)

x2-4[x(x>0)

A<x)=l,g(x)=x0B.J(x)=x+2,g(x尸...-C.7(jr)=|x|,g(x)=\尸尤,

x-21-x(x<0)

g(x)=(4)2

二、定義域及值域的求法：

1定義域的求法

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)X的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時，列不等式

組的主要依據(jù)是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1；

(5)指數(shù)為零，底不可以等于零；

(6)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部

分都有意義的x的值組成的集合；

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

2值域的求法：

(1)觀察法：

通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。

(2)配方法:

(二次或四次)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；

常轉(zhuǎn)化為含有自變量的平方式與常數(shù)的和，型如：/(幻=依2+法+,/€(加,〃)的形

式，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的最值。

⑶換元法:

代數(shù)換元法通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的：三角代換法可將代數(shù)函數(shù)

的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，化歸思想。

(4)分離常數(shù)法：

對某些分式函數(shù)，可通過分離常數(shù)法，化成部分分式來求值域。

(5)反求法：

通過反解，用y來表示X,再由X的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍；常

用來解，型如：y=

cx+d

(6)判別式法：

若函數(shù)產(chǎn)f(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程a(y)x+6(y)x^c(y)

=0,則在a(y)WO時，由于x、y為實數(shù)，故必須有4=爐(y)—4a(y)?c(y)》0,從

而確定函數(shù)的最值，檢驗這個最值在定義域內(nèi)有相應(yīng)的x值。

(7)最值法：

對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值，并與邊

界值f(a),f(b)作比較，求出函數(shù)的最值，可得到函數(shù)y的值域。

(8)基本不等式法：

k

轉(zhuǎn)化成型如：y=x+2(Z>0),利用基本不等式公式來求值域。

x

(9)單調(diào)性法：

函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。

如果函數(shù)尸f(x)在區(qū)間[a,加上單調(diào)遞增，在區(qū)間"，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)片在

x=b處有最大值；

如果函數(shù)片/'(x)在區(qū)間[a,6]上單調(diào)遞減，在區(qū)間"，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)尸f(x)在

2b處有最小值F(力

(10)數(shù)形結(jié)合：

根據(jù)函數(shù)圖象或函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。

(11)構(gòu)造法：

根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。

(12)導(dǎo)數(shù)法：

利用導(dǎo)數(shù)求值域。

1.已知函數(shù)/(幻的定義域為[0,4],求函數(shù)y=/(x+3)+/(x2)的定義域為()

A.[-2,-1]B.[1,2]C.[-2,1]D.[-1,2]

2.函數(shù)y=43—的值域為[0,2]

3

邛-1,xW0,(一8,一

/(尤)=?_i，若/(%)>1,則無o的取值范圍是

0.

4.函數(shù)y=|x+l|+|x-2|的值域為-3,+8)

5、12012高考山東文3】函數(shù)〃x)=——+J4—W的定義域為

ln(x+l)

(A)[-2,0)U(0,2](B)(-1,0)U(0,2](C)[-2,2](D)(-l,2]

【答案】B

【解析】方法一：特值法，當(dāng)％=-2時，/(x)=ln(x+l)無意義，排除A,C.當(dāng)x=0時,

/(O)=ln(O+l)=lnl=O,不能充當(dāng)分母，所以排除D,選B.

x+1>0x>-l

方法二：要使函數(shù)有意義則有Jn(x+1)HO,即(xHO，即一1<X<0或0<XK2,

4-x2>0-2<x<2

I、

選B.

三、解析式的求法：

1.待定系數(shù)法：

已知函數(shù)圖象，確定函數(shù)解析式，或已知函數(shù)的類型且函數(shù)滿足的方程時，常用待定

系數(shù)法。

2.函數(shù)性質(zhì)法：

如果題目中給出函數(shù)的某些性質(zhì)(如奇偶性、周期性)，則可利用這些性質(zhì)求出解析式。

3.圖象變換法：

若給出函數(shù)圖象的變化過程，要求確定圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式，則可用圖象變換法。

4.換元法：

5.配湊法：

6.賦值(式)法：

1.(07安徽)圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為()

3

A.y=-\x-1\(0WxW2)

33

B.y=---\x-\\(0WxW2)

3

C.y=-—1x-11(0WxW2)

D.y=1—|X—11(0WxW2)

答案B

2.12012高考重慶文12】函數(shù)/(x)=(x+a)(x—4)為偶函數(shù)，則解析式為一一

【答案】/(—x)=/(x),a=4f(x)=(x+4)(x-4)

3.曲線y=d-尤+3在點(1,3)處的切線方程為.

