新課標(biāo)Ⅰ高考數(shù)學(xué)試卷押題卷A 含解析

2017年考試大綱修訂內(nèi)容：

1.進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)“雙基”一一即基本知識(shí)，基本一技能的考查，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)

用，注重?cái)?shù)學(xué)能力的考查.

2.全國(guó)卷采用12個(gè)選擇題，4道填空題，5道必選題，另外加后面的2選1（極坐標(biāo)與參

數(shù)方程，和絕對(duì)值不等式兩道題目中選做其中一道），共150分，用時(shí)2個(gè)小時(shí).

3.2017年新考綱變化有：（1）注重?cái)?shù)學(xué)文化的考查；（2）試卷最后的選做題由原來(lái)的2

選1變成2選1,刪掉了平面幾何的選考.

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

第1卷

一、選擇題（共7.小題，每小題6分，滿分42分）

1.在選擇題中常考查的知識(shí)點(diǎn)

（1）基礎(chǔ)題一一集合與簡(jiǎn)易邏輯，充分必要條件，復(fù)數(shù)的引入，三視圖，已經(jīng)各種

視圖，數(shù)列，程序框圖，函數(shù)圖像及性質(zhì)等

（2）中檔題一一統(tǒng)計(jì)概率，三角函數(shù)，不等式與線性規(guī)劃，直線與圓的位置關(guān)系，

立體幾何中的點(diǎn)，線，面的關(guān)系等。

（3）爬坡題一一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，圓錐曲線，以及函數(shù)綜合問(wèn)題.

2.本押題卷嚴(yán)格按照新課標(biāo)I要求的高考考點(diǎn)和題量、分值出題，嚴(yán)格遵照新考綱要求，

體現(xiàn)考綱遍變化，注重雙基考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)能力的理解與應(yīng)用。出題新穎，部分

題目為原創(chuàng)試題.

1.已知集合，3={x|x21},貝U“xeA且xeB”成立的充要條件是（）

A.-1<XW1B.x<lC.x>-1D.

—1<x<1

【解析】由已知條件，可以得到“xeA且的等價(jià)條件，也就是充要條件.

【解答】若滿足xeA,則x>—1,若x任B,則％<—1,所以滿足題意的x的范圍是

-1<%<1.這也就是“1€4且1e8”的等價(jià)條件.故選擇D選項(xiàng).

【說(shuō)明】本題考查集合和運(yùn)算與充要條件.

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（l-i）=l+i,則z的共甄復(fù)數(shù)是（）

A.1B.-1C.iD.-i

【解析】由條件Z（l-i）=l+i,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可以得到復(fù)數(shù)z,進(jìn)一步得到其共軌復(fù)數(shù).

【解答】由題意得，z（l—i）=l+i=z=±U=i'一則z的共朝復(fù)數(shù)是T,故選D.

1—i

【說(shuō)明】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

3.在等差數(shù)列｛a.｝中，2（弓+4+%）+3（%+/）=36,則1=（）

A.8B.6C.4D.3

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的基本性質(zhì)，從而得到6,進(jìn)一步得，2,于是得到.

【解答】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知：

2（4+%+%）+3儂+a10）=2x3a3+3x2佝=6（a3+%）=6*24=12%-36,:.a6=3

本題選擇D選項(xiàng).

【說(shuō)明】本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì).

4.假設(shè)小明訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：30-7：30之間把報(bào)紙送到，小

明離家的時(shí)間在早上7：00-8：00之間，則他在離開(kāi)家之前能拿到報(bào)紙的概率（）

1127

A.-B.—C.—D.一

3838

。【解析】將送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間與小明離家的時(shí)間作為點(diǎn)的坐標(biāo)，該坐標(biāo)（X,y）充滿一個(gè)

區(qū)域，而滿足條件“小明在離開(kāi)家之前能拿到報(bào)紙”的點(diǎn)（x,y）則在另一個(gè)區(qū)域，根

據(jù)幾何概型得到概率.

【解答】設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為x,小明離家的時(shí)間為y,記小明離家前能拿到報(bào)紙為事件

A；以橫坐標(biāo)表示報(bào)紙送到時(shí)間，以縱坐標(biāo)表示小明離家時(shí)間，建立平面直角坐標(biāo)系，小明

離家前能得到報(bào)紙的事件構(gòu)成區(qū)域如圖示：由于隨機(jī)試驗(yàn)落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能

的，所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意，只要點(diǎn)落到陰影部分，就表示小明在離開(kāi)家前能

1,x,11——1X—1X—7

得到報(bào)紙，即事件A發(fā)生，所以P（A）=--------222=，故選c.

v71x18

【說(shuō)明】此題為幾何概型，將送報(bào)人時(shí)間和小明離家時(shí)間建立直角坐標(biāo)系，分析可得試驗(yàn)

的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域并求出其面積，同理可得時(shí)間A所形成的區(qū)域和面積，然后由幾何

概型的公式即可解得答案

5已知圓,：八八1‘點(diǎn)P為直線下臺(tái)1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向圓C引兩條切線

為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).（）

【解析】對(duì)于點(diǎn)，根據(jù)題意得到四點(diǎn)共圓，從而以PC為直徑的圓的方程為

[x—（2—m）丁+（丁—修）=（2y+1,將該圓與圓。：必+丁2=1聯(lián)立，兩式相減

得到相交弦所在直線方程.

【解答】設(shè)P（4—2加,加），是圓。的切線，；.。1，口4,。3，2&，48是圓。與

以PC為直徑的兩圓的公共弦，可得以PC為直徑的圓的方程為

卜-（2-*+[—j=（2-/+￡，①

又x2+y2=1,②①-②得AB:2(2—間x+小y=l,可得滿足上式'

即A5過(guò)定點(diǎn)故選B.

【說(shuō)明】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，如直線與圓相切，以及兩個(gè)圓相交的相交

弦方程.

6.已知某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

*

L-1-'?

■-6-***"6^

1L視四例祝劉

A.16B.32C.48D.

144

【解析】根據(jù)三視圖恢復(fù)幾何體的原貌，即可得到幾何體的體積.

【解答】由三視圖知：幾何體為四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，如圖：

其中BC=2,AD=6,AB=6,SA±平面ABCD,SA=6，：.幾何體的體積

1OiA

V=-x------x6x6=4.故選：C.

32

【說(shuō)明】本題考查三視圖以及幾何體的體積.

7.函數(shù)的圖象大致是（）

【解析】本題可以充分利用選項(xiàng)的漸近線以及函數(shù)在一定的區(qū)域上的符號(hào)即可以判斷，如:

當(dāng)當(dāng)時(shí)，恒有，故排除選項(xiàng)D等等.

【解答】因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除C；當(dāng)時(shí)，恒有，故排除D；

時(shí)，，故可排除B；故選A.

【說(shuō)明】本題考查函數(shù)的圖像.

8.設(shè)。>Z?>l,c<0,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①相>1；②a。<b。；③10gb(a-c)>log〃(/2-c)；@ab~c>aa~c.

其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①②B.②③C.①②③D.

②③④

【解析】根據(jù)不同的比較，構(gòu)造相關(guān)的函數(shù)，如需判斷“優(yōu)<"”的真假，可以構(gòu)造函數(shù)

y=x,，需判斷"logb(a-0)>陶色-c)”的真假,可以構(gòu)造函數(shù)y=log/.