3.2x-y+l=0

4.如果函數(shù))的圖象與函數(shù)g(x)=3-2x的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則)，=/")的表

達式為()

A.y=2x-3B,y=2x+3C.y=-2x+3D.y=-2x-3

四、函數(shù)圖象:

1.定義：

在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù),&GA)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值，為縱坐標(biāo)

的點P4,力的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(xGA)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)底,力均滿足

函數(shù)關(guān)系產(chǎn)反過來，以滿足的每一組有序?qū)崝?shù)對八y為坐標(biāo)的點小，y),

均在C上.

2.畫法：

(1)描點法：

(2)圖象變換法：

常用變換方法有三種：平移變換、伸縮變換、對稱變換

3.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

1.12012高考四川文4】函數(shù))，="一。(。＞0,。工1)的圖象可能是()

【答案】C

【解析】當(dāng)。＞1時單調(diào)遞增，一。＜0,故A不正確；因為

y=a*-a(a＞0,aHl)恒不過點(1,1),所以B不正確；當(dāng)0＜。＜1時

單調(diào)遞減,，一1＜一。＜0故C正確；

2.(2012年高考(四川文))函數(shù)丁=優(yōu)一。(。＞0,。/1)的圖象可能是C

3.(2009山東卷文)函數(shù)y=-----的圖像大致為().

e-e

答案A.

解析函數(shù)有意義，需使/-e-,HO,其定義域為{x|xwo},排除C,D,又因為

y==三二」=1+-7=~,所以當(dāng)x>0時函數(shù)為減函數(shù)，故選A.

ex-e-xe2x-\e2r-l

【命題立意】：本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).本題的難點

在于給出的函數(shù)比較復(fù)雜，需要對其先變形,再在定義域內(nèi)對其進行考察其余的性質(zhì).

4.(07安徽)圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為

3

A.y-(0WxW2)

33

B.^=———|x-11(0WxW2)

3

C.^=--|x-l|(0WxW2)

D.^=l-|x-l|(0WxW2)

答案B

五、函數(shù)的單調(diào)性：

1.定義：

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量

xi,x2,當(dāng)xi〈X2時，都有f(xi)〈f(xz),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間Q稱為y=f(x)

的單調(diào)增區(qū)間.

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值Xrxz,當(dāng)xKx?時，都有f(xi)>f(xj,那

么就說/Y/在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間必稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性旅

2.圖象的特點：

如果函數(shù)y=F⑨在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)在這一區(qū)間上具有

(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右

是下降的.

3.函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法：

(1)定義法：

①任取X1,X2GD,且X1〈X2；②作差f(X)-f(X2)；

③變形(通常是因式分解和配方)；(4)定號(即判斷差f(xj-f(x”的正負)；

⑤下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

(2)圖象法(從圖象上看升降)

4.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

⑴若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù),則/(x)+g(x)在這個區(qū)間上也為增(減)

函數(shù)；

(2)若/(x)為增(減)函數(shù)，則—/(x)為減(增)函數(shù)；

⑶若/(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則y=/［g(x)］是增函數(shù)；若/(x)與g(x)的單調(diào)性不

同，則y=/［g(x)］是減函數(shù)；其規(guī)律：“同增異減”

(4)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；

(5)常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域與最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象;

(6)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集。

1.下列四個函數(shù)：①y=---;②y=③y=-(x+l)2；@y=----+2,其

x-1\-x

中在(90,0)上為減函數(shù)的是(A)o

(A)①(B)④(C)①、④(D)①、②、④

2.已知/(幻=(x-2)2,xe［-1,3］,函數(shù)/(x+1)的單調(diào)遞減區(qū)間為「一2,11

3.(07天津)在R上定義的函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，且/(x)=/(2—x),若/(X)在區(qū)間［1,2］

是減函數(shù)，則函數(shù)/(%)()

A.在區(qū)間［-2,—1］上是增函數(shù)，區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

B.在區(qū)間［-2,-1］上是增函數(shù)，區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

C.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

I).在區(qū)間［-2,—1］上是減函數(shù)，區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

答案B

4.(2005年上海13)若函數(shù)/(x)=w，u，則該函數(shù)在(-8,2)上是()

A.單調(diào)遞減；無最小值B.單調(diào)遞減；有最小值

C.單調(diào)遞增；無最大值D.單調(diào)遞增；有最大值

答案A

5.(2009廣東三校一模)設(shè)函數(shù)/(x)=(l+x)2—21n(l+x).