【解答】因?yàn)椤?gt;人>1,。<0,所以①丁=/為增函數(shù)，故a'<a°=l,故錯(cuò)誤

②函數(shù)y=為減函數(shù)，故屋<8’,所以正確

③函數(shù)y=log/為增函數(shù)，^La-c>b-c,故k)g"(a-c)>k>g"(Z?-c),故正確

④函數(shù)>=優(yōu)為增函數(shù)，a-c>b-c,故(廢y,故錯(cuò)誤

【說(shuō)明】本題考查鼎函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及相關(guān)圖像性質(zhì)

9.當(dāng)“=4時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為()

【解析】逐步執(zhí)行框圖中的循環(huán)體，直到跳出循環(huán)體，可以得到.

【解答】第一次循環(huán)，s=2,左=2,第二次循環(huán)，s=6,左=3,第三次循環(huán)，s=14,左=4,

第四次循環(huán)，s=30,左=5,5>4結(jié)束循環(huán)，輸出s=30,故選D.

【說(shuō)明】本題考查程序框圖.

22

10.已知雙曲線二-與=1(。〉0］〉0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為小居，以線段耳工

ab

為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為若片H"K|=2"該雙

曲線的離心率為e,則e?=()

cV2+1-3+2V2

A.2B.--------C.----------D.

22

A/5+1

2

【解析】由已知條件求出圓的方程和直線方程,聯(lián)立求出在第一象限的交點(diǎn)M坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間

距離公式,求出離心率的平方.涉及的公式有雙曲線中。2=02—/,e=￡，兩點(diǎn)間距離公

a

式，求根公式等.

【解答】以線段44為直徑的圓方程為V+y=02,雙曲線經(jīng)過(guò)第一象限的漸近線方程

bx1+y2=c1

為丁=—X，聯(lián)立方程｛b，求得“（a,4，因?yàn)閨肛卜|班|=2匕，所以有

。y=1x

a

J(a+c『+/_{("(:)2+Z?2=2b

又。2=c2_q2,e=￡，平方化簡(jiǎn)得e_e2_i=o，由求根公式有=@±1(負(fù)值舍

a2

去）.選D

【說(shuō)明】本題主要以雙曲線的離心率為載體設(shè)問(wèn)，考查雙曲線的定義以及雙曲線與直線的

位置關(guān)系.

11.把平面圖形M上的所有點(diǎn)在一個(gè)平面上的射影構(gòu)成的圖形叫做圖形M在這

個(gè)平面上的射影，如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中，AB=5,AD=4,AE=3,

則AEBD在平面EBC上的射影的面積是（)

C.10D.30

【解析】解決本題的關(guān)鍵找到點(diǎn)D在平面EBC上的射影在面EBC與面CDHG的交線上,

進(jìn)而利用三角形“等底同高”即等面積法可解決問(wèn)題.

【解答】在長(zhǎng)方體ABCD—EFGH中，AB=5,AD=4,AE=3,DE=^31+42=5,

EB=』￥+寧=用,DB=752+42=741,由題意可知點(diǎn)。在平面￡BC上的射影在

面EBC與面CDHG的交線上，則AEBD在平面E6C上的射影與AE5C等底同高，故其

面積為S='xBCxEB=,故選A.

2~

【說(shuō)明】本題主要考查了圖形"'在圖形"在這個(gè)平面上的射影的概念，本質(zhì)為線面垂直

判定的延伸，考查了學(xué)生理解轉(zhuǎn)化問(wèn)題和空間想象的能力.

lnx(x>0)i,

12.函數(shù)/(x)={G(X<0)與g(x)=［Zl|x+a|+l)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.,3-21n2]B.[3-21n2,+oo)+ooD.

「00,一五]

【解析】首先轉(zhuǎn)化題意，要使函數(shù)與g(x)=g(|x+H+l)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),

只需g(x)關(guān)于y軸的對(duì)稱的函數(shù)/<x)=g(|x—4+1)圖象與y=/(x)的圖象有交點(diǎn)，從

而利用數(shù)形結(jié)合即可得到本題的答案.

X

要使函數(shù)與g(x)=g(|x+a|+l)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，只需g(x)關(guān)于y軸的

對(duì)稱的函數(shù)/?(x)=g(|x—a|+1)圖象與y=4}的圖象有交點(diǎn)即可，即設(shè)

丁=工(％-。+1)與丁=111%相切時(shí)，切點(diǎn)為(/，山與)，則^-=，,％=2,又點(diǎn)(2,ln2)與

2Xn2

ln2—11

a,g］兩點(diǎn)連線斜率

————=a=3-21n2,由圖知a的取值范圍是[3-21n2,+8)

時(shí)，函數(shù)/z(x)=g(|x—4+1)圖象與y=/(x)的圖象有交點(diǎn)，即a范圍是［3—2山2,+8)

lnx（x>0）與g(x)=g(|x+a|+l)的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn),

時(shí),函數(shù)〃x）={

_J_犬（九?0）

故選B.

【說(shuō)明】本題主要考查數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想.導(dǎo)數(shù)以及直線斜率的靈

活應(yīng)用，屬于難題

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分).

1.在填空題中?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)

(1)基礎(chǔ)題一一二項(xiàng)式定理，平面向量.

(2)中檔題一一不等式，線性規(guī)劃.

(3)爬坡題一一立體幾何，推理與論證.

2.本押題卷嚴(yán)格按照新課標(biāo)I要求的高考考點(diǎn)和題量、分值出題，嚴(yán)格遵照新考綱要求，

體現(xiàn)考綱遍變化，注重雙,基考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)能力的理解與應(yīng)用。出題新穎，部

分題目為原創(chuàng)試題.

13.在數(shù)列中，，，，則.

【解析】由等比數(shù)列定義可得數(shù)列的首項(xiàng)和公比,進(jìn)一步得到

【解答】由題意得數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，因此從而正確答案為54.

14.已知向量。是單位向量，向量b=倒,2⑹若心(2。+》)，則。，匕的夾角為

【解析】由向量的垂直以及向量的數(shù)量積，體現(xiàn)條件,

解答

aJ_（2a+/?卜.a+Z?）=0,2a2+a-/?=02xl2+lxJ22cos（a力）=0

IO-rrO?rr

00$（〃,少=一5「?（〃力）=5，貝UQ,b的夾角為T(mén).

15.二項(xiàng)式2人-多的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)

(yxJ

為—160,貝

【解析】由題設(shè)得2"=64,則九=6,進(jìn)一步得到常數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式，即

(-?)326-3Cg=-160,也即4=1=4=1.

【解答】由題設(shè)。可得2"=64,則〃=6；由于展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式是

1_.(二丫

(6r6r3r

(+1=禺26fm〃_ax2=(_t7)2-q%-,令3—r=0可得r=3,由題意

I)

36

(-fl)2-t6=-16,即/之=20,也即a3=ioa=i,應(yīng)填答案1。

x>0

16.已知實(shí)數(shù)無(wú),y滿足｛y>Q,則葉生把的取值范圍是（）

X+1

x

+2<i

34

23

A.-,UB=.[3,11]C.1,11D.[1,11]

【解析】根據(jù)線性約束條件得到可行域，而％+2-+3=]+2（1+1）.其中1±1表示兩點(diǎn)

x+lx+lX+1

（羽y）與（-1,-1）所確定直線的斜率.

【解答】"+2丁=1+2/+1）.其中Z±L表示兩點(diǎn)（%,日與（-1,-1）所確定直線的斜

X+1X+1X+1

-1-01-1-42+1

率，由圖知，kmin=kPB-?max=5,所以的取值范圍是

-1-34-1-0X+1

-,5,x+2y+3的取值范圍是±11.選C.

4x+12

【說(shuō)明】本題考查線性規(guī)劃，以及直線的斜率的幾何意義.

三、解答題(本大題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)

1.在填空題中常考查的知識(shí)點(diǎn)

(1)基礎(chǔ)題一一三角函數(shù)，二選一的選做題.