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

解(1)函數(shù)的定義域為(-I,y),/'(x)=2(》+1)-+=當(dāng)/.

由/'(九)>0得x>0；

由廣(x)<0得一1<x<0,則增區(qū)間為(0,+8)，減區(qū)間為(一1,0).

6函數(shù)y='x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為(B)

2

A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+8)D.(0,+8)

7.(2012年高考(山東文))已知函數(shù)，(幻=虹些"為常數(shù),e=2.71828是自然對數(shù)的底

ex

數(shù))，曲線y=/*)在點處的切線與x軸平行.

(I)求力的值；

(II)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

1,,

--uXX—K.,

71.解：(I)f\x)=^--------，由己知，/(1)=-=0,A^=1.

ee

1?t

(ID由(D知，f\x)=^-------.

e

設(shè)k(x)=1-InX-1,則N(x)=即k(x)在(0,+oo)上是減函數(shù)，

XXX

由MD=0知，當(dāng)0<x<l時k(x)>0,從而f\x)>0,

當(dāng)x>1時k(x)<0,從而/'(x)<0.

綜上可知，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(l,+oo).

六、函數(shù)的奇偶性：

1.定義：

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個X,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫

做偶函數(shù).

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個X,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就

叫做奇函數(shù)

2.具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

3.判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；

②確定f(-x)與f(x)的關(guān)系；

③作出相應(yīng)結(jié)論：若f(一x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù)；

若f(—X)=—f(x)或f(―x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).

4.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

(1)如果一個奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個函數(shù)y=/(x)既是奇函數(shù)

又是偶函數(shù)，則/(x)=0(反之不成立)

(2)兩個奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶函數(shù)。

(3)一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

(4)兩個函數(shù)>=/(〃)和〃=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該

復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

(5)若函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則/(x)可以表示為

/(x)=；"(》)+/(-^)]+|[/W-/(-初，

該式的特點是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。

(6)若函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，則/'(x+a)=/(—x-a)；

若函數(shù)y=/(x+4)是偶函數(shù)，則/(x+a)=f(-x-\-d).

(7)多項式函數(shù)的奇偶性

多項式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)=P(x)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.

多項式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)=P(x)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.

I.12012高考陜西文2】下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()

,,1.?

A.y=x+lB.y=-x'C.y=—D.y=x|九|

x

【答案】D.

【解析】根據(jù)奇偶性的定義和基本初等函數(shù)的性質(zhì)易知A非奇非偶的增函數(shù)；B是奇函數(shù)

無2r>0

且是減函數(shù);C是奇函數(shù)且在(—8,0),(0,+8)上是減函數(shù);D中函數(shù)可化為y=4；一

-x,x<0

易知是奇函數(shù)且是增函數(shù).故選D.

2.(2012年高考(上海文))已知y=/(x)是奇函數(shù).若g(x)=/(尤)+2且g⑴=1.，則

g(T)=______12.g(T)=4-g⑴=3

3.試判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)/(x)=|x+2|+|x-2|;(2)/(加四三；(3)/(x)=^(x-l)°.

|x+3|-3x

3.ft?：(1)函數(shù)的定義域為R,x)=|—x+2|+|—x—2|=|x—2|+|x+2|=/(x),

故為偶函數(shù).

(2)由(一八得：—14x41且XH0,定義域為[-1,0)U(0,1],關(guān)于原點對稱，

[|x+3|-3Ho

/(x)=j—;二」—―，/(-X)=X=-f(x)?故/(X)為奇函數(shù).

(3)函數(shù)的定義域為(-8,0)U(0,1)U(1,+8),它不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)既非奇函數(shù),

又非偶函數(shù).