(2)中檔題一一統(tǒng)計(jì)概率，立體幾何

(3)爬坡題一一圓錐曲線，導(dǎo)數(shù)綜合.

2.本押題卷嚴(yán)格按照新課標(biāo)I要求的高考考點(diǎn)和題量、分值出題，嚴(yán)格遵照新考綱要求，

體現(xiàn)考綱遍變化，注重雙基考查，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)能力的理解與應(yīng)用。出題新穎，部分

題目為原創(chuàng)試題.

17.已知a=(2cosx,2sinx),b=函數(shù)/(x)=cos(a,b

(I)求函數(shù)/(x)零點(diǎn);

(II)若ABC的三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且〃A)=1,求——的

取值范圍.

【解析】(I)利用向量夾角公式，代入已知，化簡(jiǎn)后可得"x)=sin(2x-.令

JTbjTT

2x——=ku,由此解得％=---F、■(左eZ).(II)由(1)可得〃A)=sin2A—弓=1,

62

由此求得A=-7T.利用正弦定理，將—hC轉(zhuǎn)化為

3a

(2n

sBD+n—飛_5nxx

-—1n13——2=2s|I，根據(jù)0<8<@可求得取值范圍為

sAnAsinI)3

(1,21

【解答】(I)由條件可知：=2cosx.sin卜一看+2sinx-cosx--

I6

71兀..兀

=c2cosx-(si?nxcos----cosxsm—+2sinx?cosxcos—+sinxsm—

I66J66

=V3sinxcosx-cos2x+J^sinxcos%+sin2x

kn7i7

所以函數(shù)/⑺零點(diǎn)滿足sin2X—7=0,得％=--------1-------,KGZ.

212

,「、,nb+csiaB+sinC

(II)由正弦定理得----=-----；------

asinA

由(I)〃x)=sin2x—看，而/⑷=2,得sinf2A-1^U1

A2A--=2k;i+-,keZ,又Ae(O,〃)，得A=乂

623

2萬(wàn)

?：A+B+C=7r：.C=——3代入上式化簡(jiǎn)得:

3

sinB+sin----B—sinB+—cos5V3sinB+—(

工--------口__LI----------2—=_I6j=2sing

asinAsinAsinA16

又在AABC中，有0<B<—，:.—<B-\—<—，則有一(sin^Bd—|<1

36662I6J

,b+c-

即:1<-----<2.

a

【說(shuō)明】本題考查向量的運(yùn)算，以及利用正弦定理解三角形.

18.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，面上底面ABCD,且AR4D

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PC=g,M在PC上，且PA面

（1）求證：M是PC的中點(diǎn)；

AF

（2）在PA上是否存在點(diǎn)F，使二面角尸-皿-M為直角？若存在，求出一的

AP

值；若不存在，說(shuō)明理由.

【解析】（1）連AC交5D于E可得E是AC中點(diǎn)，再根據(jù)PA面AffiD可得R4M區(qū)進(jìn)

而根據(jù)中位線定理可得結(jié)果；（2）取AD中點(diǎn)。，由（1）知。4,OE,OP兩兩垂直.以。為

原點(diǎn)，04,OE,OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面VBD的

一個(gè)法向量〃，用4表示面EBZ）的一個(gè)法向量加，由〃〃〃=?？傻媒Y(jié)果.

【解答】（1）證明：連AC交3。于E,連ME.ABCD是矩形，,七是AC中點(diǎn).又

PA面AffiD,且"E是面PAC與面VDB的交線，PA是尸。的中點(diǎn).

（2）取AD中點(diǎn)。，由（1）知QA,OE,OP兩兩垂直.以。為原點(diǎn)，QA,OE,OP所在

直線分別為x軸，

y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則各點(diǎn)坐標(biāo)為

A（1,O,O）,B（1,3,O）,D（-1,O,O）,C（-1,3,O）,P（O,O,^）,M-j_g叵

設(shè)存在歹滿足要求，且笠=丸，則由AF=2AP得：F（l-2,0,732）,面"BD的

一個(gè)法向量為〃=11,二,立］,面Eg。的一個(gè)法向量為m=（1,二,4二］,由

I33JI3V31J

42-23

n-m=0,得1H------1----------=0,解得2=—,。故存在尸，使二面角尸—_B￡）—以為直

9328

,AF3

角,止匕n時(shí)---=—

AP8

【說(shuō)明】本題考查立體幾何中線面的綜合關(guān)系，以及二面角的求法.

19.某品牌汽車的4s店，對(duì)最近100份分期付款購(gòu)車情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)情況如下

表.所示.已知分9期付款的頻率為0.4；該店經(jīng)銷一輛該品牌汽車，若顧客分3期付

款，其利潤(rùn)為1萬(wàn)元；分6期或9期付款，其利潤(rùn)為2萬(wàn)元；分12期付款，其利潤(rùn)

為3萬(wàn)元.

付款方式分3期分6期分9期分12期

頻數(shù)2020ab

（1）若以上表計(jì)算出的頻率近似替代概率，從該店采用分期付款購(gòu)車的顧客（數(shù)量

較大）中隨機(jī)抽取3為顧客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；

（2）按分層抽樣方式從這100為顧客中抽取5人，再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取3

人，記該店在這3人身上賺取的總利潤(rùn)為隨機(jī)變量〃，求〃的分布列和數(shù)學(xué)期望

E⑺.

【解析】（1）依據(jù)題設(shè)運(yùn)用二項(xiàng)分布公式求解；（2）借助題設(shè)求出隨機(jī)變量的分布列，再依

據(jù)數(shù)學(xué)期望公式【解答】（1）由題意，a=100x0.4=40,Z?=100-20-20-40=20,

則表中分6期付款購(gòu)車的顧客頻率p=；,

所以P（㈤=（1_03+G"l_p）2==.

（2）按分層抽樣的方式抽取的5人中，有1位分3期付款，有3位分6期或9期付

款，有1位分12期付款.

隨機(jī)變量〃可能取的值是5,6,7,

則。（〃=5）=與工2p（n=巾心3

''c5310io

4

P（77=6）=1-P（77=5）-P（7-7）=-,

所以隨機(jī)變量〃的分布列為

7567

P0.30.40.3

...E（〃）=5xQ3+6xO.4+7xQ3=6（萬(wàn)元）即為所求.

【說(shuō)明】本題考查事件的獨(dú)立性，抽樣方法以及隨機(jī)變量的分布列與期望.

20.已知耳，鳥(niǎo)是橢圓，+（=1的左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)pj-在

橢圓上，線段P鳥(niǎo)與y軸的交點(diǎn)M滿足PM+6M=0.

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）圓。是以耳鳥(niǎo)為直徑的圓，一直線/:y=^+機(jī)與圓。相切，并與橢圓

交于不同的兩點(diǎn)A、B,當(dāng)0A-03=4,且滿足一2＜2＜二3時(shí)，求Q4B的面積S的

34

取值范圍.

【解析】（I）先利用平面向量共線得到M是線段尸工的中點(diǎn)，再利用三角形的中位線和

待定系數(shù)法進(jìn)行求解；（II）先利用直線與圓相切得到機(jī)2=太+1,再聯(lián)立直線和橢圓的方

程，得到關(guān)于X的一元二次方程，再利用平面向量的數(shù)量積和判別式為正、三角形的面積公

式得到有關(guān)表達(dá)式，再利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.

【解答】（I）因?yàn)?所以M是線段尸工的中點(diǎn)，所以是「耳心的

中位線，又耳耳，所以工片8，所以c=l,又因?yàn)?/p>

C=1

111

——+----=111

"2b2OM±F遙,，PF1±PF2.:.{—+—1,

2人2I2a2b

a=bc

a2=b2+c2

無(wú)2

解得Y=2萬(wàn)=1,。2=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+/=1.