七、函數(shù)的周期性：

1.定義：

一般地，對于函數(shù)/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值

時，都有/(x+T)=/(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做函數(shù)的周期。

2.函數(shù)周期性的性質(zhì)：

(1)對于非零常數(shù)A,若函數(shù)y=/(x)滿足/(x+A)=-/(x),則函數(shù)y=/(x)必有一個

周期為2A。

(2)對于非零常數(shù)A,函數(shù)y=/(x)滿足/(x+A)=」一，則函數(shù)y=/(x)的一個周期為

/(x)

2A。

(3)對于非零常數(shù)A,函數(shù)y=〃x)滿足〃幻=---,則函數(shù)y=〃x)的一個周期為2A。

/(x)

3.對稱性和周期性之間的聯(lián)系：

(1)函數(shù)y=f(x)有兩根對稱軸產(chǎn)a,產(chǎn)6時，那么該函數(shù)必是周期函數(shù)，且對稱軸之間距

離的兩倍必是函數(shù)的一個周期。

(2)函數(shù)y=/(x)滿足/(4+#+/(4—幻=0和/3+*)+/仍一幻=0(aW6)時，函數(shù)

y=/(x)是周期函數(shù)。

(函數(shù)y=/(x)圖象有兩個對稱中心(a,￡)、"，-)時，函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，

且對稱中心距離的兩倍，是函數(shù)的一個周期。)

(3)函數(shù)y=/(x)有一個對稱中心(a,c)和一個對稱軸x=。)(a#8)時，該函數(shù)也是

周期函數(shù)，且一個周期是4S-“)

1.(2009山東卷理)定義在R上的函數(shù)fi(x)滿足出x)=4°g2(l-“)，x"°,

則f(2009)的值為()

A.-lB.0C.lD.2

答案C

解析由已知得/(-i)=iog22=1,y(o)=o,/(i)=/(o)-/(-i)=-i,

/(2)=/(1)-/(0)=-l,/(3)=/(2)一/⑴=—1—(—1)=o,

/(4)=./?⑶-/(2)=0-(T)=1,〃5)=/(4)-/⑶=1,/(6)=〃5)-/(4)=0,

所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).，所以f(2009)=f(5)=1,故選C.

【命題立意】：本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對數(shù)的運算.

2.(2009廣東三校一模)定義在火上的函數(shù)/(x)是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則

/⑴+/(4)+/(7)等于()

A.-lB.0C.1D.4

答案B

八、一次函數(shù)：

形如y=kx+b,k,bwR,kW0的函數(shù)

九、二次函數(shù)：

1.一般式：f(x)=ax~++C,6Z0

2

2.頂點式：f(x)=a(x—m)+n9a^0

3.零點式：f(x)=a(x-Xj)(x-x2),a^0

十、反比例函數(shù)：

k

形如y=—WO的函數(shù)

X

1.我們常用分離常數(shù)的方法將一個分式型函數(shù)轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)來研究:

a,adbad

(zcx+d)+b-

ax-Vhccacr1

=—+---M(〃,CWO)

cx+dcx-Vdc.d

x-\——

與bb_d_?)

a(x+%+一a(

aax-\rbaa(a

或：)=_(1+一)，+cac3*0)

cx+d,dcd,cl

c(x+)x+X+%+

ccc

-\^一■、指數(shù)函數(shù):

1根式的性質(zhì)：

①(必)"=a；

②當(dāng)〃為奇數(shù)時，折=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時，底7=|a|=("(a~0)

l-tz(a<0)

2.指數(shù)函數(shù):

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=a'(a>0且aH1)叫做指數(shù)函數(shù)

a>10<a<l

J[21r

圖象

(0,1)

2__.

AX

定義域R

值域(0,+8)

過定點圖象過定點(0,1),即當(dāng)x=0時，y=l

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在火上是減函數(shù)

ax>1(x>0)ax<1(x>0)

函數(shù)值的

優(yōu)=](=0)ax=1(x=0)

變化情況x

ax<\(x<0)ax>1(x<0)

a變化

對圖象在第一象限內(nèi)，。越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低

的影響

十二、對數(shù)函數(shù)：

1.對數(shù)：

①定義：如果a（a>0,且。聲1）的b次嘉等于N,就是a〃=N,那么數(shù)b稱以a為底N的

對數(shù)，記作log。N=b，其中a稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)

1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，logioN記作IgN；

2）以無理數(shù)e（e=2.71828…）為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，log,N,記作InN

②基本性質(zhì)：

1）真數(shù)N為正數(shù)（負數(shù)和零無對數(shù)）；

h

2）對數(shù)恒等式：log01=0,log,,a=l,。嚏"N=N,logaa=b

3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log“Naa'=N（a>0,aHl,N>0）

③運算性質(zhì)：

如果a>0,a，l,M>0,N>0,那么

1）加法：log“M+log?N=log"（MN）

M

2）減法：logaM-log“N=log?—

3）數(shù)乘：nlogrtM=log“M"（nGR）

4）換底公式：log“N=?（a>0,aH0,m>0/nH1,N>0）；

log,”a

ll

log“b10g,<7=1；logb"=—log?b

zm

2.對數(shù)函數(shù)：

logflx>0(x>l)log?x<0(x>l)

函數(shù)值的logx=0(x=l)logx=0(x=l)

變化情況aa

log。x<0(0<JC<1)log“x>0(0<x<1)

a變化

對圖象在第一象限內(nèi)，。越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，。越大圖象越靠高

的影響

十三、幕函數(shù):

1.某函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=/叫做事函數(shù)，其中x為自變量，。是常數(shù).

2.暴函數(shù)的圖象|

3.幕函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：

幕函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.基函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布

在第一、二象限（圖象關(guān)于y軸對稱）；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點

對稱）；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限.

②過定點：

所有的暴函數(shù)在（0,+°。）都有定義，并且圖象都通過點（1,1）

③單調(diào)性：

如果a>0,則募函數(shù)的圖象過原點，并且在［0,+8）上為增函數(shù).如果a<0,則塞

函數(shù)的圖象在（0,+8）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.

④奇偶性：

當(dāng)a為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時，幕函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)儀=幺（其中p心

P

互質(zhì)，”和qeZ）,若“為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則〉=》"是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)（7為偶數(shù)時,

幺1

則y=x°是偶函數(shù)，若P為偶數(shù)令為奇數(shù)時，則y=x0是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：

幕函數(shù)y=xa,xe(0,+8),當(dāng)&>1時，若其圖象在直線y=x下方，若

x>l,其圖象在直線y=x上方，當(dāng)a<l時，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若

x>l,其圖象在直線y=x下方.

十四、復(fù)合函數(shù)：

1.定義：

設(shè)y=f(u)的定義域為A,u=g(x)的值域為B,若A2B,則y關(guān)于x函數(shù)的y=fEg(x)］

叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.

2.定義域：

⑴已知CO的定義域為(a,b),求用劭的定義域的方法：

實際上是已知中間變量的〃的取值范圍，即空w(a,*),昉，

通過解不等式a<B(x)<五求得義的范圍，即為及底》的定義域。

(2)已知/38)的定義域為(a,b),求的定義域的方法：

實際上是已知直接變量X的取值范圍，即xwQfc協(xié)。先利用avxv,求得gG)的

范圍，則&G)的范圍即是/(x)的定義域。

3.值域：

關(guān)鍵是由里向外，逐層解決。

4.解析式：

(1)己知/(X)求復(fù)合函數(shù)加的解析式，直接把了(X)中的X換成g)即可.

⑵已知mo)］求/⑸的常用方法有：配湊法和換元法。

1、配湊法就是在加0)］中把關(guān)于變量X的表達式先湊成身。)整體的表達式，再直接把

的)換成戈而得了(X)

2、換元法就是先設(shè)雙X)='，從中解出文(即用t表示M),再把M(關(guān)于t的式子)

直接代入力X*)］中消去“得到了(0,最后把/夕)中的，直接換成x即得了G)

5.單調(diào)性：

(1)引理證明：

已知函數(shù)y=/(g(x)).若〃=g(x)在區(qū)間)上是減函數(shù)，其值域為(c,d),又

函數(shù)y=/(〃)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))在區(qū)間(。為)上

是增函數(shù).

(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷：

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個圖表:

y=/(?)增/減、

u=g(x)增/減、增/減、

y=/(g(x))增/減、減、增/

以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.