2'

I租I

（」1）因?yàn)橹本€/:y=H+相與。相切，所以J?=1,BPm-,2=左？+1

區(qū)2=1

聯(lián)立{5+>一得（1+2/+4初a+27，—2=0.

y=kx+m

因?yàn)橹本€/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,

4km2m2-2

所以△>€）,再+w=—

1+242'X1%2-l+2k-

2-2k2

%,為=（儲(chǔ)+加）?（也+加）=m

1十乙K

1+“22321+/<3

OAOB=xx+y-y=-----?=幾，又因?yàn)橐?lt;X<一,所以一

i1212

1+2423431+2/—Z

解得一1〈左92Kl.

2

一卜一

S=--|AB|-I=—,J1+/X21—

2114+1

32u|二單調(diào)遞增,

設(shè)"=左4十左2,則—VK42,S1

44u+

U

3<S<S（2）,即逅<S<2

所以S

J43

【說(shuō)明】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系.

21.已知函數(shù)/(力=0飛加.

(1)求函數(shù)/(力的單調(diào)區(qū)間；

(2)如果對(duì)于任意的xe0,1,/(%)?履恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)尸(x)=/(x)+e*cosx,xe-2°；乃,2°；7萬(wàn),過(guò)點(diǎn)“［生作函

數(shù)-％)的圖象的所有切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列｛%｝,求數(shù)列

｛七｝的所有項(xiàng)之和的值.

【解析】(1)求出導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于零和小于零求出對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，(2)

構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=/(x)-近，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的最小值問(wèn)題，然后根據(jù)k的取

值進(jìn)行討論，(3)把/(%)解析式代入尸(幻，求出其導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)

出切線方程，得到關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的三角方程，利用函數(shù)圖像分析得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的對(duì)稱

性，最后結(jié)合給出的范圍得到S的值.

【解析】⑴f'^x)-ex(sinx+cosx)=+

.-./(x)的增區(qū)間為24萬(wàn)一(,24萬(wàn)+,(左eZ)；減區(qū)間為

2^+—,2^+-^(keZ).

_44Jv7

⑵令g(x)=/(x)-Ax=exsiwc-kx

要使/(x)NAx恒成立，只需當(dāng)工￡0,^時(shí)，＞0

g'(x)二,(sinx+cosx)-k

令/z(x)=e”(sinx+cosx),貝?。?/(%)=26&)8^20對(duì)］￡0,^恒成立

在xe0,-y上是增函數(shù)，則〃(x)el,e2

①當(dāng)y時(shí)，g[x)?O恒成立，g(x)在xe0,|上為增函數(shù)

「.g(x)min=1?(。)=0，「""1滿足題意；

②當(dāng)1＜左＜＞時(shí)，g'(x)=O在xe0,|上有實(shí)根》,/i(x)在xe0,|上是增函

數(shù)

則當(dāng)無(wú)￡[0,%)時(shí),gr(x)＜0,z.g(%)vg⑼=0不符合題意；

③當(dāng)左*5時(shí)，g'(X)＜0恒成立，g("在0,y上為減函數(shù)，

/.g(x)<g(0)=0不符合題意

,\k<l9艮1女￡(-00,1].

(3)F(x)=/(%)+excosxex(sinx+cos%)

尸'(x)2/cosx

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(sin/+COSX。))，則切線斜率為9(%0)=2"8醬

從而切線方程為y-*(sinx0+cosx0)=2^cosx0(x-x0)

7T-1

,Xqx

—e(si叫+cos%)2e℃osx0F一一/otanx0=2x0

☆%=tan%,%=2，這兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則它們交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)也關(guān)于x=/對(duì)稱，從而所作的所有切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列上｝的

項(xiàng)也關(guān)于x=f成對(duì)出現(xiàn)’又在〕