(3)復(fù)合函數(shù))，=/(g(x))的單調(diào)性判斷步驟：

1、確定函數(shù)的定義域；

2、將復(fù)合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：>=/(“)與“=8(幻。

3、分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性；

4、若兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同(即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù))，則復(fù)合后

的函數(shù)y=/(g(x))為增函數(shù)；若兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異(即一個是增函數(shù),

而另一個是減函數(shù))，則復(fù)合后的函數(shù)y=/(g(x))為減函數(shù)。

6.奇偶性：

(1)若內(nèi)函數(shù)為偶函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)的奇偶性與外函數(shù)無關(guān)，必為偶函數(shù)；

(2)若內(nèi)與外函數(shù)都為奇函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)也是奇函數(shù)；

(3)若內(nèi)函數(shù)為奇函數(shù)，外函數(shù)為偶函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)必為偶函數(shù)。

除以上類型外，其它類復(fù)合函數(shù)的奇偶性和須嚴(yán)格按函數(shù)奇偶性定義來判斷。

十五、反函數(shù)：

1.定義：

一般地，對于函數(shù)y=f(x),設(shè)它的定義域為D,值域為A。如果對于A中的任意一

個值丁，在D中總有惟一確定的x值與它對應(yīng)，使y=/(x),這樣得到x關(guān)于丁的函

數(shù)叫函數(shù)J=f(X)的反函數(shù)。記作X=f-'(y).習(xí)慣上，把它改寫為J=f-'(x)(XGA)。

2.求反函數(shù)的基本步驟：

(1)求值域：求原函數(shù)的值域

(2)反解：視y為常量，從y=/(x)中解出唯一表達式x=/T(y),

(3)對換：將x與y互換，得y=/T(x),并注明定義域。

3.反函數(shù)丁=.尸(力與原函數(shù)y=/(x)的關(guān)系：

(1)y=/T(x)的定義域、值域分別為y=/(x)的值域、定義域。

(2)若y=存在反函數(shù)，且y=/(x)為奇函數(shù)，則y=/T(x)也為奇函數(shù)。

(3)若＞="X)為單調(diào)函數(shù)，則了=/T(X)同y=〃x)有相同的單調(diào)性。

(4)丫=/(九)和丁=廣|(刈在同一直角坐標(biāo)系中，圖像關(guān)于y=x對稱。

4.存在反函數(shù)的條件是：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)(或一一對應(yīng))

例【2012高考全國文2】函數(shù)y=Jx+l(xN-l)的反函數(shù)為

(A)y-x1-l(x>0)(B)y-x2-l(x>1)

(C)y=x2+l(x>0)(D)y=x2+l(x>1)

【答案】B

函數(shù)練習(xí)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題4分，共48分)

1.己知集合A={x|x<3},B={X|2"T>1},則()

A.{x|x>l}B.{x|x<3}C.{x[l<x<3}D.0

2函數(shù)〃x)=—!—+14-f的定義域為()

ln(x+l)

(A)[-2,0)U(0,2](B)(-1,0)U(0,2](C)[-2,2](D)(-l,2]

1—JC2,xWl,(1、

3設(shè)函數(shù)/(x)=,則/的值為()

X2+X-2,X>1,'1/(2)J

D.18

有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）.

.，x2

A.y=l,>=一B.y-y/x-YJrJx+l,y-Jx-1

x

C.y=x,y=V?D.y=|xI,y=(GA

6.函數(shù)凡v）=lnr—嚏的零點所在的區(qū)間是

A.(O,1)B.(l,e)C.(e,3)D.(3,+oo)

7.已知f（五+l）=x+l,則f（x）的解析式為（）

A.x'B.x2+1（x^l）C.x2—2x+2（x2l）D.x2—2x（x^l）

8.一等腰三角形的周長是20,底邊y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，它的解析式為（）

A.y=20-2x(x^l0)B.y=20-2x(x<10)

C.y=20-2x(5WxW10)D.y=20-2x(5<x<10)

9.函數(shù)/@）=1°81（1_*）5+3）的遞減區(qū)間是（）

A.(-3,-1)B.(-8,-1)C.(-8,-3)D.(-1,一8)

10.若函數(shù)f（x）=l+1是奇函數(shù)，則m的值是（）

A.0B.-C.1D.2

2

(3a-Dx+4a,x<l

11.己知凡r)=《、是R上的減函數(shù)，那么。的取值范圍是()

log”X9X71.

A.(0,l)B.(0,1)C.［|,|)D.［1,1)

12.定義在R的偶函數(shù)段)在［0,+oo)上單調(diào)遞減，且心=0,則滿足"。蠢)<0的x的

集合為()

A.(-8,1)U(2,+OO)B.(1,1)U(1,2)C.(1,1)U(2,+OO)D.(0,1)U(2,

+oo)

二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13?若(a+l)T<(3一2/，則a的取值范圍是?

14、若4=0.53,匕=3